资源简介

1.2.3　课时2　含量词命题的否定
【学习目标】
1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.(数学抽象)
2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.(逻辑推理)
【自主预习】
1.回忆命题的否定的表述.
2.写出命题“若α=，则tan α=1”的否定.
3.全称量词命题与存在量词命题的否定分别是什么命题
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)全称量词命题的否定形式是唯一的. (　 　)
(2)命题 p的否定是p. (　 　)
(3) x∈M，p(x)与 x∈M， p(x)的真假性相反. (　 　)
2.命题“存在x∈R，2x≤0”的否定是　　　　.
3.已知命题p： x>2，x-2>0，则 p是　　　　.
【合作探究】
探究1　含有量词命题的否定
问题1：写出下列命题的否定：
(1)所有的矩形都是平行四边形；
(2)每一个素数都是奇数；
(3) x∈R，x+|x|≥0.
它们与原命题在形式上有什么变化
问题2：写出下列命题的否定：
(1)存在一个实数的绝对值是正数；
(2)有些平行四边形是菱形；
(3) x∈R，x2-2x+3=0.
它们与原命题在形式上有什么变化
1.含有一个量词的命题的否定
p p 结论
全称量词命题 x∈M，p(x) 　　　　　　 全称量词命题的否定是　　　　量词命题
存在量词命题 x∈M，p(x) 　　　　　　 存在量词命题的否定是　　　　量词命题
2.常见词语的否定形式
原词语 否定词语 原词语 否定词语
是 不是 至少有一个 一个也没有
都是 不都是 至多有一个 至少有两个
大于 不大于 至少有n个 至多有(n-1)个
小于 不小于 至多有n个 至少有(n+1)个
任意的 某个 能 不能
所有的 某些 等于 不等于
例1　写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p： x∈R，x-2≥0；
(2)q：所有的正方形都是矩形；
(3)r： x∈R，x2+2x+3≤0；
(4)s：至少有一个实数x，使x3+1=0.
【方法总结】写含量词命题的否定的方法：(1)一般地，写含量词命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论；(2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，将命题改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定.
对下列含有量词的命题作否定，并判断其真假.
(1)存在某个整数a，使得a2=a；
(2)任意实数都可以写成平方和的形式；
(3)每个能被写成两个奇数之和的整数都是偶数；
(4) m>0，方程x2+x-m=0有实数根；
(5) m>0，方程x2+x+m=0有实数根.
探究2　根据命题的否定求参数
例2　若命题“ x∈R，x2-4x+a≠0”为假命题，则实数a的取值范围是　　　　.
【方法总结】根据命题的真假求参数的取值范围的两个关注点 (1)命题和它的否定的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化.
(2)求参数的取值范围问题，通常是根据有关全称量词命题或存在量词命题的意义列不等式求解.
已知命题p： x∈{x|-3≤x≤2}，都有x∈{x|a-4≤x≤a+5}，且 p是假命题，则实数a的取值范围是　　　　.
【随堂检测】
1.命题“ x∈R，x2≠x”的否定是(　 　).
A. x R，x2≠x B. x∈R，x2=x
C. x R，x2≠x D. x∈R，x2=x
2.命题“存在实数x，使x>1”的否定是(　 　).
A.对任意实数x，都有x>1
B.不存在实数x，使x≤1
C.对任意实数x，都有x≤1
D.存在实数x，使x≤1
3.已知命题p：存在x∈R，x2+2x+a=0.若命题p的否定是假命题，则实数a的取值范围是　　　　.
4.命题p： x∈R，x2-2x-3≥0的否定 p是　　　　　　　， p是一个　　　　(填“真”或“假”)命题.
参考答案
1.2.3　课时2　含量词命题的否定
自主预习
预学忆思
1.如果p是一个命题，那么“p不成立”也是一个命题，叫作p的否定，记作 p，读作“非p”，显然p也是 p的否定，在p和 p两者之中，一定有一个为真，有一个为假.
2.若α=，则tan α≠1.
3.全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题.
自学检测
(1)×　(2)√　(3)√
2.对任意的x∈R，2x>0　【解析】存在量词命题的否定是全称量词命题.
3. x>2，x-2≤0
合作探究
探究1　情境设置
问题1：上面三个命题都是全称量词命题，即具有“ x∈M，p(x)”的形式.命题(1)的否定是“并非所有的矩形都是平行四边形”，也就是说，存在一个矩形不是平行四边形；
命题(2)的否定是“并非每一个素数都是奇数”，也就是说，存在一个素数不是奇数；
命题(3)的否定是“并非所有的x∈R，x+|x|≥0”，也就是说， x∈R，x+|x|<0.
从命题形式看，这三个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题.
