资源简介

1.1.2　子集和补集
【学习目标】
1.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.(数学抽象、逻辑推理)
2.了解全集的概念，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集.(数学抽象、数学运算)
3.能理解用Venn图表示集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用.(直观想象)
【自主预习】
1.集合与集合之间的关系有哪几种 如何用符号表示这些关系
2.集合的子集、真子集是怎么定义的
3.空集和其他集合间具有什么关系
4.补集与全集的关系是什么
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空集没有子集. (　 　)
(2)若集合A是集合B的真子集，则集合B中必定存在元素不在集合A中. (　 　)
(3)若a∈A，集合A是集合B的子集，则必定有a∈B. (　 　)
(4)一个集合的补集中一定含有元素. (　 　)
2.已知集合M={x|x2=4}，N为自然数集，则下列结论正确的是(　 　).
A.{2}=M　　　　　　　 B.2 M
C.-2∈M D.M N
3.写出集合{-1，1}的所有子集：　　　　.
4.已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，5，7}，则UA=　　　　.
【合作探究】
探究1　子集与真子集
小明同学与小李同学在讨论集合A={x|x是正方形}，B={x|x是菱形}，C={x|x是平行四边形}之间的关系时，
小明说：“所有的正方形都是菱形，所以集合A属于集合B；所有的菱形都是平行四边形，所以集合B属于集合C.”
小李说：“集合A，B，C的关系只能用图形表示.”
问题1：小明说的是否正确
问题2：小李说的是否正确
1.子集
(1)如果集合A的　　　　都是集合B的元素，就说　　　　，或者说　　　　，记作　　　　(或　　　　)，读作“A包含于B”(或“B包含A”).
(2)若集合A包含于集合B，则称集合A是集合B的一个子集.
(3)子集的性质
①每个集合都是它自己的子集，即A A.
②空集包含于任意集合，是任意集合的子集.
2.集合相等
如果A B并且B A，那么就说两个集合相等，记作A=B.
3.真子集
如果　　　　，就说集合A是集合B的真子集，记作A B，读作“　　　　”.
4.Venn图
大圆和小圆分别表示两个集合，小圆画在大圆里，表示前者是后者的真子集.这类表示集合间关系的示意图叫作Venn图.如B A可用Venn图表示为
5.包含关系具有传递性
对于集合A，B，C，如果A B，且B C，那么　　　　；如果A B，且B C，那么　　　　.
例1　(1)已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={1，2}，C={x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空：A　　　　B，A　　　　C，{2}　　　　C，2　　　　C.
(2)已知M={y|y=x2-2x-1，x∈R}，N={x|-2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是　　　　.
(3)集合M={1，2，3}的真子集个数是(　 　).
A.6 B.7 C.8 D.9
【方法总结】判断集合间关系的方法 (1)定义法 ①对任意x∈A，均有x∈B，则A B. ②当A B时，存在x∈B，且x A，则A B. ③若既有A B，又有B A，则A=B. (2)数形结合法 对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合直观地进行判断，但要注意端点值的取舍.
设x，y∈R，A={(x，y)|y=x}，B=(x，y)=1，则集合A，B之间的关系是　　　　.
能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}之间的关系的Venn图是(　 　).
A　　　　　B　　　　C　　　　D
满足{1，2} M {1，2，3，4，5}的集合M有　　　　个.
探究2　补集
观察下列三个集合：
S={x|x是高一年级的同学}，
A={x|x是高一年级参加军训的同学}，
B={x|x是高一年级没有参加军训的同学}.
问题1：如何确定高一年级的同学中谁参加了军训
问题2：集合S与集合A，B之间有什么关系
问题3：如何在全集S中研究相关集合A和B之间的关系呢
1.全集
如果在某个特定的场合，要讨论的对象都是集合U的　　　　，就可以约定把集合U叫作全集(或基本集).
2.补集
若集合A是全集U的子集，则U中所有不属于A的元素组成的子集叫作A的补集，记作　　　　　　，
即UA=　　　　，其Venn图表示如图所示.
当U可以从上下文确定时，A的补集也可以记作.注意UA仍是U的一个子集，显然U(UA)=A.一般地，不论A是否是B的子集，都可用B\A表示B中不属于A的元素组成的集合，它是B的一个子集.
例2　(1)设集合A={x|x≤3}，B={x|x≤1}，则AB=(　 　).
A.{x|1B.{x|1≤x<3}
C.{x|1≤x≤3}
D.{x|x≤3}
(2)已知全集为U，集合A={1，3，5，7}，UA={2，4，6}，UB={1，4，6}，则集合B=　　　　.
【方法总结】求补集UA的方法 (1)列举法表示：从全集U中去掉属于集合A的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合. (2)由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U中集合A以外的所有元素组成的集合.
(多选题)已知全集U=R，集合A={x|1≤x≤3或4A.UA={x|x<1或3B.UB={x|x<2或x≥5}
C.UA UB
D.UB UA
探究3　利用集合间的关系求参数
例3　已知集合A={x|-2≤x≤5}.若A C，且C B，B={x|m-6≤x≤2m-1}，求实数m的取值范围.
例4　设全集U={3，6，m2-m-1}，A={|3-2m|，6}，UA={5}，求实数m.
