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2.3.1　课时1　一元二次不等式及其解法(一)
【学习目标】
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.(数学抽象)
2.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.(数学运算)
【自主预习】
1.不等式x2+>0是一元二次不等式吗
2.在一元二次不等式的一般形式中，“a≠0”可以省略吗
3.若二次函数y=x2-4的函数值大于零，如何求解 x的取值范围
4.二次函数与一元二次方程的解、一元二次不等式的解集有什么对应关系
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a>0，则一元二次不等式ax2+1>0无解.(　 　)
(2)若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根分别为x1，x2(x1(3)不等式x2-2x+3>0的解集为R.(　 　)
2.(多选题)下列关于x的不等式中，一定为一元二次不等式的是(　 　).
A.3x+4<0 B.x2+mx-1>0
C.ax2+4x-7>0 D.x2<0
3.不等式(2x-5)(x+3)<0的解集为　　　　　　　　.
4.不等式x2<2的解集是　　　　　　　　.
【合作探究】
探究1　一元二次不等式
观察下列不等式：
(1)x2>0；(2)-x2-2x≤0；(3)x2-5x+6>0.
问题1：它们含有几个未知数 未知数的最高次数是多少
问题2：上述三个不等式在表达形式上有何共同特点
1.一元二次不等式
把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0.
2.解一元二次不等式的步骤
(1)确定对应一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根；
(2)画出对应二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的大致图象；
(3)由图象得出不等式的解集.
设二次函数y=ax2+bx+c(a>0)，一元二次方程 ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac
判别式 Δ>0 Δ=0 Δ<0
解不等式 y>0或 y<0 的步骤 求方程y=0的解 有两个不相等的实数根x1，x2(x1画二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象
得不等式的解 集 y>0 {x|xx2} xx∈R且 x≠- R
y<0 {x|x1一、不含参数的一元二次不等式的解法
例1　解下列不等式：
(1)2x2-3x-2>0；
(2)-3x2+6x-2>0；
(3)4x2-4x+1≤0；
(4)x2-2x+2>0.
【方法总结】解一元二次不等式的一般步骤：(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；(2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的实数根，或根据判别式说明方程没有实数根；(4)根据函数图象与x轴的位置关系写出不等式的解集.
解下列不等式：
(1)2x2-x+6>0；
(2)x2-6x+9≤0；
(3)x(7-x)>0.
二、含参数的一元二次不等式的解法
例2　解关于x的不等式x2-ax-2a2<0(a∈R).
【方法总结】解含参数的一元二次不等式时：(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数分大于0、等于0与小于0进行讨论；(2)若求对应的一元二次方程的根需要用公式，则应对判别式Δ进行讨论；(3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论.
解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a<0).
探究2　三个“二次”的关系
例3　若关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集是，求关于x的不等式cx2+bx+a<0的解集.
【方法总结】1.一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，也是函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标. 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象，在x轴上方的部分所对应的x的值满足不等式ax2+bx+c>0；在x轴下方的部分所对应的x的值满足不等式ax2+bx+c<0.
已知关于x的不等式ax2+5x+c>0的解集为.
(1)求a，c的值；
(2)解关于x的不等式ax2+(ac+2)x+2c≥0.
【随堂检测】
1.不等式3x2-2x+1>0的解集为(　 　).
A.x-1C. D.R
2.若关于x的不等式ax2+bx-1≥0的解集是x-≤x≤-，则实数a=(　 　).
A.-6 B.-5
C. D.6
3.若关于x的不等式(x+1)(x-3)4.解关于x的不等式x2+(1-a)x-a<0.
参考答案
2.3.1　课时1　一元二次不等式及其解法(一)
自主预习
预学忆思
1.不是，一元二次不等式一定为整式不等式.
2.不可以，若a=0，则不是二次不等式了.
3.结合二次函数的图象求解，可得x的取值范围为x<-2或 x>2.
4.可以借助二次函数的图象分析，二次函数的图象与x轴交点的横坐标就是相应一元二次方程的实数根，二次函数图象与x轴的位置关系可确定一元二次不等式的解集.
自学检测
1.(1)×　(2)×　(3)√
2.BD　【解析】由于a可能为0，故ax2+4x-7>0不一定是一元二次不等式；x2+mx-1>0，x2<0一定是一元二次不等式；3x+4<0是一次不等式.故选BD.
3.
4.{x|-合作探究
探究1　情境设置
问题1：它们都只含有一个未知数，未知数的最高次数都是2.
