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8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.2 直线与平面垂直
第2课时 线面角、直线与平面垂直的性质
探究点一 求直线与平面所成的角
探究点二 线面垂直的性质定理的应用
【学习目标】
1.理解直线和平面所成的角的概念.
2.通过直观感知、操作确认,能够归纳出直线与平面垂直的性质
定理,并能够证明.
3.能够运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题.
知识点一 直线和平面所成的角
1.斜线、 射影的定义
（1）斜线:一条直线与一个平面 相交,但
不与这个平面垂直,这条直线叫作这个平面
的______，斜线和平面的交点 叫作斜足，
如图.
斜线
（2）射影:过斜线上斜足以外的一点 向平
面 引垂线,过垂足和斜足的直线
叫作斜线在这个平面上的______.
这里要注意两点:一是点 具有任意性,可通
过取不同的点来说明;二是斜线在平面上的
射影
射影是过斜足和垂足的一条直线,而不是线段.
2.直线和平面所成的角
定义:平面的一条斜线和它在平面上的______所成的角，叫作这条直
线和这个平面所成的角.如图所示,__________就是斜线和平面 所
成的角.
射影
【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）平面的一条斜线和平面所成的角的取值范围是 .( )
×
[解析] 平面的一条斜线和平面所成的角的取值范围是 ，任
意一条直线和平面所成的角的取值范围才是 .
（2）平面的一条斜线和平面内一条直线所成的角叫作这条直线和这
个平面所成的角.( )
×
[解析] 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫作这条直线
和这个平面所成的角.
（3）平面的斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内任意一条
直线所成的角中最小的角.( )
√
[解析] 如图， ，斜线在平面 上
的射影为， 为斜线与平面
所成的角， 为斜线与平
面 内除外的任意一条直线 所成的角.
作，垂足为，则，.因为 ，所以
，故 .
知识点二 直线和平面垂直的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言 巧记方法
______于同一个平 面的两条直线 ______ ______________________________________________ __________________________ 线面垂直 线
线平行
垂直
平行
前面学习了空间中两直线的平行，下面回顾一下证明两直线平行的
方法:
（1）平面几何知识：在同一平面内没有公共点的两条直线互相平行.
（2）基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行.
（3）线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直
线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.
（4）面面平行的性质定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两
个平面相交，那么两条交线平行.
（5）线面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）过平面外一点有且仅有一条直线和已知平面垂直.( )
√
（2）过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线垂直.( )
√
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行.( )
√
2.两条异面直线中有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂
直于这个平面吗
解：不垂直.
假设另一条直线也垂直于这个平面，则根据线面垂直的性质定理知，
这两条直线互相平行，与这两条直线是异面直线矛盾，故另一条直线
不垂直于这个平面.
探究点一 求直线与平面所成的角
例1 如图，在三棱柱中，底面 是等边三角形，且
底面，若，，求直线与平面
所成角的正弦值.
解:如图，取的中点，连接， .
因为在三棱柱中，底面 是
等边三角形，所以底面 是等边三角形，
从而.
因为 平面 ， 平面，所以，
又， 平面， 平面,
所以 平面 ，
因此为直线与平面所成的角.
因为 ,,所以 ,
故直线与平面所成角的正弦值为 .
解：在正方体中，连接 ，
设，连接 ，如图.
因为四边形 是正方形，
所以.
因为 平面， 平面，
所以 ，
变式 在正方体中，求直线与平面 所成
的角.
又，， 平面，
所以 平面 ，
则是直线与平面 所成的角.
在中， ，
，所以 ，
所以直线与平面所成的角为 .
［素养小结］
求直线与平面所成的角的一般步骤:
（1）寻找过斜线上一点与平面垂直的直线;
（2）垂足和斜足所在直线即为斜线在平面上的射影,斜线与其射影所
成的锐角或直角即为所求的角;
（3）把该角放在某个三角形中,通过解三角形求出该角.
探究点二 线面垂直的性质定理的应用
例2 如图所示，已知平面 平面, ，垂足为 ，
,垂足为，直线 ，，则直线与直线 的位置关
系是______.
平行
[解析] 平面 平面， ，
又 ， .
