资源简介

1.2.5 空间中的距离
【学习目标】
1.掌握点到直线的距离公式、点到平面的距离公式.(直观想象、数学运算)
2.能够用向量法解决空间中的距离问题.(逻辑推理、数学运算)
3.体会空间向量解决几何问题的步骤.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.空间直角坐标系中两点间的距离公式是什么
2.在空间中怎样求两点之间的距离
3.如何求直线与平面间的距离
4.如何求平面与平面间的距离
5.求点到平面的距离的常用方法有哪些
6.如何用向量法求点到直线的距离
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)点A到平面α的距离是点A与平面α上所有点连线的最小值. （ ）
(2)若直线l∥平面α，则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离.（ ）
(3)若平面α∥平面β，则两平面α，β间的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离. （ ）
(4)若A是平面α内一点，则点A到平面α的距离为0. （ ）
2.设A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|等于（ ）.
A.
B.
C.
D.
3.已知直线l的方向向量为m=(1，，-1)，若P(-1，1，-1)为直线l外一点，A(4，1，-2)为直线l上一点，则点P到直线l的距离为______.
4.如图，在底面是直角梯形的四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC=90°，PA=AB=BC=2，AD=1，则AD到平面PBC的距离为______.
【合作探究】
探究1点到直线的距离
如图，在空间中任取一点O，作=a，=b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，回答下列问题.
问题1：向量a在向量b上的投影向量是什么
问题2：向量a在向量b上的投影是什么
问题3：在上图中，怎样求线段MM1的长度 长度的表达式是什么
点到直线的距离
已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点.如图，设=a，则在直线l上的投影为.
点P到直线l的距离PQ==.
例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1C，D1A1的中点，求点A到直线EF的距离.
【方法总结】向量法求点到直线的距离的步骤
(1)依据图形求出直线的单位方向向量s.
(2)在直线上任取一点M(可选择便于计算的点)，计算点M与直线外的点N的方向向量.
(3)垂线段的长度可利用直角三角形中的勾股定理计算，即d=.
如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若BB1=AB=2，求点C到直线AB1的距离.
探究2点到平面的距离
点到平面的距离是指空间内一点到平面内一点的最小长度.特殊地，当点在平面内时，该点到平面的距离为0.如图，平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，过点P作平面α的垂线l，交平面α于点Q，回答下列问题.
问题1：点P到平面α的距离是哪一个线段的长度
问题2：从向量投影的角度来看，点P到平面α的距离又是什么
问题3：根据向量投影的定义，你能得出点P到平面α的距离的表达式吗
设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离d=.
例2：如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1(底面为正三角形，侧棱垂直于底面)中，侧棱长AA1=2，底面边长AB=1，N是CC1的中点.
(1)求证：平面ANB1⊥平面AA1B1B.
(2)求点B1到平面ABN的距离.
【方法总结】用向量法求点到平面的距离的步骤
(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系.
(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标.
(3)求向量：求出相关向量的坐标(，平面α的法向量n).
(4)求距离：d=.
提醒：用向量法求线面距、面面距时一般要转化为点面距.
如图所示，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，求点A到平面A1BD的距离.
探究3线面距离
正方体是立体几何中最常见的几何体，立体几何中许多概念、定理都可以用正方体中的点、线、面的关系说明，因此正方体有“百宝箱”的美称，是考查立体几何知识的主要载体.如图，根据图形回答下列问题.
问题1：图中，CD1到平面A1BE的距离是CD1与A1B之间的距离吗
问题2：如何求CD1到平面A1BE的距离
求直线到平面的距离，先确定直线是否与平面平行，若相交，则距离是0；若平行，则将直线到平面的距离转化为直线上一点到平面的距离.
例3：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，点E，F分别在A1B，B1D1上，且A1E=A1B，B1F=B1D1.
(1)求证：EF∥平面ABC1D1.
(2)求EF与平面ABC1D1的距离.
【方法总结】求线面之间的距离的方法：先确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离转化为直线上一点到平面的距离.
已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD=1，E，F分别为AB，BC的中点.求：
(1)点D到平面PEF的距离；
(2)直线AC到平面PEF的距离.
【随堂检测】
1.已知△ABC的顶点A(1，-1，2)，B(5，-6，2)，C(1，3，-1)，则AC边上的高BD的长为（ ）.
A.3
B.4
C.5
D.6
2.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是（ ）.
A.
B.
C.
D.
3.已知直线AB∥平面α，平面α的一个法向量为n=(1，0，1)，平面α内一点C的坐标为(0，0，1)，直线AB上点A的坐标为(1，2，1)，则直线AB到平面α的距离为______.
4.已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2，E，F分别是AB，AD的中点，求点B到平面GEF的距离.
参考答案
1.2.5 空间中的距离
自主预习·悟新知
预学忆思
1.若点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|=.
2.利用向量法转化为求向量的模.
3.可转化为点到平面的距离求解.
4.可转化为点到平面的距离求解.
5.定义法、等积转化法、向量法.
6.如图，设l是过点P且平行于向量s的直线，A是直线l外一定点.
作AA'⊥l，垂足为A'，则点A到直线l的距离d等于线段AA'的长度，而向量在s上的投影的数量等于线段PA'的长度，所以根据勾股定理得点A到直线l的距离d=.
