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课时分层作业(二十三)　指数函数及其性质的应用
说明：单项选择题每题5分，填空题每题5分，本试卷共103分
一、选择题
1．函数y＝ax在[0，1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y＝2ax－1在[0，1]上的最大值是(　　)
A．6 　 B．1
C．3 　 D．
2．设a，b满足0A．aaC．aa3．函数y＝|2x－1|的大致图象是(　　)
A　　　　　　　　B
C　　　　　　　　D
4．函数y＝52x2－3x＋1的单调递增区间为(　　)
A．(1，＋∞) 　 B．
C． 　 D．
5．如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y(m2)与时间t(月)的关系：y＝at，有以下叙述：
①这个指数函数的底数是2；
②第5个月时，浮萍的面积就会超过30 m2；
③浮萍从4 m2蔓延到12 m2需要经过1.5个月；
④浮萍每个月增加的面积都相等．
其中正确的是(　　)
A．①②③ 　 B．①②③④
C．②③④ 　 D．①②
二、填空题
6．解方程：52x－6×5x＋5＝0的解集为________．
7．函数f 在(－∞，1)上单调递增，则a的取值范围是________．
8．若关于x的方程＋m＝0有实数解，则实数m的取值范围是________．
三、解答题
9．已知指数函数f 的图象过点．
(1)求函数f 的解析式；
(2)已知f >f ，求x的取值范围．
10．已知f (x)＝．
(1)讨论f (x)的奇偶性；
(2)讨论f (x)的单调性．
11．设函数f (x)＝2x(x－a)在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2] 　 B．[－2，0)
C．(0，2] 　 D．[2，＋∞)
12．已知实数a，b满足等式，给出下列五个关系式：①0A．1个 　 B．2个
C．3个 　 D．4个
13．设函数y＝，若函数在(－∞，1]上有意义，则实数a的取值范围是________．
14．已知函数f ，则函数f (x)的单调递增区间是________．
15．定义：对于函数f (x)，若在定义域内存在实数x满足f (－x)＝－f (x)，则称f (x)为“局部奇函数”．若f (x)＝2x＋m是定义在区间[－1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．
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1．C　[函数y＝ax在[0，1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a0＋a1＝3，解得a＝2，因此函数y＝2ax－1＝4x－1在[0，1]上单调递增，当x＝1时，ymax＝3．]
2．C　[由于y＝ax与y＝bx为减函数，故A、B错误；因为>1，a>0，所以>1，所以aa1，b>0，所以>1，所以ab3．C　[如图先作y＝2x的图象，再向下平移1个单位得y＝2x－1的图象，再把y＝2x－1的图象在x轴下方的图象翻折上去得y＝|2x－1|的图象，如图实线部分．故选C．
]
4．D　[设U(x)＝2x2－3x＋1，则U(x)＝2，
U(x)在上单调递减，在上单调递增．
又y＝5U是增函数，则y＝上单调递增．故选D．]
5．D　[由a1＝2，得a＝2，所以y＝2t，故①正确；
当t＝5时，y＝25＝32>30，故②正确；
当y＝4时，t＝2，经过1.5个月后面积为23.5<12，故③错误；
＝2，故④错误．]
6．{0，1}　[令t＝5x，则原方程可化为t2－6t＋5＝0，
所以t＝5或t＝1，
即5x＝5或5x＝1，
所以x＝1或x＝0．]
7．[1，＋∞)　[设u＝－x2＋2ax，则y＝3u是R上的增函数，而原函数在(－∞，1)上单调递增，所以u＝－x2＋2ax在(－∞，1)上单调递增，而u＝－x2＋2ax的单调递增区间为(－∞，a)，
所以a≥1．]
8．[－1，0)　[∵0<≤1，
∴m<＋m≤m＋1．
要使方程＋m＝0有解，只要m<0≤m＋1，
解得－1≤m<0，故实数m的取值范围是[－1，0)．]
9．解：(1)设f＝ax(a>0，且a≠1)．
将点＝a2．
解得a＝．
故f．
(2)由(1)知f，显然f在R上是减函数，
又f，
所以|x|<1，解得－1即x的取值范围为(－1，1)．
10．解：(1)f(x)的定义域为R，
又f(－x)＝
＝－，
所以f(x)是奇函数．
(2)f(x)＝＝1－，
又y＝(－1)x是减函数，且y>0，
所以y＝是增函数，
所以f(x)是减函数．
11．D　[法一(复合函数法)：因为y＝2x在R上单调递增，所以y＝x(x－a)在区间(0，1)单调递减，所以x＝≥1，解得a≥2．故选D．
法二(特值法)：取a＝3，则y＝x(x－3)＝在(0，1)单调递减，所以f(x)＝2x(x-3)在(0，1)单调递减，所以a＝3符合题意，排除A，B，C，故选D．]
12．B　[画出函数y＝的图象，如图所示．
当x<0时，，则有a当x>0时，，则有a>b>0；
当x＝0时，，则有a＝b＝0．
所以题中的五个关系式中不可能成立的有两个．]
13．　[由题意可知1＋2x＋a·4x≥0在(－∞，1]上恒成立，
即a≥－在(－∞，1]上恒成立．
又y＝－在(－∞，1]上的最大值为－，
∴a≥－．]
14．(－∞，1]　[令u＝|x－1|，因为f在R上单调递减，故要求f(x)的单调递增区间，只需求u＝|x－1|的单调递减区间，为(－∞，1]，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，1]．]
15．解：f(x)＝2x＋m，f(－x)＝－f(x)可化为2x＋2-x＋2m＝0，
因为f(x)的定义域为[－1，1]，
所以方程2x＋2－x＋2m＝0在[－1，1]内有解，
令t＝2x，则t∈，
故－2m＝t＋，
设g(t)＝t＋，则在(0，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，
所以当t∈时，g(t)∈，
即－2m∈，
所以m∈．
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