同理
， 平面， 平面，
平面
, ,，
又, ， 平面, 平面,
平面, .
变式 如图，在正方体中，,分别为和 上
的点，且，.求证： .
证明：如图，连接， .在正方体
中， ，
， .
又，， 平面
, 平面 ，
平面 .
连接，，易知，,，
平面, 平面 ,
平面 .
又 平面， .
同理， 平面 ，
又 平面， .
， 平面 ，
平面， 平面 ,
.
1.确定点（或线）在平面内射影位置的常用方法
（1）如果一个角所在平面外一点到角两边的距离相等,那么这一点在
平面内的射影在这个角的平分线所在直线上.
（2）经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线,如果斜线与这个角的两
边的夹角相等,那么斜线在这个平面内的射影是这个角的平分线所在直线.
（3）在三棱锥 中,有下列结论:
①若,则点在平面 内的射影为 的外心;
②若点到,,的距离相等,则点在平面内的射影为 的
内心;
③若,,则点在平面内的射影为 的垂心.
2.最小角定理：直线与平面所成的角是该直线与平
面内任意一条直线所成的角中最小的角.证明如下：
如图所示,直线在平面 内的射影为直线,
为平面 内与不重合的任意一条直线,过点 作
,垂足为,连接 ,下面只需说明
.
因为,, ,
,所以只需证明,即 .
因为与分别是 的直角边与斜边,所
以.综上可得 ,即直线与平
面所成的角是该直线与平面内任意一条直线所成
的角中最小的角.
3.直线与平面垂直的性质定理解读
（1）直线与平面垂直的性质定理给出了一种证明两直线平行的方法，
即只需证明两条直线均与同一个平面垂直，反映了线线平行与线面
垂直逻辑上的相互转化，即“若线面垂直，则线线平行”.
（2）利用直线与平面垂直的性质定理可构造平行线，即使这些直线都
垂直于同一个平面.
1.直线与平面所成角的计算步骤：（1）作出所求角；（2）证明所作
的角符合；（3）构造三角形并求角.在求角过程中常用的方法：（1）
直接法；（2）等体积法；（3）垂面法.
例1 如图所示,在三棱柱中,侧棱 底面 ,且各
棱长均相等,为 的中点.
（1）证明: 平面 ;
证明:因为底面是正三角形,为 的中点,
所以 .
因为侧棱 底面, 平面 ,
所以 ,
又,所以 平面 .
（2）求直线与平面 所成角的正弦值.
解:在平面内,过点作 ，交
的延长线于点,连接 .
因为 平面,所以 ,
又,所以 平面 ,所以
为直线与平面 所成的角.
设三棱柱的各棱长均为,可得,由 ,易得
.
在中,可得 ，
所以直线与平面所成角的正弦值为 .
例2 如图，在四棱锥中，底面 是矩
形，，， 平面 ，且
是 的中点.
（1）求证： 平面 ；
证明： 平面， 平面 ，
四边形为矩形， .
,, 平面 ，
平面，
平面 ，
是的中点， ，，
又,, 平面 ， 平面 .
（2）求直线与平面 所成角的正弦值.
解：设的中点为，连接 ,如图，在
中，,分别为, 的中点，
故， .
平面 ，
平面 ，
.
由（1）可得， 平面 ，
平面， .
， ， ，
又，， ，
.
设点到平面的距离为，直线 与平面
所成的角为 ，则 ，解
得，故 ，
所以直线与平面所成角的正弦值为 .
2.线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，
提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据.
例3 如图，和都垂直于平面 ，且
，，是 的中点.
（1）求证：平面 ；
证明：因为和都垂直于平面 ，
所以，
又 平面， 平面 ，
所以平面 .
（2）求证： 平面 .
证明： 如图，取的中点，连接， .
在中，，分别为， 的中点，
所以， ，
又， ，
所以， ，
所以四边形 为平行四边形，
则 .
因为，为 的中点，所以 .
因为 平面， 平面 ，
所以，又 ，
所以 平面 ，
所以 平面 .
练习册
一、选择题
1.直线与平面 所成的角为 ，直线，则直线与平面 所
成的角为( )
A. B. C. D.
[解析] 若两条直线平行，则它们与同一个平面所成的角相等.