问题2：这三个命题都是存在量词命题，即具有“ x∈M，p(x)”的形式.命题(1)的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也就是说，所有实数的绝对值都不是正数；
命题(2)的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，也就是说，每一个平行四边形都不是菱形；
命题(3)的否定是“不存在x∈R，x2-2x+3=0”，也就是说， x∈R，x2-2x+3≠0.
从命题形式看，这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题.
新知生成
1. x∈M， p(x)　存在　 x∈M， p(x)　全称
新知运用
例1　【解析】(1) p： x∈R，x-2<0.
因为 x∈R，x-2≥0恒成立，所以 p是假命题.
(2) q：至少存在一个正方形不是矩形.
因为所有的正方形都是矩形，所以 q是假命题.
(3) r： x∈R，x2+2x+3>0.
因为 x∈R，x2+2x+3=(x+1)2+2≥2>0恒成立，所以 r是真命题.
(4) s： x∈R，x3+1≠0.
因为当x=-1时，x3+1=0，
所以 s是假命题.
巩固训练　【解析】(1)对于任意的整数a，都有a2≠a；假命题.
(2)存在实数不可以写成平方和的形式；真命题.
(3)存在能写成两个奇数之和的整数不是偶数；假命题.
(4) m>0，方程x2+x-m=0没有实数根；假命题.
(5) m>0，方程x2+x+m=0没有实数根；假命题.
探究2
例2　{a|a≤4}　【解析】∵命题“ x∈R，x2-4x+a≠0”为假命题，
∴“ x∈R，x2-4x+a=0”是真命题，
∴方程x2-4x+a=0有实数根，则Δ=(-4)2-4a≥0，解得a≤4.
巩固训练　{a|-3≤a≤1}　【解析】因为 p是假命题，所以p是真命题，
又 x∈{x|-3≤x≤2}，都有x∈{x|a-4≤x≤a+5}，
所以{x|-3≤x≤2} {x|a-4≤x≤a+5}，
则
解得-3≤a≤1，
即实数a的取值范围是{a|-3≤a≤1}.
随堂检测
1.D　【解析】此全称量词命题的否定为“ x∈R，x2=x”.故选D.
2.C　【解析】“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”.故选C.
3.{a|a≤1}　【解析】∵命题p的否定是假命题，∴p是真命题，即“存在x∈R，x2+2x+a=0”为真命题，∴Δ=4-4a≥0，∴a≤1.
4. x∈R，x2-2x-3<0　真　【解析】命题p是一个全称量词命题，其否定形式为“ x∈R，x2-2x-3<0”.因为x2-2x-3<0有解，所以 p为真命题.1.2.2　充分条件和必要条件
【学习目标】
1.理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系.(数学抽象、逻辑推理)
2.理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系.(数学抽象、逻辑推理)
3.理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系.(数学抽象、逻辑推理)
【自主预习】
1.什么是充分条件 什么是必要条件
2.“若p，则q”是假命题，p是q的充分条件吗 q还是p的必要条件吗
3.当p是q的充要条件时，此时q也是p的充要条件吗
4.以下五种表述形式：①p q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.它们是什么关系
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“x=0”是“(2x-1)x=0”的必要而不充分条件. (　 　)
(2)若p是q的充要条件，则p和q是相互等价的. (　 　)
(3)当q不是p的必要条件时，“p / q”成立.(　 　)
2.“同位角相等”是“两条直线平行”的(　 　).
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
3.使x>3成立的一个充分条件是(　 　).
A.x>4　　　　　　　 B.x>0
C.x>2 D.x<2
4.“ac=bc”是“a=b”的　　　　　　条件.
【合作探究】
探究1　充分条件、必要条件
问题1：如图，已知p：开关S闭合，q：灯泡L亮.p与q有什么关系
问题2：p：两三角形相似，q：对应角相等.p与q有什么关系
问题3：如果p是q的充分条件，那么p是唯一的吗
充分条件与必要条件
当“若p，则q”成立，即p q时，把p叫作q的　　　　条件，q叫作p的　　　　条件.
p q可以理解为若p成立，则q一定也成立，即p对于q的成立是　　　　的；反过来，若q不成立，则p一定不成立，即q对于p的成立是　　　　的.
例1　(1)p：两个三角形全等，q：两个三角形相似；
(2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；
(3)p：A B，q：A∩B=A；
(4)p：a>b，q：ac>bc.
试分别指出各题中p是q的什么条件.
【方法总结】充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：首先分清条件和结论，然后判断p q和q p是否成立，最后得出结论.
(2)命题判断法：①如果命题“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件.
(3)集合法：对于涉及取值范围的判断题，可从集合的角度研究，若两个集合具有包含关系，则小范围 大范围，大范围推不出小范围.
(4)传递法：由p1 p2 p3 … pn，得pn是p1的必要条件.
指出下列各题中p是q的什么条件.
