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课时分层作业(二十九)　利用函数性质判定方程解的存在性
说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共104分
一、选择题
1．函数f (x)＝2x2－4x－3的零点有(　　)
A．0个 　 B．1个
C．2个 　 D．不能确定
2．函数f (x)＝4x－2x－2的零点是(　　)
A．(1，0) 　 B．1
C． 　 D．－1
3．已知函数f (x)＝－log2x，在下列区间中，包含f (x)零点的区间是(　　)
A．(0，1) 　 B．(1，2)
C．(2，4) 　 D．(4，＋∞)
4．函数f (x)＝ln x－的零点的个数是(　　)
A．0 　 B．1
C．2 　 D．3
5．已知函数f (x)在区间[a，b]上单调，且图象是连续不断的，若f (a)·f (b)＜0，则方程f (x)＝0在区间[a，b]上(　　)
A．至少有一实数根 　 B．至多有一实数根
C．没有实数根 　 D．必有唯一的实数根
二、填空题
6．已知函数f (x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点为________．
7．函数f (x)＝x2－2x在R上的零点个数是__________________________．
8．若函数f (x)＝mx－1在(0，1)内有零点，则实数m的取值范围是________．
三、解答题
9．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f (x)＝；
(2)f (x)＝x2＋2x＋4．
10．已知函数f (x)＝2x－x2，问：方程f (x)＝0在区间[－1，0]内是否有解？为什么？
11．函数y＝x2＋a存在零点，则a的取值范围是(　　)
A．a>0 　 B．a≤0
C．a≥0 　 D．a<0
12．(多选)下列说法中正确的是(　　)
A．f (x)＝x＋1(x∈[－2，0])的零点为(－1，0)
B．f (x)＝x＋1(x∈[－2，0])的零点为－1
C．函数y＝f (x)的零点，即y＝f (x)的图象与x轴的交点
D．函数y＝f (x)的零点，即y＝f (x)的图象与x轴的交点的横坐标
13．已知函数f (x)＝3x＋x－5的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，则a＝________，b＝________．
14．已知函数f (x)是定义域为R的奇函数，－2是它的一个零点，且在(0，＋∞)上是增函数，则该函数有________个零点，这几个零点的和等于________．
15．已知函数f (x)＝lo．
(1)用单调性的定义证明f (x)在定义域上是单调函数；
(2)证明：f (x)有零点；
(3)设f (x)的零点x0落在区间内，求正整数n的值．
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1．C　[由f(x)＝0，即2x2－4x－3＝0，因为Δ＝(－4)2－4×2×(－3)＝40>0．所以方程2x2－4x－3＝0有两个根，即f(x)有两个零点．]
2．B　[由f(x)＝4x－2x－2＝(2x－2)(2x＋1)＝0得2x＝2，解得x＝1．]
3．C　[由题意知，函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数．f(1)＝6－0＝6>0，f(2)＝3－1＝2>0，f(4)＝－log24＝－2＝－<0．由零点存在定理可知函数f(x)在区间(2，4)上必存在零点．]
4．C　[如图，画出y＝ln x与y＝的图象，由图知y＝ln x与y＝(x>0，且x≠1)的图象有两个交点．
故函数f(x)＝ln x－的零点有2个．]
5．D　[由题意知函数f(x)为连续函数．∵f(a)·f(b)<0，∴函数f(x)在区间[a，b]上至少有一个零点．又∵函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，∴函数f(x)在区间[a，b]上至多有一个零点．故函数f(x)在区间[a，b]上有且只有一个零点，即方程f(x)＝0在区间[a，b]内必有唯一的实数根．故选D．]
6．－3　[设函数f(x)的两个零点为x1，x2，根据函数解析式，由一元二次方程根与系数的关系，得x1＋x2＝－＝－2．又因为x1＝1，所以x2＝－3．]
7．3
　[由题意可知，函数f(x)＝x2－2x的零点个数，等价于函数y＝2x，y＝x2的图象交点个数．如图，画出函数y＝2x，y＝x2的大致图象．
由图象可知有3个交点，即f(x)＝x2－2x有3个零点．]
8．(1，＋∞)　[f(0)＝－1，要使函数f(x)＝mx－1在(0，1)内有零点，需f(1)＝m－1>0，即m>1．]
9．解：(1)令f(x)＝0即＝0，故x＝－3．
所以函数f(x)＝的零点是－3．
(2)令f(x)＝0，即x2＋2x＋4＝0，因为Δ＝4－4×4＝－12<0，所以此方程无解，故函数f(x)＝x2＋2x＋4无零点．
10．解：有解．因为f(－1)＝2-1－(－1)2＝－<0，f(0)＝20－02＝1>0，
且函数f(x)＝2x－x2的图象是连续曲线，
所以f(x)在区间[－1，0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1，0]内有解．
11．B　[函数y＝x2＋a存在零点，则x2＝－a有解，所以a≤0．]
12．BD　[根据函数零点的定义，可知f(x)＝x＋1(x∈[－2，0])的零点为－1；函数y＝f(x)的零点即y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．因此，只有说法BD正确，AC错误．]
13．1　2　[∵函数f(x)＝3x＋x－5，∴f(1)＝31＋1－5＝－1<0，f(2)＝32＋2－5＝6>0，∴f(1)·f(2)<0，且函数f(x)在R上单调递增，∴f(x)的零点x0在区间(1，2)内．∴a＝1，b＝2．]
14．3　0　[因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，所以f(0)＝0．又因为f(－2)＝0，所以f(2)＝－f(－2)＝0，故该函数有3个零点，这3个零点之和等于0．]
15．解：(1)证明：显然f (x)的定义域为(0，＋∞)．
任取x1，x2∈(0，＋∞)，不妨设x10，x1x2>0，则>0，lox2，即lox2>0，所以f (x1)－f (x2)＝(lox2)＋>0，所以f (x1)>f (x2)．故f (x)在定义域(0，＋∞)上是减函数．
(2)证明：因为f (1)＝0＋＝－8<0，>0，所以f (1)·<0，又因为f (x)在区间上是连续的，所以f (x)有零点．
(3)
＝log211－3>log28－3＝0，
＝log210－
＝log2<0，
所以·<0，
所以f (x)的零点x0落在区间内．故n＝10．
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