因为直线与平面 所成的角为 ，直线，所以直线与平面
所成的角为 .故选B.
√
2.一条直线和三角形的两边同时垂直,则这条直线和三角形的第三边
的位置关系是( )
A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.不确定
[解析] 一条直线和三角形的两边同时垂直,根据直线与平面垂直的判
定定理可知,该直线垂直于三角形所在平面,则根据线面垂直的性质可
知,这条直线和三角形的第三边的位置关系是垂直.
√
3.在正方体中,直线与所在直线不重合,直线
平面 ,则有( )
A. B. C.与异面 D.与 相交
[解析] 因为 平面, 平面,所以 .
√
4.[2024·芜湖一中高一期中]过空间一定点可以作与已知直线垂直的
平面的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.4
[解析] 与已知直线垂直的不同平面都互相平行，其中过空间一定点
且与已知直线垂直的平面有且只有1个.故选B.
√
5.教室里有一把直尺，无论怎样放置，地面上总有一直线与该直尺所
在的直线保持( )
A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.异面
√
[解析] ①当直尺所在直线与地面垂直时，地面上的所有直线都与直
尺所在直线垂直，则地面上存在直线与直尺所在直线垂直；
②当直尺所在直线与地面相交但不垂直时，直尺所在的直线必在地面
上有一条射影，在地面上一定存在与此射影垂直的直线，易知与射影
垂直的直线一定与此斜线垂直，则地面上总有直线与直尺所在的直线
垂直；
③当直尺所在直线与地面平行或在地面内时，易知地面上一定存在直
线与直尺所在直线垂直.综上，直尺无论怎样放置，地面上总有与直尺
所在直线垂直的直线．故选B．
6.若一条直线与一个平面成 角，则这条直线与这个平面内经过斜
足的直线所成的角中最大的角为( )
A. B. C. D.
[解析] 当在这个平面内经过斜足的直线 与这条直线在这个平面内的
射影垂直时, 直线 与这条直线垂直,所成的角为直角.
因为两直线所成的角的取值范围为 ,所以这条直线与这个平面
内经过斜足的直线所成的角中最大的角为 .故选B.
√
7.如图，在四棱锥中， 平面
，则“ ”的充要条件是( )
A.四边形 为矩形
B.四边形 为菱形
C.四边形 为平行四边形
D.四边形 为梯形
√
[解析] 连接.当时，因为 平
面， 平面，所以 ，
又，, 平面 ，所以
平面，又 平面 ，所以
，所以四边形 为菱形；
反之， 当四边形为菱形时，可得，因为 平面 ，
平面，所以，
又，， 平面，所以 平面，
又 平面，所以 .故选B.
8.如图所示，一个灯笼由一根提竿 、一段连接
绳 和一个圆柱组成，提竿平行于圆柱的底
面， 为上底面圆的圆心，在圆柱上、下底面圆
周上分别有一点，， 与圆柱的底面不垂直，
则在圆柱绕着其旋转轴旋转一周的过程中，直线
与直线 垂直的次数为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
√
[解析] 如图，作出平面，使得 平面，当
时，平面或 平面 ，结合旋转分析可知,有2次
使得 .故选A.
9.（多选题）[2024·江苏镇江实验中学高一
月考] 如图，正方体 的
棱长为1，过点作平面 的垂线，垂足
为 ，则下列说法正确的是( )
A.点是 的垂心
B. 平面
C.的延长线经过点
D.直线与平面所成的角为
√
√
√
[解析] 对于A，在正方体
中，可得 为等边三角形，且
，所以三棱锥是正三棱锥，
所以点A在 内的射影是 的
垂心，故A正确；
对于B，在正方体 中，可得,，
又因为 平面， 平面，所以平面，
同理 平面，
平面，
又因为 平面，
所以 平面 ，故B正确；
对于C，如图，连接, ,在正方体
中，可得 ，
又由 平面，且 平面
，可得 ，又，, 平面
，所以 平面，
，又，
, 平面，所以
平面 ，所以的延长线经过点 ，
故C正确；
对于D，因为 平面，所以 与
平面所成的角为 ，故D错误.故选 .