【方法总结】利用集合的关系求解参数问题 (1)利用集合的关系求解参数的取值范围问题，常涉及两个集合，其中一个集合含有参数，另一个集合已知，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题.(2)空集是任何集合的子集，因此在解A B(B≠ )的含参数的问题时，要注意讨论A= 和A≠ 两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面的后果.(3)集合A与UA中没有公共元素：若集合中元素个数有限时，利用补集定义并结合Venn图求解；若集合中元素有无限个，可利用数轴分析法求参数.
已知集合M={x|x2+2x-a=0}.
(1)若 M，求实数a的取值范围；
(2)若N={x|x2+x=0}，且M N，求实数a的取值范围.
已知全集U=R，集合P={x|x≤0或x≥6}，M={x|a【随堂检测】
1.(多选题)已知集合M={0，1}，则下列式子正确的是(　 　).
A.0∈M B.{1}∈M
C. M D.{0，1} M
2.已知集合A={a，b}，那么集合A的所有子集为(　 　).
A.{a}，{b} B.{a，b}
C.{a}，{b}，{a，b} D. ，{a}，{b}，{a，b}
3.已知全集U={x|-34.已知集合A={x|x2-3x+2=0}，集合B={x|mx-1=0}.
(1)求A；
(2)若B A，求实数m的取值集合.
参考答案
1.1.2　子集和补集
自主预习
预学忆思
1.集合与集合之间的关系有包含、真包含或相等，包含用符号“ ”表示，真包含用符号“ ”表示，相等用符号“=”表示.
2.若A包含于B，则A是B的一个子集；若A B但A≠B，则A是B的真子集.
3.空集是任何一个集合的子集，是任何非空集合的真子集.
4.补集是全集的子集.
自学检测
1.(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2.C　【解析】由题意知，M={-2，2}，而N为自然数集，则-2 N，2∈N且-2，2∈M，所以{2} M，故A，B，D错误，C正确.
3. ，{-1}，{1}，{-1，1}　【解析】由子集的定义，得集合{-1，1}的所有子集有 ，{-1}，{1}，{-1，1}.
4.{2，4，6}　【解析】因为全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，3，5，7}，所以UA={2，4，6}.
合作探究
探究1　情境设置
问题1：不正确，这是两个集合之间的关系，应该是集合A包含于集合B，集合B包含于集合C.
问题2：不正确，可以用封闭图形来表示，如图，也可以用符号表示，如A B C.
新知生成
1.(1)每个元素　A包含于B　B包含A　A B　B A
3.A B但A≠B　A真包含于B
5.A C　A C
新知运用
例1　(1)=　 　 　∈　(2)N M　(3)B
【解析】(1)由题意得A={1，2}，B={1，2}，C={0，1，2，3，4，5，6，7}，∴A=B，A C，{2} C，2∈C.
(2)∵y=(x-1)2-2≥-2，∴M={y|y≥-2}，∴N M.
(3)集合M的真子集有 ，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}和{2，3}，共7个，故选B.
巩固训练1　B A　【解析】因为B=={(x，y)|y=x，且x≠0}，所以B A.
巩固训练2　B　【解析】由x2-x=0，得x=1或x=0，故N={0，1}，易得N M，其对应的Venn图如选项B所示.
巩固训练3　7　【解析】由题意得，{1，2} M {1，2，3，4，5}，可以确定集合M必含有元素1，2，且至少含有元素3，4，5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有三个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}；
含有四个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}；
含有五个元素：{1，2，3，4，5}.
故满足题意的集合M共有7个.
探究2　情境设置
问题1：如果我们直接去统计张三、李四、王五等人谁参加了军训，这样做可就麻烦多了.若确定出没有参加军训的同学，则剩下的同学都参加了军训，问题可就简单多了.
问题2：A∪B=S，A∩B= .
问题3：由所有属于集合S但不属于集合A的元素组成的集合就是集合B.
新知生成
1.元素或子集
2.UA　{x|x∈U，且x A}
新知运用
例2　(1)A　(2){2，3，5，7}　【解析】(1)∵集合A={x|x≤3}，B={x|x≤1}，∴借助数轴可知AB={x|1(2)∵A={1，3，5，7}，UA={2，4，6}，∴U={1，2，3，4，5，6，7}，又UB={1，4，6}，∴B={2，3，5，7}.
巩固训练　AB　【解析】由补集的定义知A，B正确；由子集的定义知C，D都不正确.
探究3
例3　【解析】因为A C，且C B，所以A B，则即解得3≤m≤4，所以实数m的取值范围是{m|3≤m≤4}.
例4　【解析】∵UA={5}，∴5∈U且|3-2m|=3，
即
由m2-m-1=5，得m2-m-6=0，
∴m=-2或m=3.
由|3-2m|=3，得m=0或m=3.
故m=3.
巩固训练1　【解析】(1)由题意得，方程x2+2x-a=0有实数解，
∴Δ=22-4×(-a)≥0，解得a≥-1，
即实数a的取值范围为{a|a≥-1}.
(2)∵N={x|x2+x=0}={0，-1}，且M N，
∴当M= 时，Δ=22-4×(-a)<0，得a<-1.
当M≠ 时，若Δ=0，则a=-1，
此时M={-1}，满足M N，符合题意；
若Δ>0，则a>-1，M中有两个元素，
∵M N，∴M=N，∴无解.
综上所述，实数a的取值范围为{a|a≤-1}.