(1)在△ABC中，p：∠B>∠C，q：AC>AB.
(2)已知x，y∈R，p：x=1，q：(x-1)(x-2)=0.
探究2　充要条件
问题1：若“x∈A”是“x∈B”的充要条件，则A与B有什么关系
问题2：“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里
问题3：p是q的充要条件，q是s的充要条件，p是s的充要条件吗
1.充要条件的定义
如果既有p q，又有q p，就记作　　　　.即p既是q的充分条件，又是q的必要条件，此时我们称p是q的充分必要条件，简称　　　　条件.当然，此时q也是p的充分必要条件.
2.用命题描述充要条件
如果一个命题和它的　　　　都成立，那么此命题的条件和结论互为充分必要条件.
3.充要条件的含义
p是q的充分必要条件是指p成立当且仅当q成立，即p与q互相　　　　.
例2　在下列各题中，试判断p是q的什么条件.
(1)p：a=b，q：ac=bc；
(2)p：a+5是无理数，q：a是无理数；
(3)若a，b∈R，p：a2+b2=0，q：a=b=0；
(4)p：A∩B=A，q：UB UA.
【方法总结】判断p是q的充分必要条件的两种思路
(1)命题角度：判断p是q的充分必要条件，主要是判断p q及q p这两个命题是否成立.若p q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件.
(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p q及q p的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合 大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的.
此外，对于较复杂的关系，常用 ， ， 等符号进行传递，画出它们的综合结构图，可降低解题难度.
a，b中至少有一个不为零的充要条件是(　 　).
A.ab=0 B.ab>0
C.a2+b2=0 D.a2+b2>0
探究3　充要条件的证明
例3　证明：一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正实数根和一个负实数根的充要条件是ac<0.
【方法总结】有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，谁是谁的什么条件，由“条件” “结论”是证明命题的充分性，由“结论” “条件”是证明命题的必要性.证明要分两个环节：一是证明充分性，二是证明必要性.
设x，y∈R，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.
探究4　充分条件、必要条件的应用
例4　已知p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0)，若p是q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围.
【变式探究】若本例中“p是q的必要而不充分条件”改为“p是q的充分而不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围.
【方法总结】用集合法判断充分必要条件
对于集合A={x|x满足条件p}，B={x|x满足条件q}，具体情况如下：
若A B，则p是q的充分条件；
若A B，则p是q的必要条件；
若A=B，则p是q的充要条件；
若A B，则p是q的充分而不必要条件；
若B A，则p是q的必要而不充分条件.
设集合A={x|-1≤x≤2}，集合B={x|2m【随堂检测】
1.(多选题)使ab>0成立的充分条件是(　 　).
A.a>0，b>0 B.a+b>0
C.a<0，b<0 D.a>1，b>1
2.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，“攻破楼兰”是“返回家乡”的(　 　).
A.必要而不充分条件
B.充分而不必要条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
3.若a∈R，则“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的(　 　).
A.充分条件
B.必要条件
C.既不充分又不必要条件
D.充要条件
4.函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是　　　　.
参考答案
1.2.2　充分条件和必要条件
自主预习
预学忆思
1.“若p，则q”是真命题，即p q，把p叫作q的充分条件，q叫作p的必要条件.
2.p / q，p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.
3.是，因为p q，所以p，q互为充要条件.
4.等价关系.
自学检测
1.(1)×　(2)√　(3)√
2.C
3.A　【解析】只有x>4 x>3，其他选项均不可推出x>3.
4.必要而不充分　【解析】若ac=bc，当c=0时，不一定有a=b；反之，若a=b，则有ac=bc成立.故“ac=bc”是“a=b”的必要而不充分条件.
合作探究
探究1　情境设置
问题1：p成立，则q一定成立.
问题2：p成立，则q一定成立.
问题3：不唯一，如x>3是x>0的充分条件，x>5，x>10等都是x>0的充分条件.
新知生成
充分　必要　充分　必要
新知运用
例1　【解析】(1)∵两个三角形全等 两个三角形相似，但两个三角形相似 / 两个三角形全等，
∴p是q充分条件但不是必要条件.
(2)∵矩形的对角线相等，∴p q，
而对角线相等的四边形可能为等腰梯形，不一定是矩形，∴q /p.
∴p是q的充分条件但不是必要条件.
(3)∵p q，且q p，
∴p既是q的充分条件，又是q的必要条件.
(4)∵p / q，且q / p，
∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件.
巩固训练　【解析】(1)在△ABC中，由大角对大边知，∠B>∠C AC>AB，所以p是q的充分条件.
(2)因为x=1 (x-1)(x-2)=0，所以p是q的充分条件.
探究2　情境设置
问题1：A=B.
问题2：p是q的充要条件说明p是条件，q是结论；p的充要条件是q说明q是条件，p是结论.