二、填空题
10.平面 的斜线与平面 交于点，且斜线与平面 所成的角是 ，
则与平面 内所有不过点 的直线所成角的取值范围是______.
[解析] 斜线与平面 所成的角是，则直线与平面 内所有直线所
成的角中最小的角为，显然最大的角为 ，所以所求取值范围为
.
11.如图，已知点 平面 ，点 ，直线 ，点 且
，则“直线 直线”是“直线 直线 ”的______条件.
（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
充要
[解析] 因为 , ,所以 .
当直线 直线时，因为, 平面 ,
,所以 平面，又 平面
，所以直线 直线 ,充分性成立；
当直线 直线时,因为， 平面，，
所以 平面,又 平面,所以直线 直线 ，
必要性成立.故“直线 直线”是“直线 直线 ”的充要条件.
12.为所在平面外一点，为在平面上的射影.若 ，
，与平面所成的角相等，则是 的____心.
外
[解析] 连接，，.因为为在平面 上的射影，所以
平面，又，， 平面，所以 ，
，，即.
因为 平面，所以，，分别为，，
与平面 所成的角.
由已知可得，又 ，所以
，所以，所以 是 的外心.
三、解答题
13.如图， 平面， 平面， ，
分别为，上的点，且 .求证：
.
证明： 平面， 平面 ，
平面，, 平面 ,
，， .
又，, 平面,
平面
，，, 平面，
平面， ， .
14.[2024·天津河北区高一期末] 如图，在三棱柱 中，
与交于点， 平面，， 是
的中点.
（1）证明： 平面 ；
证明：因为，是 的
中点，所以 ，
又 平面，，所以 平面
，
又 平面，所以 ，
又，, 平面 ，
所以 平面 .
（2）求直线与平面 所成角的正弦值.
解：如图，取的中点，连接，， ，
则且 ，
又且 ，
所以且 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以，
又 平面 ，所以 平面 ，
所以为直线与平面 所成的角.
因为 平面， 平面 ，
所以 ，
设 ，则
， ，
所以，
则直线 与平面 所成角的正弦值为 .
15.已知平面 与正方体的12条棱所成的角相等,设所成的角为 ,则
_ __.
[解析] 如图所示,在正方体中，
连接, ，，
因为棱,,与平面 所成
的角相等,所以平面 就是与正方
体的12条棱所成的角均为 的一个平面.
连接,交于点,连接 ,
则 .
设该正方体的棱长为1,则,,则 .
16.如图，已知矩形中，，，为 的中点，
现分别沿，将和翻折，使点， 重合，记为
点 .
（1）求证： ；
证明：由题可得， .
如图，取的中点，连接， ，
，，
为的中点，
， ，
又 平面， 平面， ，
平面，又 平面， .
（2）求直线与平面 所成角的正弦值.
解：， ，
， .
四边形为矩形，，即 ，
又， 平面， 平面 ，
平面，为直线与平面 所成的角.
，
直线 与平面所成角的正弦值为 .第2课时　线面角、直线与平面垂直的性质
【课前预习】
知识点一
1.(1)斜线　(2)射影　2.射影　∠PAO(θ)
诊断分析
(1)×　(2)×　(3)√　[解析] (1)平面的一条斜线和平面所成的角的取值范围是(0°,90°),任意一条直线和平面所成的角的取值范围才是[0°,90°].
(2)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫作这条直线和这个平面所成的角.
(3)如图,OB⊥α,斜线AO在平面α上的射影为AB,θ(0°<θ<90°)为斜线与平面α所成的角,θ1(0°<θ1≤90°)为斜线与平面α内除AB外的任意一条直线AC所成的角.作OC⊥AC,垂足为C,则sin θ=,sin θ1=.因为OB知识点二
垂直　平行
诊断分析
1.(1)√　(2)√　(3)√
2.解:不垂直.假设另一条直线也垂直于这个平面,则根据线面垂直的性质定理知,这两条直线互相平行,与这两条直线是异面直线矛盾,故另一条直线不垂直于这个平面.
