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1.2.1 课时1 空间中的点、直线与空间向量
【学习目标】
1.了解空间中的点的位置向量、直线的方向向量.(数学抽象)
2.会用向量方法证明直线与直线平行.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.在空间中，如何用向量表示空间中的一个点
2.如果向量v为直线AB的一个方向向量，那么只借助向量v能否确定直线AB在空间中的位置
3.空间中给定一个点A和一个方向向量能确定唯一一条直线l吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)零向量能作为直线的方向向量. （ ）
(2)直线的方向向量是唯一的，即一条直线不可能存在两个不同的方向向量. （ ）
(3)若非零向量v1，v2满足v1∥l，v2∥l，则一定存在非零实数λ，使得v2=λv1.（ ）
(4)若向量a是直线l的一个方向向量，则向量ka也是直线l的一个方向向量. （ ）
2.若点A(1，2，3)，B(2，1，0)在直线l上，则直线l的一个方向向量是（ ）.
A.(1，-1，-3)
B.(-1，1，-3) C.(3，3，3)
D.(-3，0，1)
3.已知向量a=(2，4，5)，b=(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，且l1∥l2，则（ ）.
A.x=6，y=15
B.x=3，y=
C.x=3，y=15
D.x=6，y=
4.已知直线l过点A(3，2，1)，B(2，2，2)，且a=(2，0，x)是直线l的一个方向向量，则x=______.
【合作探究】
探究1空间中点的向量表示
信号塔，是中国移动、中国联通、中国电信等网络运营商所建立的一种无线信号发射装置，外形像塔，所以叫作信号塔.
问题1：如何用向量表示塔顶P的位置
问题2：在空间直角坐标系中如何确定点P的位置
点的向量表示：在空间中指定一点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.我们把向量称为点P的位置向量.
例1：在空间直角坐标系中，已知A(1，-2，1)，B(2，2，2)，点P在z轴上，且满足|PA|=|PB|.
(1)求点P的坐标；
(2)求点P的位置向量；
(3)求点B到原点的距离.
【方法总结】确定空间一点的位置向量的关键是指定一点，在空间直角坐标系中，一般把坐标原点当作指定的点.
已知△ABC在空间直角坐标系中的位置如图所示，则BC边上中点的位置向量是（ ）.
A.(2，1，1)
B.(2，1，0)
C.(1，2，0)
D.(1，0，2)
探究2空间中直线的向量表示
设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取=a，设P是直线l上任意一点.
问题：点P在直线l上的充要条件是什么
1.直线l的方向向量
一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，那么称v为直线l的一个方向向量.此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l.
2.空间中直线的方向向量的性质
(1)如果A，B是直线l上两个不同的点，那么v=就是直线l的一个方向向量.
(2)如果v是直线l的一个方向向量，那么对任意的实数λ≠0，空间向量λv也是直线l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量都平行.
(3)如果v为直线l的一个方向向量，A为直线l上一个已知的点，那么对于直线l上任意一点B，向量一定与非零向量v平行，从而可知存在唯一的实数λ，使得=λv，这就是说，空间中直线l的位置可由v和点A唯一确定.
(4)如果v1是直线l1的一个方向向量，v2是直线l2的一个方向向量，那么v1∥v2 l1∥l2或l1与l2重合.
例2：已知O是坐标原点，A，B，C三点的坐标分别为A(3，4，0)，B(2，5，5)，C(0，3，5).
(1)若=(-)，求点P的坐标；
(2)若P是线段AB上的一点，且AP∶PB=1∶2，求点P的坐标.
【方法总结】可利用共线向量基本定理来求解直线的方向向量或直线上的点的坐标.
已知直线l的一个方向向量为m=(2，-1，3)，且直线l过A(0，a，3)，B(-1，2，b)两点，则a+b=（ ）.
A.0
B.1
C.
D.3
【随堂检测】
1.(多选题)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1上不与点C1，C重合的任意一点，则能作为直线AA1的方向向量的是（ ）.
A.
B.
C.
D.
2.已知两条不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1=(1，0，-1)，v2=(-2，0，2)，则l1与l2的位置关系是（ ）.
