资源简介

1.2.3 直线与平面的夹角 & 1.2.4 二面角
【学习目标】
1.理解异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角.(直观想象、逻辑推理)
2.能够用向量法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角.(逻辑推理、数学运算)
3.理解空间两个向量所成的角与空间角的区别与联系.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.直线与平面所成的角是如何定义的
2.一条直线垂直于平面，它们所成的角是什么 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是什么 直线与平面所成角的取值范围是什么
3.一平面的斜线在平面内的射影是一条线段还是一条直线 它是唯一的吗
4.直线l的方向向量s与平面的法向量n的夹角一定是直线和平面的夹角吗
5.二面角是如何定义的
6.二面角的平面角的取值范围是什么
7.二面角α-l-β的平面角与平面α，β所成的角有何关系
8.二面角α-l-β的平面角与平面α，β的法向量的夹角有何关系
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若二面角α-l-β的两个半平面的一个法向量分别为n1，n2，则二面角的平面角与两个法向量的夹角一定相等. （ ）
(2)若向量n1，n2分别为二面角的两个半平面的法向量，则二面角的平面角的余弦值为cos=. （ ）
(3)直线与平面所成角的范围为. （ ）
(4)设直线和平面所成的角为θ，且直线的方向向量为n1，平面的一个法向量为n2，则sin θ=. （ ）
2.已知向量m，n分别是平面α和平面β的法向量，若cos=-，则α与β的夹角为（ ）.
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
3.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于（ ）.
A.120°
B.60°
C.30°
D.以上均错
4.已知二面角α-l-β，其中平面α的一个法向量为m=(1，0，-1)，平面β的一个法向量为n=(0，-1，1)，则二面角α-l-β的大小可能为______.
5.如图，已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1，E，F，G分别为AB，CD1，AD的中点，则异面直线A1G与EF所成角的余弦值为______.
【合作探究】
探究1两异面直线的夹角
已知一个正方体的平面展开图如图所示.
将该展开图还原成正方体，回答下列问题.
问题1：MN与EF是异面直线吗 若是，则求出它们的夹角；若不是，请说明理由.
问题2：根据立体几何知识，我们怎样求两条异面直线a，b的夹角 异面直线所成的角的取值范围是什么
问题3：设直线a，b的夹角为θ，方向向量分别为a，b，那么夹角θ与方向向量的夹角之间的关系是怎样的 对应的余弦值表达式是什么
若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ=|cos|=.
例1：如图，在三棱柱OAB-O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB=60°，∠AOB=90°，且OB=OO1=2，OA=，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值.
【方法总结】(1)用几何法求异面直线的夹角时，需要通过作平行线将异面直线的夹角转化为平面角，再利用解三角形来求解，过程相当复杂；用向量法求异面直线的夹角，可以避免复杂的几何作图和论证过程，只需对相应向量进行运算即可.
(2)由于两异面直线的夹角θ的取值范围是，而两向量的夹角α的取值范围是[0，π]，故应有cos θ=|cos α|，求解时要特别注意.
如图，已知圆锥CO的截面△ABC是正三角形，AB是底面圆O的直径，点D在上，且∠AOD=2∠BOD，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为（ ）.
A.
B.
C.
D.
探究2直线与平面的夹角
3D立体打印技术出现在20世纪90年代中期，它与普通打印的工作原理基本相同.打印机内装有液体或粉末等“打印材料”，与电脑连接后，通过电脑控制把“打印材料”一层层叠加起来，最终把计算机上的蓝图变成实物，这一打印技术称为3D立体打印技术.如图，这是一个通过3D打印得到的圆柱体.
问题1：将它抽象成如图所示的圆柱体，设AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，且AB=BC=2，∠CBD=45°，如何求直线BD与平面ACD所成角的大小
问题2：用向量法如何求直线BD与平面ACD所成的角的大小
问题3：直线和平面所成的角θ与直线的方向向量u和平面的法向量n的夹角有什么关系
1.直线与平面的夹角
(1)直线与平面垂直：直线与平面的夹角为90°.
(2)直线与平面平行或在平面内：直线与平面的夹角为0°.
(3)斜线与平面所成的角：平面的斜线与它在平面内的射影所成的锐角，叫作这条斜线与平面所成的角(或这条斜线与平面的夹角).
2.用空间向量求直线与平面的夹角
(1)定义：设直线l的一个方向向量为u，平面α的一个法向量为n，直线l与平面α所成的角的大小为θ，u与n所成的角为φ，则有sin θ=______.
(2)范围：.
例2：如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN，M，S分别为PB，BC的中点.
(1)证明：CM⊥SN.
(2)求SN与平面CMN所成角的大小.
【方法总结】用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，则直线AD与平面ACD1所成角的余弦值为（ ）.
A.
B.
C.
D.