巩固训练2　{x|0【解析】∵全集U=R，∴UP={x|0若M= ，即a≥2a+4，解得a≤-4，符合M UP.
若M≠ ，要使M UP，则需解得0≤a≤1.
综上，实数a的取值范围为{a|a≤-4或0≤a≤1}.
随堂检测
1.ACD　【解析】∵M={0，1}，∴0∈M， M，{0，1} M，故A，C，D均正确.
2.D　【解析】由题意得，集合A={a，b}的子集有 ，{a}，{b}，{a，b}.故选D.
3.{x|-3【解析】∵U={x|-34.【解析】(1)由x2-3x+2=0，解得x=1或x=2，故A={1，2}.
(2)当B= 时，m=0符合条件；
当B≠ ，即m≠0时，B=，由B A可得=1或=2，解得m=1或m=.综上，m的取值集合为0，，1.1.1.1　课时2　表示集合的方法
【学习目标】
1.初步掌握集合的两种表示方法——列举法、描述法，感受集合语言的意义和作用.(数学抽象)
2.会用集合的两种表示方法表示一些简单的集合.(数学抽象)
3.掌握区间的概念，能用区间表示集合.(数学抽象)
【自主预习】
1.集合的表示方法有哪些
2.列举法的使用条件是什么
3.描述法的使用条件是什么
4.集合{x|a≤x≤b}(a1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)一个集合可以表示为{s，k，t，k}. (　 　)
(2)集合{-5，-8}和{(-5，-8)}表示同一个集合. (　 　)
(3)实数集R可以表示为[-∞，+∞]. (　 　)
(4)集合{x|x>3，且x∈N}与集合(3，+∞)表示同一个集合. (　 　)
2.方程x2-1=0的解集用列举法表示为(　 　).
A.{x2-1=0}　　　　 B.{x∈R|x2-1=0}
C.{-1，1} D.以上都不对
3.集合{x|24.由大于-1且小于5的自然数组成的集合用列举法表示为　　　　，用描述法表示为　{x∈N|-1【合作探究】
探究1　列举法
(1)我国现有的所有直辖市；
(2)12的所有正因数.
问题1：(1)(2)能构成一个集合吗 若能，集合的元素有何特点
问题2：可以用什么样的方法表示(1)(2)所构成的集合
问题3：a与{a}是否相同
1.列举法的定义
把集合中的元素　　　　出来表示集合的方法，叫作列举法.
2.列举法的表示
用列举法表示集合，常用的格式是在一个大括号里写出每个元素的名字，相邻的名字用逗号分隔.
注意：用列举法表示集合的类型
(1)当元素个数少时，全部列举，如{1，2，3，4}.
(2)当元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1，2，3，…，1 000}.
(3)当元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如“自然数集N”可以表示为{0，1，2，3，…}.
例1　用列举法表示下列集合：
(1)满足-2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A；
(2)方程(x-2)2(x-3)=0的解组成的集合B；
(3)15的正约数组成的集合C.
(4)直线y=2x+1与y轴的交点所组成的集合.
【方法总结】用列举法表示集合的注意点
(1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素.
(2)若集合中的元素是点，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.
用列举法表示下列集合：
(1)11以内非负偶数的集合；
(2)方程(x+1)(x2-4)=0的所有实数根组成的集合；
(3)一次函数y=2x与y=x+1的图象的交点组成的集合.
探究2　描述法
问题1：不等式x-2<3的解集中的元素有什么共同特征
问题2：如何用描述法表示不等式x-2<3的解集
问题3：下列四个集合是否相同
①A={x|y=x2+1}；②B={y|y=x2+1}；
③C={(x，y)|y=x2+1}；④P={y=x2+1}.
1.描述法的概念
把集合中元素　　　　，也只有该集合中元素才有的属性描述出来，以确定这个集合的方法，叫作描述法.
2.描述法的表示
用描述法表示集合，一般的格式是在一个大括号里写出集合中元素的共有属性.若集合用一句话描述不方便，则通常在大括号里先写出集合元素的一般属性或形式，再画一条竖线，然后在竖线后面列出这些元素要满足的相关条件.
例2　用描述法表示下列集合：
(1)所有被3整除的整数组成的集合；
(2)不等式2x-3>5的解集；
(3)方程x2+x+1=0的所有实数解组成的集合；
(4)抛物线y=-x2+3x-6上所有的点组成的集合；
(5)集合{1，3，5，7，9}.
【方法总结】用描述法表示集合的注意问题
(1)写清楚该集合的代表元素，如数或点等.
(2)说明该集合中元素的共同属性.
(3)不能出现未被说明的字母.
(4)所有描述的内容都要写在大括号内，用于描述的内容力求简洁、准确.
用适当的方法表示下列集合：
(1)组成中国国旗的颜色名称的集合；
(2)方程组的解集；
(3)奇数组成的集合；
(4)平面直角坐标系内第一象限的点组成的集合.
探究3　区间的概念及表示
问题：你能用除描述法之外的方法表示不等式x-2<3的解集吗
区间的定义、名称、符号及数轴表示如下表(其中a定义 名称 符号 数轴表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 　　　　　
{x|a{x|a≤x{x|a{x|x≥a} 　　　　　
{x|x>a} 　　　　　
{x|x≤a} 　　　　　
{x|xR 　　　　　 取遍数轴上所有的值
特别提醒：(1)“∞”读作无穷大，是一个符号，不是数，当以-∞或+∞作为区间的一端时，这一端必须是小括号；
(2)区间是数集的另一种表示方法，区间的两个端点必须保证左小、右大.