A.平行
B.相交
C.垂直
D.不确定
3.已知a=(1，2，-y)，b=(x，1，2)，且(a+2b)∥(2a-b)，则（ ）.
A.x=，y=1
B.x=，y=-4
C.x=2，y=-
D.x=1，y=-1
4.若直线a与b的方向向量分别为m=(2x，1，3)，n=(1，-2y，9)，且a与b平行，求实数x+y的值.
参考答案
1.2.1 课时1 空间中的点、直线与空间向量
自主预习·悟新知
预学忆思
1.在空间中，我们指定一点O，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.
2.不能，但是向量v可以描述所有与直线AB平行或重合的直线.
3.能.
自学检测
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2.A　【解析】=(2，1，0)-(1，2，3)=(1，-1，-3).故选A.
3.D　【解析】因为l1∥l2，所以a∥b，则 = = ，得x=6，y=.故选D.
4.-2　【解析】∵直线l过点A(3，2，1)，B(2，2，2)，∴=(-1，0，1).
又a=(2，0，x)是直线l的一个方向向量，∴∥a，∴x=-2.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：在空间中指定一点O作为基点，空间中的任意一点P就可以用向量来表示.
问题2：点P的位置用(x，y，z)表示.
新知运用
例1　【解析】(1)依题意设P(0，0，z)，
则有=，解得z=3，
所以点P的坐标为(0，0，3).
(2)因为坐标原点O是空间指定的点，所以点P的位置向量是=(0，0，3).
(3)因为||==2，所以点B到原点的距离是2.
巩固训练　B　【解析】由题意可知A(0，0，1)，B(4，0，0)，C(0，2，0)，所以BC边的中点坐标为D(2，1，0)，所以BC边的中点的位置向量为=(2，1，0).
探究2　情境设置
问题：充要条件是存在实数t，使得=ta，即=t.
新知运用
例2　【解析】(1)∵=(-1，1，5)，=(-3，-1，5)，
∴=(-)=(2，2，0)=(1，1，0)，
故点P的坐标为(1，1，0).
(2)由P是线段AB上的一点，且AP∶PB=1∶2，知=.
设点P的坐标为(x，y，z)，
则=(x-3，y-4，z)，=(2-x，5-y，5-z)，
故(x-3，y-4，z)=(2-x，5-y，5-z)，
即解得
因此点P的坐标为.
巩固训练　D　【解析】∵A(0，a，3)，B(-1，2，b)，
∴=(-1，2-a，b-3).
∵直线l的一个方向向量为m=(2，-1，3)，∴设=λm，
∴(-1，2-a，b-3)=λ(2，-1，3)，即λ=-，a=b=，∴a+b=3.
随堂检测·精评价
1.ABD　【解析】由定义知，一个向量对应的有向线段所在的直线与直线AA1 平行或重合，则这个向量就称为直线AA1 的一个方向向量.A，B，D均满足题意.
2.A　【解析】因为v2=-2v1，所以v1∥v2，即l1∥l2.
3.B　【解析】由题意得a+2b=λ(2a-b)，可得x=，y=-4.
4.【解析】因为a与b的方向向量分别是m，n，且a∥b，所以m∥n，所以==，解得x=，y=-，所以x+y=-.1.2.1 课时2 空间中两条直线所成的角、异面直线与空间向量
【学习目标】
1.理解空间中两条直线所成的角.(逻辑推理、直观想象)
2.会用向量证明两条直线垂直，求两条直线所成的角.(逻辑推理、数学运算)
3.掌握异面直线与空间向量的关系.(逻辑推理、数学抽象)
【自主预习】
1.异面直线所成的角是怎样定义的
2.异面直线所成角的范围是什么
3.在解决空间中直线与直线所成角的问题时，有哪些方法
4.空间中任意两条异面直线的公垂线段有几条
5.设v1，v2分别是空间中直线l1与l2的方向向量，“v1与v2不平行”是“l1与l2异面”的什么条件
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是相交或异面. （ ）
(2)若两条直线既不平行又不相交，则这两条直线是异面直线. （ ）
(3)当两直线的方向向量的夹角为钝角时，该角就是两异面直线所成的角. （ ）
(4)空间中任意两条异面直线都存在公垂线段并且公垂线段唯一. （ ）
2.若直线l1，l2的一个方向向量分别为a=(1，2，-2)，b=(-2，3，2)，则（ ）.
