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湖南省衡阳市耒阳市广湘初级中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题
一、选择题（共10小题）
1．（2024九上·耒阳期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024九上·耒阳期末）下列根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九上·耒阳期末）已知函数是二次函数，则等于（　　）
A． B．2 C． D．6
4．（2024九上·耒阳期末）若是方程的两个根，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2024九上·耒阳期末）一件商品的原价是240元，经过两次降价后的价格为y元，若设两次的平均降价率为x，则y与x的函数关系式是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024九上·耒阳期末）在平面直角坐标系中，点（3，5）关于y轴对称的点的坐标是（　　）．
A．（－3，0 ） B．（－3，5 ）
C．（－3，－5） D．（3，－5）
7．（2024九上·耒阳期末）如图，在中，，于点，，，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．（2024九上·耒阳期末）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=，BC=m，那么AB的长为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024九上·耒阳期末）已知圆锥的母线长为2，底面半径为1，则该圆锥的侧面展开图的面积为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024九上·耒阳期末）抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为．下列结论：①；②；③当时，；④当是等腰直角三角形时，则；⑤若，是一元二次方程的两个根，且，则．其中正确的有（　　）个
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（共8小题，每题3分，共24分）
11．（2024九上·耒阳期末）计算：　 　．
12．（2024九上·耒阳期末）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是　 　．
13．（2024九上·耒阳期末）如图，在中，，垂足为点，若，，则等于　 　．
14．（2024九上·耒阳期末）如图，在中，是直径，，＝，，那么的长等于　 　.
15．（2024九上·耒阳期末）如图，在中，点是的内心，若，则　 　．
16．（2024九上·耒阳期末）如图，直线与抛物线交于，两点，其中点，点，不等式的解集为　 　．
17．（2024九上·耒阳期末） 如图，在中，，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止，点的运动速度为，点的运动速度为若，两点同时出发，则当以点，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为　 　
18．（2024九上·耒阳期末）已知二次函数，当时，该函数取最大值12．设该函数图象与x轴的一个交点的横坐标为，若，则a的取值范围是　 　．
三、解答题（共8小题，共计66分）
19．（2024九上·耒阳期末）计算：．
20．（2024九上·耒阳期末）解下列方程：
（1）；
（2）．
21．（2024九上·耒阳期末）为降低校园欺凌事件发生的频率，某课题组针对义务教育阶段学生校园欺凌事件发生状况进行调查并分析．课题组对全国可查的2800例欺凌事件发生原因进行抽样调查并分析，所得数据绘制成统计图如下：根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量为　 　．
（2）补全条形统计图；
（3）在欺凌事件发生原因扇形统计图中，“因琐事”区域所在扇形的圆心角的度数为　 　．
（4）估计所有2800例欺凌事件中有多少事件是“因琐事”而导致事件发生的？
22．（2024九上·耒阳期末）如图，AB是的直径，AC，BC是弦，点D在AB的延长线上，且，的切线AE与DC的延长线交于点E.
（1）求证：CD是的切线；
（2）若的半径为2，，求AE的长.
23．（2024九上·耒阳期末）某品牌的服装进价为每件50元，调查市场发现，售价不低于50元销售时，日销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，相关数据如下表：
售价x（元/件） 55 60 65 70 …
日销售量y（件） 70 60 50 40 …
请根据题意，完成下列问题：
（1）销售该品牌服装每件的利润是　 　元（用含有x的式子表示）；
（2）求出y与x的函数关系式；
（3）设销售该品牌服装的日利润为w元，那么售价为多少时，当日的利润最大，最大利润是多少？
24．（2024九上·耒阳期末）如图，A处有一垂直于地面的标杆，热气球沿着与的夹角为的方向升空，到达B处，这时在A处的正东方向200米的C处测得B的仰角为（、B、C在同一平面内）．求A、B之间的距离．（结果精确到1米，）
25．（2024九上·耒阳期末）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，连接，为抛物线部分上一动点（可与A，B两点重合），过点P作轴交直线于点M，交x轴于点N．

（1）求抛物线和直线的解析式．
（2）①求线段的最大值．
②连接，当为等腰三角形时，求m的值．
26．（2024九上·耒阳期末）（1）[问题探究]
如图1，在正方形中，对角线相交于点O．在线段上任取一点P（端点除外），连接．
①求证：；
②将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在的延长线上的点Q处．当点P在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由；
③探究与的数量关系，并说明理由．
（2）[迁移探究]
如图2，将正方形换成菱形，且，其他条件不变．试探究与的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A：与不是同类二次根式，不能合并，故不正确，
B：，故正确，
C：，故不正确，
D：，故不正确，
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的加减乘除运算分析。
2．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】A、 被开方数含能开得尽方的因数或因式，A不符合题意；
B、 被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，B符合题意；
C、 被开方数含分母，C不符合题意；
D、 被开方数含能开得尽方的因数或因式，D不符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据最简二次根式的条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，即可得出答案。
3．【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵m+2≠0，
∴m≠-2，
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的定义可知m+2≠0，解不等式即可求解。
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 若是方程的两个根，
∴根据一元二次方程的根与系数的关系得：x1+x2=2.