例3　用区间表示下列集合：
(1)；
(2)不等式-2x<-4的所有解组成的集合.
【方法总结】用区间表示集合，要注意端点值能否取到，能取到用闭区间，取不到用开区间.
用区间表示下列集合.
(1){x|x≥-2}：　　　　.
(2){x|1≤x<3}：　　　　.
(3){x|-3(4)R+：　　　　.
【随堂检测】
1.集合{x∈N+|x-3<2}用列举法可表示为(　 　).
A.{0，1，2，3，4} B.{1，2，3，4}
C.{0，1，2，3，4，5} D.{1，2，3，4，5}
2.集合{x|x≤-2}用区间可表示为　　　　.
3.用描述法表示方程x<-x-3的解集为　　　　.
4.用另一种方法表示下列集合：
(1){-3，-1，1，3，5}；
(2)已知M={2，3}，P={(x，y)|x∈M，y∈M}，写出集合P.
参考答案
1.1.1　课时2　表示集合的方法
自主预习
预学忆思
1.列举法和描述法.
2.所有元素能一一列举出来.
3.集合中的所有元素具有共同特征.
4.它们相等，都表示数集.
自学检测
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2.C　【解析】解方程x2-1=0，得x=±1，故方程x2-1=0的解集为{-1，1}.
3.(2，5]
4.{0，1，2，3，4}　{x∈N|-1合作探究
探究1　情境设置
问题1：能，集合中的元素有限，可以一一列出.
问题2：列举法.(1)表示的集合为{北京市，上海市，天津市，重庆市}；(2)表示的集合为{1，2，3，4，6，12}.
问题3：a与{a}是完全不同的，{a}表示一个集合，这个集合由一个元素a构成，a是集合{a}的元素.
新知生成
1.一一列举
新知运用
例1　【解析】(1)因为-2≤x≤2，x∈Z，
所以x=-2，-1，0，1，2，
所以A={-2，-1，0，1，2}.
(2)因为2和3是方程的解，所以B={2，3}.
(3)因为15的正约数有1，3，5，15四个数字，
所以C={1，3，5，15}.
(4)将x=0代入y=2x+1，得y=1，即交点是(0，1)，故交点组成的集合是{(0，1)}.
巩固训练　【解析】(1)11以内的非负偶数有0，2，4，6，8，10，所以构成的集合为{0，2，4，6，8，10}.
(2)(x+1)(x2-4)=0的根为x1=-1，x2=2，x3=-2，所以该方程的所有实数根组成的集合为{-2，-1，2}.
(3)由解得所以两个函数图象的交点为(1，2)，构成的集合为{(1，2)}.
探究2　情境设置
问题1：元素的共同特征为x∈R，且x<5.
问题2：{x∈R|x<5}.
问题3：互不相同.①A={x|y=x2+1}表示使函数y=x2+1有意义的自变量x的取值范围，且x的取值范围是R，因此A=R；
②B={y|y=x2+1}表示函数y=x2+1中的函数值y的取值范围，而y的取值范围是y=x2+1≥1，因此B={y|y≥1}；
③C={(x，y)|y=x2+1}表示满足y=x2+1的点(x，y)组成的集合，因此C表示函数y=x2+1的图象上的点组成的集合；
④P={y=x2+1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素，且此元素是一个式子y=x2+1.
新知生成
1.共有的
新知运用
例2　【解析】(1){x|x=3k，k∈Z}.
(2){x|x>4}.
(3){x|x2+x+1=0}.
(4){(x，y)|y=-x2+3x-6}.
(5){x|x=2n-1，1≤n≤5且n∈N+}.
巩固训练　【解析】(1)组成中国国旗的颜色名称的集合用列举法表示为{红色，黄色}.
(2)由解得故方程组的解集为{(1，2)}.
(3)奇数组成的集合为{x|x=2k-1，k∈Z}.
(4)平面直角坐标系内第一象限的点组成的集合为{(x，y)|x>0，y>0，x∈R，y∈R}.
探究3　情境设置
问题：可以，区间.
新知生成
[a，b]　(a，b)　[a，b)　(a，b]　[a，+∞)　(a，+∞)
(-∞，a]　(-∞，a)　(-∞，+∞)
新知运用
例3　【解析】(1)区间表示为(-2，3].
(2)由-2x<-4，得x>2，解集为(2，+∞).
巩固训练　(1)[-2，+∞)　(2)[1，3)　(3)(-3，0]∪(1，2)　(4)(0，+∞)　【解析】(1){x|x≥-2}=[-2，+∞).
(2){x|1≤x<3}=[1，3).
(3){x|-3(4)R+=(0，+∞).
随堂检测
1.B　【解析】{x∈N+|x-3<2}={x∈N+|x<5}={1，2，3，4}.
2.(-∞，-2]　【解析】{x|x≤-2}表示小于或等于-2的数组成的集合，即用区间表示为(-∞，-2].
3.xx<-　【解析】∵x<-x-3，∴x<-，
∴解集为xx<-.
4.【解析】(1){x|x=2k-1，k∈Z且-1≤k≤3}.