【课中探究】
探究点一
例1　解:如图,取A1B1的中点M,连接C1M,BM.因为在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等边三角形,所以底面A1B1C1是等边三角形,从而C1M⊥A1B1.因为AA1⊥平面A1B1C1,C1M 平面A1B1C1,所以AA1⊥C1M,又AA1∩A1B1=A1,AA1 平面ABB1A1,A1B1 平面ABB1A1,所以C1M⊥平面ABB1A1,因此∠C1BM为直线BC1与平面ABB1A1所成的角.因为C1B==,C1M=,所以sin∠C1BM==,故直线BC1与平面ABB1A1所成角的正弦值为.
变式　解:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,连接B1D1,设B1D1∩A1C1=O,连接AO,如图.
因为四边形A1B1C1D1是正方形,所以B1O⊥A1C1.因为AA1⊥平面A1B1C1D1,B1O 平面A1B1C1D1,所以B1O⊥AA1,
又AA1∩A1C1=A1,AA1,A1C1 平面ACC1A1,所以B1O⊥平面ACC1A1,
则∠B1AO是直线AB1与平面ACC1A1所成的角.
在Rt△AB1O中,∠AOB1=90°,B1O=B1D1=AB1,所以∠B1AO=30°,
所以直线AB1与平面ACC1A1所成的角为30°.
探究点二
例2　平行　[解析] ∵平面α∩平面β=l,∴l α,又∵EA⊥α,∴l⊥EA.同理l⊥EB.∵EA∩EB=E,EA 平面EAB,EB 平面EAB,∴l⊥平面EAB.∵EB⊥β,a β,∴EB⊥a,又a⊥AB,EB∩AB=B,EB 平面EAB,AB 平面EAB,∴a⊥平面EAB,∴a∥l.
变式　证明:如图,连接AB1,B1C.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D∥B1C,
∵EF⊥A1D,∴EF⊥B1C.
又EF⊥AC,AC∩B1C=C,AC 平面AB1C,B1C 平面AB1C,∴EF⊥平面AB1C.
连接A1B,C1B,易知B1C⊥BC1,B1C⊥D1C1,BC1∩D1C1=C1,BC1 平面BC1D1,D1C1 平面BC1D1,
∴B1C⊥平面BC1D1.
又BD1 平面BC1D1,∴B1C⊥BD1.
同理,B1A⊥平面BA1D1,又BD1 平面BA1D1,∴B1A⊥BD1.
∵B1A∩B1C=B1,B1A 平面AB1C,B1C 平面AB1C,∴BD1⊥平面AB1C,∴EF∥BD1.第2课时　线面角、直线与平面垂直的性质
1.B　[解析] 若两条直线平行,则它们与同一个平面所成的角相等.因为直线a与平面α所成的角为50°,直线b∥a,所以直线b与平面α所成的角为50°.故选B.
2.B　[解析] 一条直线和三角形的两边同时垂直,根据直线与平面垂直的判定定理可知,该直线垂直于三角形所在平面,则根据线面垂直的性质可知,这条直线和三角形的第三边的位置关系是垂直.
3.B　[解析] 因为B1B⊥平面A1B1C1D1,l⊥平面A1B1C1D1,所以l∥B1B.
4.B　[解析] 与已知直线垂直的不同平面都互相平行,其中过空间一定点且与已知直线垂直的平面有且只有1个.故选B.
5.B　[解析] ①当直尺所在直线与地面垂直时,地面上的所有直线都与直尺所在直线垂直,则地面上存在直线与直尺所在直线垂直;②当直尺所在直线与地面相交但不垂直时,直尺所在的直线必在地面上有一条射影,在地面上一定存在与此射影垂直的直线,易知与射影垂直的直线一定与此斜线垂直,则地面上总有直线与直尺所在的直线垂直;③当直尺所在直线与地面平行或在地面内时,易知地面上一定存在直线与直尺所在直线垂直.综上,直尺无论怎样放置,地面上总有与直尺所在直线垂直的直线.故选B.
6.B　[解析] 当在这个平面内经过斜足的直线l与这条直线在这个平面内的射影垂直时, 直线l与这条直线垂直,所成的角为直角.因为两直线所成的角的取值范围为[0°,90°],所以这条直线与这个平面内经过斜足的直线所成的角中最大的角为90°.故选B.
