资源简介

1.1.1 课时2 空间向量的数量积运算
【学习目标】
1.掌握空间向量的数量积运算的定义与概念，理解投影的概念.(数学抽象)
2.理解空间向量的数量积的运算律(交换律和分配律)，并可以与数的乘法相联系与区别.(数学运算)
3.可以结合实际问题，灵活运用相关知识解决问题.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.上节课所讲的向量线性运算的相关知识有哪些
2.空间向量的线性运算满足哪些运算律
3.空间向量夹角的取值范围是多少 如何定义空间向量的垂直
4.类比平面向量的数量积的定义，如何定义空间向量的数量积运算
5.类比平面向量的数量积的运算律，空间向量的数量积运算满足哪些运算律
6.数量积运算能否判断两个向量的平行或者垂直关系，能否用来求角
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的数量积是实数. （ ）
(2)对于非零向量a，b，与相等. （ ）
(3)对于任意向量a，b，c，都有(a·b)·c=a·(b·c). （ ）
(4)(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2. （ ）
2.已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|=|b|=1，a·b=-，则两直线的夹角为（ ）.
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
3.(人教B版选择性必修第一册P12练习BT4改编)(多选题)已知正四面体OABC的棱长为1，如图所示.若E，F分别是OA，OC的中点，则下列结论正确的是（ ）.
A.·=-
B.·=
C.·=-
D.·=-
4.已知i，j，k是两两垂直的单位向量，a=2i-j+k，b=i+j-3k，则a·b=______.
【合作探究】
探究1空间向量的夹角
如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W=F·s=|F||s|cos θ，其中θ是F与s的夹角.
为了在数学中体现“功”这样一个标量，我们引入了向量“数量积”的概念.
问题1：θ是哪两个量的夹角
问题2：任意两个向量的数量积是向量吗 两个向量的数量积一定是非负数吗
问题3：如图所示，空间四边形的各边和对角线长均等于1，E是BC的中点，则下列说法正确的有哪些
(1)·<0；(2)·=·；(3)·=·.
问题4：若两个向量的夹角为0或π，则这两个向量分别是什么关系
1.定义：如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作=a，=b，则______叫作向量a，b的夹角，记作______.
2.范围：∈______.特别地，当=0时，两个向量a，b同向共线，当=______时，两个向量a，b反向共线，所以若a∥b，则=______；当=时，两个向量a，b互相______，记作______.
例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
(1)求与夹角的大小；
(2)求与夹角的大小.
【方法总结】求两个向量夹角的方法
先根据题设条件将一个向量平移到另一个向量所在的平面内，然后解三角形求解.
已知A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·=0，·=0，·=0，M为BC的中点，则与的夹角是______.
探究2空间向量数量积及其性质
问题1：两个向量的数量积与数乘向量有何不同
问题2： “若a·b=a·c，则b=c”，这种说法正确吗
问题3：数量积的运算不满足结合律吗
已知两个______向量a，b，则______叫作向量a，b的数量积(内积)，记作a·b，即a·b=______.零向量与任意向量的数量积为______，即0·a=______
a⊥b ______；a·a=|a||a|cos=______=______
(λa)·b=______(λ∈R)
a·b=b·a(交换律)
(a+b)·c=______(分配律)
例2：如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，E，F分别是OA，OC的中点.求下列向量的数量积：
(1)·；
(2)·；
(3)(+)·(+).
【变式设问】若H为BC的中点，其他条件不变，求EH的长.
【方法总结】在几何体中，求空间向量的数量积的步骤：
(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积；
(3)代入公式a·b=|a||b|cos求解.
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，Q是棱BC上的动点，P是棱B1C1上的动点，AB=BC=2，AA1=1.
(1)求·；
(2)求·的取值范围.
探究3投影与投影的数量
我们在测量树的高度时，常利用阳光下的影子测量其高度，如图所示.
问题1：若测得||=2，如何求在上的投影
问题2：平面向量的数量积的投影定义，在空间中还成立吗
1.向量的投影
如图所示，过向量a的始点和终点分别向向量b所在的直线作垂线，即可得到向量a在向量b上的投影a'.
2.数量积的几何意义
a与b的数量积等于a在b上的投影a'的数量与b的长度的乘积.特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a'的数量.规定零向量与任意向量的数量积为0.
3.向量在直线(或平面)上的投影
一般地，给定空间向量a和空间中的直线l(或平面α)，过a的始点和终点分别作直线l(或平面α)的垂线，假设垂足为A，B，则向量称为a在直线l(或平面α)上的投影.