问题2：形如ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0，其中a，b，c为常数，且a≠0.
新知运用
例1　【解析】(1)方程2x2-3x-2=0的解是x1=-，x2=2.
因为函数图象是开口向上的抛物线，如图①所示，
图①
所以原不等式的解集是xx<-或x>2.
(2)不等式可化为3x2-6x+2<0.
因为方程3x2-6x+2=0的解是x1=1-，x2=1+，
且函数y=3x2-6x+2的图象是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集是.
(3)方程4x2-4x+1=0的解是x1=x2=，函数y=4x2-4x+1的图象是开口向上的抛物线，如图②所示，所以原不等式的解集是.
图②
(4)因为x2-2x+2=0的判别式Δ<0，
所以方程x2-2x+2=0无实数根.又因为函数y=x2-2x+2的图象是开口向上的抛物线，如图③所示，所以原不等式的解集为R.
图③
巩固训练　【解析】
图①
(1)∵方程2x2-x+6=0的判别式Δ=(-1)2-4×2×6<0，
∴函数y=2x2-x+6的图象开口向上，与x轴无交点(如图①).观察图象可得原不等式的解集为R.
(2)x2-6x+9≤0，即(x-3)2≤0，∴原不等式的解集为{x|x=3}.
(3)原不等式可化为x(x-7)<0，方程x(x-7)=0的两根分别是x1=0，x2=7，
图②
函数y=x(x-7)的图象是开口向上的抛物线，
与x轴有(0，0)，(7，0)两个交点(如图②).
观察图象，可得原不等式的解集为{x|0例2　【解析】原不等式转化为(x-2a)(x+a)<0，对应的一元二次方程的根分别为x1=2a，x2=-a.
①当2a>-a，即a>0时，不等式的解集为{x|-a②当2a=-a，即a=0时，原不等式化为x2<0，无解；
③当2a<-a，即a<0时，不等式的解集为{x|2a综上所述，当a>0时，原不等式的解集为{x|-a巩固训练　【解析】对原不等式移项，得ax2+(a-2)x-2≥0，
化简为(x+1)(ax-2)≥0.
∵a<0，∴(x+1)x-≤0.
∴当-2当a=-2时，x=-1；
当a<-2时，-1≤x≤.
综上所述，当-2当a=-2时，解集为{x|x=-1}；
当a<-2时，解集为.
探究2
例3　【解析】∵原不等式的解集为，
∴-，2是关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根，且a<0.
由根与系数的关系得
即
∵a<0，∴不等式cx2+bx+a<0可化为x2+x+1>0，即-x2-x+1>0，化简得2x2+5x-3<0，则(2x-1)·(x+3)<0，解得-3∴关于x的不等式cx2+bx+a<0的解集为.
巩固训练　【解析】(1)由题意知，不等式对应的方程ax2+5x+c=0的两个实数根分别为和，
由根与系数的关系得解得
(2)由a=-6，c=-1知，关于x的不等式ax2+(ac+2)x+2c≥0可化为-6x2+8x-2≥0，即3x2-4x+1≤0，解得≤x≤1，所以原不等式的解集为.
随堂检测
1.D　【解析】因为Δ=(-2)2-4×3×1=4-12=-8<0，且对应二次函数图象开口向上，所以不等式3x2-2x+1>0的解集为R.
2.A　【解析】∵关于x的不等式ax2+bx-1≥0的解集为x-≤x≤-，
∴-和-为关于x的方程ax2+bx-1=0的两个实数根，且a<0，
根据根与系数的关系得-×-=，解得a=-6.
3.2　【解析】∵关于x的不等式(x+1)(x-3)4.【解析】关于x的方程x2+(1-a)x-a=0的解为x1=-1，x2=a，函数y=x2+(1-a)x-a的图象开口向上.
综上，当a<-1时，原不等式的解集为{x|a当a=-1时，原不等式的解集为 ；
当a>-1时，原不等式的解集为{x|-1【学习目标】
1.会解简单的分式不等式.(数学运算)
2.会求解方程根的存在性问题和不等式恒成立问题.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.如何判断二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的位置关系
2.若一元二次不等式ax2+x-1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件
3.不等式 <0与(x-3)(x+2)<0的解集相同吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不等式>1的解集是{x|x<1}. (　 　)
(2)若a<0，则一元二次不等式ax2+bx+c≥0有解的充要条件是Δ=b2-4ac≥0. (　 　)
2.不等式≥0的解集为　　　　.
3.已知关于x的不等式x2+x+k>0恒成立，则实数k的取值范围为　　　　.
