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课时分层作业(十九)　简单幂函数的图象和性质
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共104分
一、选择题
1．函数y＝的图象大致是(　　)
A　　　　　　　B
C　　　　　　　D
2．已知幂函数f (x)＝xα(α为常数)的图象经过点(2，4)，则f (9)＝(　　)
A．49 　 B．
C．81 　 D．
3．函数y＝－1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
4．当x∈(1，＋∞)时，下列函数中的图象全在直线y＝x下方的增函数是(　　)
A．y＝ 　 B．y＝x2
C．y＝x3 　 D．y＝x-1
5．已知幂函数f (n∈Z)在(0，＋∞)上单调递减，则n的值为(　　)
A．－3 　 B．1
C．2 　 D．1或－3
二、填空题
6．已知幂函数f ＝(m∈Z)的图象与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f 的解析式是________．
7．已知幂函数f (x)＝是偶函数，且在(0，＋∞)上是单调递增的，则函数的解析式为________．
8．已知函数f (x)＝若关于x的方程f (x)＝k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是________．
三、解答题
9．(源自人教B版教材)比较下列各题中两个值的大小：
(1)2.31.1和2.51.1；
和．
10．已知幂函数f (x)＝(k2－k－1)xk(k∈R)，且在区间(0，＋∞)上函数图象是上升的．
(1)求实数k的值；
(2)若存在实数a，b，使得函数f (x)在区间[a，b]上的值域为[a，b]，求实数a，b的值．
11．(多选)已知幂函数f (x)＝，下列关于f (x)的结论正确的是(　　)
A．m，n是奇数时，f (x)是奇函数
B．m是偶数，n是奇数时，f (x)是偶函数
C．m是奇数，n是偶数时，f (x)是偶函数
D．0<<1时，f (x)在(0，＋∞)上单调递减
12．已知幂函数f (x)＝，且0A．f (a2)B．f C．f (a2)D．f 13．已知函数f (x)＝若f (x)在R上具有单调性，则a的取值范围是________．
14．对于幂函数f ，若015．定义函数f (x)＝min{x2，x-1}，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(1)试作出函数f (x)的图象，并求函数f (x)的解析式；
(2)写出f (x)的值域．
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1．B　[函数y＝的定义域为R，且此函数在定义域上是增函数，排除AC．另外，因为>1，在第一象限图象下凸．故选B．]
2．C　[由题意f(2)＝2α＝4，
所以α＝2，所以f(x)＝x2，所以f(9)＝92＝81．]
3．B　[y＝－1的定义域为[0，＋∞)且为增函数，所以函数图象是上升的，所以y＝－1关于x轴对称的图象是下降的，故选B．]
4．A　[对任意的x∈(1，＋∞)，都有x－－1)>0，x－x-1＝x-1(x2－1)>0，x－x2＝x(1－x)<0，x－x3＝x(1＋x)(1－x)<0，故当x∈(1，＋∞)时，函数的图象全在直线y＝x下方的函数有y＝和y＝x-1，而函数y＝是增函数，函数y＝x-1是减函数，所以选A．]
5．B　[由于f为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，当n＝－3时，f(x)＝x18在(0，＋∞)上单调递增，不合题意，故选B．]
6．f＝x-1　[∵函数f(x)的图象与x轴，y轴都无交点，
∴m2－1<0，解得－1∵图象关于原点对称，
又m∈Z，
∴m＝0，∴f＝x-1．]
7．f(x)＝x2　[∵f(x)是幂函数，
∴t3－t＋1＝1，
解得t＝－1或t＝0或t＝1．
当t＝0时，f(x)＝既不是奇函数，也不是偶函数，不满足题意；
当t＝1时，f(x)＝x-2是偶函数，但在(0，＋∞)上是单调递减的，不满足题意；
当t＝－1时，f(x)＝x2，满足题意．
综上所述，实数t的值为－1，
所求解析式为f(x)＝x2．]
8．(0，1)　[作出函数图象如图所示，则当0]
9．解：(1)考察幂函数y＝x1.1，因为其在区间[0，＋∞)上是增函数，而且2.3<2.5，所以2.31.1<2.51.1．
(2)考察幂函数y＝，因为其在区间(0，＋∞)上是减函数，而且a2＋2≥2，所以(a2＋2．
10．解：(1)∵幂函数f(x)＝(k2－k－1)xk(k∈R)，
∴k2－k－1＝1，解得k＝－1或k＝2．
又f(x)在区间(0，＋∞)上函数图象是上升的，
∴k>0，即k＝2．
(2)由题知存在实数a，b，使得函数f(x)在区间[a，b]上的值域为[a，b]，又f(x)＝x2在(0，＋∞)上单调递增，
∴
又a11．AB　[f(x)＝，当m，n是奇数时，f(x)是奇函数，故A中的结论正确；当m是偶数，n是奇数时，f(x)是偶函数，故B中的结论正确；当m是奇数，n是偶数时，f(x)在x<0时，无意义，故C中的结论错误；当0<<1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，故D中的结论错误．故选AB．]
12．C　[f (x)在(0，＋∞)上单调递增，
因为0>1>b2>a2>0，
所以f >f >f (b2)>f (a2)．故选C．]
13．[－2，0]　[因为y＝x3在定义域上为增函数，所以f(x)在R上为增函数，
又因为y＝－x2＋2a在(－∞，0]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减，
所以要使f(x)在R上为增函数，则
解得－2≤a≤0．
故a的取值范围是[－2，0]．]
14．f　[幂函数f在(0，＋∞)上单调递增，大致图象如图所示．
设A，C，其中0∴f．]
15．解：(1)在同一坐标系中作出函数y＝x2(x≠0)与y＝x-1(x≠0)的图象(如图)．
令x2＝x-1，解得x＝1，所以函数f(x)的图象如图所示：
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝
(2)由(1)图可知f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，1]．
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