7.B　[解析] 连接AC.当MA⊥BD时,因为MC⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,所以MC⊥BD,又MA∩MC=M,MA,MC 平面MAC,所以BD⊥平面MAC,又AC 平面MAC,所以BD⊥AC,所以四边形ABCD为菱形;反之,当四边形ABCD为菱形时,可得AC⊥BD,因为MC⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,所以MC⊥BD,又AC∩MC=C,AC,MC 平面MAC,所以BD⊥平面MAC,又MA 平面MAC,所以MA⊥BD.故选B.
8.A　[解析] 如图,作出平面CDEF,使得PQ⊥平面CDEF,当PQ⊥AB时,AB∥平面CDEF或AB 平面CDEF,结合旋转分析可知,有2次使得PQ⊥AB.故选A.
9.ABC　[解析] 对于A,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,可得△A1BD为等边三角形,且AB=AA1=AD,所以三棱锥A-A1BD是正三棱锥,所以点A在△A1BD内的射影H是△A1BD的垂心,故A正确;对于B,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,可得BD∥B1D1,A1D∥B1C,又因为BD 平面CB1D1,B1D1 平面CB1D1,所以BD∥平面CB1D1,同理A1D∥平面CB1D1,又因为BD∩A1D=D,BD,A1D 平面A1BD,所以平面A1BD∥平面CB1D1,又因为AH⊥平面A1BD,所以AH⊥平面CB1D1,故B正确;对于C,如图,连接AB1,AC1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,可得A1B⊥AB1,又由B1C1⊥平面ABB1A1,且A1B 平面ABB1A1,可得A1B⊥B1C1,又AB1∩B1C1=B1,AB1,B1C1 平面AB1C1,所以A1B⊥平面AB1C1,又AC1 平面AB1C1,所以AC1⊥A1B,同理可得AC1⊥BD,又A1B∩BD=B,A1B,BD 平面A1BD,所以AC1⊥平面A1BD,所以AH的延长线经过点C1,故C正确;对于D,因为AH⊥平面A1BD,所以AH与平面A1BD所成的角为90°,故D错误.故选ABC.
10.　[解析] 斜线l与平面α所成的角是,则直线l与平面α内所有直线所成的角中最小的角为,显然最大的角为,所以所求取值范围为.
11.充要　[解析] 因为PO⊥α,a α,所以PO⊥a.当直线a⊥直线OA时,因为PO,OA 平面POA,PO∩OA=O,所以a⊥平面POA,又PA 平面POA,所以直线a⊥直线PA,充分性成立;当直线a⊥直线PA时,因为PO,PA 平面POA,PO∩PA=P,所以a⊥平面POA,又OA 平面POA,所以直线a⊥直线OA,必要性成立.故“直线a⊥直线OA”是“直线a⊥直线PA”的充要条件.
12.外　[解析] 连接OA,OB,OC.因为O为P在平面ABC上的射影,所以PO⊥平面ABC,又OA,OB,OC 平面ABC,所以PO⊥OA,PO⊥OB,PO⊥OC,即∠POA=∠POB=∠POC=.因为PO⊥平面ABC,所以∠PAO,∠PBO,∠PCO分别为PA,PB,PC与平面ABC所成的角.由已知可得∠PAO=∠PBO=∠PCO,又PO=PO=PO,所以△PAO≌△PBO≌△PCO,所以OA=OB=OC,所以O是△ABC的外心.
13.证明:∵PA⊥平面ABD,PC⊥平面BCD,BD 平面ABD,BD,EF 平面BCD,∴PA⊥BD,PC⊥BD,PC⊥EF.又PA∩PC=P,PA,PC 平面PAC,∴BD⊥平面PAC.∵EF⊥AC,PC∩AC=C,PC,AC 平面PAC,∴EF⊥平面PAC,∴EF∥BD,∴=.
14.解:(1)证明:因为AB=BC=AC=AA1,D是BC的中点,所以AD⊥BC,
又AA1⊥平面ABC,AA1∥CC1,所以CC1⊥平面ABC,
又AD 平面ABC,所以CC1⊥AD,
又BC∩CC1=C,BC,CC1 平面BCC1B1,
所以AD⊥平面BCC1B1.