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系直接求解.
5．【答案】C
【知识点】列二次函数关系式；二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：第一次降价后价格为240(1+x)元，第二次降价后价格为240(1+x)(1+x)=240(1+x)2元，所以 则y与x的函数关系式是y= 240(1+x)2，
故答案为：C.
【分析】 由原价是240元可知， 第一次降价后价格为240(1+x)元，第二次降价后价格为240(1+x)(1+x)=240(1+x)2元，因此可得函数关系式.
6．【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解： 点（3，5）关于y轴对称的点的坐标是 （－3，5）， 故A、C、D不正确，
故答案为：B.
【分析】根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等即可求解.
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：
在中，，，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
即，
解得.
故答案为：D．
【分析】先利用勾股定理求出，由同角的余角相等得∠ACD=∠BAD，再根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，利用相似三角形对应边成比例，即可求出的长．
8．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【解答】解： 在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，∠A=，BC=m，
∴sinα=，
∴AB=，
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形的边角关系知：sinα=，可求得AB=.
9．【答案】C
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解： ∵圆锥的侧面展开图的弧长c=21=2，
∴圆锥的侧面展开图的面积=×2×2=2，故A、B、D不正确，
故答案为：C.
【分析】圆锥的侧面展开图为扇形，根据扇形的面积公式S=×弧长×半径，由题意可求出弧长为圆锥底面周长，半径为圆锥母线长度，根据面积公式即可求解.
10．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵图像开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，
∴，
∴，故①正确，符合题意；
∵抛物线交轴于，，
∴抛物线对称轴为直线，
∴，
当时，，
整理得：，故②不正确，不符合题意；
当时，，
当时，，
由②可知，抛物线的对称轴为直线，
∴当时，该二次函数取最小值，
∵，
∴，即，故③不正确，不符合题意；
连接，令对称轴与y轴相交于点E，
∵，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
设该抛物线的解析式为，
把代入得：，
解得：，故④正确，符合题意；
∵，是一元二次方程的两个根，
∴抛物线与直线相交于，
∵抛物线交轴于，，
∴，故⑤不正确，不符合题意；
综上可知：正确的有①④，共2个，
故答案为：A．
【分析】根据抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，可知，
∴，故①正确；把点A，C的坐标代入y=ax2+bx+c可得，解得c=-3a，b=-2a消去a得3b-2c=0，所以 ②不 正确；由②可知，抛物线的对称轴为直线，所以当时，该二次函数取最小值，当时，，即，故③不正确；根据等腰直角三角形的性质可求出，由②结合顶点式可求出，故④正确；由，是一元二次方程的两个根知，抛物线与直线相交于，因为抛物线交轴于，，所以，故⑤不正确.综上可求解.
11．【答案】
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算；积的乘方运算
【解析】【解答】原式=
=
=
=
=
【分析】先利用积的乘方与平方差公式进行计算，再利用二次根式的除法法则进行计算即可求解.
12．【答案】2023
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解： ∵已知是一元二次方程的一个根，
∴m2-m-1=0，
∴m2-m=1，
∴2024-m2+m
=2024-(m2-m)
=2024-1
=2023.
故答案为：2023.
【分析】根据方程的根的定义，把x=m代入一元二次方程，得到m2-m-1=0，m2-m=1，2024-m2+m变形为2024-(m2-m)，把m2-m=1整体代入2024-(m2-m)即可。
13．【答案】2
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】 解：∵在中，，
∴△ADC和△ADB为直角三角形。
∵AC=6，∠C=45°，
∴AD=ACsin45°=6×=6，
直角三角形△ADB中
BD===2，
故答案为：2
【分析】在直角三角形△ADC中利用正弦求出AD，在直角三角形△ADB中利用正切求出BD即可.
