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第1章 章末小结
【知识导图】
【题型突破】
集合的基本概念
例1　(1)已知集合A={0，1，2}，则集合B={x-y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　　).
A.1
B.3
C.5
D.9
(2)若-3∈{x-2，2x2+5x，12}，则x=______.
　解决集合的概念问题应关注的两个点
(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义.有些集合中的元素为实数，而有些集合中的元素是数对(点集).
(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
集合间的基本关系
例2　(1)已知集合A={x|0A.{a|0B.{a|-8C.{a|a≥4}
D.{a|a>4}
(2)(2023年新高考全国Ⅱ卷)设集合A={0，-a}，B={1，a-2，2a-2}，若A B，则a=(　　).
A.2
B.1
C.
D.-1
　处理集合间关系问题的关键点
解决这类问题常常需要合理利用数轴、维恩图帮助分析.同时还要注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母时，要分类讨论，讨论时要不重不漏.
集合的运算问题
例3　(2024年新高考全国Ⅰ卷)已知集合A={x|-5A.{-1，0}
B.{2，3}
C.{-3，-1，0}
D.{-1，0，2}
(2)(2023年全国甲卷)设全集U=Z，集合M={x|x=3k+1，k∈Z}，N={x|x=3k+2，k∈Z}，则U(M∪N)=(　　).
A.{x|x=3k，k∈Z}
B.{x|x=3k-1，k∈Z}
C.{x|x=3k-2，k∈Z}
D.
　求解用不等式表示的数集间的集合运算问题时，一般要借助数轴求解，此法的特点是简单直观，在使用时要注意各个区间端点的画法及结果能否取到端点值.
充分条件、必要条件的判断
例4　(1)设x∈R，则“2-x≥0”是“-1≤x-1≤1”的(　　).
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)已知集合A={x|2x+m<0}，B={x|x<-1或x>3}，则“m>2”是“A B”的(　　).
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
　判断充分、必要条件的方法
(1)定义法：直接判断命题“若p，则q”“若q，则p”的真假.
(2)等价法：利用p q与 q p，q p与 p q，p q与 q p的等价关系判断.对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法.
(3)利用集合间的包含关系判断.
含有一个量词的命题的否定与命题的真假判断
例5　(1)(2024年新高考全国Ⅱ卷)已知命题p： x∈R，|x+1|>1；命题q： x>0，x3=x.则(　　).
A.p和q都是真命题
B. p和q都是真命题
C.p和 q都是真命题
D. p和 q都是真命题
(2)若命题p： x∈R，x2-2x+m≠0是真命题，则实数m的取值范围是(　　).
A.{m|m≥1}
B.{m|m>1}
C.{m|m<1}
D.{m|m≤1}
　1.写全称量词命题与存在量词命题的否定的步骤
(1)改写量词；(2)否定结论.
2.全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
不管是全称量词命题，还是存在量词命题，当其真假不容易从正面判断时，可先判断其否定的真假.
有关集合、常用逻辑用语中参数问题的求解
例6　(1)已知命题p： x∈，m-2x=0，q： x∈R，mx2+x+1≥0.若 p和 q均为假命题，则实数m的取值范围是(　　).
A.
B.{m|1C.
D.{m|1(2)已知“p：x>m+3或x　求参数的值或取值范围的关键点
通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围.
【拓展延伸】
集合论的背景
集合论在19世纪诞生的基本原因是数学分析基础的批判运动.数学分析的发展必然涉及无穷过程、无穷小和无穷大这些无穷概念.在18世纪，由于无穷概念没有精确的定义，微积分理论不仅遇到严重的逻辑困难，而且还使无穷概念在数学中信誉扫地.19世纪上半叶，柯西给出了极限概念的精确描述，在这基础上建立起连续、导数、微分、积分以及无穷级数的理论.正是这19世纪发展起来的极限理论解决了微积分理论所遇到的逻辑困难.但是，柯西并没有彻底完成微积分的严密化.柯西思想有一定的模糊性，甚至产生逻辑矛盾.19世纪后期的数学家们发现使柯西产生逻辑矛盾的问题的原因在奠定微积分基础的极限概念上.严格地说，柯西的极限概念并没有真正地摆脱几何直观，确实地建立在纯粹严密的算术的基础上.于是，许多受分析基础危机影响的数学家致力于分析的严格化.在这一过程中，都涉及微积分的基本研究对象——连续函数的描述.在数与连续性的定义中，有涉及关于无限的理论.因此，无限集
合在数学上存在的问题又被提出来了.这也就带来寻求无限集合的理论基础的工作.
