资源简介

2.1.2　基本不等式
【学习目标】
1.通过具体实例抽象出基本不等式的内容，能理解及证明基本不等式.(数学抽象、逻辑推理)
2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.(逻辑推理、数学运算)
3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式.(逻辑推理)
【自主预习】
1.如果a>0，b>0，用，分别代替不等式a2+b2≥2ab中的a，b，可得到怎样的不等式
2.不等式a2+b2≥2ab和≥成立的条件是否相同 若不同，请举例说明.
3.基本不等式中的a，b可以是任意值为正数的代数式吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意的a，b∈R，都有a2+b2≥2ab. (　 　)
(2)当n∈N+时，n+>2. (　 　)
(3)当x≠0时，x+≥2. (　 　)
2.已知a≠0，则下列不等式正确的是(　 　).
A.a+≥2　　　　　B.(-a)+-≤-2
C.a2+≥2 D.(-a)2+-2≤-2
3.不等式x-2y+≥2成立的前提条件为　　　　.
4.已知a，b，c都是正数，求证：a+b+c---≥0.
【合作探究】
探究1　基本不等式的证明与理解
问题1：如图，这是不等式第一节课我们抽象出来的在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，你还记得我们得出了什么样的结论吗
问题2：现在我们讨论一种特别的情况，如果a>0，b>0，我们用，分别替换上式中的a，b，能得到什么样的结论
问题3：问题2中得到的结论是否对所有的a>0，b>0都成立 请给出证明.
定理：对任意a，b∈R，a2+b2≥　　　　，当且仅当a=b时等号成立.
推论：对任意正数a，b，≥，当且仅当a=b时等号成立.
一般地，对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数.把不等式≥(a>0，b>0)称为基本不等式.
注意点：不等式a2+b2≥2ab与≥的适用范围和等号成立的条件.
例1　“0A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
【方法总结】对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面
(1)基本不等式成立的条件是a，b都是正数.
(2)“当且仅当”的含义：当a=b时，≤的等号成立，即a=b =；仅当a=b时，≥的等号成立，即= a=b.
(多选题)下列不等式恒成立的是(　 　).
A.a2+9≥6a
B.若a≠0，则a+≥2
C.若+≥2，则a>0，b>0
D.若a>0，b>0，则ab≤2
探究2　利用基本不等式求最值
例2　(1)已知0(2)已知x>2，则x+的最小值为　　　　.
【方法总结】在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项符号均为正；二是恰当变形，合理拆分项或配凑因式；三是考虑等号成立的条件是否具备.三点缺一不可.
(1)若0A.最小值0 B.最大值2
C.最大值2 D.不能确定
(2)已知t>0，则函数y=的最小值为　　　　.
探究3　利用基本不等式证明
例3　已知a，b，c>0，求证：++≥a+b+c.
【方法总结】利用基本不等式证明不等式时，要先观察题中需证明的不等式的形式，若不能直接使用基本不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之满足能使用基本不等式的条件；若题目中含有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中隐含“1”时，要注意“1”的代换.另外，解题过程中要时刻注意等号能否取到.
已知a，b，c为正数，且a+b+c=1，证明：++≥9.
【随堂检测】
1.若0A.aC.a<2.对x∈R且x≠0都成立的不等式是(　 　).
A.x+≥2 B.x+≤-2
C.≥ D.≥2
3.已知04.(1)已知x>0，求4x+的最小值；
(2)已知x>0，求2-3x-的最大值；
(3)已知x<，求4x-2+的最大值.
参考答案
2.1.2　基本不等式
自主预习
预学忆思
1.a+b≥2.
2.成立的条件不同，前者成立的条件是a与b都为实数；而后者成立的条件是a与b都为非负数.例如，(-1)2+(-2)2≥2×(-1)×(-2)是成立的，而≥是不成立的.
3.可以.
自学检测
1.(1)√　(2)√　(3)×
2.C　【解析】当a<0时，a+<0，(-a)+->0，故A，B错误.
当a≠0时，由基本不等式的性质可得a2+≥2，(-a)2+-2≥2，故C正确，D错误.
3.x>2y　【解析】因为基本不等式成立的前提条件是各项均为正，
所以x-2y>0，即x>2y.
4.【解析】∵a，b，c都是正数，
∴a+b≥2，b+c≥2，a+c≥2，
∴a+b+b+c+a+c≥2(++)，
∴a+b+c≥++，
即a+b+c---≥0，当且仅当a=b=c时，等号成立.