例3：如图，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB=4，AA1=3，AD=2，∠BAA1=∠DAA1=60°，E为棱C1D1的中点，则||=______；在上的投影是______.
【方法总结】根据投影的定义可得|b|cos=，此结论用于求空间中的距离问题时，注意区分投影与投影数量.
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM=2A1M，C1N=2B1N.设=a，=b，=c.若∠BAC=90°，∠BAA1=∠CAA1=60°，AB=AC=AA1=1，求向量在上的投影数量.
【随堂检测】
1.对于向量a，b，c和实数λ，下列命题是真命题的为（ ）.
A.若a·b=0，则a=0或b=0
B.若λa=0，则λ=0或a=0
C.若a2=b2，则a=b或a=-b
D.若a·b=a·c，则b=c
2.在空间四边形OABC中，OB=OC，∠AOB=∠AOC=，则cos<，>的值为（ ）.
A.
B.
C.-
D.0
3.在空间四边形ABCD中，·+·+·=______.
4.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=1，AA1=2，M是BC的中点，∠A1AB=∠A1AC=∠BAC=60°，求A1M的长.
参考答案
1.1.1 课时2 空间向量的数量积运算
自主预习·悟新知
预学忆思
1.向量的加法、减法、数乘运算.
2.向量的线性运算满足交换律、结合律和分配律.
3.夹角的取值范围是[0，π].若夹角为，则向量垂直.
4.a·b=|a||b|cos.
5.空间向量的数量积的运算满足交换律和分配律.
6.能判断垂直关系，若a·b=0，则向量a，b垂直.cos=.
自学检测
1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2.B　【解析】设向量a，b的夹角为θ，则cos θ==-，所以θ=120°，则两个方向向量对应的直线的夹角为180°-120°=60°.
3.BD　【解析】在正四面体OABC中，||=||=||=||=||=||=1，
则·=||||cos∠AOB=1×1×cos 60°=，A错误；
因为E，F分别是OA，OC的中点，
所以·=·=||||·cos<，>=×1×1×cos 60°=，B正确；
·=·=||2=，C错误；
·=·=||||cos<，>=×1×1×cos 120°=-，D正确.
4.-2　【解析】a·b=(2i-j+k)·(i+j-3k)=2i2-j2-3k2=-2.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：θ是力F与位移s的夹角.
问题2：不是向量，两个向量的数量积是实数，不一定是非负数.
问题3：∵E是BC的中点，AB=AC，∴⊥，即·=0，∴(1)错误；
由题意知与的夹角为120°，∴·=1×1×cos 120°=-，
由题意知与的夹角为60°，∴·=1×1×cos 60°=，∴(2)错误；
∵E是BC的中点，且△BCD是正三角形，∴BC⊥ED，∴·=0，
∴·=·，∴(3)正确.
综上，只有(3)正确.
问题4：若两个向量的夹角为0，则这两个向量方向相同；若两个向量的夹角为π，则这两个向量的方向相反.
新知生成
1.∠AOB　
2.[0，π]　π　0或π　垂直　a⊥b
新知运用
例1　【解析】(1)如图，连接AD1，CD1，因为=，所以∠CAD1的大小就等于<，>.
因为△ACD1为等边三角形，所以∠CAD1=60°，所以与夹角的大小为60°.
(2)如图，将平移到平面ADD1A1内，则与重合.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为四边形ADD1A1是正方形，所以⊥，
所以与夹角的大小为90°.
巩固训练　90°　【解析】因为M为BC的中点，所以=(+)，所以·=(+)·=·+·=0，所以AM⊥AD，所以与的夹角是90°.
探究2　情境设置
问题1：两个向量的数量积是它们的模与其夹角的余弦值的乘积，其结果是实数；数乘向量是一个数与一个向量的乘积，其结果仍是一个向量，如0·a=0，而0·a=0.
问题2：不正确，向量不能约分.
问题3：向量的数量积运算不满足结合律，即(a·b)·c不一定等于a·(b·c).
新知生成
非零　|a||b|cos　|a||b|cos　0　0　a·b=0　|a|2　a2　λ(a·b)　a·c+b·c
新知运用
例2　【解析】(1)因为正四面体OABC的棱长为1，所以||=||=1.
又△OAB为等边三角形，所以∠AOB=60°，
所以·=||||cos<，>=||||·cos∠AOB=1×1×cos 60°=.
(2)因为E，F分别是OA，OC的中点，所以EF AC，
于是·=||||cos<，>=||·||cos<，>=×1×1×cos<，>=×1×1×cos 120°=-.