(2)P={(2，2)，(3，3)，(2，3)，(3，2)}.1.1.3　集合的交与并
【学习目标】
1.理解两个集合的交集与并集的含义，能求两个集合的交集与并集.(数学抽象、数学运算)
2.能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用.(直观想象、数学运算)
3.掌握交集与并集的相关性质并会应用.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.两个集合的交集与并集的含义是什么
2.如何用Venn图表示集合的交集和并集
3.交集和并集有哪些性质
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若A，B中分别有2个元素，则A∪B中必有4个元素. (　 　)
(2)若A∪B=A，B≠ ，则B中的每个元素都属于集合A. (　 　)
(3)并集定义中的“或”能改为“和”. (　 　)
(4)若A∩B=C∩B，则A=C. (　 　)
2.已知集合P={x|x<3}，Q={x|-1≤x≤4}，那么P∪Q=(　 　).
A.{x|-1≤x<3}　　　　　　　B.{x|-1≤x≤4}
C.{x|x≤4} D.{x|x≥-1}
3.若集合A={x|-32}，C={x|x≤-3}，则A∩B=　　　　，A∩C=　　　　.
4.已知集合M={x|2x-4=0}，集合N={x|x2-3x+m=0}.若M∩N=M，则实数m的值为　　　　.
【合作探究】
探究1　两个集合的交
妈妈去超市买水果，洋洋喜欢吃葡萄、圣女果、苹果、橙子、枇杷，哥哥喜欢吃圣女果、香梨、苹果、樱桃.
问题1：妈妈哪些水果要多买一些
问题2：若将洋洋喜欢吃的水果构成的集合记为A，哥哥喜欢吃的水果构成的集合记为B，两人都喜欢吃的水果构成的集合记为C，如何表达这三个集合之间的关系
问题3：如何用Venn图表示上述三个集合的关系
交集的概念
1.自然语言：把所有既属于集合A　　　　属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”).
2.符号语言：A∩B=　　　　.
3.图形语言：
例1　(1)设集合M={m∈Z|-3A.{0，1}　 B.{-1，0，1}
C.{0，1，2} D.{-1，0，1，2}
(2)已知集合A={(x，y)|y=2x2-x}，B={(x，y)|y=2(x+1)}，则A∩B=　　　　　　.
【方法总结】1.离散型集合交集的运算，多借助定义或Venn图求解.
2.若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解A∩B，取它们的公共部分.但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示.
已知M={(x，y)|x+y=2}，N={(x，y)|x-y=4}，则M∩N=(　 　).
A.x=3，y=-1
B.(3，-1)
C.{3，-1}
D.{(3，-1)}
已知A=(1，6)，B=(4，8)，则A∩B=　　　　.
探究2　两个集合的并
某次校运动会上，高一(1)班有10人报名参加田赛，有12人报名参加径赛.
问题1：若没有人两项都报，你能算出高一(1)班参赛的人数吗
问题2：若两项都报的有3人，你能算出高一(1)班参赛的人数吗
问题3：如何用Venn图表示问题2中的案例
并集的概念
1.自然语言：把集合A，B中的元素　　　　组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”).
2.符号语言：A∪B=　　　　.
3.图形语言：
例2　(1)已知集合M={x∈N+|x<8}，N={-1，4，5，7}，则M∪N=(　 　).
A.{4，5，7}
B.{1，2，3，4，5，6，7}
C.{-1，4，5，7}
D.{-1，1，2，3，4，5，6，7}
(2)已知集合A=，B={x|3>2x-1}，则A∪B=　　　　.
【方法总结】1.离散型集合并集的运算，多借助定义或Venn图求解. 2.若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解A∪B.但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示.
已知集合M={x|-35}，则M∪N=(　 　).
A.{x|-5B.{x|x<-5或x>-3}
C.{x|-3D.{x|x<-3或x>5}
探究3　交、并、补集的综合运算
例3　已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥1}，则集合U(A∪B)=(　 　).
A.{x|x≥0} B.{x|x≤1}
C.{x|0≤x≤1} D.{x|0【方法总结】解决集合交、并、补运算的技巧 (1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助Venn图来求解. (2)如果所给集合是无限实数集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题.
已知全集U=R，A=[-4，2)，B=(-1，3]，P=(-∞，0]∪，求A∩B，(UB)∪P，(A∩B)∩(UP).
探究4　集合交与并的运算性质
1.交集的性质
(1)A∩A=A，A∩ = ，A∩B=B∩A；
(2)A∩B A；
(3)A∩B=A A B.
2.并集的性质
(1)A∪A=A，A∪ =A，A∪B=B∪A；
(2)A A∪B；
(3)A∪B=B A B.
例4　 已知集合A={x|x≤-1或x≥3}，B={x|aA.3≤a<4
B.-1C.a≤-1
D.a<-1
【变式探究1】例题中“A∪B=R”，变成“A∪B=A”，求实数a的取值范围.
【变式探究2】例题中“B={x|a【方法总结】利用集合交集、并集的性质解题的方法：(1)在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∩B=A，A∪B=B等这类问题，解答时常借助交集、并集的定义及上节学习的集合间的关系进行分析，如A∩B=A A B，A∪B=B A B等，解答时应灵活处理；(2)当集合B A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，那么运算时要考虑B= 的情况，切不可漏掉.
已知集合A={1，2，2a}，B={1，a2+1}，若A∪B=A，则实数a的值为(　　).