问题3：是.∵p是q的充要条件，∴p q.又q是s的充要条件，∴q s.故p s，即p是s的充要条件.
新知生成
1.p q　充要
2.逆命题
3.等价
新知运用
例2　【解析】(1)因为a=b ac=bc，而ac=bc / a=b，所以p是q的充分而不必要条件.
(2)因为a+5是无理数 a是无理数，并且a是无理数 a+5是无理数，所以p是q的充要条件.
(3)因为a2+b2=0 a=b=0，并且a=b=0 a2+b2=0，所以p是q的充要条件.
(4)因为A∩B=A A B UA UB，并且UB UA B A A∩B=A，所以p是q的充要条件.
巩固训练　D　【解析】若a2+b2>0，则a，b不同时为零；若a，b中至少有一个不为零，则a2+b2>0.故选D.
探究3
例3　【解析】充分性：∵ac<0，
∴Δ=b2-4ac>0，<0.
∴方程ax2+bx+c=0有两个实数根.
设方程ax2+bx+c=0的两个实数根分别为x1，x2，
∵x1·x2=<0，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正实数根和一个负实数根.
必要性：∵一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正实数根和一个负实数根，
∴Δ=b2-4ac>0，x1·x2=<0，
∴ac<0.
故一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正实数根和一个负实数根的充要条件是ac<0.
巩固训练　【解析】①充分性.若xy≥0，则有xy=0和xy>0两种情况，
当xy=0时，不妨设x=0，y≠0，得|x+y|=|y|，|x|+|y|=|y|，所以等式成立.
同理，当x≠0，y=0或x=0，y=0时，等式均成立.
当xy>0时，即x>0，y>0或x<0，y<0，
当x>0，y>0时，|x+y|=x+y，|x|+|y|=x+y，所以等式成立.
当x<0，y<0时，|x+y|=-(x+y)，
|x|+|y|=-x-y=-(x+y)，所以等式成立.
综上，当xy≥0时，|x+y|=|x|+|y|成立.
②必要性.若|x+y|=|x|+|y|且x，y∈R，则|x+y|2=(x+y)2=(|x|+|y|)2，
即x2+2xy+y2=x2+y2+2|x||y|，
所以xy=|x||y|，所以xy≥0.
综上可知，xy≥0是等式|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件.
探究4
例4　【解析】p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0).
因为p是q的必要而不充分条件，
所以q是p的充分而不必要条件，
即{x|1-m≤x≤1+m} {x|-2≤x≤10}，
故有或
解得m≤3.
又m>0，
所以实数m的取值范围为{m|0变式探究　【解析】p：-2≤x≤10，q：1-m≤x≤1+m(m>0).
因为p是q的充分而不必要条件，
设p代表的集合为A，q代表的集合为B，
则A B.
故有或
解得m≥9，
即实数m的取值范围是{m|m≥9}.
巩固训练　-，+∞　【解析】因为“x∈A”是“x∈B”的必要条件，所以B A.
当B= 时，2m≥1，即m≥，符合条件.
当B≠ 时，-1≤2m<1，即-≤m<.
故实数m的取值范围是-，+∞.
随堂检测
1.ACD　【解析】因为a>0，b>0 ab>0；a<0，b<0 ab>0；a>1，b>1 ab>0.所以选项A，C，D都是使ab>0成立的充分条件.
2.A　【解析】“攻破楼兰”不一定“返回家乡”，但“返回家乡”一定有“攻破楼兰”，故“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要而不充分条件.
3.A　【解析】因为a=2 (a-1)(a-2)=0，又(a-1)(a-2)=0 / a=2，所以“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的充分条件.故选A.
4.m=-2　【解析】函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称，则-=1，即m=-2；
反之，若m=-2，则y=x2-2x+1的图象关于直线x=1对称.故所求的充要条件是“m=-2”.1.2.3　课时1　含有量词的命题
【学习目标】
1.理解全称量词和全称量词命题的定义.(数学抽象)
2.理解存在量词和存在量词命题的定义.(数学抽象)
3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假.(逻辑推理)
【自主预习】
1.常见的全称量词有哪些 如何表示 全称量词命题的定义是什么
2.常见的存在量词有哪些 如何表示
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题. (　 　)
(2)存在量词命题是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题. (　 　)
(3)在全称量词命题和存在量词命题中，量词都可省略. (　 　)
(4)全称量词命题“自然数都是正整数”是真命题. (　 　)
2.下列全称量词命题为真命题的是(　 　).
A.所有的质数是奇数
B. x∈R，x2+1≥1
C.对每一个无理数x，x2也是无理数
D.所有能被5整除的整数，其末位数字都是5
3.下列命题是假命题的是(　 　).