合作探究
探究1　情境设置
问题1：正方形的边长AB=，故正方形的面积为a2+b2，而四个直角三角形的面积为2ab，故有a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立.实际上该不等式对任意的实数a，b都能成立.
问题2：用，分别替换上式中的a，b，可得到a+b≥2，当且仅当a=b时，等号成立.我们习惯表示成≤.
问题3：(法一：作差法)-===≥0，
即≥，当且仅当a=b时，等号成立.
(法二：几何法)如图，AB是圆的直径，C是AB上一点，AC=a，BC=b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD，故有△ACD∽△DCB，故CD=，由于CD小于或等于圆的半径，故≤.
新知生成
2ab
新知运用
例1　A　【解析】a>0，b>0时，≥，当且仅当a=b时，等号成立，
∴当b>a>0时，>成立，
当>时，有a≠b，但a与b的大小关系不确定，故不能推出0巩固训练　AD　【解析】a2+9=a2+32≥2·a·3=6a，故A正确；
当a<0时，a+<0，故B不正确；
当a=b=-1时，+≥2，故C不正确；
当a>0，b>0时，≥，两边平方即得ab≤2，故D正确.
探究2
例2　(1)　(2)6　【解析】(1)∵00，∴x(4-3x)=·3x·(4-3x)≤2=，
当且仅当3x=4-3x，即x=时，等号成立，故x=.
(2)∵x>2，∴x-2>0，∴x+=(x-2)++2≥2+2=6，
当且仅当x-2=，即x=4时，等号成立.
巩固训练　(1)C　(2)-2　【解析】(1)由基本不等式，得=·≤·=2，当且仅当x=4-x，即x=2时，等号成立，故有最大值2.
(2)由基本不等式，得y=t+-4≥2-4=-2，
当且仅当t=1时，等号成立.
探究3
例3　【解析】∵a，b，c>0，∴利用基本不等式可得+b≥2a，+c≥2b，+a≥2c，∴+++a+b+c≥2a+2b+2c，故++≥a+b+c，当且仅当a=b=c时，等号成立.
巩固训练　【解析】++=++
=3+++
≥3+2+2+2
=3+2+2+2=9，
当且仅当a=b=c=时，等号成立.
随堂检测
1.B　【解析】(法一)∵0(法二)取a=2，b=8，则=4，=5，∴a<<2.D　【解析】因为x∈R且x≠0，所以当x>0时，x+≥2，当x<0时，-x>0，所以x+=--x+≤-2，所以A，B都错误；又因为x2+1≥2|x|，所以≤，所以C错误.故选D.
3.　【解析】∵0∴x(1-x)≤2=，
当且仅当x=1-x，即x=时，等号成立.
4.【解析】(1)因为x>0，所以4x+≥2=4，当且仅当4x=，即x=时，等号成立.故4x+的最小值为4.
(2)因为x>0，所以2-3x-=2-≤2-2=2-4，当且仅当3x=，即x=时，等号成立.故2-3x-的最大值为2-4.
(3)因为x<，所以5-4x>0，
所以4x-2+=-5-4x++3≤-2+3=1，当且仅当5-4x=，即x=1时，等号成立.故4x-2+的最大值为1.2.1.1　课时1　等式与不等式
【学习目标】
1.梳理等式的性质，理解不等式的概念.(数学抽象、逻辑推理)
2.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.(逻辑推理)
3.初步学会利用作差法比较两实数的大小.(逻辑推理)
【自主预习】
1.我们学过等式和不等式，那么什么是等式 什么是不等式
2.在数轴上不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a与b.如果a-b分别是正数、零、负数，那么a，b之间具有怎样的大小关系
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不等式x≥2的含义是x不小于2.(　 　)
(2)若a(3)x为非正数可表示为“x≥0”. (　 　)
2.若M=x2-x，N=x-2，则M与N的大小关系为(　 　).
A.M>N
B.MC.M=N
D.不能确定
3.某工厂八月份的产量比九月份的产量少；甲物体比乙物体重；A容器的容积不小于B容器的容积.若前一个量用a表示，后一个量用b表示，则上述事实可表示为　　　　；　　　　；　　　　.
【合作探究】
探究1　不等关系与不等式
商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件.
问题1：上述问题中的利润如何计算
问题2：如果把提价后的商品售价设为x元，那么怎样用不等式表示每天的利润不低于300元
不等关系与不等式
用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫作不等式.
例1　某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A型汽车和B型汽车.根据需要，至少要买5辆A型汽车，6辆B型汽车.写出满足上述所有不等关系的不等式(组).