A.1或-1
B.1
C.0
D.-1
(2)若集合A={x|-3≤x≤5}，B={x|2m-1≤x≤2m+9}，A∪B=B，则实数m的取值范围是　　　　.
【随堂检测】
1.设U=R，A={x|x>0}，B={x|x>1}，则A∩(UB)=(　 　).
A.{x|0≤x<1} B.{x|0C.{x|x<0} D.{x|x>1}
2.(多选题)设A={x|x2-8x+12=0}，B={x|ax-1=0}，若A∩B=B，则实数a的值可以是(　 　).
A.0 B.
C. D.2
3.满足{1，3}∪A={1，3，5}的所有集合A的个数是(　 　).
A.1 B.2
C.3 D.4
4.已知集合A={x|x≥3}，B={x|1≤x≤7}，C={x|x≥a-1}.
(1)求A∩B，A∪B；
(2)若C∪A=A，求实数a的取值范围.
参考答案
1.1.3　集合的交与并
自主预习
预学忆思
1.把所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集；把集合A，B中的元素放在一起组成的集合，叫作A与B的并集.
2.两个集合A，B交集的Venn图如图1所示，两个集合A，B并集的Venn图如图2所示.
图 1　　　　　　　　　　图 2
3.交集和并集的性质如下：
A∩A=A，A∩ = ，A∩B=B∩A，A∪A=A，A∪ =A，A∪B=B∪A.
自学检测
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2.C　【解析】在数轴上表示出两个集合，如图，可得P∪Q={x|x≤4}.
3.{x|24.2　【解析】由题意得M={2}，
∵M∩N=M，∴M N.
∵M={2}，∴2∈N，∴4-6+m=0，
解得m=2.
合作探究
探究1　情境设置
问题1：两人都喜欢吃的水果是圣女果、苹果，所以这两种水果要多买一些.
问题2：洋洋喜欢吃的水果构成的集合A={葡萄，圣女果，苹果，橙子，枇杷}，哥哥喜欢吃的水果构成的集合B={圣女果，香梨，苹果，樱桃}，两人都喜欢吃的水果构成的集合C={圣女果，苹果}，则集合C为集合A和集合B的公共部分.
问题3：
新知生成
1.又
2.{x|x∈A且x∈B}
新知运用
例1　(1)B　(2)，(2，6)　【解析】(1)易知M={-2，-1，0，1}，N={-1，0，1，2，3}，根据交集定义可知M∩N={-1，0，1}，故选B.
(2)由得或
∴A∩B=，(2，6).
巩固训练1　D　【解析】由得故M∩N={(3，-1)}.
巩固训练2　(4，6)　【解析】借助数轴得A∩B=(4，6).
探究2　情境设置
问题1：能，高一(1)班参赛的人数为10+12=22.
问题2：能，19人.参赛人数包括参加田赛的，也包括参加径赛的，但由于元素互异性的要求，两项都报的不能重复计算，故有10+12-3=19(人).
问题3：
新知生成
1.放在一起
2.{x|x∈A或x∈B}
新知运用
例2　(1)D　(2){x|x<3}　【解析】(1)易知M={1，2，3，4，5，6，7}，则M∪N={-1，1，2，3，4，5，6，7}.
(2)解不等式组得-2解不等式3>2x-1，得x<2，则B={x|x<2}.
用数轴表示集合A和B，如图所示，
则A∪B={x|x<3}.
巩固训练　B　【解析】如图，在数轴上标出集合M，N，阴影部分即为M∪N，则M∪N={x|x<-5或x>-3}.
探究3
例3　D　【解析】A∪B={x|x≤0或x≥1}，则U(A∪B)={x|0巩固训练　【解析】将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示：
因为U=R，A=[-4，2)，B=(-1，3]，
所以A∩B=(-1，2)，
UB=(-∞，-1]∪(3，+∞).
又P=(-∞，0]∪，
所以(UB)∪P=(-∞，0]∪.
又UP=，
所以(A∩B)∩(UP)=(-1，2)∩=(0，2).
探究4
新知运用
例4　C　【解析】利用数轴，如图，若A∪B=R，则a≤-1.
变式探究1　【解析】当a≥4时，集合B为空集，满足题意；
当a<4时，若要满足A∪B=A，必有{a|a≥3}.
综上，实数a的取值范围是{a|a≥3}.
变式探究2　【解析】当a≥2时，集合B为空集，满足题意；
当a<2时，则有a≥-1且4-a<3，故有1综上，实数a的取值范围是{a|a>1}.
巩固训练　(1)D　(2){m|-2≤m≤-1}　【解析】(1)∵集合A={1，2，2a}，B={1，a2+1}，A∪B=A，∴B A，
∴a2+1=2或a2+1=2a，解得a=±1，
当a=1时，2a=2，不满足集合中元素的互异性；
当a=-1时，A={1，2，-2}，B={1，2}，符合题意.
∴实数a的值为-1.故选D.
(2)∵A∪B=B，
∴A B，如图所示，
∴解得-2≤m≤-1，
∴实数m的取值范围为{m|-2≤m≤-1}.
随堂检测
1.B　【解析】∵B={x|x>1}，∴UB={x|x≤1}，∴A∩(UB)={x|02.ABC　【解析】由题意得，A={2，6}，因为A∩B=B，所以B A.
若B= ，则a=0，满足题意；
若B≠ ，则a≠0，此时B=，因为B A，所以=2或=6，解得a=或a=.