(2)如图,取B1C1的中点E,连接A1E,CE,DE,
则DE∥BB1且DE=BB1,
又AA1∥BB1且AA1=BB1,
所以DE∥AA1且DE=AA1,
所以四边形EDAA1为平行四边形,
所以AD∥A1E,又AD⊥平面BCC1B1,
所以A1E⊥平面BCC1B1,
所以∠A1CE为直线A1C与平面BCC1B1所成的角.
因为A1E⊥平面BCC1B1,CE 平面BCC1B1,
所以A1E⊥CE,
设AB=BC=AC=AA1=2,则A1E==,A1C==2,
所以sin ∠A1CE===,则直线A1C与平面BCC1B1所成角的正弦值为.
15.　[解析] 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,连接AB1,B1D1,AD1,因为棱A1A,A1B1,A1D1与平面AB1D1所成的角相等,所以平面AB1D1就是与正方体的12条棱所成的角均为θ的一个平面.连接A1C1,交B1D1于点O,连接AO,则∠A1AO=θ.设该正方体的棱长为1,则A1O=,AO=,则sin θ==.
16.解:(1)证明:由题可得BP=AB=1,CP=CD=1.
如图,取BC的中点Q,连接PQ,MQ,
∵BP=CP=1,BM=CM=,Q为BC的中点,∴BC⊥PQ,BC⊥MQ,
又MQ 平面PMQ,PQ 平面PMQ,MQ∩PQ=Q,
∴BC⊥平面PMQ,又PM 平面PMQ,∴BC⊥PM.
(2)∵BP=CP=1,BC=AD=,
∴PB2+PC2=BC2,∴PB⊥PC.
∵四边形ABCD为矩形,∴AB⊥AM,即PB⊥PM,
又PM∩PC=P,PM 平面PMC,PC 平面PMC,
∴PB⊥平面PMC,∴∠BCP为直线BC与平面PMC所成的角.
∵sin∠BCP===,∴直线BC与平面PMC所成角的正弦值为.第2课时　线面角、直线与平面垂直的性质
一、选择题
1.直线a与平面α所成的角为50°,直线b∥a,则直线b与平面α所成的角为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.40° B.50°
C.90° D.150°
2.一条直线和三角形的两边同时垂直,则这条直线和三角形的第三边的位置关系是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.不确定
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线l与B1B所在直线不重合,直线l⊥平面A1B1C1D1,则有 (　 )
A.B1B⊥l B.B1B∥l
C.B1B与l异面 D.B1B与l相交
4.[2024·芜湖一中高一期中] 过空间一定点可以作与已知直线垂直的平面的个数为 (　 )
A.0 B.1
C.2 D.4
5.教室里有一把直尺,无论怎样放置,地面上总有一直线与该直尺所在的直线保持 (　 )
A.平行
B.垂直
C.相交但不垂直
D.异面
6.若一条直线与一个平面成72°角,则这条直线与这个平面内经过斜足的直线所成的角中最大的角为 (　 )
A.72° B.90°
C.108° D.180°
7.如图,在四棱锥M-ABCD中,MC⊥平面ABCD,则“MA⊥BD”的充要条件是 (　 )
A.四边形ABCD为矩形
B.四边形ABCD为菱形
C.四边形ABCD为平行四边形
D.四边形ABCD为梯形
8.如图所示,一个灯笼由一根提竿PQ、一段连接绳QO和一个圆柱组成,提竿平行于圆柱的底面,O为上底面圆的圆心,在圆柱上、下底面圆周上分别有一点A,B,AB与圆柱的底面不垂直,则在圆柱绕着其旋转轴旋转一周的过程中,直线PQ与直线AB垂直的次数为 (　 )
A.2 B.4
C.6 D.8
9.(多选题)[2024·江苏镇江实验中学高一月考] 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,过点A作平面A1BD的垂线,垂足为H,则下列说法正确的是 (　 )
A.点H是△A1BD的垂心
B.AH⊥平面CB1D1
C.AH的延长线经过点C1
D.直线AH与平面A1BD所成的角为45°
二、填空题
10.平面α的斜线l与平面α交于点A,且斜线l与平面α所成的角是,则l与平面α内所有不过点A的直线所成角的取值范围是　　　　.