探究3平面与平面的夹角
卫星飞行的水平速度叫作第一宇宙速度，即环绕速度.卫星只要获得这一水平方向的速度后，不需要再加动力就可以环绕地球飞行.这时卫星的飞行轨迹叫作卫星轨道.现有一个标注卫星轨道参数的卫星轨道图，卫星轨道参数是用来描述在太空中卫星运行的位置、形状和取向的各种参数.
根据图形回答下列问题.
问题1：设卫星轨道面与赤道面分别为α，β，其法向量分别是n1，n2，平面α与平面β所成的夹角为θ，则角θ与向量n1，n2的夹角之间有什么关系 它们的余弦值满足什么等式
问题2：求二面角的方法有哪些
1.二面角的概念
(1)半平面：平面内的一条直线把平面分为两部分，______都叫作一个半平面.
(2)二面角：从一条直线出发的______所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的______，______叫作二面角的面.棱为l、两个半平面分别为α，β的二面角，记作______，二面角的范围为______.
(3)二面角的平面角：在二面角α-l-β的棱l上______，以O为垂足，分别在两半平面内作射线OA⊥l，OB⊥l，则______叫作二面角α-l-β的平面角.
2.用空间向量求二面角的大小
定义：若n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，设α1与α2所成角的大小为θ，则θ=______或θ=______，sin θ=______.
条件 平面α1，α2的一个法向量分别为n1，n2，α1，α2所构成的二面角的大小为θ，=φ
图形
关系 θ=φ θ=π-φ
计算 cos θ=cos φ cos θ=-cos φ
例3：在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，E是PD的中点，求平面EAC与平面ABCD的夹角.
【方法总结】利用向量方法求平面间夹角的大小时，多采用法向量法，具体求解步骤如下：
(1)建立空间直角坐标系；
(2)分别求出两个平面的法向量n1和n2；
(3)设平面间的夹角为θ，则cos θ=|cos|；
(4)利用余弦值，确定平面间的夹角的大小.
如图，该几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点.
(1)设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；
(2)当AB=3，AD=2时，求二面角E-AG-C的大小.
【随堂检测】
1.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（ ）.
A.
B.
C.
D.
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的正弦值为（ ）.
A.
B.
C.
D.
3.(改编)布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三块这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，再将这个组合转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长均为1，则异面直线CQ与BD所成角的余弦值为______；直线CQ与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为______.
4.如图，在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱AB的中点，求二面角B1-CM-B的正切值.
参考答案
1.2.3 直线与平面的夹角 & 1.2.4 二面角
自主预习·悟新知
预学忆思
1.平面外的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角.
2.直角；0°的角； 0°≤θ≤90°.
3.是一条直线，斜线在平面内的射影是唯一的.
4.一定不是.直线和平面的夹角为.
5.平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角.
6.[0，π].
7.相等或互补.
8.相等或互补.
自学检测
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2.B　【解析】设α与β所成的角为θ，且0°≤θ≤90°，则cos θ=|cos|=，∴θ=60°.
3.C　【解析】设直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ=|cos 120°|=，又∵0≤θ≤90°，∴θ=30°.
4.60°或120°　【解析】∵cos===-，∴=120°，
∴二面角α-l-β的大小为60°或120°.
5.0　【解析】如图，以DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则A1(2，0，2)，G(1，0，0)，E(2，1，0)，F(0，1，1)，所以=(-1，0，-2)，=(-2，0，1).
设异面直线A1G与EF所成的角为θ，则cos θ===0.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：将展开图折成正方体，如图所示，EF与MN是异面直线，它们的夹角为60°.
问题2：经过空间任一点O分别作直线a'∥a，b'∥b，则把a'与b'所成的角叫作异面直线a与b所成的角(或夹角).取值范围是(0°，90°].
问题3：当0°≤≤90°时，θ=；当90°<≤180°时，θ=180°-.余弦值表达式为cos θ=|cos|.
新知运用
例1　【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则O(0，0，0)，O1(0，1，)，A(，0，0)，A1(，1，)，B(0，2，0)，
∴=(-，1，-)，=(，-1，-).
∴|cos<，>|==
=.
∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.
巩固训练　A　【解析】因为∠AOD=2∠BOD，且∠AOD+∠BOD=π，
所以∠BOD=.
连接CO，则CO⊥平面ABD，以O为坐标原点，过点O作平面ABC的垂线，该垂线为x轴，OB，OC所在直线分别为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设圆O的半径为2，则A(0，-2，0)，B(0，2，0)，C(0，0，2)，D(，1，0)，
=(，3，0)，=(0，-2，2)，
设异面直线AD与BC所成的角为θ，
则cos θ=|cos<，>|===，
因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值为.
探究2　情境设置
问题1：取AC的中点E，连接BE，DE，如图.
根据空间垂直的判定和性质可知∠BDE即为BD与平面ACD所成的角，然后解三角形可得BD与平面ACD所成的角为30°.