综上，a=0或a=或a=.故选ABC.
3.D　【解析】由{1，3}∪A={1，3，5}，知A {1，3，5}且A中一定含有元素5，因此集合A可以是{5}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}，共4个.故选D.
4.【解析】(1)由题意得，A∩B={x|3≤x≤7}，A∪B={x|x≥1}.
(2)因为C∪A=A，所以C A，
所以a-1≥3，即a≥4，
故a的取值范围为[4，+∞).1.1.1　课时1　集合与元素
【学习目标】
1.通过实例，了解集合的含义，理解集合与它的元素之间的归属关系.(数学抽象、逻辑推理)
2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合.(数学抽象)
3.在具体情境中，了解空集的含义.(数学抽象)
【自主预习】
1.在初中，我们学习数的分类时，学过哪些数的集合
2.如何用字母表示集合与元素
3.元素与集合之间有哪些关系
4.空集中有元素吗 它是无限集吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)集合中的元素一定是数. (　 　)
(2)集合N中的最小元素为0. (　 　)
(3)空集 =0. (　 　)
2.下面能构成集合的是(　 　).
A.中国的小河流　 　　B.大于5且小于11的偶数
C.高一年级的优秀学生 D.某班级跑得快的学生
3.下列元素与集合的关系判断正确的是　　　　.(填序号)
①0∈N；②π∈Q；③∈Q；④-1∈Z；⑤ R.
4.已知集合M只有两个元素3和a+1，且4∈M，则实数a=　　　　.
【合作探究】
探究1　集合与元素的概念
集合论是现代数学的基础，创始者是德国数学家康托尔.康托尔在研究函数论时产生了探索无穷集和超穷数的兴趣.康托尔肯定了无穷数的存在，并对无穷问题进行了哲学的讨论，最终建立了较完善的集合理论，为现代数学的发展打下了坚实的基础.
问题1：初中我们接触了哪些集合
问题2：所有的“美景”能否构成集合
1.集合与集合的元素
把一些对象放在一起考虑时，就说这些对象组成了一个　　　　.这些对象的总的名称，就是这个集合的名字.这些对象中的每一个，都叫作这个集合的一个　　　　.
2.元素与集合的关系
若S是一个集合，a是S的一个元素，记作a∈S，读作“a属于S”；若a不是S的元素，记作a S(或a S)，读作“a不属于S”.
3.集合的基本属性
(1)互异性：同一集合中的元素是互不相同的.
(2)确定性：集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何一个元素属于或不属于这个集合是确定的.
(3)无序性：集合中的元素没有顺序.
例1　(1)(多选题)下列说法正确的是(　 　).
A.小于8的正整数能组成一个集合
B.方程x(x-1)=0的解能组成一个集合
C.由-1，0，1组成的集合和由-50，1，0组成的集合不相等
D.某班个子较高的同学能够组成一个集合
(2)(多选题)由不超过5的实数组成的集合A与元素a=+的关系有(　 　).
A.a∈A B.a2∈A
C.∈A D.a+1∈A
(3)已知集合A中元素满足2x+a>0，a为实数.若1 A，2∈A，则实数a的取值范围为　　　　.
【方法总结】(1)判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的.如果是“确定无疑”的，那么就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，那么就不能构成集合. (2)判断元素和集合关系的两种方法 ①直接法：集合中的元素是直接给出的.
②推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.
(3)由集合中元素的特性求解参数取值(范围)的步骤
(多选题)下列各组对象能组成集合的是(　 　).
A.2025年哈尔滨亚冬会的5个冰上项目和6个雪上项目
B.高中数学的所有难题
C.被3除余2的所有正整数
D.函数y=图象上所有的点
设集合B是小于的所有实数的集合，则2　　　　B，1+　　　　B.(用符号“∈”或“ ”填空)
已知集合A中含有两个元素a-3和2a-1，若-3∈A，试求实数a的值.
探究2　常用数集与集合分类
问题1：数学里最常用的集合是各种数的集合，简称数集.在初中，我们用什么表示实数集
问题2：实数集中的元素有多少个 这类集合称为什么集
问题3：你能用符号表示常见的数集吗
1.常用的数集及其记法
全体自然数组成的集合叫自然数集，记作　　　　.
全体整数组成的集合叫整数集，记作　　　　.
全体有理数组成的集合叫有理数集，记作　　　　.
全体实数组成的集合叫实数集，记作　　　　.
通常用R+表示　　　　组成的集合；类似的有R-，Z+，N+，Q-，….
2.集合的分类
有限集 元素个数　　　　　　的集合叫有限集(或有穷集)
无限集 元素个数　　　　　　的集合叫无限集(或无穷集)
空集 　　　　　　的集合叫空集，记作　　　　　　，空集也是有限集
一、常用数集
例2　下列所给关系正确的个数是(　 　).
①-∈R；② Q；③0∈N+；④|-3| N+.
A.1　　　 B.2　　　 C.3　　　 D.4
(多选题)下列关系式正确的是(　 　).
A.∈R B.|-3| N
C.-∈Q D.0∈N
二、集合的分类
例3　下列集合中哪些是空集 哪些是无限集
(1)满足|x|+|y|=0且xy≠0的所有实数组(x，y)构成的集合；
(2)被3除余1的正整数构成的集合；
(3)一次函数y=2x-3图象上所有的点构成的集合；
(4)方程x2-x+1=0的全体实根构成的集合.