14．【答案】
【知识点】垂径定理的实际应用；圆周角定理；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图所示，设AB、CD交于点E，
∵是直径，，＝，
∴∠A=30°，CD=2DE，
∴∠DOE=60°，
Rt△DOE中，OD=2，∠DOE=60°，
∴DE=ODsin60°=2×=，
∴DC=2DF=2，
故答案为：2.
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠A=30°，由圆周角定理的推论确定∠DOE=60°，解直角三角形DOE求出DE，根据垂径定理得DC=2DE即可.
15．【答案】
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵ 点O是的内心，
∴∠OAC=∠BAC，∠OCA=∠BCA，
∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA
=180°-×(∠BAC+∠BCA)，
=180°-×（180°-50°）
=115°，
故答案为：115°.
【分析】根据三角形内心的性质推出∠AOC=180°-×(∠BAC+∠BCA)，再根据三角形的内角和定理即可求解.
16．【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：由图知 不等式的解集为： ，
故答案为： .
【分析】由题可知求不等式的解集也就是探求当自变量取多少时二次函数值小于一次函数值，图像形象直观显示直线下方抛物线介于A、B两点之间，又A、B两点坐标已知，所以可知对应自变量的取值范围。
17．【答案】或
【知识点】相似三角形的性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：设运动时间为时，以点，，为顶点的三角形与相似时，
则，，，
当与对应时，∽，
，
即，
；
当与对应时，∽，
，
即，
，
当以点，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为或，
故答案为：或．
【分析】分类讨论：①当与对应时，∽，②当与对应时，∽，再分别利用相似三角形的性质列出比例式求解即可.
18．【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+ bx+c，当x=2时，该函数取最大值12，
∴a<0，该函数解析式可以写成y=a (x-2)2+12，
∵设该函数图象与x轴的一个交点的横坐标为x1，x1>4，
∴当x=4时，y>0，
即a (4-2)2+12>0，解得，a>-3，
∴a的取值范围是-3故答案为：-3【分析】根据二次函数y=ax2+bx +c，当x=2时，该函数取最大值12，可以写出该函数的顶点式，得到a<0，再根据该函数图象与x轴的一个交点的横坐标为x1，x1>4，可知，当x=4时，y>0，即可得到a的取值范围，本题得以解决.
19．【答案】解：原式
．
【知识点】求特殊角的三角函数值；无理数的混合运算
【解析】【分析】根据绝对值的定义，负整数指数幂及零指数幂和特殊角三角函数值直接计算即可.
20．【答案】（1）解：
或
解得：；
（2）解：
或
解得：．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)利用提公因式法化方程为x(x-4)=0即可；
（2）利用十字相乘法化方程为（2x-1）(x-1)=0即可.
21．【答案】（1）50
（2）解：满足欲望的人数有：（人），
其他的人数有：（人），
补全统计图如下：
（3）
（4）解：（例），
答：所有2800例欺凌事件中有1680例事件是“因琐事”而导致事件发生的．
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：(1) 本次抽样调查的样本容量为 ：30÷60%=50，
故答案为：50.
（2）满足欲望的人数有：（人），
其他的人数有：（人），
补全统计图如下：
（3）解：“因琐事”区域所在扇形的圆心角的度数为：；
故答案为：；
【分析】(1)根据因琐事的人数和所占的百分比即可得出答案；
(2)用总欺凌事件数乘以满足欲望和其他所占的百分比，求出满足欲望的人数和其他人数，从而补全统计图；
(3)用360°乘以“因琐事"所占的百分比即可；
(4)用总欺凌事件数乘以“因琐事所占的百分"即可得出答案.
22．【答案】（1）证明：连接.
∵，∴.
又∵，∴.
∵是的直径，
∴.∴.
又∵是半径，经过的半径外端.
∴是的切线.
（2）解：在△中，
∵，，，
∴.∴.
∵是的切线，切点为，
∴.
在中，
∵，，，
∴.