A. x∈R，|x|≥0
B. x∈N+，(x-1)2>0
C. x∈R，x+2 024<1
D. x∈R，2x>2
4.下列命题中，是全称量词命题的是　　　　；是存在量词命题的是　　　　.
①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三角形是等腰三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数.
【合作探究】
探究1　含有量词的命题
问题1：命题p：任何一个实数除以1都等于这个数；q：等边三角形的三边都相等.它们各使用了什么量词
问题2：下列命题使用了什么量词
p：存在实数x，使x2-3>0；
q：有的实数既不是质数也不是合数.
1.量词
“每一个”和“有一个”等叫作量词.
2.全称量词
“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”等叫作全称量词，用符号“　　　　”表示.
3.存在量词
“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“对某些”“有的”等叫作存在量词，用符号“　　　　”表示.
4.全称量词命题
语句p(x)中变量x的取值范围为集合M，则语句“对M的任一个元素x，有p(x)成立”是命题，叫作全称量词命题.可用符号简记为“　　　　　　　　”.
5.存在量词命题
语句“存在M的某个元素x，使p(x)成立”也是命题，叫作存在量词命题.可用符号简记为“　　　　　　　　”.
例1　判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题.
(1)凸多边形的外角和等于360°；
(2)矩形的对角线不相等；
(3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
(4)有些实数a，b能使|a-b|=|a|+|b|.
【方法总结】判定命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词.要注意的是有些全称量词命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断.
指出下列命题中的全称量词或存在量词，并用量词符号“ ”或“ ”表示下列命题.
(1)所有实数x都能使|x|+1>0成立；
(2)对所有实数a，b，方程ax+b=0恰有一个解；
(3)存在整数x，y，使得3x-2y=10成立；
(4)存在实数m，使得m与m的倒数之和等于1.
探究2　全称量词命题和存在量词命题的真假判断
问题：命题“车间今天生产的零件都合格”是真命题还是假命题 如何判断呢
判断全称量词命题与存在量词命题真假的方法
1.对于全称量词命题“ x∈M，p(x)”：
(1)要证明它是真命题，需对集合M中的　　　　，证明p(x)成立；
(2)要判断它是假命题，只要在集合M中找到　　　　，使p(x0)不成立即可.(通常举反例)
2.对于存在量词命题“ x0∈M，p(x0)”：
(1)要证明它是真命题，只需在集合M中找到　　　　，使p(x0)成立即可.(通常举正例)
(2)要判断它是假命题，需对集合M中　　　　，证明p(x)不成立.
例2　指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假.
(1) x∈N，2x+1是奇数；
(2)存在一个x∈R，使=0；
(3)对任意实数a，|a|>0；
(4)有一个角α，使sin α=.
判断下列命题的真假.
(1) x∈Z，x3<1；
(2)存在一个四边形不是平行四边形；
(3) x∈N，x2>0.
探究3　根据含有量词的命题的真假求参数的取值范围
例3　(1)已知集合A={x|1≤x≤2}，若命题“ x∈A，一次函数y=x+m的图象在x轴上方”是真命题，则实数m的取值范围是　　　　.
(2)若命题“ x∈R，使得方程ax2+2x-1=0成立”是真命题，则实数a的取值范围是　　　　.
【方法总结】利用含量词的命题的真假求参数的取值范围
(1)含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式(如x2≥0)确定参数的取值范围.
(2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式等知识解决.
已知命题p： x∈R，mx2≥0是真命题，则实数m的取值范围是　　　　.
若“存在x∈{x|3≤x≤5}，x≥m”是真命题，则实数m的取值范围是　　　　.
【随堂检测】
1.(多选题)下列量词是全称量词的是(　 　).
A.任意一个 B.所有的
C.每一个 D.很多
2.(2024年新高考全国Ⅱ卷)已知命题p： x∈R，|x+1|>1，命题q： x>0，x3=x，则(　　).
A.p和q都是真命题
B. p和q都是真命题
C.p和 q都是真命题
D. p和 q都是真命题
3.(多选题)下列命题是全称量词命题并且是真命题的是(　 　).
A. x∈R，x2-x+1≥0
B. x∈Z，y∈Z，2x+4y=3
C.菱形的对角线互相垂直
D.每个正方形都是轴对称图形
4.若对任意x>8，x>a恒成立，则实数a的取值范围是　　　　.
参考答案
1.2.3　课时1　含有量词的命题
自主预习
预学忆思
1.常见的全称量词有“所有的”“任意一个”“一切”“每一个”“任给”等，用符号“ ”表示.设语句p(x)中变量x的取值范围为集合M，则语句“对M的任一个元素x，有p(x)成立”是命题，叫作全称量词命题.
2.常见的存在量词有“存在一个”“至少有一个”“有些”“某一个”“有的”等，用符号“ ”表示.