【合作探究】
探究1　分式不等式的解法
问题：>0与(x-3)(x+2)>0等价吗 将>0变形为(x-3)(x+2)>0，有什么好处
1.解分式不等式时，要注意先移项，使右边化为零，再注意含等号的分式不等式的分母不为零.
2.分式不等式的4种形式及解题思路
令y1=a1x+b1，y2=a2x+b2，
(1)>0 y1y2>0；
(2)<0 y1y2<0；
(3)≥0 y1y2≥0且y2≠0 y1y2>0或y1=0；
(4)≤0 y1y2≤0且y2≠0 y1y2<0或y1=0.
3.不等式与不等式组的等价关系
(1)y1y2≥0 或
(2)y1y2≤0 或
(3)y1y2>0 或
(4)y1y2<0 或
例1　解下列不等式：
(1)<0；
(2)≤1.
【方法总结】1.对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零.
2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零的不等式，然后用上述方法求解.
解下列不等式：
(1)≥0；(2)<3.
探究2　不等式恒成立问题
问题1：若一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为R，则二次函数y=ax2+bx+c的图象是怎样的
问题2：若一元二次不等式ax2+bx+c≤0的解集为R，则a，b，c应满足什么关系
一般地，“不等式ax2+bx+c>0在{x|x1≤x≤x2}上恒成立”的几何意义是函数y=ax2+bx+c在{x|x1≤x≤x2}上的图象全部在x轴上方.{x|x1≤x≤x2}是不等式ax2+bx+c>0的解集的子集.
令y=ax2+bx+c，恒成立的不等式问题通常转化为函数的最值问题，即k≥y恒成立 k≥ymax；k≤y恒成立 k≤ymin.
例2　已知对任意的x∈R，关于x的不等式mx2-mx-1<0恒成立，求实数m的取值范围.
【方法总结】对于含参数的二次函数在给定范围内的函数值恒大(小)于或等于零的问题，可以利用函数的图象与性质求解，也可以分离变量，转化为二次函数的最值问题求解.
若关于x的不等式kx2+3kx+k-2≤0的解集为R，则实数k的取值范围是(　 　).
A.k-≤k<0 B.k-≤k<0
C.k-≤k≤0 D.k-≤k≤0
探究3　一元二次不等式在给定区间上的恒(能)成立问题
例3　(1)当1≤x≤2时，关于x的不等式x2+mx+4<0恒成立，求实数m的取值范围.
(2)当10有解，求实数m的取值范围.
【方法总结】结合函数的图象将问题转化为对函数图象的对称轴、端点的函数值或函数图象的位置(相对于x轴)关系的求解.也可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.
已知函数y=x2+mx-1.
(1)若对任意的x∈[m，m+1]，都有y<0成立，求实数m的取值范围；
(2)若关于x的不等式x2+mx-1≤有解，求实数m的取值范围.
【随堂检测】
1.若集合A={x|-1≤2x+1≤3}，B=，则A∩B=(　 　).
A.{x|-1≤x<0}　　　　　 B.{x|0C.{x|0≤x<2} D.{x|0≤x≤1}
2.不等式≥1的解集是(　 　).
A.x≤x≤2 B.x≤x<2
C.xx>2或x≤ D.xx≥
3.若不等式x2-2x+a-8≤0对任意x∈{x|1≤x≤3}恒成立，则实数a的取值范围是　　　　.
4.若不等式ax2+2x+2>0对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围.
参考答案
2.3.1　课时2　一元二次不等式及其解法(二)
自主预习
预学忆思
1.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的位置关系，分为三种情况，这可以由一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac的三种取值情况来确定.当Δ>0时，二次函数图象与x轴有两个交点；当Δ=0时，二次函数图象与x轴有一个交点；当Δ<0时，二次函数图象与x轴无交点.
2.结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2+x-1>0的解集为R，则解得a∈ ，所以不存在a使不等式ax2+x-1>0的解集为R.
3.相同.
自学检测
1.(1)×　(2)√
2.{x|-1≤x<1}　【解析】≥0 解得-1≤x<1.
3.kk>　【解析】由题意知Δ<0，即1-4k<0，
得k>，即实数k的取值范围为kk>.
合作探究
探究1　情境设置
问题：等价，好处是将不熟悉的分式不等式化为已经熟悉的一元二次不等式.
新知运用
例1　【解析】(1)<0 (2x-5)(x+4)<0 -4∴原不等式的解集为.