【知识点】含30°角的直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；切线的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得，则，再根据圆直径所对的圆心角为直角可得，再根据切线的判定定理即可求出答案；
（2）根据含30°角的直角三角形可得，则，再根据切线性质可得，则在中，根据锐角三角函数的定义即可求出答案.
23．【答案】（1）
（2）解：设直线的解析式为，根据题意，得，
解得，
∴y与x之间的函数关系式．
（3）解：设销售该品牌服装的日利润为w元，根据题意，得
∵，
∴w有最大值，
∵，
故当时，w取得最大值，最大值为（元），
答：当销售单价为70元时，每天获利最大，最大获利800元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1） 销售该品牌服装每件的利润=售价-进价= (x-50)元，
故答案为：（x-50）；
【分析】（1）根据利润=售价-进价直接求解即可；
（2）任意选出x，y的对应值，代入一次函数表达式解二元一次方程组即可；
（3）由 日利润 =每件利润×日销售量可以列出函数关系式，利用二次函数的性质求解即可。
24．【答案】解：过点作，垂足为，
由题意得：米，，
∴，
在中，，
∴(米)，
在中，(米)，
∴、之间的距离约为141米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据题意可得：AC = 200米，∠BAC = 105°，∠C = 30°，根据三角形内角和定理可得∠ABD= 45°，在Rt△ACD中，利用含30°角的直角三角形的性质可得AD = 100米，再在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答.
25．【答案】（1）解：将点，代入，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
设直线AB的解析式为，
将点代入解析式，得，
解得：，
∴直线AB的解析式为
（2）解：①将代入中，得，
将代入中，得，
∴，
∴，
∵-1<0，
∴当m=1时，PM有最大值为1；
②∵点M在直线上，且点，
∴点M的坐标为．
∵点，
∴，
∴，
∴，．
当为等腰三角形时，
（ⅰ）若，则，
即，解得．
（ⅱ）若，则，
即，解得或（舍去）．
（ⅲ）若，则，
即，解得或（舍去）．
综上所述，或或
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法求出抛物线和直线AB的解析式；
（2）①将点P的坐标代入抛物线解析式求出n的值，由点P的坐标得点M的坐标，从而求出PM的值，将PM的值化成顶点式，利用二次函数的最值知识即可求解；②由点P的坐标得点M的坐标，求出的值，然后进行分类讨论：当BM=OM、BM=OB、OM=OB时，将这三种情况的边长进行平方，代入相应的数值得关于m的方程，解方程求出m的值，即可求解.
26．【答案】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD = CB，∠DCA= ∠BCA= 45°，
∵CP=CP，
∴△DCP≌△BCP，
∴PD = PB；
②∠DPQ的大小不发生变化，∠DPQ=90°；
理由如下：如图所示：作PM⊥AB，PN⊥AD，垂足分别为点M、N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC = ∠BAC =45°，∠DAB= 90°，
∴四边形AMPN是矩形，PM= PN，
∴∠MPN = 90°，
∵PD=PQ，PM =PN，
∴Rt△DPN≌Rt△QPM(HL)，
∴∠DPN= ∠QPM，
∴∠QPN + ∠QPM = 90°，
∴∠QPN +∠DPN = 90°，
∴∠DPQ =90°；
③AQ=OP；
理由如下：如图所示：作PE⊥AO交AB于点E，作EF⊥OB于点F，作PM⊥AE于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=45°，∠AOB=90°，
∴∠AEP=45°，四边形OPEF是矩形，
∴PAE = ∠PEA= 45°，EF= OP，
∴PA=PE，
∵PD = PB，PD = PQ，
∴PQ= PB，
∵PM⊥AE，
∴QM=BM，AM=EM，
∴AQ= BE，
∵∠EFB= 90°，∠EBF = 45°，
∴，
∴AQ=OP.
（2）解：；
证明：∵四边形是菱形，，
∴，
∴是等边三角形，垂直平分，
∴，
∵，
∴，
作交于点E，交于点G，如图，
则四边形是平行四边形，，，
∴，都是等边三角形，
∴，
作于点M，则，
∴，
∴．
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1）①利用正方形的性质求出CD = CB，∠DCA= ∠BCA= 45°，再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
②利用矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质证明求解即可；
③利用正方形的性质求出∠BAC=45°，∠AOB=90°，再利用锐角三角函数计算求解即可；
（2）利用菱形的性质求出 ， 再求出 ， 最后证明即可。
1 / 1湖南省衡阳市耒阳市广湘初级中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题
一、选择题（共10小题）
1．（2024九上·耒阳期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：A：与不是同类二次根式，不能合并，故不正确，
B：，故正确，
C：，故不正确，
D：，故不正确，
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的加减乘除运算分析。
2．（2024九上·耒阳期末）下列根式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】A、 被开方数含能开得尽方的因数或因式，A不符合题意；
B、 被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，B符合题意；
C、 被开方数含分母，C不符合题意；
D、 被开方数含能开得尽方的因数或因式，D不符合题意.
