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课时分层作业(十八)　函数的奇偶性
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共104分
一、选择题
1．函数f ＝x的奇偶性是(　　)
A．奇函数
B．偶函数
C．既不是奇函数，也不是偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
2．已知f 是奇函数，且当x>0时，f ＝x－1，则当x<0时，f ＝(　　)
A．x＋1 　 B．x－1
C．－x－1 　 D．－x＋1
3．(教材P73复习题二B组T7改编)若函数f (x)＝为奇函数，则a＝(　　)
A． 　 B．
C． 　 D．1
4．(多选)已知定义在区间[－7，7]上的一个偶函数，它在[0，7]上的图象如图，则下列说法正确的有(　　)
A．这个函数有两个单调递增区间
B．这个函数有三个单调递减区间
C．这个函数在其定义域内有最大值7
D．这个函数在其定义域内有最小值－7
5．已知y＝f 是偶函数，则函数y＝f 的图象的对称轴方程是(　　)
A．x＝1 　 B．x＝－1
C．x＝ 　 D．x＝－
二、填空题
6．已知函数y＝f 为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f ＝0的所有实根之和是________．
7．已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，当x∈(0，＋∞)时，f (x)＝x3＋x2＋1，则f (－2)＝________．
8．已知y＝f (x)＋x2是奇函数，且f (1)＝1，若g(x)＝f (x)＋2，则g(－1)＝______．
三、解答题
9．判断下列函数的奇偶性．
(1)y＝；
(2)f ＝
10．(源自人教B版教材)已知函数f (x)满足f (5)(1)f (x)是偶函数；
(2)f (x)是奇函数．
11．已知g(x)是定义在R上的奇函数，f (x)＝g(x)＋x2，若f (a)＝2，f (－a)＝2a＋2，则a＝(　　)
A．2 　 B．－1
C．2或－1 　 D．2或1
12．设f (x)为偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，f (－2)＝0，则xf (x)<0的解集为(　　)
A．(－1，0)∪(2，＋∞)
B．(－∞，－2)∪(0，2)
C．(－2，0)∪(2，＋∞)
D．(－2，0)∪(0，2)
13．函数f (x)在R上为减函数，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x－2)≤1的x的取值范围是________．
14．已知函数f ＝ 为奇函数，则a＋b＝________．
15．已知f (x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意a，b∈R都满足f (a·b)＝af (b)＋bf (a)．
(1)求f (0)，f (1)的值；
(2)判断f (x)的奇偶性，并证明你的结论．
2 / 2课时分层作业(十八)
1．C　2．A
3．A　[因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，所以，所以1＋a＝3(1－a)，解得a＝，经验证a＝时，f(x)＝为奇函数，故a＝．]
4．BC　[
根据偶函数在[0，7]上的图象及其对称性，作出其在[－7，7]上的图象，如图所示．由图象可知这个函数有三个单调递增区间，有三个单调递减区间，在其定义域内有最大值7，最小值不是－7，故选BC．]
5．B　[y＝f的图象向左平移一个单位长度得到的，而y＝f的图象的对称轴为直线x＝0，所以y＝f(x＋1)的图象的对称轴为直线x＝－1．故选B．]
6．0　[由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在x轴的负半轴上，另外两个在x轴的正半轴上，所以四个实根的和为0．]
7．－13　[f(－2)＝－f(2)＝－(23＋22＋1)＝－13．]
8．－1　[因为y＝f(x)＋x2为奇函数，所以f(－x)＋x2＝－f(x)－x2，所以f(－x)＝－f(x)－2x2，
所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－f(1)－2＋2＝－f(1)＝－1．]
9．解：(1)∵函数的定义域为，不关于原点对称，
∴该函数不具有奇偶性．
(2)f的定义域为R，关于原点对称，当x>0时，－x<0，
f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；
当x<0时，－x>0，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；
当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)．
故该函数为奇函数．
10．解：(1)因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，
因此f(－5)＝f(5)，f(－3)＝f(3)，
从而由条件可知f(－5)(2)因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
因此f(－5)＝－f(5)，f(－3)＝－f(3)，
又由条件可知－f(5)>－f(3)，从而f(－5)>f(－3)．
11．C　[由题意知g(a)＋g(－a)＝0，
由
得2a2＝2a＋4，解得a＝2或a＝－1，故选C．]
12．C　[根据题意，偶函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(－2)＝0，
则函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，且f(－2)＝f(2)＝0，作出函数f(x)的大致图象如图所示，
又由xf(x)<0，
可得
由图可得－22，
即不等式的解集为(－2，0)∪(2，＋∞)．故选C．]
13．{x|1≤x≤3}　[∵f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．
∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1．
故由－1≤f(x－2)≤1，
得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．
又f(x)在R上为减函数，
∴－1≤x－2≤1，
∴1≤x≤3．]
14．0　[由函数f(x)为奇函数，得f＝0，
又f＝0，f＝a＋b，
所以a＋b＝0．]
15．解：(1)令a＝b＝0，
则f(0)＝0×f(0)＋0×f(0)＝0．
令a＝b＝1，则f(1)＝1×f(1)＋1×f(1)，
即f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0．
(2)f(x)是奇函数．
证明：令a＝b＝－1，
则由f(a·b)＝af(b)＋bf(a)，
得f(1)＝－f(－1)－f(－1)．
∵f(1)＝0，∴－2f(－1)＝0，∴f(－1)＝0．
令a＝－1，b＝x，则f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)．
∴f(－x)＝－f(x)．
又∵f(x)的定义域关于原点对称，∴f(x)为奇函数．
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