自学检测
1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)×
2.B　【解析】A中，2是质数，但2不是奇数，A不正确；B中，∵x2≥0，∴x2+1≥1，B正确；C中，x=是无理数，x2=2是有理数，C不正确；D中，个位数是0的整数能被5整除，D不正确.故选B.
3.B　【解析】当x=1时，(x-1)2=0，所以B项为假命题.故选B.
4.①②③　④　【解析】①可表述为“每一个正方形的四条边都相等”，是全称量词命题；②是全称量词命题，即“凡是有两个角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述为“所有正数的平方根都不等于0”，是全称量词命题；④是存在量词命题.
合作探究
探究1　情境设置
问题1：命题p使用了全称量词“任何一个”，“等边三角形的三边相等”是指“任意一个等边三角形的三边都相等”，命题q使用了全称量词“任意”.
问题2：命题p使用了存在量词“存在”，命题q使用了存在量词“有的”.
新知生成
2.
3.
4. x∈M，p(x)
5. x∈M，p(x)
新知运用
例1　【解析】(1)该语句可以改为“所有的凸多边形的外角和都等于360°”，
故为全称量词命题.
(2)该语句可以改为“所有矩形的对角线都不相等”，
故为全称量词命题.
(3)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，
故为全称量词命题.
(4)含存在量词“有些”，故为存在量词命题.
巩固训练　【解析】(1)“所有”是全称量词；表示： x∈R，|x|+1>0.
(2)“所有”是全称量词；表示： a，b∈R，方程ax+b=0恰有一个解.
(3)“存在”是存在量词；表示： x，y∈Z，3x-2y=10.
(4)“存在”是存在量词；表示： m∈R，m+=1.
探究2　情境设置
问题：如果生产的每一个零件都是合格的，那么这个命题就是真命题；只要有一个零件不合格，这个命题就是假命题.
新知生成
1.(1)每一个元素x　(2)一个元素x0
2.(1)一个元素x0　(2)每一个元素x
新知运用
例2　【解析】(1)是全称量词命题.因为 x∈N，2x+1都是奇数，所以该命题是真命题.
(2)是存在量词命题.因为不存在x∈R，使=0成立，所以该命题是假命题.
(3)是全称量词命题.因为|0|=0，所以|a|>0不恒成立，所以该命题是假命题.
(4)是存在量词命题.因为当α=30°时，sin α=，所以该命题是真命题.
巩固训练　【解析】(1)因为-1∈Z，且(-1)3=-1<1，
所以“ x∈Z，x3<1”是真命题.
(2)真命题，如梯形.
(3)因为0∈N，02=0，所以命题“ x∈N，x2>0”是假命题.
探究3
例3　(1){m|m>-1}　(2){a|a≥-1}　【解析】(1)当1≤x≤2时，1+m≤x+m≤2+m，因为一次函数y=x+m的图象在x轴上方，所以1+m>0，即m>-1，所以实数m的取值范围是{m|m>-1}.
(2)由题意得，关于x的方程ax2+2x-1=0有实数根，当a=0时，方程为2x-1=0，显然有实数根，满足题意；当a≠0时，由Δ=4+4a≥0，解得a≥-1，且a≠0.综上，实数a的取值范围是{a|a≥-1}.
巩固训练1　{m|m≥0}　【解析】当x∈R时，x2≥0，若“ x∈R，mx2≥0”是真命题，则有m≥0.
巩固训练2　{m|m≤5}　【解析】当m≤5时，“存在x∈{x|3≤x≤5}，x≥m”是真命题.
随堂检测
1.ABC　【解析】很明显A，B，C中的量词均是全称量词，D中的量词不是全称量词.故选ABC.
2.B　【解析】取x=-1，则有|x+1|=0<1，故p是假命题， p是真命题；
取x=1，则有x3=13=1=x，故q是真命题， q是假命题.
综上， p和q都是真命题，故选B.
3.ACD　【解析】对于A， x∈R，x2-x+1=x-2+≥>0，是真命题，是全称量词命题，故A正确；
对于B， x∈Z，y∈Z，2x+4y=3，是存在量词命题，故B错误；
对于C，根据菱形的性质知菱形的对角线互相垂直，是真命题，是全称量词命题，故C正确；
对于D，每个正方形都是轴对称图形，是全称量词命题，是真命题，故D正确.
故选ACD.
4.{a|a≤8}　【解析】∵对任意x>8，x>a恒成立，∴大于8的数恒大于a，∴a≤8.1.2.1　命题
【学习目标】
1.理解命题的概念，掌握命题的判断，熟悉命题的结构，能判断命题的真假.(数学抽象、逻辑推理)
2.了解命题的否定，会根据命题的真假求解参数.(逻辑推理)
【自主预习】
1.在初中我们已经学过命题的概念，什么是命题呢
2.“人类可以在月球上居住”是命题吗
3.“若p，则q”的命题中，谁是条件，谁是结论
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“集合{a，b，c}有3个子集”是命题. (　 　)
(2)一个命题不是真命题就是假命题. (　 　)
(3)“一条直线有且只有一条垂线”是假命题. (　 　)
2.下列语句是命题的有(　 　).