(3)(+)·(+)=(+)·(-+-)=(+)·(+-2)=+·-2·+·+-2·=1+-2×++1-2×=1.
变式设问　提示：如图所示，由题意知=(+)，=，
所以=-=(+-)，
所以||2=(+++2·-2·-2·)，
又||=||=||=1，且<，>=60°，<，>=60°，<，>=60°，
所以·=，·=，·=.
所以||2==，
即||=，所以EH的长为.
巩固训练　【解析】(1)·=(++)·
=·+·+·.
因为AD⊥AB，AD⊥AA1，所以⊥，⊥，即·=0，·=0，
因此·=||2=4.
(2)·=(++)·(+)
=·+·+·+·+·+·，
因为AA1⊥AB，C1P⊥AB，AA1⊥BQ，AB⊥BQ，
所以·=0，·=0，·=0，·=0，
因此·=·+·=||2-||·||.
设||=x，||=y，0≤x≤2，0≤y≤2，则·=4-xy，
因为0≤xy≤4，
所以0≤4-xy≤4，故·的取值范围为[0，4].
探究3　情境设置
问题1：根据平面数量积的几何意义知，在上的投影为||cos(π-∠OAB)·=-=.
问题2：根据空间向量的数量积公式可知，依然成立.
新知运用
例3　　　【解析】由题图可知=++，
所以||=
==，
·=·+·+=4×3×cos 60°+0+×42=14.
故在上的投影是·=.
巩固训练　【解析】由图可知=++=++
=(c-a)+a+(b-a)=a+b+c，
所以·=b·=×=.
因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=1+1+1+0+2×1×1×+2×1×1×=5，
所以|a+b+c|=，所以||=|a+b+c|=.
所以向量在上的投影数量是×=.
随堂检测·精评价
1.B　【解析】对于A，可举反例，当a⊥b时，a·b=0；
对于C，a2=b2，只能推出|a|=|b|，而不能推出a=±b；
对于D，a·b=a·c可以移项整理推得a⊥(b-c)，无法判断b与c的关系.
2.D　【解析】∵·=·(-)=·-·=||||cos∠AOC-||||cos∠AOB=||||-||||=0，
∴⊥，∴cos<，>=0.
3.0　【解析】原式=·+·+·(-)=·(-)+·(+)=·+·=0.
4.【解析】设=a，=b，=c，
则a·b=1×1×cos 60°=，b·c=a·c=1×2×cos 60°=1.
因为=+=-c+，
所以A1M=||===.1.1.1 课时1 空间向量及其线性运算
【学习目标】
1.通过与平面向量的类比，了解空间向量的有关概念.(数学抽象)
2.通过类比平面向量，学习并掌握空间向量的线性运算(加法、减法与数乘运算，以及它们的混合运算)，掌握线性运算的运算律(结合律、交换律和分配律).(数学运算)
3.能根据一些条件，在简单的几何体中解决一些向量的运算问题，即掌握空间向量的应用.(数学运算、直观想象)
【自主预习】
1.回忆一下平面向量是怎么定义的
2.回忆一下平面向量的有关内容并回答以下问题：
(1)如图，向量如何表示 其模如何表示
(2)零向量和单位向量如何定义
(3)平面中某两个方向相反、大小相等的向量是什么向量
(4)平面中某两个向量方向相同或相反，这两个向量称为什么向量
(5)方向相同且模相等的向量称为什么向量
3.平面向量的运算律有哪些
4.对任意两个平面向量a，b，如果a=λb(λ∈R)，那么a与b有什么位置关系 反过来，当a，b有什么位置关系时，a=λb(λ∈R)
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在空间中，任意一个向量都可以进行平移. （ ）
(2)在空间中，互为相反向量的两个向量必共线. （ ）
(3)空间向量线性运算的结果不一定是向量. （ ）
(4)在空间中，单位向量唯一确定. （ ）
2.下列说法正确的是（ ）.
A.任意两个空间向量都可以比较大小
B.由于0方向不定，故0不能与任何向量平行
C.若|a|=|b|，则a与b共线
D.空间向量的模可以比较大小
3.(人教B版选择性必修第一册P12练习BT2改编)(多选题)如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，E为CC'的中点，F是AC'上靠近点A的三等分点，则下列表达式化简正确的是（ ）.
A.+=
B.-+=
C.-+=
D.=
4.已知b=-5a，|a|=2，则向量b的长度为______，向量b的方向与向量a的方向______.
【合作探究】
探究1空间向量的概念
已知一个正三角形钢板，三个顶点用等长的绳子绑起，在力F的作用下匀速上升，三根绳子的受力情况如图所示.