故答案为：B．
【分析】根据最简二次根式的条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，即可得出答案。
3．（2024九上·耒阳期末）已知函数是二次函数，则等于（　　）
A． B．2 C． D．6
【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：∵m+2≠0，
∴m≠-2，
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的定义可知m+2≠0，解不等式即可求解。
4．（2024九上·耒阳期末）若是方程的两个根，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵ 若是方程的两个根，
∴根据一元二次方程的根与系数的关系得：x1+x2=2.
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系直接求解.
5．（2024九上·耒阳期末）一件商品的原价是240元，经过两次降价后的价格为y元，若设两次的平均降价率为x，则y与x的函数关系式是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二次函数关系式；二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：第一次降价后价格为240(1+x)元，第二次降价后价格为240(1+x)(1+x)=240(1+x)2元，所以 则y与x的函数关系式是y= 240(1+x)2，
故答案为：C.
【分析】 由原价是240元可知， 第一次降价后价格为240(1+x)元，第二次降价后价格为240(1+x)(1+x)=240(1+x)2元，因此可得函数关系式.
6．（2024九上·耒阳期末）在平面直角坐标系中，点（3，5）关于y轴对称的点的坐标是（　　）．
A．（－3，0 ） B．（－3，5 ）
C．（－3，－5） D．（3，－5）
【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解： 点（3，5）关于y轴对称的点的坐标是 （－3，5）， 故A、C、D不正确，
故答案为：B.
【分析】根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等即可求解.
7．（2024九上·耒阳期末）如图，在中，，于点，，，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：
在中，，，
由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
即，
解得.
故答案为：D．
【分析】先利用勾股定理求出，由同角的余角相等得∠ACD=∠BAD，再根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，利用相似三角形对应边成比例，即可求出的长．
8．（2024九上·耒阳期末）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=，BC=m，那么AB的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形
【解析】【解答】解： 在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，∠A=，BC=m，
∴sinα=，
∴AB=，
故答案为：C.
【分析】根据直角三角形的边角关系知：sinα=，可求得AB=.
9．（2024九上·耒阳期末）已知圆锥的母线长为2，底面半径为1，则该圆锥的侧面展开图的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解： ∵圆锥的侧面展开图的弧长c=21=2，
∴圆锥的侧面展开图的面积=×2×2=2，故A、B、D不正确，
故答案为：C.
【分析】圆锥的侧面展开图为扇形，根据扇形的面积公式S=×弧长×半径，由题意可求出弧长为圆锥底面周长，半径为圆锥母线长度，根据面积公式即可求解.
10．（2024九上·耒阳期末）抛物线交轴于，，交轴的负半轴于，顶点为．下列结论：①；②；③当时，；④当是等腰直角三角形时，则；⑤若，是一元二次方程的两个根，且，则．其中正确的有（　　）个
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵图像开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，
∴，
∴，故①正确，符合题意；
∵抛物线交轴于，，
∴抛物线对称轴为直线，
∴，
当时，，
整理得：，故②不正确，不符合题意；
当时，，
当时，，
由②可知，抛物线的对称轴为直线，
∴当时，该二次函数取最小值，
∵，
∴，即，故③不正确，不符合题意；
连接，令对称轴与y轴相交于点E，
∵，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
设该抛物线的解析式为，
把代入得：，
解得：，故④正确，符合题意；
∵，是一元二次方程的两个根，
∴抛物线与直线相交于，
∵抛物线交轴于，，
∴，故⑤不正确，不符合题意；
综上可知：正确的有①④，共2个，
故答案为：A．
【分析】根据抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴，可知，
∴，故①正确；把点A，C的坐标代入y=ax2+bx+c可得，解得c=-3a，b=-2a消去a得3b-2c=0，所以 ②不 正确；由②可知，抛物线的对称轴为直线，所以当时，该二次函数取最小值，当时，，即，故③不正确；根据等腰直角三角形的性质可求出，由②结合顶点式可求出，故④正确；由，是一元二次方程的两个根知，抛物线与直线相交于，因为抛物线交轴于，，所以，故⑤不正确.综上可求解.