A.l1∥l2
B.l1⊥l2
C.l1，l2相交但不垂直
D.以上均不对
3.已知直线l1与l2不重合，直线l1的一个方向向量为v1=(-1，1，2)，直线l2的一个方向向量为v2=(-2，0，-1)，则直线l1与l2的位置关系为______.
4.已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为______.
【合作探究】
探究1空间中两条直线所成的角
在预习本节课时，小明说，在空间中两条直线的位置关系有三种，相交、平行、异面.
问题1：你能说出相交、平行、异面直线所成角的取值范围吗
问题2：两向量的夹角的取值范围是什么
问题3：两向量v1，v2垂直时满足什么条件
1.空间中两条直线所成的角
设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ，则θ=或θ=π-.
特别地，sin θ=sin或cos θ=|cos|.
2.空间两直线垂直
l1⊥l2 = v1·v2=0.
例1：如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是B1C1，C1D1的中点，且AA1=2，AB=AD=1.
(1)求证：EF⊥A1C.
(2)求直线A1C1与DF所成角的余弦值.
【方法总结】用向量法求两条直线所成的角的方法
(1)确定空间两条直线的方向向量.
(2)求两个向量夹角的余弦值.
(3)确定线线角与向量夹角的关系：当向量夹角为锐角时，即为两直线的夹角；当向量夹角为钝角时，两直线的夹角为向量夹角的补角.
(改编)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1=2，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H=，则直线AC与A1B1所成角的余弦值为______.
探究2异面直线与空间向量
小明作出两条异面直线l1，l2及其方向向量v1，v2，如图所示.
问题1：如果l1与l2异面，那么v1与v2可能平行吗 “v1与v2不平行”是“l1与l2异面”的什么条件
问题2：“A∈l1，B∈l2，v1，v2，不共面”是“l1与l2异面”的什么条件
1.两直线异面的充要条件
如果A∈l1，B∈l2，那么当l1与l2异面时，可知v1，v2，是不共面的；反之，如果v1，v2，不共面，那么l1与l2是异面的.也就是说，此时“v1，v2，不共面”是“l1与l2异面”的充要条件.
2.异面直线的公垂线段
一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，M∈l1，N∈l2，MN⊥l1，MN⊥l2，那么称MN为l1与l2的公垂线段，空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一.
两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离.
例2：如图，已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，AD=，点M，N在线段PB，DC上(不为端点)，且满足=λ，=λ，其中λ>0.是否存在λ，使MN是PB，DC的公垂线段 请说明理由.
【方法总结】有关异面直线垂直的存在性问题，可先假设成立，然后根据垂直关系得到向量的数量积为零，由此判断假设是否成立.
如图，在三棱锥S-ABC中，底面是边长为2的正三角形，点S在底面ABC上的投影O恰是BC的中点，侧棱SA和底面成45°角.若D为侧棱SA上一点，当为何值时，BD⊥AC
【随堂检测】
1.设直线l1的方向向量为a=(2，1，-2)，直线l2的方向向量为b=(2，2，m)，若l1⊥l2，则m=（ ）.
A.1
B.-2
C.-3
D.3
2.若直线l1，l2的方向向量分别是a=(0，-2，-1)，b=(2，0，4)，则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于（ ）.
A.-
B.
C.-
D.
3.(原创)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线NO和AM的位置关系是（ ）.
A.平行
B.相交
C.异面垂直
D.异面不垂直
4.如图，已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2，AB=4.求直线AQ与PB所成角的余弦值.
参考答案
1.2.1 课时2 空间中两条直线所成的角、异面直线与空间向量
自主预习·悟新知
预学忆思
1.一般地，如果a，b是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与a，b平行或重合的直线a'，b'，则a'与b'所成角的大小，称为异面直线a与b所成角的大小.
2.两异面直线所成角的范围为.