问题1：在物理学中，力是什么量 这三个力共面吗 这三个力在数学上叫什么
问题2：你能否根据平面向量的定义，试着叙述一下空间向量的定义
问题3：这两个定义有何区别 本质是否相同
1.空间向量
(1)定义：在空间中，我们把既有______又有______的量称为空间向量.
(2)长度或模：空间向量的______叫作空间向量的长度或模.
(3)表示法：①几何表示法，空间向量用有向线段表示.
②字母表示法，用字母a，b，c，…表示.
若向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记作，其模记为||或|a|.
2.几类常见的空间向量
名称 定义 表示
零向量 始点和终点相同的向量 0
单位向量 模为______的向量 |a|=______或||=______
相等向量 大小相等、方向______的向量 a=b或=
相反向量 方向______、大小相等的向量 ______
共线向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线______，那么这些向量叫作共线向量或______向量 a∥b
规定 零向量与任意向量______ 0∥a
例1：(1)给出下列说法：
①在正方体ABCD-A1B1C1D1中，=；②若a∥b，b∥c，则a∥c；
③若向量a的单位向量是e，则e=；④若a，b是相反向量，则|a|=|b|.
其中说法正确的是______.
(2)如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，由顶点连接而成的向量中，与向量相等的向量有______.
【方法总结】在空间中，零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同.由于向量是由其模和方向确定的，因此在解答空间向量有关概念问题时，通常抓住这两点来解决.零向量是一个特殊的向量，其方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性.
下列说法正确的是（ ）.
A.若|a|<|b|，则aB.若a，b为相反向量，则a+b=0
C.空间内两平行向量相等
D.同向且等长的有向线段表示同一向量
如图所示，由平行六面体ABCD-A'B'C'D'的顶点连接而成的所有向量中，与向量相等的向量有______；与向量相反的向量有______.(要求写出所有满足条件的向量)
探究2空间向量的线性运算
问题：国庆期间，某游客从上海世博园O处游览结束后乘车到外滩A处观赏黄浦江，然后抵达东方明珠B处游玩，如果游客要登上东方明珠顶端D处俯瞰上海美丽的夜景，那么他发生的实际位移是什么 可以用什么数学概念来表示位移
1.空间向量的加法、减法以及数乘运算
由图(1)知：①a+b=+=；②a-b=-=.
由图(2)知：当λ>0时，λa=λ=______；当λ<0时，λa=λ=______；
当λ=0时，λa=______.
2.空间向量的线性运算满足的运算律
交换律：a+b=______.
结合律：(a+b)+c=______，λ(μa)=______.
分配律：(λ+μ)a=______， λ(a+b)=______.
3.一般地，对于三个不共面的向量a，b，c，以任意点O为起点，a，b，c为邻边作平行六面体，则a，b，c的和等于以______为起点的平行六面体的______所表示的向量.
例2：如图，在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，化简-+++，并在图中作出表示化简结果的向量.
【变式设问】若本例条件不变，化简+++，并在图中作出表示化简结果的向量.
【方法总结】
1.空间向量加法、减法运算的两个技巧
①巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接.
②巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加法、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.
2.利用数乘运算进行向量表示的技巧
①数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.
②明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点的性质.
如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式的运算结果为向量的有（ ）.
①(+)+；②(+)+；
③(+)+；④(+)+.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
探究3共线向量与共面向量
问题1：对任意两个空间向量a与b(b≠0)，如果a=λb(λ∈R)，那么a与b有什么位置关系 反过来，当a与b有什么位置关系时，a=λb(λ∈R)
问题2：什么是共面向量 任意两个向量都共面吗
1.空间两个向量共线(平行)的充要条件
对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得______.
2.与直线、平面平行的向量
如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA 与直线l______或______，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.
3.共面向量
平行于同一个平面的向量，叫作共面向量.
例3：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且=，BD与AC交于点M.求证：C1，O，M三点共线.
【方法总结】对于空间三点P，A，B，可通过证明下列结论来证明三点共线.
①存在实数λ，使得=λ成立；
②对空间任意一点O，有=+t(t∈R)；
③对空间任意一点O，有=x+y(x+y=1).
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在A1D1上，且=2，点F在对角线A1C上，且=.求证：E，F，B三点共线.
【随堂检测】
1.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，以顶点为向量的起点和终点，且与向量的模相等的向量有（ ）.
A.7个
B.3个
C.5个
D.6个
2.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AC1的中点为O，则下列结论正确的是（ ）.