二、填空题（共8小题，每题3分，共24分）
11．（2024九上·耒阳期末）计算：　 　．
【答案】
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的混合运算；积的乘方运算
【解析】【解答】原式=
=
=
=
=
【分析】先利用积的乘方与平方差公式进行计算，再利用二次根式的除法法则进行计算即可求解.
12．（2024九上·耒阳期末）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是　 　．
【答案】2023
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解： ∵已知是一元二次方程的一个根，
∴m2-m-1=0，
∴m2-m=1，
∴2024-m2+m
=2024-(m2-m)
=2024-1
=2023.
故答案为：2023.
【分析】根据方程的根的定义，把x=m代入一元二次方程，得到m2-m-1=0，m2-m=1，2024-m2+m变形为2024-(m2-m)，把m2-m=1整体代入2024-(m2-m)即可。
13．（2024九上·耒阳期末）如图，在中，，垂足为点，若，，则等于　 　．
【答案】2
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】 解：∵在中，，
∴△ADC和△ADB为直角三角形。
∵AC=6，∠C=45°，
∴AD=ACsin45°=6×=6，
直角三角形△ADB中
BD===2，
故答案为：2
【分析】在直角三角形△ADC中利用正弦求出AD，在直角三角形△ADB中利用正切求出BD即可.
14．（2024九上·耒阳期末）如图，在中，是直径，，＝，，那么的长等于　 　.
【答案】
【知识点】垂径定理的实际应用；圆周角定理；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：如图所示，设AB、CD交于点E，
∵是直径，，＝，
∴∠A=30°，CD=2DE，
∴∠DOE=60°，
Rt△DOE中，OD=2，∠DOE=60°，
∴DE=ODsin60°=2×=，
∴DC=2DF=2，
故答案为：2.
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠A=30°，由圆周角定理的推论确定∠DOE=60°，解直角三角形DOE求出DE，根据垂径定理得DC=2DE即可.
15．（2024九上·耒阳期末）如图，在中，点是的内心，若，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵ 点O是的内心，
∴∠OAC=∠BAC，∠OCA=∠BCA，
∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA
=180°-×(∠BAC+∠BCA)，
=180°-×（180°-50°）
=115°，
故答案为：115°.
【分析】根据三角形内心的性质推出∠AOC=180°-×(∠BAC+∠BCA)，再根据三角形的内角和定理即可求解.
16．（2024九上·耒阳期末）如图，直线与抛物线交于，两点，其中点，点，不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：由图知 不等式的解集为： ，
故答案为： .
【分析】由题可知求不等式的解集也就是探求当自变量取多少时二次函数值小于一次函数值，图像形象直观显示直线下方抛物线介于A、B两点之间，又A、B两点坐标已知，所以可知对应自变量的取值范围。
17．（2024九上·耒阳期末） 如图，在中，，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止，点的运动速度为，点的运动速度为若，两点同时出发，则当以点，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为　 　
【答案】或
【知识点】相似三角形的性质；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：设运动时间为时，以点，，为顶点的三角形与相似时，
则，，，
当与对应时，∽，
，
即，
；
当与对应时，∽，
，
即，
，
当以点，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为或，
故答案为：或．
【分析】分类讨论：①当与对应时，∽，②当与对应时，∽，再分别利用相似三角形的性质列出比例式求解即可.
18．（2024九上·耒阳期末）已知二次函数，当时，该函数取最大值12．设该函数图象与x轴的一个交点的横坐标为，若，则a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵二次函数y=ax2+ bx+c，当x=2时，该函数取最大值12，
∴a<0，该函数解析式可以写成y=a (x-2)2+12，
∵设该函数图象与x轴的一个交点的横坐标为x1，x1>4，
∴当x=4时，y>0，
即a (4-2)2+12>0，解得，a>-3，
∴a的取值范围是-3故答案为：-3【分析】根据二次函数y=ax2+bx +c，当x=2时，该函数取最大值12，可以写出该函数的顶点式，得到a<0，再根据该函数图象与x轴的一个交点的横坐标为x1，x1>4，可知，当x=4时，y>0，即可得到a的取值范围，本题得以解决.