3.在解决空间中直线与直线所成角的问题时，既可以构造相应的角求解，也可以借助空间向量建立空间直角坐标系或选择合适的基底解决问题.
4.空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一.
5.必要不充分条件.
自学检测
1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2.B　【解析】∵a·b=-2+6-4=0，∴a⊥b，∴l1⊥l2，故选B.
3.垂直　【解析】∵v1·v2=(-1)×(-2)+1×0+2×(-1)=0，∴v1⊥v2，∴l1⊥l2.
4.【解析】以C1为坐标原点，C1A1，C1B1，C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设BC=CA=CC1=2，则A(2，0，2)，N(1，0，0)，M(1，1，0)，B(0，2，2)，
∴=(-1，0，-2)，=(1，-1，-2)，||==，
||==，
∴cos<，>====.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：两条相交直线所成的角与两条异面直线所成的角的取值范围都是(0°，90°]，两条平行直线所成的角为0°.
问题2：[0°，180°].
问题3：v1⊥v2 v1·v2=0.
新知运用
例1　【解析】以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0，0，0)，A(1，0，0)，D1(0，0，2)，C(0，1，0)，A1(1，0，2)，F，E，C1(0，1，2).
(1)因为=，=(-1，1，-2)，
又·=0，所以EF⊥A1C.
(2)因为=(-1，1，0)，=，所以cos<，>==，
所以直线A1C1与DF所成角的余弦值为.
巩固训练　　【解析】如图所示，以B为坐标原点，建立空间直角坐标系，
依题意得A(2，0，0)，B(0，0，0)，A1(2，2，0)，B1(0，2，0)，
因为H是正方形AA1B1B的中心，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H=，所以C1(，，)，
由==(0，2，0)，可得C(，-，)，
所以=(-，-，)，=(-2，0，0)，
所以cos<，>===.
故直线AC与A1B1所成角的余弦值为.
探究2　情境设置
问题1：不平行，“v1与v2不平行”是“l1与l2异面”的必要不充分条件.
问题2：充要条件.
新知运用
例2　【解析】不存在.
理由如下：以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则P(0，0，1)，B(1，0，0)，D(0，，0)，C(1，，0).
假设存在λ(λ>0)满足条件，因为=λ，=λ，
所以M，N，所以=.
又=(1，0，-1)，=(1，0，0)，当MN是PB，DC的公垂线段时，·=0，·=0，
所以所以λ无解，即假设不成立，所以不存在满足条件的λ.
巩固训练　【解析】由题意可知SO⊥底面ABC，且OA⊥BC，
故以O为原点，OC，OA，OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
因为△ABC是边长为2的正三角形，
又SA与底面所成的角为45°，所以∠SAO=45°，所以SO=AO=3，
所以O(0，0，0)，C(，0，0)，A(0，3，0)，S(0，0，3)，B(-，0，0).
设AD=a，则D，所以=，=(，-3，0).
若BD⊥AC，则·=3-3=0，解得a=2.
又AS=3，所以SD=，所以==.故当=时，BD⊥AC.
随堂检测·精评价
1.D　【解析】因为l1⊥l2，所以a·b=2×2+1×2+(-2)×m=0，解得m=3.
2.B　【解析】∵|a|=，|b|=2，a·b=(0，-2，-1)·(2，0，4)=-4，
又异面直线夹角的范围是，
∴异面直线l1与l2的夹角的余弦值为|cos|==.故选B.
3.C　【解析】易知直线NO与AM异面.以D为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，
设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，M(0，0，1)，O(1，1，0)，N(2，1，2)，∴=(-1，0，-2)，=(-2，0，1)，又·=0，∴直线NO，AM的位置关系是异面垂直.
4.【解析】由题设知，四边形ABCD是正方形，连接AC，BD，交点为O，所以AC⊥BD，连接PQ，则PQ过点O.
由正四棱锥的性质知PQ⊥平面ABCD，故以O为坐标原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则P(0，0，1)，A(2，0，0)，Q(0，0，-2)，B(0，2，0)，
所以=(-2，0，-2)，=(0，2，-1).
于是cos<，>==，
所以直线AQ与PB所成角的余弦值为.

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