11.如图,已知点A∈平面α,点O∈α,直线a α,点P α且PO⊥α,则“直线a⊥直线OA”是“直线a⊥直线PA”的　　　　条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
12.P为△ABC所在平面外一点,O为P在平面ABC上的射影.若PA,PB,PC与平面ABC所成的角相等,则O是△ABC的　　　　心.
三、解答题
13.如图,PA⊥平面ABD,PC⊥平面BCD,E,F分别为BC,CD上的点,且EF⊥AC.求证:=.
14.[2024·天津河北区高一期末] 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C与AC1交于点O,AA1⊥平面ABC,AB=BC=AC=AA1,D是BC的中点.
(1)证明:AD⊥平面BCC1B1;
(2)求直线A1C与平面BCC1B1所成角的正弦值.
15.已知平面α与正方体的12条棱所成的角相等,设所成的角为θ,则sin θ=　　　　.
16.如图,已知矩形ABCD中,AB=1,AD=,M为AD的中点,现分别沿BM,CM将△ABM和△DCM翻折,使点A,D重合,记为点P.
(1)求证:BC⊥PM;
(2)求直线BC与平面PMC所成角的正弦值.第2课时　线面角、直线与平面垂直的性质
【学习目标】
　　1.理解直线和平面所成的角的概念.
　　2.通过直观感知、操作确认,能够归纳出直线与平面垂直的性质定理,并能够证明.
　　3.能够运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题.
◆ 知识点一　直线和平面所成的角
1.斜线、 射影的定义
(1)斜线:一条直线l与一个平面α相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫作这个平面的　　　　,斜线和平面的交点A叫作斜足,如图.
(2)射影:过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫作斜线在这个平面上的　　　　.
这里要注意两点:一是点P具有任意性,可通过取不同的点来说明;二是斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线,而不是线段.
2.直线和平面所成的角
定义:平面的一条斜线和它在平面上的　　　　所成的角,叫作这条直线和这个平面所成的角.如图所示,　　　　就是斜线l和平面α所成的角.
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)平面的一条斜线和平面所成的角的取值范围是[0°,90°]. (　 )
(2)平面的一条斜线和平面内一条直线所成的角叫作这条直线和这个平面所成的角. (　 )
(3)平面的斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内任意一条直线所成的角中最小的角. (　 )
◆ 知识点二　直线和平面垂直的性质定理
文字语言 图形语言 符号语言 巧记方法
　　　　于同一个平面的两条直线　　　　 a∥b 线面垂直 线线平行
前面学习了空间中两直线的平行,下面回顾一下证明两直线平行的方法:
(1)平面几何知识:在同一平面内没有公共点的两条直线互相平行.
(2)基本事实4:平行于同一条直线的两条直线平行.
(3)线面平行的性质定理:一条直线与一个平面平行,如果过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行.
(4)面面平行的性质定理:两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线平行.
(5)线面垂直的性质定理:垂直于同一个平面的两条直线平行.
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)过平面外一点有且仅有一条直线和已知平面垂直. (　 )
(2)过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线垂直. (　 )
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (　 )
2.两条异面直线中有一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面吗
◆ 探究点一　求直线与平面所成的角
例1 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是等边三角形,且AA1⊥底面ABC,若AB=2,AA1=1,求直线BC1与平面ABB1A1所成角的正弦值.
变式 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求直线AB1与平面ACC1A1所成的角.
[素养小结]
求直线与平面所成的角的一般步骤:
(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线;
(2)垂足和斜足所在直线即为斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角;
(3)把该角放在某个三角形中,通过解三角形求出该角.
◆探究点二　线面垂直的性质定理的应用
例2 如图所示,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足为A,EB⊥β,垂足为B,直线a β,a⊥AB,则直线a与直线l的位置关系是　　　　.
变式 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AC和A1D上的点,且EF⊥AC,EF⊥A1D.求证:EF∥BD1.

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