(2)∵≤1，∴-1≤0，
∴≤0，即≥0.
此不等式等价于(x-4)≥0且x-≠0，解得x<或x≥4，
∴原不等式的解集为.
巩固训练　【解析】(1)不等式≥0可转化成不等式组解得x≤-1或x>3.
故原不等式的解集为{x|x≤-1或x>3}.
(2)由<3，得-3<0，即<0.
可将这个不等式转化成2(x-1)(x+1)<0，
解得-1所以原不等式的解集为{x|-1探究2　情境设置
问题1：二次函数y=ax2+bx+c的图象有两种情况，如图所示.
问题2：a<0且Δ=b2-4ac≤0.
新知运用
例2　【解析】 由题意知不等式mx2-mx-1<0(x∈R)恒成立，
若m=0，显然-1<0，满足题意；
若m≠0，则即-4综上所述，实数m的取值范围为-4巩固训练　D　【解析】当k=0时，-2≤0恒成立，符合题意；
当k≠0时，有k<0且9k2-4k(k-2)=5k2+8k≤0，解得-≤k<0.
综上，-≤k≤0.
探究3
例3　【解析】(1)令y=x2+mx+4.∵当1≤x≤2时，y<0恒成立，
∴关于x的方程x2+mx+4=0的根一个小于1，另一个大于2.
如图，得解得m<-5，
故实数m的取值范围是(-∞，-5).
(2)当10有解的反面为
当1∴解得m≤-5.
∴当10有解的m的取值范围为(-5，+∞).
巩固训练　【解析】(1)由题意得即解得-所以实数m的取值范围是-，0.
(2)(法一)由题意得≥(x2+mx-1)min=-2+m--1=--1，解得m≤-4或m≥-1，所以实数m的取值范围是(-∞，-4]∪[-1，+∞).
(法二)由题意得x2+mx-1-≤0有解，所以Δ≥0，即m2+5m+4≥0，解得m≤-4或m≥-1，所以实数m的取值范围是(-∞，-4]∪[-1，+∞).
随堂检测
1.B　【解析】由题意得A={x|-1≤x≤1}，B={x|0∴A∩B={x|02.B　【解析】对不等式≥1，
移项得-1≥0，
即≤0，可化为
解得≤x<2，
则原不等式的解集为x≤x<2.故选B.
3.{a|a≤5}　【解析】原不等式x2-2x+a-8≤0可转化为a≤-x2+2x+8，其对任意x∈{x|1≤x≤3}恒成立，设y=-x2+2x+8，易知y在{x|1≤x≤3}上的最小值为5，所以a≤5.
4.【解析】若a=0，显然2x+2>0不能对任意x∈R都成立.
所以a≠0，故只有当二次函数y=ax2+2x+2的图象与x轴无交点且开口向上时，才满足题意，则解得a>.
故实数a的取值范围是aa>.2.3.2　一元二次不等式的应用
【学习目标】
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程，理解一元二次不等式的现实意义.(数学建模)
2.能使用分离参数法、主参换位法和数形结合法解决“不等式恒成立、能成立”的问题.(数学运算)
【合作探究】
探究1　一元二次不等式的实际应用
例1　某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1 000个.为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加蛋糕成本.若每个蛋糕成本增加的百分率为x(0(1)为使日利润有所增加，求x的取值范围；
(2)当每个蛋糕成本增加的百分率为多少时，日利润最大 求出最大日利润.
【方法总结】一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”.
设某企业每月生产电机x台，根据企业月度报表数据，每月总产值m(单位：万元)与总支出n(单位：万元)近似地满足下列关系：m=x-，n=-x2+5x+.当m-n≥0时，该企业称为不亏损企业；当m-n<0时，该企业称为亏损企业，且n-m为亏损额.
(1)如果企业要成为不亏损企业，那么每月至少要生产多少台电机
(2)当月总产值为多少时，企业亏损最严重，最大亏损额为多少
探究2　一元二次不等式与基本不等式的实际应用
例2　某学校欲在操场旁的一块矩形空地上进行绿化.如图所示，在两块完全相同的矩形空地内种植绿草，草坪周围(斜线部分)均种满宽度相同的鲜花.已知两块绿草坪的面积均为200平方米.
(1)若矩形草坪的长比宽至少多10米，求草坪宽的最大值；
(2)若草坪四周及中间的宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.
共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用.据市场分析，每辆单车的营运累计利润y(单位：元)与营运天数x(x∈N+)满足函数关系式y=-x2+60x-800.