①{0}∈N；②他长得高；③地球上的四大洋；④5的平方是20.
A.1个　　　B.2个　　　C.3个　　　D.4个
3.命题“在△ABC中，若A>B，则a>b”的否定形式是　　　　　　　　　　　.
4.判断下列语句是否为命题，并说明理由.
(1)若平面四边形的边都相等，则它是菱形.
(2)任何集合都是它自己的子集.
(3)对顶角相等吗
(4)x>3.
【合作探究】
探究1　命题
观察下列语句的特点：
(1)这幅画真漂亮!
(2)求证是无理数.
(3)菱形是平行四边形吗
(4)等腰三角形的两底角相等.
(5)x>2 022.
(6)若x2=2 0222，则x=2 022.
问题1：在这些语句中哪些是陈述句 在陈述句中哪些能判断出真假
问题2：如果一个语句是命题，那么它必须具备什么条件
问题3：数学中的定义、定理、公理、公式等是否是命题 它们是真命题还是假命题
1.命题的概念
可以　　　　的陈述句叫作命题.
2.命题的分类
(1)真命题：　　　　的命题叫作真命题.
(2)假命题：　　　　的命题叫作假命题.
(3)猜想：　　　 　　　的命题可以叫作猜想.
例1　判断下列语句是否为命题.若是命题，则判断其真假.
(1)是无限循环小数.
(2)x2-3x+2=0.
(3)垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗
(4)当x=4时，2x+1>0.
(5)把门关上.
【方法总结】判断命题真假的策略：(1)要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证；(2)要判断一个命题是假命题，只要举一个反例即可.
下列命题：
①若xy=1，则x，y互为倒数；
②平面内，四条边相等的四边形是正方形；
③平行四边形是梯形；
④若ac2>bc2，则a>b.
其中真命题的序号是　　　　.
探究2　命题的否定
问题：“0是自然数”与“0不是自然数”这两个命题有什么区别与联系
如果p是一个命题，则“p不成立”也是一个命题，叫作p的否定，记作 p，读作“非p”.
注意点：
(1)p也是 p的否定，p与 p互为否定.
(2)命题p与 p一定有一个为真命题，一个为假命题.
(3)若判断命题p的真假有难度，可以先判断 p的真假.
例2　写出下列命题的否定，并判断其真假.
(1)p：实数的平方是非负数.
(2)p：质数都是奇数.
(3)p：方程x2+x+2=0有实数根.
(4)p：菱形的对角线互相垂直且平分.
【方法总结】(1)写命题的否定 p时，要注意一些常见词语的否定.如“都是”的否定是“不都是”，“全”的否定是“不全”，“且”的否定是“或”等.
(2)判断命题p或 p的真假性时，若其中一个命题的真假性不好判断，则可先判断其否定的真假性，再利用p与 p的真假性相反，判断另一个命题的真假性.
写出下列命题的否定，并判断否命题的真假性.
(1)p：两个奇数的和是奇数.
(2)p：集合A∩B一定是集合A∪B的子集.
(3)p：圆的内接四边形的对角互补.
(4)p：面积相等的三角形都全等.
探究3　命题的条件与结论、逆命题
问题：命题p：若a>b，则a2>b2.命题q：若a2>b2，则a>b.这两个命题有什么关系 真假性相同吗
1.如果将命题写成“若p，则q”的形式，就将p叫作命题的　　　　，q叫作命题的　　　　.当命题“若p，则q”为真，则记作p q，读作“p推出q”；当命题“若p，则q”为假，则记作p / q，读作“p 推不出q”.
2.如果两个命题的条件和结论互换位置，就称一个命题是另一个命题的　　　　.
注意点：
(1)若命题p是命题q的逆命题，那么命题q也是命题p的逆命题.
(2)两个命题互为逆命题，它们的真假性无关联.
例3　把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出其逆命题.
(1)当ac>bc时，a>b；
(2)能被6整除的数既能被2整除也能被3整除；
(3)角平分线上的点到角的两边的距离相等.
【方法总结】写命题的逆命题时，若命题不是以“若p，则q”这种形式出现，首先要确定该命题的条件p和结论q，然后将命题改写成“若p，则q”的形式，再交换条件与结论的位置得到逆命题.
写出下列命题的逆命题，并判断原命题、逆命题的真假性.
(1)若x=-2，则x2-x-6=0；
(2)若a2+b2≠0，则a≠0或b≠0；
(3)平行四边形的对角线互相平分.