三、解答题（共8小题，共计66分）
19．（2024九上·耒阳期末）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】求特殊角的三角函数值；无理数的混合运算
【解析】【分析】根据绝对值的定义，负整数指数幂及零指数幂和特殊角三角函数值直接计算即可.
20．（2024九上·耒阳期末）解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
或
解得：；
（2）解：
或
解得：．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】(1)利用提公因式法化方程为x(x-4)=0即可；
（2）利用十字相乘法化方程为（2x-1）(x-1)=0即可.
21．（2024九上·耒阳期末）为降低校园欺凌事件发生的频率，某课题组针对义务教育阶段学生校园欺凌事件发生状况进行调查并分析．课题组对全国可查的2800例欺凌事件发生原因进行抽样调查并分析，所得数据绘制成统计图如下：根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量为　 　．
（2）补全条形统计图；
（3）在欺凌事件发生原因扇形统计图中，“因琐事”区域所在扇形的圆心角的度数为　 　．
（4）估计所有2800例欺凌事件中有多少事件是“因琐事”而导致事件发生的？
【答案】（1）50
（2）解：满足欲望的人数有：（人），
其他的人数有：（人），
补全统计图如下：
（3）
（4）解：（例），
答：所有2800例欺凌事件中有1680例事件是“因琐事”而导致事件发生的．
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：(1) 本次抽样调查的样本容量为 ：30÷60%=50，
故答案为：50.
（2）满足欲望的人数有：（人），
其他的人数有：（人），
补全统计图如下：
（3）解：“因琐事”区域所在扇形的圆心角的度数为：；
故答案为：；
【分析】(1)根据因琐事的人数和所占的百分比即可得出答案；
(2)用总欺凌事件数乘以满足欲望和其他所占的百分比，求出满足欲望的人数和其他人数，从而补全统计图；
(3)用360°乘以“因琐事"所占的百分比即可；
(4)用总欺凌事件数乘以“因琐事所占的百分"即可得出答案.
22．（2024九上·耒阳期末）如图，AB是的直径，AC，BC是弦，点D在AB的延长线上，且，的切线AE与DC的延长线交于点E.
（1）求证：CD是的切线；
（2）若的半径为2，，求AE的长.
【答案】（1）证明：连接.
∵，∴.
又∵，∴.
∵是的直径，
∴.∴.
又∵是半径，经过的半径外端.
∴是的切线.
（2）解：在△中，
∵，，，
∴.∴.
∵是的切线，切点为，
∴.
在中，
∵，，，
∴.
【知识点】含30°角的直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；切线的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得，则，再根据圆直径所对的圆心角为直角可得，再根据切线的判定定理即可求出答案；
（2）根据含30°角的直角三角形可得，则，再根据切线性质可得，则在中，根据锐角三角函数的定义即可求出答案.
23．（2024九上·耒阳期末）某品牌的服装进价为每件50元，调查市场发现，售价不低于50元销售时，日销售量y（件）是关于售价x（元/件）的一次函数，相关数据如下表：
售价x（元/件） 55 60 65 70 …
日销售量y（件） 70 60 50 40 …
请根据题意，完成下列问题：
（1）销售该品牌服装每件的利润是　 　元（用含有x的式子表示）；
（2）求出y与x的函数关系式；
（3）设销售该品牌服装的日利润为w元，那么售价为多少时，当日的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）解：设直线的解析式为，根据题意，得，
解得，
∴y与x之间的函数关系式．
（3）解：设销售该品牌服装的日利润为w元，根据题意，得
∵，
∴w有最大值，
∵，
故当时，w取得最大值，最大值为（元），
答：当销售单价为70元时，每天获利最大，最大获利800元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1） 销售该品牌服装每件的利润=售价-进价= (x-50)元，
故答案为：（x-50）；
【分析】（1）根据利润=售价-进价直接求解即可；
（2）任意选出x，y的对应值，代入一次函数表达式解二元一次方程组即可；
（3）由 日利润 =每件利润×日销售量可以列出函数关系式，利用二次函数的性质求解即可。
24．（2024九上·耒阳期末）如图，A处有一垂直于地面的标杆，热气球沿着与的夹角为的方向升空，到达B处，这时在A处的正东方向200米的C处测得B的仰角为（、B、C在同一平面内）．求A、B之间的距离．（结果精确到1米，）
【答案】解：过点作，垂足为，
由题意得：米，，
∴，
在中，，
∴(米)，
在中，(米)，
∴、之间的距离约为141米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据题意可得：AC = 200米，∠BAC = 105°，∠C = 30°，根据三角形内角和定理可得∠ABD= 45°，在Rt△ACD中，利用含30°角的直角三角形的性质可得AD = 100米，再在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答.