(1)要使每辆单车的营运累计利润高于800元，则营运天数的取值范围是多少
(2)每辆单车营运多少天时，每天的平均营运利润的值最大
【随堂检测】
1.一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(单位：辆)与创造的价值y(单位：元)之间有如下的关系：y=-2x2+220x.若这家制造厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6 000元以上，则它在一个星期内应该生产的摩托车数量x的取值范围是　 　.
2.某种衬衫进货价为每件30元，若每件以40元的价格出售，则每天能卖出40件；若每件提价1元，则每天卖出的衬衫数量将减少1件.若要求每天出售衬衫的净收入不低于525元，则每件衬衫的售价的取值范围是　　　　.(结果用区间表示)
3.为振兴乡村发展，提高农民收入，政府将无息贷款10万元给农户养羊，每万元可创造利润0.15万元.若进行技术指导，养羊的投资将减少x(x>0)万元，且每万元创造的利润变为原来的(1+0.25x)倍.现将养羊少投资的x万元
全部用于投资网店，进行农产品销售，每万元创造的利润为0.15(a-0.875x)万元，其中a>0.
(1)若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求x的取值范围；
(2)若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求a的最大值.
参考答案
2.3.2　一元二次不等式的应用
合作探究
探究1
例1　【解析】(1)由题意知，日利润为y=[60(1+0.5x)-40(1+x)]×1 000(1+0.8x)=2 000(-4x2+3x+10)(0若要日利润有所增加，则y-(60-40)×1 000>0，
即-4x2+3x>0，解得0(2)由(1)知日利润为y=2 000(-4x2+3x+10)=2 000-4x-2+=-8 000x-2+21 125，
当x=时，日利润最大，最大日利润是21 125元.
巩固训练　【解析】(1)依题意，m-n≥0，即x-≥-x2+5x+，
整理得x2-2x-8≥0，解得x≥4或x≤-2(舍去)，
∴企业要成为不亏损企业，每月至少要生产4台电机.
(2)由(1)可知，当0亏损额为n-m=-x2+5x+-x-=-(x-1)2+，
∴当x=1时，n-m取得最大值，最大值为，
此时m=×1-=，
即当月总产值为万元时，企业亏损最严重，最大亏损额为万元.
探究2
例2　【解析】(1)设草坪的宽为x米，长为y米，
由两块绿草坪的面积均为200平方米，得y=.
因为矩形草坪的长比宽至少多10米，所以≥x+10，
又x>0，所以x2+10x-200≤0，解得0所以草坪宽的最大值为10米.
(2)设整个绿化面积为S平方米，
由题意得，S=(2x+6)(y+4)=(2x+6)+4=424+8x+≥424+80，
当且仅当x=5时，等号成立，
所以整个绿化面积的最小值为(424+80)平方米.
巩固训练　【解析】(1)要使每辆单车的营运累计利润高于800元，则-x2+60x-800>800，解得40所以营运天数的取值范围为40到80.
(2)=-x-+60≤-2+60=-2+60=20，
当且仅当x=时，等号成立，解得x=40，
所以每辆单车营运40天时，每天的平均营运利润最大，最大为每天20元.
随堂检测
1.51≤x≤59，x∈N+　【解析】由题意得-2x2+220x>6 000，
即x2-110x+3 000<0，因为Δ=100>0，所以方程x2-110x+3 000=0有x1=50，x2=60两个实数根，
所以不等式的解为50因为x只能取整数，所以这条摩托车整车装配流水线在一星期内生产的摩托车数量x的取值范围是51≤x≤59，x∈N+.
2.[45，65]　【解析】设每件衬衫提价x元，则每件衬衫的售价为(40+x)元，
故每天出售衬衫的净收入为y=(40+x-30)(40-x)=-(x-15)2+625.
由题可知，-(x-15)2+625≥525，整理得(x-25)(x-5)≤0，解得5≤x≤25，
∴45≤40+x≤65，
∴每件衬衫的售价的取值范围是[45，65].
3.【解析】(1)由题意，得0.15(1+0.25x)(10-x)≥0.15×10，
整理得x2-6x≤0，解得0≤x≤6，又x>0，所以x的取值范围是(0，6].
(2)由题意可知，网店销售的利润为0.15(a-0.875x)x万元，
技术指导后，养羊的利润为0.15(1+0.25x)(10-x)万元，
则0.15(a-0.875x)x≤0.15(1+0.25x)(10-x)恒成立.
又0又+≥2=5，当且仅当x=4时，等号成立，
∴0

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