【随堂检测】
1.“红豆生南国，春来发几枝 愿君多采撷，此物最相思.”这是唐代诗人王维的《相思》，这首诗中，在当时的条件下，可以作为命题的是(　 　).
A.红豆生南国 B.春来发几枝
C.愿君多采撷 D.此物最相思
2.(多选题)下列命题中，为真命题的是(　 　).
A.梯形ABCD的内角和是360°
B.若x，y互为倒数，则xy=1
C.若a是有理数，则a2+1≥1
D.菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形
3.已知a，b，c，d是实数，则命题“若a=b，c=d，则a+c=b+d”的否定为　　　　　　　　，逆命题为　　　　　　　.
4.将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假.
(1)3是12和18的公约数；
(2)当a>-1时，方程ax2+2x-1=0有两个不相等的实根；
(3)平行四边形的对角线互相平分；
(4)已知x，y为非零自然数，当y-x=2时，y=4，x=2.
参考答案
1.2.1　命题
自主预习
预学忆思
1.能判断真假的语句叫命题.
2.它是猜想，是暂时不能判断真假的命题.
3.p是条件，q是结论.
自学检测
1.(1)√　(2)√　(3)√
2.B　【解析】①④是命题，且都是假命题.
3.在△ABC中，若A>B，则a≤b.
4.【解析】(1)是陈述句，能判断真假，是命题.
(2)是陈述句，能判断真假，是命题.
(3)不是陈述句，不是命题.
(4)是陈述句，但不能判断真假，不是命题.
合作探究
探究1　情境设置
问题1：(2)(4)(5)(6)是陈述句.其中(4)(6)能判断真假.
问题2：如果一个语句是命题，那么该语句所陈述的事情必须能够判断其成立或不成立.
问题3：数学中的定义、定理、公理、公式等都是命题，且都是真命题.
新知生成
1.判断成立或不成立
2.(1)成立　(2)不成立　(3)暂时不知道真假
新知运用
例1　【解析】(1)能判断真假，是命题，且是假命题.
(2)不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，无法判断语句的真假.
(3)不是陈述句，不是命题.
(4)能判断真假，是命题，且是真命题.
(5)因为没有作出判断，所以不是命题.
巩固训练　①④　【解析】①④是真命题，②平面内，四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，③平行四边形不是梯形.
探究2　情境设置
问题：“0是自然数”是一个真命题，“0不是自然数”是一个假命题.它们说的是同一事件的正反两方面.
新知运用
例2　【解析】(1) p：实数的平方不都是非负数.假命题.
(2) p：质数不都是奇数.因为2是质数，但2是偶数，所以 p为真命题.
(3) p：方程x2+x+2=0没有实数根.真命题.
(4) p：菱形的对角线不互相垂直或平分.假命题.
巩固训练　【解析】(1) p：两个奇数的和不是奇数.真命题.
(2) p：集合A∩B不一定是集合A∪B的子集.假命题.
(3) p：圆的内接四边形的对角不互补.假命题.
(4) p：面积相等的三角形不都全等.真命题.
探究3　情境设置
问题：命题p的条件是命题q的结论，命题p的结论是命题q的条件.p与q的真假性相同，p，q都为假命题.
新知生成
1.条件　结论
2.逆命题
新知运用
例3　【解析】(1)若ac>bc，则a>b；
逆命题：若a>b，则ac>bc.
(2)若一个数能被6整除，则它既能被2整除也能被3整除；
逆命题：若一个数既能被2整除也能被3整除，则它能被6整除.
(3)若一个点是一个角的角平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等；
逆命题：若一个点到一个角的两边的距离相等，则这个点在这个角的角平分线上.
巩固训练　【解析】(1)逆命题：若x2-x-6=0，则x=-2.原命题为真命题，逆命题为假命题.
(2)逆命题：若a≠0或b≠0，则a2+b2≠0.原命题、逆命题都是真命题.
(3)逆命题：若一个四边形的对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形.原命题、逆命题都是真命题.
随堂检测
1.A　【解析】“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题.“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题.故选A.
2.ABC　【解析】对于A，因为四边形内角和为360°，所以A为真命题；
对于B，因为互为倒数的两个数的乘积为1，所以B为真命题；
对于C，因为a2≥0，所以a2+1≥1，所以C为真命题；
对于D，因为菱形既是中心对称图形，也是轴对称图形，所以D为假命题.
故选ABC.
3.若a=b，c=d，则a+c≠b+d　若a+c=b+d，则a=b，c=d
4.【解析】(1)若一个数是3，则它是12和18的公约数，是真命题.
(2)若a>-1，则方程ax2+2x-1=0有两个不相等的实根，是假命题.
(3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分，是真命题.
(4)已知x，y为非零自然数，若y-x=2，则y=4，x=2，是假命题.

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