总之，寻求微积分彻底严密的算术化倾向，成了集合论产生的一个重要原因.
康托尔与集合论
康托尔是19世纪末20世纪初德国伟大的数学
家，集合论的创立者.19世纪末他所创立的集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造之一.集合概念大大扩充了数学的研究领域，给数学结构提供了一个基础，集合论不仅影响了现代数学，而且也深深影响了现代哲学和逻辑.集合论是现代数学中重要的基础理论.它的概念和方法已经渗透到代数、拓扑和分析等许多数学分支以及物理学和质点力学等一些自然科学部门，为这些学科奠定了基础，改变了这些学科的面貌.几乎可以说，如果没有集合论的观点，很难对现代数学获得一个深刻的理解.
参考答案
第1章 章末小结
题型突破·知方法
例1　(1)C　(2)-　【解析】(1)①当x=0时，取y=0，1，2，此时x-y的值分别为0，-1，-2；
②当x=1时，取y=0，1，2，此时x-y的值分别为1，0，-1；
③当x=2时，取y=0，1，2，此时x-y的值分别为2，1，0.
综上可知，x-y的可能取值为-2，-1，0，1，2，共5个，故选C.
(2)由题意可知，x-2=-3或2x2+5x=-3.
①当x-2=-3时，x=-1，此时2x2+5x=-3，得集合的三个元素为-3，-3，12，不满足集合中元素的互异性；
②当2x2+5x=-3时，x=-或x=-1(舍去)，
当x=-时，x-2=-，集合的三个元素为-，-3，12，满足集合中元素的互异性.
由①②知x=-.
例2　(1)C　(2)B　【解析】(1)由题意，在数轴上标出A，B两个集合，如图所示，
结合数轴知，若A B，则a≥4，即实数a的取值范围为{a|a≥4}.
(2)依题意，有a-2=0或2a-2=0.当a-2=0时，解得a=2，此时A={0，-2}，B={1，0，2}，不满足A B；当2a-2=0时，解得a=1，此时A={0，-1}，B={-1，0，1}，满足A B.所以a=1.故选B.
例3　(1)A　(2)A　【解析】(1)将集合B中的元素逐一代入x3，可知只有-1，0的立方大于-5且小于5，所以A∩B={-1，0}.故选A.
(2)集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集，故选A.
例4　(1)B　(2)A　【解析】(1)由2-x≥0，得x≤2，由-1≤x-1≤1，得0≤x≤2.因为0≤x≤2 x≤2，x≤2 / 0≤x≤2，所以“2-x≥0”是“-1≤x-1≤1”的必要不充分条件.故选B.
(2)因为A B m≥2，而m>2 m≥2，且m≥2 / m>2，所以“m>2”是“A B”的充分不必要条件.故选A.
例5　(1)B　(2)B　【解析】(1)取x=-1，则有|x+1|=0<1，故p是假命题， p是真命题；
取x=1，则有x3=13=1=x，故q是真命题， q是假命题.
综上， p和q都是真命题，故选B.
(2)命题p： x∈R，x2-2x+m≠0是真命题，则m≠-(x2-2x)，
∵-(x2-2x)=-(x-1)2+1≤1，
∴m>1，
∴实数m的取值范围是{m|m>1}.故选B.
例6　(1)D　(2)m≤-7或m≥1　【解析】(1)由题意知p和q均为真命题.由p为真命题知m=2x∈，所以1(2)p：x>m+3或x因为p是q的必要不充分条件，
所以m+3≤-4或m≥1，
故m≤-7或m≥1.

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