自学检测
1.(1)√　(2)√　(3)√　(4)√
2.C　【解析】∵点M的坐标为，
∴|CM|==.
3.　【解析】因为P(-1，1，-1)，A(4，1，-2)，
所以=(5，0，-1)，又m=(1，，-1)，
所以cos===，
所以sin=，又因为||=，
所以点P(-1，1，-1)到直线l的距离为||sin=×=.
4.　【解析】由已知得AB，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，
∴=(2，0，-2)，=(0，2，0).
设平面PBC的一个法向量为n=(a，b，c)，
则即
取a=1，则n=(1，0，1).
又=(2，0，0)，AD∥平面PBC，
∴所求距离为==.
合作探究·提素养
探究1　情境设置
问题1：.
问题2：=acos=a.
问题3：利用勾股定理，|MM1|==.
新知运用
例1　【解析】以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，如图.
设DA=2，则A(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，0，2)，
=(-1，2，-1)，=(1，0，-2)，
∴||==，||==.
∵·=1×(-1)+0×2+(-2)×(-1)=1，∴在上的投影的数量为=.
∴点A到直线EF的距离d===.
巩固训练　【解析】取AC的中点D，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，-1，0)，B1(，0，2)，C(0，1，0)，所以=(，1，2)，=(0，-2，0)，直线AB1的一个单位方向向量s=，
故点C到直线AB1的距离d===.
探究2　情境设置
问题1：PQ.
问题2：在直线l上的投影向量的长度.
问题3：||=.
新知运用
例2　【解析】(1)取AB的中点O，A1B1的中点M，连接OC，OM.
依据题意，以O为原点，OA，OM，OC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A，N，B1，∴=，=(-1，2，0).
设平面ANB1的一个法向量为n1=(x1，y1，z1)，
则
取y1=1，得平面ANB1的一个法向量为n1=(2，1，0)，
由题意可知平面AA1B1B的一个法向量为m=(0，0，1)，
又n1·m=0，∴平面ANB1⊥平面AA1B1B.
(2)由(1)知B，所以=(-1，0，0)，
设平面ABN的一个法向量为n2=(x2，y2，z2)，
则
取z2=2，得平面ABN的一个法向量为n2=(0，-，2)，
∴点B1到平面ABN的距离d===.
巩固训练　【解析】(法一)设点A到平面A1BD的距离为h，
则 =·a··a·a=a3，=·h··(a)2=a2h，
∵= ，∴h=a，∴点A到平面A1BD的距离为.
(法二)如图所示，以B1为原点，B1A1，B1C1，B1B所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则A1(a，0，0)，A(a，0，a)，D(a，a，a)，B(0，0，a)，
∴=(a，a，0)，=(0，a，a)，=(-a，0，0).
设平面A1BD的一个法向量为n=(x，y，z)，则
即∴ 令y=-1，则x=z=1，∴n=(1，-1，1)，
∴·n=(-a，0，0)·(1，-1，1)=-a，∴点A到平面A1BD的距离d===.
探究3　情境设置
问题1：不是.
问题2：先证明CD1∥A1B，由线面平行的判定定理得CD1∥平面A1BE，将线到平面的距离转化为点到平面的距离，即在直线CD1上任取一点，求这点到平面A1BE的距离即可.
新知运用
例3　【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，
易得B(0，0，0)，A(a，0，0)，C1(0，a，a)，E，F，
故=，=(a，0，0)，=(0，a，a).
设平面ABC1D1的一个法向量为n=(x，y，z).
则得
令z=1，得平面ABC1D1的一个法向量n=(0，-1，1).
∵·n=·(0，-1，1)=0，∴⊥n，
∵EF 平面ABC1D1，∴EF∥平面ABC1D1.
(2)由(1)得=，∴·n=·(0，-1，1)=a，∴d===a.
巩固训练　【解析】(1)以D为坐标原点，DA，DC，DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则P(0，0，1)，A(1，0，0)，E，F，=，=.
设平面PEF的一个法向量为n=(x，y，z)，则所以
令x=2，则y=2，z=3，所以平面PEF的一个法向量为n=(2，2，3)，
所以点D到平面PEF的距离d===.
(2)因为AC∥EF，所以直线AC到平面PEF的距离与点A到平面PEF的距离相等，又由(1)知=，所以点A到平面PEF的距离d===.
随堂检测·精评价
1.C　【解析】因为=(4，-5，0)，=(0，4，-3)，所以在上的投影的数量为==4.
又||=，所以AC边上的高BD的长为=5.
2.B　【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(0，0，0)，A(0，2，0)，E(0，1，2)，∴=(0，2，0)，=(0，1，2).
设与的夹角为θ，则cos θ===，
∴sin θ==，故点A到直线BE的距离d=||sin θ=2×=.
故选B.
3.　【解析】由于直线与平面平行，故直线AB到平面α的距离可转化为点A到平面α的距离，又=(1，2，0)，所以点A到平面α的距离d===.
4.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(0，4，0)，E(2，4，0)，F(4，2，0)，G(0，0，2)，所以=(2，-2，0)，=(2，4，-2)，=(2，0，0).
设平面EFG的一个法向量为n=(x，y，z)，则由n⊥，n⊥
得
令z=1，得平面EFG的一个法向量为n=.
所以点B到平面GEF的距离d===.

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