问题2：可以以B为原点建立空间直角坐标系，求出平面ACD的法向量n，向量u=，然后代入公式sin θ=|cos|=求解.
问题3：直线的方向向量和平面的法向量所夹的锐角α与直线和平面所成的角θ互余，即θ=-α.因此sin θ=cos α=.
新知生成
2.(1)|cos φ|=
新知运用
例2　【解析】设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x轴、y轴、z轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则P(0，0，1)，C(0，1，0)，B(2，0，0)，
又AN=AB，M，S分别为PB，BC的中点，∴N，M，S，
(1)由题意得，=，=，
故·=·=0，∴CM⊥SN.
(2)由题意得=，设平面CMN的一个法向量为a=(x，y，z)，∵·a=0，·a=0，∴∴取y=1，得a=(2，1，-2).
∵cos===-，∴=.
∴SN与平面CMN所成的角为-=.
巩固训练　C　【解析】以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(1，0，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，D1(0，0，1)，=(-1，0，0)，=(-1，2，0)，=(-1，0，1).
设平面ACD1的法向量为n=(x，y，z)，
则令y=1，得x=2，z=2，∴n=(2，1，2)，
∴|cos<，n>|===，
∴直线AD与平面ACD1所成角的余弦值为=.
探究3　情境设置
问题1：=θ或=180°-θ.cos θ=|cos|.
问题2：(1)几何法，找二面角，证明，解三角形得结论；
(2)利用向量法，求两个平面的法向量.
新知生成
1.(1)其中的每一部分
(2)两个半平面　棱　这两个半平面　α-l-β　[0，π]
(3)任取一点O　∠AOB
2.　π-　sin
新知运用
例3　【解析】(法一)如图，以A为原点，AC，AB，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
设PA=AB=a，AC=b，连接BD与AC交于点O，取AD的中点F，
则C(b，0，0)，B(0，a，0)，=，∴D(b，-a，0)，P(0，0，a).
∵E，O，∴=，=(b，0，0).
∵·=0，∴⊥.
∵==，∴·=0，∴⊥，
∴cos∠EOF=|cos<，>|===，
∴平面EAC与平面ABCD的夹角为45°.
(法二)建系如法一.
∵PA⊥平面ABCD，
∴=(0，0，a)为平面ABCD的一个法向量.
=，=(b，0，0).
设平面AEC的一个法向量为m=(x，y，z)，
由得
∴取y=1，则m=(0，1，1)，
∴cos===.
故平面AEC与平面ABCD的夹角为45°.
巩固训练　【解析】(1)因为AP⊥BE，AB⊥BE，AB，AP 平面ABP，AB∩AP=A，所以BE⊥平面ABP.
又BP 平面ABP，所以BE⊥BP.
又∠EBC=120°，所以∠CBP=30°.
(2)以B为坐标原点，BE，BP，BA所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.
由题意得A(0，0，3)，E(2，0，0)，G(1，，3)，C(-1，，0)，
故=(2，0，-3)，=(1，，0)，=(2，0，3).
设平面EAG的一个法向量为m=(x1，y1，z1)，由
可得取z1=2，可得m=(3，-，2).
设平面AGC的一个法向量为n=(x2，y2，z2)，
由可得
取z2=-2，可得n=(3，-，-2).
所以cos===.
故二面角E-AG-C的大小为60°.
随堂检测·精评价
1.D　【解析】以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)，设AB=1.
则B(1，1，0)，A1(1，0，2)，A(1，0，0)，D1(0，0，2)，∴=(0，1，-2)，=(-1，0，2)，故cos<，>===-，
∴异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为.
2.B　【解析】设正方体的棱长为1，依题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，B1(1，1，1)，
∴=(-1，0，1)，=(-1，1，0).
设平面ACD1的一个法向量为n=(x，y，z)，
∴令x=1，可得n=(1，1，1)，
又∵=(0，0，1)，
∴BB1与平面ACD1所成角的正弦值为==.
3.　　【解析】如图，以A1为坐标原点，A1F，A1B1，A1H所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则B(0，1，-1)，D(-1，0，-1)，Q(0，-1，1)，C(-1，1，-1)，=(1，-2，2)，=(-1，-1，0)，
所以cos <，>==，即异面直线CQ与BD所成角的余弦值为.
平面A1B1C1D1的一个法向量为n=(0，0，1)，
设直线CQ与平面A1B1C1D1所成的角为θ，则sin θ===，
故直线CQ与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为.
4.【解析】以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则B(2，2，0)，B1(2，2，2)，C(0，2，0)，M(2，1，0)，=(2，-1，0)，=(2，0，2).设平面CMB1的一个法向量为m=(x，y，z)，
则取x=1，得m=(1，2，-1).
平面CBM的一个法向量为n=(0，0，1)，设二面角B1-CM-B的平面角为θ，
则cos θ===，∴sin θ==，
∴tan θ=，∴二面角B1-CM-B的正切值为.

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