25．（2024九上·耒阳期末）综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，连接，为抛物线部分上一动点（可与A，B两点重合），过点P作轴交直线于点M，交x轴于点N．

（1）求抛物线和直线的解析式．
（2）①求线段的最大值．
②连接，当为等腰三角形时，求m的值．
【答案】（1）解：将点，代入，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
设直线AB的解析式为，
将点代入解析式，得，
解得：，
∴直线AB的解析式为
（2）解：①将代入中，得，
将代入中，得，
∴，
∴，
∵-1<0，
∴当m=1时，PM有最大值为1；
②∵点M在直线上，且点，
∴点M的坐标为．
∵点，
∴，
∴，
∴，．
当为等腰三角形时，
（ⅰ）若，则，
即，解得．
（ⅱ）若，则，
即，解得或（舍去）．
（ⅲ）若，则，
即，解得或（舍去）．
综上所述，或或
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）根据点A、B的坐标，利用待定系数法求出抛物线和直线AB的解析式；
（2）①将点P的坐标代入抛物线解析式求出n的值，由点P的坐标得点M的坐标，从而求出PM的值，将PM的值化成顶点式，利用二次函数的最值知识即可求解；②由点P的坐标得点M的坐标，求出的值，然后进行分类讨论：当BM=OM、BM=OB、OM=OB时，将这三种情况的边长进行平方，代入相应的数值得关于m的方程，解方程求出m的值，即可求解.
26．（2024九上·耒阳期末）（1）[问题探究]
如图1，在正方形中，对角线相交于点O．在线段上任取一点P（端点除外），连接．
①求证：；
②将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在的延长线上的点Q处．当点P在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由；
③探究与的数量关系，并说明理由．
（2）[迁移探究]
如图2，将正方形换成菱形，且，其他条件不变．试探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CD = CB，∠DCA= ∠BCA= 45°，
∵CP=CP，
∴△DCP≌△BCP，
∴PD = PB；
②∠DPQ的大小不发生变化，∠DPQ=90°；
理由如下：如图所示：作PM⊥AB，PN⊥AD，垂足分别为点M、N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC = ∠BAC =45°，∠DAB= 90°，
∴四边形AMPN是矩形，PM= PN，
∴∠MPN = 90°，
∵PD=PQ，PM =PN，
∴Rt△DPN≌Rt△QPM(HL)，
∴∠DPN= ∠QPM，
∴∠QPN + ∠QPM = 90°，
∴∠QPN +∠DPN = 90°，
∴∠DPQ =90°；
③AQ=OP；
理由如下：如图所示：作PE⊥AO交AB于点E，作EF⊥OB于点F，作PM⊥AE于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC=45°，∠AOB=90°，
∴∠AEP=45°，四边形OPEF是矩形，
∴PAE = ∠PEA= 45°，EF= OP，
∴PA=PE，
∵PD = PB，PD = PQ，
∴PQ= PB，
∵PM⊥AE，
∴QM=BM，AM=EM，
∴AQ= BE，
∵∠EFB= 90°，∠EBF = 45°，
∴，
∴AQ=OP.
（2）解：；
证明：∵四边形是菱形，，
∴，
∴是等边三角形，垂直平分，
∴，
∵，
∴，
作交于点E，交于点G，如图，
则四边形是平行四边形，，，
∴，都是等边三角形，
∴，
作于点M，则，
∴，
∴．
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；四边形的综合
【解析】【分析】（1）①利用正方形的性质求出CD = CB，∠DCA= ∠BCA= 45°，再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
②利用矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质证明求解即可；
③利用正方形的性质求出∠BAC=45°，∠AOB=90°，再利用锐角三角函数计算求解即可；
（2）利用菱形的性质求出 ， 再求出 ， 最后证明即可。
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