【方法总结】空集的判断要紧扣空集的定义：没有元素的集合.有限集和无限集的分类关键是看元素的个数是否可数.
下列集合中，哪些是空集 哪些是有限集 哪些是无限集
(1)所有偶数构成的集合；
(2)所有绝对值不大于3的偶数构成的集合；
(3)方程x2+2=0的所有实数根构成的集合.
【随堂检测】
1.下列各组对象可以组成集合的是(　 　).
A.数学必修第一册课本中所有的难题
B.小于8的所有素数
C.平面直角坐标系内第一象限的一些点
D.所有小的正数
2.若a，b，c为集合M中的三个元素，则以a，b，c为边长的△ABC一定不是(　 　).
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等腰三角形
3.若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是(　 　).
A.3.14 B.-5 C. D.
4.已知集合A是由0，m，m2-3m+2三个元素构成的集合，且2∈A，求实数m的值.
参考答案
1.1.1　课时1　集合与元素
自主预习
预学忆思
1.自然数的集合，正数的集合，负数的集合，有理数的集合，无理数的集合，实数的集合等.
2.元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示；集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示.
3.元素与集合之间是属于与不属于的关系.
4.空集中没有元素，它不是无限集，是有限集.
自学检测
1.(1)×　(2)√　(3)×
2.B　【解析】我国的小河流不能构成集合，A不符合集合中元素的确定性；大于5且小于11的偶数为6，8，10，B可以构成集合；高一年级的优秀学生不能构成集合，C不符合集合中元素的确定性；某班级跑得快的学生不能构成集合，D不符合集合中元素的确定性.
3.①④　【解析】N表示自然数集，Q表示有理数集，Z表示整数集，R表示实数集，故0∈N，π Q， Q，-1∈Z，∈R.
4.3　【解析】由题意知a+1=4，即a=3.
合作探究
探究1　情境设置
问题1：(1)数集：自然数的集合，有理数的集合，….
(2)点集：圆(同一平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合)，线段的垂直平分线(到一条线段的两个端点的距离相等的点的集合)，….
问题2：不能构成集合.
新知生成
1.集合或集　元素
新知运用
例1　(1)AB　(2)ACD　(3)-4对于B，方程x(x-1)=0，可得x=0或x-1=0，解得x=0或x=1，故方程x(x-1)=0的解能组成一个集合，故B正确；
对于C，因为-50=-1，所以两个集合的元素是一样的，即两个集合是相等的，故C错误；
对于D，某班个子较高的同学没有明确定义，不能构成集合，故D错误.
故选AB.
(2)对于A，因为a=+<+=4<5，所以a∈A.
对于B，因为a2=()2+2×+()2=5+2>5，所以a2 A.
对于C，因为===-<5，所以∈A.
对于D，因为a+1<++1=5，所以a+1∈A.
故选ACD.
(3)因为1 A，2∈A，所以2×1+a≤0，2×2+a>0，解得-4巩固训练1　ACD　【解析】选项A，C，D中的元素符合集合中元素的确定性；而选项B中，“难题”没有明确标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合.
巩固训练2　 　∈　【解析】∵2=>，∴2 B，
∵(1+)2=3+2<3+2×4=11，
∴1+<，∴1+∈B.
巩固训练3　【解析】∵-3∈A，∴-3=a-3或-3=2a-1.
若-3=a-3，则a=0，
此时集合A中含有两个元素-3，-1，符合题意；
若-3=2a-1，则a=-1，
此时集合A中含有两个元素-4，-3，符合题意.
综上所述，a=0或a=-1.
探究2　情境设置
问题1：用圆圈和具体的数，如实数集：
问题2：实数集中的元素有无穷多个，元素无限个的集合称为无限集.
问题3：能，N表示自然数集，R表示实数集，Z表示整数集，Q表示有理数集等.
新知生成
1.N　Z　Q　R　全体正实数
2.有限　无限多　没有元素　
新知运用
例2　B　【解析】∵-是实数，是无理数，∴①②正确.
∵N+表示正整数集，∴③④不正确.
巩固训练　AD　【解析】对于A，是实数，即∈R，A正确；
对于B，|-3|=3∈N，B错误；
对于C，-是无理数，C错误；
对于D，0∈N，D正确.故选AD.
例3　【解析】(1)若|x|+|y|=0，则x=y=0，这与xy≠0矛盾，所以(1)是空集；
(2)被3除余1的正整数有1，4，7，…，即有无数个，所以(2)是无限集；
(3)一次函数y=2x-3图象上的点有无数个，所以(3)是无限集；
(4)因为Δ=(-1)2-4<0，所以(4)是空集.
巩固训练　【解析】(1)是无限集.(2)是有限集.(3)是空集也是有限集.
随堂检测
1.B　【解析】A中“难题”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”没有明确的标准，不能构成集合；D中“小”没有明确的标准，不能构成集合.
2.D　【解析】根据集合元素的互异性，a≠b≠c，所以△ABC一定不是等腰三角形.故选D.
3.D　【解析】由题意可知，a∈R且a Q，所以a是无理数，故选D.
4.【解析】由题意知，m=2或m2-3m+2=2，
解得m=2或m=0或m=3.
经验证，当m=0或m=2时，集合A中的元素不满足互异性；当m=3时，满足题意.
故m=3.

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