【方法总结】
在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组.
有如图所示的两种广告牌，其中图1是由两个等腰直角三角形构成的，图2是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a，b(a≠b)的不等式表示为　　　　　　.
探究2　实数a，b的大小比较
问题：我们知道，由于数轴上的点与实数一一对应，故可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系，具体是如何规定的呢
基本事实：
(1)a>b a-b>0；
(2)a=b a-b=0；
(3)a例2　已知a，b为正数，且a≠b，比较a3+b3与a2b+ab2的大小.
【方法总结】
用作差法比较两个实数大小的步骤
已知x≤1，比较3x3与3x2-x+1的大小.
探究3　不等关系的实际应用
例3　某单位组织职工包车前往某地参观学习.甲车队说：“若领队买一张全票，则其余人可享受全票价的7.5折优惠”.乙车队说：“若你们买团体票，则可按原价的8折享受优惠.”这两个车队的原价、车型都是一样的.试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠.
【方法总结】
解决决策优化型应用题，首先要确定制约决策优化的关键量是哪一个，然后用作差法比较它们的大小即可.
甲、乙一同去超市购买大米，去了两次，这两次大米的价格不同，甲和乙购买的方式也不同，其中甲每次购进100千克大米，而乙每次用去100元钱.谁的购买方式更合算
【随堂检测】
1.现要完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，工人工资的预算为20 000元.设请木工x人，瓦工y人，则x，y满足的关系式是(　 　).
A.5x+4y<200 B.5x+4y≥200
C.5x+4y=200 D.5x+4y≤200
2.若m=x2-1，n=2(x+1)2-4(x+1)+1，则m与n的大小关系是(　 　).
A.mn
C.m≥n D.m≤n
3.比较大小：x2-3x+9　　　　(x-2)(x-1).(填“≤”“≥”“<”或“>”)
4.某人打算从甲地出发至乙地，现有两种方案可供选择.第一种方案：在前一半路程的速度为v1，在后一半路程的速度为v2(v1≠v2)，平均速度为.第二种方案：在前一半时间的速度为v1，在后一半时间的速度为v2(v1≠v2)，平均速度为'.与'的大小关系为　　　　.
参考答案
2.1.1　课时1　等式与不等式
自主预习
预学忆思
1.表示两个数或两个数学表达式相等的式子；表示两个数或两个数学表达式不等的式子.
2.a，b之间的大小关系分别为a>b，a=b，a自学检测
1.(1)√　(2)√　(3)×
2.A　【解析】∵M-N=x2-x-(x-2)=(x-1)2+1>0，
∴M>N.
3.ab　a≥b
合作探究
探究1　情境设置
问题1：利润=销售量×单件利润.
问题2：当提价后商品的售价为x元时，销售量减少×10件，因此，每天的利润为(x-8)[100-10(x-10)]元，则“每天的利润不低于300元”可以用不等式表示为(x-8)[100-10(x-10)]≥300.
新知运用
例1　【解析】设购买A型汽车和B型汽车的数量分别为x辆、y辆，则
巩固训练　(a2+b2)>ab
探究2　情境设置
问题：如图，设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，ab.
新知运用
例2　【解析】(a3+b3)-(a2b+ab2)
=a3+b3-a2b-ab2
=a2(a-b)-b2(a-b)
=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b).
∵a>0，b>0且a≠b，∴(a-b)2>0，a+b>0，
∴(a3+b3)-(a2b+ab2)>0，即a3+b3>a2b+ab2.
巩固训练　【解析】3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1)
=3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1).
∵x≤1，∴x-1≤0，又3x2+1>0，
∴(3x2+1)(x-1)≤0，∴3x3≤3x2-x+1.
探究3
例3　【解析】设该单位去的职工有n(n∈N+)人，全票价为x元，坐甲车需花费y1元，坐乙车需花费y2元，
则y1=x+x(n-1)=x+nx，y2=nx.
y1-y2=x+nx-nx
=x-nx=x1-，
当n=5时，y1=y2；
当n>5时，y1当n<5时，y1>y2.
因此，当单位去的人数为5时，两车队的收费相同；当人数多于5时，选甲车队更优惠；当人数少于5时，选乙车队更优惠.
巩固训练　【解析】设两次大米的价格分别为a元/千克，b元/千克(a>0，b>0，a≠b)，
则甲两次购买大米的平均价格(单位：元/千克)是=，
乙两次购买大米的平均价格(单位：元/千克)是==.