A.+与+是一对相等向量
B.-与-是一对相反向量
C.-与-是一对相等向量
D.+++与+++是一对相反向量
3.在空间四边形ABCD中，=（ ）.
A.+-
B.--+
C.-++
D.-+-
4.如图，在四面体ABCD中，G为△BCD的重心，E，F分别为边CD，AD的中点，试化简+-，并在图中标出表示化简结果的向量.
参考答案
1.1.1 课时1 空间向量及其线性运算
自主预习·悟新知
预学忆思
1.在平面中，既有大小又有方向的量叫作平面向量(也称为矢量).
2.(1)向量表示为或a.其模记为||或|a|.
(2)始点和终点相同的量叫作零向量；模等于1的向量叫作单位向量.
(3)相反向量.
(4)共线向量或平行向量.
(5)相等向量.
3.平面向量的线性运算满足的运算律：交换律、结合律和分配律.
4.a与b是共线向量.反过来，对任意两个平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a=λb.
自学检测
1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2.D　【解析】任意两个空间向量都不能比较大小，故A错误；规定0的方向是任意的，与任何向量平行，故B错误；模相等，方向不确定，故C错误；因为向量的模是一个实数，所以可以比较大小，故D正确.
3.BCD　【解析】+=，A错误；在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，有=，=，故-+=++=，B正确；因为=，E为CC'的中点，所以-+=++=，C正确；因为F是AC'上靠近点A的三等分点，所以(++)==，D正确.
4.10　相反
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：力是矢量，不共面，这三个力在数学上叫空间向量.
问题2：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量.
问题3：定义的区别：平面向量与空间向量的不同之处就在于一个在平面内，一个在空间中.本质相同：空间中的一个向量一定能够平移到平面中，因此，空间中的一个向量既是平面向量也是空间向量.
新知生成
1.(1)大小　方向　(2)大小
2.1　1　1　相同　相反　-a　互相平行或重合　平行　平行
新知运用
例1　(1)①④　(2)，，　【解析】(1)①因为与的大小和方向均相同，故①正确；②当b=0时不成立，故②错误；③若与向量a同向的单位向量是e，则e=，故③错误；④相反向量的模相等，故④正确.
(2)与向量相等的向量有，，.
巩固训练1　D　【解析】向量的模有大小，但向量不能比较大小，A错误；相反向量的和为0，不是0，B错误；相等向量满足模相等、方向相同两个条件，平行向量不一定具备，C错误；D正确.
巩固训练2　，，　，，，　【解析】根据相等向量的定义知，与向量相等的向量有，，，与向量相反的向量有，，，.
探究2　情境设置
问题：如图，游客的实际位移是，可以用空间向量来表示这个位移.
新知生成
1.　　0
2.b+a　a+(b+c)　(λμ)a　λa+μa　λa+λb
3.O　体对角线
新知运用
例2　【解析】在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，四边形AA1F1F是平行四边形，所以=.同理=，=，=，
所以-+++=++++=，如图.
变式设问　提示：根据正六棱柱的性质知四边形BB1C1C与四边形DD1E1E都是平行四边形，所以=，=，
所以+++=+++=+++=.
如图.
巩固训练　D　【解析】对于①，(+)+=+=；
对于②，(+)+=+=；
对于③，(+)+=+=；
对于④，(+)+=+=.
探究3　情境设置
问题1：平行；平行.
问题2：平行于同一个平面的向量，叫作共面向量.任意两个向量都共面.
新知生成
1.a=λb
2.平行　重合
例3　【解析】设=a，=b，=c，
则=+=+
=(+)+(+)
=++(++)
=+--+
=++=a+b+c，
=+=+=(+)+=a+b+c，
∴=3，又直线MC1与直线MO有公共点M，
∴C1，O，M三点共线.
巩固训练　【解析】设=a，=b，=c，
因为=2，=，
所以=，=，
所以==b，
=(-)=(+-)=a+b-c，
所以=-=a-b-c=.
又=++=-b-c+a=a-b-c，
所以=，又因为有公共点E，所以E，F，B三点共线.
随堂检测·精评价
1.A　【解析】由平行六面体的定义可知几何体各个面均为平行四边形，
∴||=||=||=||=||=||=||=||，
则与向量的模相等的向量有，，，，，，，共7个.
2.D　【解析】A中计算结果是一对相反向量；B中计算结果是一对相等向量；C中计算结果是一对相反向量；D中计算结果是一对相反向量，故D正确.
3.C　【解析】=++=-+.
4.【解析】∵G是△BCD的重心，BE是CD边上的中线，∴=.
又=，∴+-=+-=，如图所示.

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