因为-==>0，所以>.
所以乙购买大米的方式更合算.
随堂检测
1.D　【解析】依题意，得500x+400y≤20 000，
即5x+4y≤200.
2.D　【解析】∵n-m=x2≥0，∴m≤n.
3.>　【解析】因为x2-3x+9-(x-2)(x-1)=x2-3x+9-(x2-3x+2)=7>0，
所以x2-3x+9>(x-2)(x-1).
4.<'　【解析】第一种方案：设总路程为2s，则==.
第二种方案：设总时间为2t，则'==.
∵'-=-==>0，
∴'>，即<'.2.1.3　基本不等式的应用
【学习目标】
1.熟练掌握基本不等式及其变形的应用.(逻辑推理、数学运算)
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.(逻辑推理、数学运算)
3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.(数学建模)
【自主预习】
1.已知x，y都为正数，若积xy是定值p，则如何求它们和的最小值
2.已知x，y都为正数，如果和x+y是定值s，那么如何求积xy的最大值
3.如果两个正数的积为定值，那么它们的和一定有最小值吗
1.若实数a，b满足a+b=1，则ab的最大值为(　 　).
A.2 B.1 C. D.
2.已知实数x，y满足x>0，y>0，且+=1，则x+2y的最小值为(　 　).
A.2 B.4 C.6 D.8
3.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=　　　　.
【合作探究】
探究1　有关基本不等式的结论
已知x，y都为正数，则：
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x=y时，和x+y有最小值2；
(2)如果和x+y是定值s，那么当且仅当x=y时，积xy有最大值.
简记为“积定和最小，和定积最大”.
利用基本不等式求最值的关键词：一正、二定、三相等.
(1)一正：各项符号必须为正；
(2)二定：各项之和或各项之积为定值；
(3)三相等：必须验证等号成立的条件是否具备.
　
例1　(1)若m>0，n>0，mn=9，则m+n的最小值为(　 　).
A.4 B.4 C.6 D.18
(2)已知x>0，y>0，且x+=4，则xy的最大值为　　　　.
【方法总结】配凑法的实质在于代数式的灵活变形，配系数、凑常数是关键，利用配凑法求最值应注意以下几个方面：①配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价转换；②代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；③拆项、变形、配凑应注意利用基本不等式的前提.
设x>0，y>0，且x+y=18，则xy的最大值为(　 　).
A.80 B.77 C.81 D.82
已知a>0，b>0，且ab=2，则+的最小值为　　　　.
探究2　“1”的代换法求最值
例2　已知x>0，y>0，且+=1，求x+y的最小值.
【变式探究1】本例条件变为“x>0，y>0，2x+8y=xy”，试求x+y的最小值.
【变式探究2】本例条件变为“x>0，y>0，x+y=1”，试求+的最小值.
【方法总结】1.常值代换法适用于求解条件最值问题.求最值的方法步骤：
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
(4)利用基本不等式求解最值.
2.若常值代换法不适用于求条件最值，则对条件变形，直接使用基本不等式，建立以目标函数为整体的不等式，解不等式可得最值.
已知x，y均为正实数，且满足x+2y=2xy.
(1)求xy的最小值；
(2)求x+y的最小值.
探究3　基本不等式的应用
例3　如图所示，动物园要围成面积相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.
(1)现有可围36 m长钢筋网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼的面积最大
(2)若每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小
【方法总结】应用基本不等式解决实际问题的步骤
(1)理解题意，设出变量.
(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成求函数的最大值或最小值问题.
(3)在取值范围内，求出函数的最大值或最小值.
(4)根据实际背景写出答案.
某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房.经测算，若将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用(单位：元)为560+48x.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层 注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=
【随堂检测】
1.已知x>0，y>0，且满足x+6y=6，则xy有(　 　).
A.最大值 B.最小值
C.最大值1 D.最小值1
2.已知a>0，b>0，且2a+=1，则+b的最小值为(　 　).
A.2 B.3 C.8 D.9
3.(多选题)已知a>0，b>0，a+b=2，则对于+，下列说法正确的是(　 　).
A.取最值时，a= B.最大值是5
C.取最值时，b= D.最小值是
4.设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫作y的上确界.若a，b为正数，且a+b=1，则--的上确界为　　　　.
参考答案
2.1.3　基本不等式的应用
自主预习
预学忆思
1.根据基本不等式求它们和的最小值.因为x，y都为正数，且xy是定值p，
所以x+y≥2=2，当且仅当x=y时，等号成立，
所以x+y的最小值为2.
2.由已知可得x+y≥2，所以xy≤=，当且仅当x=y时，积xy取得最大值，最大值为.
3.不一定.应用基本不等式求最值时要求等号能取到.
自学检测
1.D　【解析】∵ab≤，a+b=1，
∴ab≤，即ab≤，当且仅当a=b=时，等号成立，∴(ab)max=.
2.D　【解析】∵x>0，y>0，且+=1，
∴x+2y=(x+2y)+=4++≥4+2=8，当且仅当=，+=1，即x=4，y=2时，等号成立，故x+2y的最小值为8.
3.20　【解析】总运费与总存储费用之和y=4x+·4=4x+≥2=160，
当且仅当4x=，即x=20时，等号成立.
合作探究
探究1
新知运用
例1　(1)C　(2)8　【解析】(1)因为m>0，n>0，mn=9，所以m+n≥2=6，当且仅当m=n=3时，等号成立，故m+n的最小值为6.
(2)xy=2·x·≤22=8，
当且仅当x=，即x=2，y=4时，等号成立，
所以xy的最大值为8.
巩固训练1　C　【解析】因为x>0，y>0，
所以xy≤2=81，
当且仅当x=y=9时，等号成立，
所以xy的最大值为81.
巩固训练2　2　【解析】+≥2=2=2，
当且仅当=，即a=，b=2时，等号成立，
∴+的最小值为2.
探究2
例2　【解析】∵x>0，y>0，+=1，∴x+y=+·(x+y)=++10≥2+10=16，当且仅当即时，等号成立，∴x+y的最小值为16.
变式探究1　【解析】由2x+8y=xy，得y=.
∵x>0，y=>0，∴x-8>0，
∴x+y=x+=x+=(x-8)++10≥2 +10=18，当且仅当x-8=，即x=12时，等号成立，∴x+y的最小值是18.
变式探究2　【解析】+=(x+y)+=10++≥10+2=16，当且仅当=，x+y=1，即x=，y=时，等号成立，∴+的最小值为16.
巩固训练　【解析】(1)因为x，y>0，且x+2y=2xy，
由基本不等式得2xy=x+2y≥2，
解得≥，
所以xy≥2，当且仅当即时，等号成立，
所以xy的最小值为2.
(2)因为x，y>0，且x+2y=2xy，
所以+=1，
所以x+y=+(x+y)=++≥2+=+，
当且仅当即时，等号成立，
所以x+y的最小值为+.
探究3
例3　【解析】(1)设每间虎笼的长为x m，宽为y m，则由条件得4x+6y=36，即2x+3y=18，
设每间虎笼的面积为S，则S=xy.
∵2x+3y≥2=2，
∴2≤18，得xy≤，
即S≤，当且仅当2x=3y时，等号成立.
由解得
故每间虎笼的长为4.5 m，宽为3 m时，面积最大.
(2)(法一)由条件知S=xy=24，设钢筋网总长为l m，则l=4x+6y.
∵2x+3y≥2=2=24，
∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48，当且仅当2x=3y时，等号成立.
由解得
故每间虎笼的长为6 m，宽为4 m时，钢筋网总长最小.
(法二)由xy=24，得x=，
∴l=4x+6y=+6y=6≥6×2=48，当且仅当=y，即y=4时，等号成立，此时x=6.
故每间虎笼的长为6 m，宽为4 m时，钢筋网总长最小.
巩固训练　【解析】由题意知，每平方米的平均购地费用为=，
∴每平方米的平均综合费用y=560+48x+=560+48x+.
当x+取最小值时，y取得最小值.
∵x≥10，∴x+≥2=30，
当且仅当x=，即x=15时，等号成立.
∴当x=15时，y取得最小值，最小值为2 000元.
故该楼房建为15层时，每平方米的平均综合费用最少.
随堂检测
1.A　【解析】xy=≤2=×9=，当且仅当即时，等号成立.故选A.
2.D　【解析】+b=+b·2a+=5++2ab≥5+2=9，
当且仅当即时，等号成立，所以+b的最小值为9.
3.AD　【解析】因为a+b=2，所以+=+=+++2≥+2=，当且仅当=，且a+b=2，即a=，b=时，等号成立.
4.-　【解析】因为a，b为正数，且a+b=1，所以+=+(a+b)=++≥+2=，当且仅当=，且a+b=1，即a=，b=时，等号成立，因此有--≤-，即--的上确界为-.

展开更多......

收起↑