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第1章章末小结
【知识导图】
【题型突破】
集合的基本概念
例1　(1)已知集合A={0，1，2}，则集合B={x-y|x∈A，y∈A}中元素的个数是(　 　).
A.1 B.3
C.5 D.9
(2)(多选题)已知集合A={y|y=x2+2}，集合B={(x，y)|y=x2+2}，下列关系正确的是(　 　).
A.(1，3)∈B B.(0，0) B
C.0∈A D.A=B
　解决集合的概念问题应关注两点
(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么.
(2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性.
集合间的基本关系
例2　(1)已知M，N均为R的子集，若N∪(RM)=N，则(　 　).
A.M N B.N M
C.M RN D.RN M
(2)设集合A={0，-a}，B={1，a-2，2a-2}，若A B，则a=(　 　).
A.2 B.1 C. D.-1
(3)满足{1} A {1，2，3，4}的集合A的个数为(　 　).
A.5 B.6 C.7 D.8
　1.空集是任何集合的子集，在涉及集合间的关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解.
2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观地解决这类问题.
集合的基本运算
例3　(1)(2024年全国甲卷)已知集合A={1，2，3，4，5，9}，B={x|∈A}，则A(A∩B)=(　　).
A.{1，4，9} B.{3，4，9}
C.{1，2，3} D.{2，3，5}
(2)(2024年新高考全国Ⅰ卷)已知集合A={x|-5A.{-1，0} B.{2，3}
C.{-3，-1，0} D.{-1，0，2}
(3)设全集U=R，A={x|0　求解用不等式表示的数集的运算时，一般要借助数轴求解，此法的特点是简单直观，在使用时要注意各个不等式端点的画法及结果能否取到端点值.
充分条件与必要条件的判定
例4　(1)设x∈R，则“2-x≥0”是“-1≤x-1≤1”的(　 　).
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
(2)已知集合A={x|-4≤x≤4}，B={x|x5”是“A B”的(　 　).
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
　充分条件、必要条件的两种常见判定方法
(1)定义法：根据p q，q p进行判断，适用于定义、定理判断性问题.
(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.
充分条件与必要条件的应用
例5　已知命题p： x∈R，ax2+2x-1=0，且p为假命题.
(1)求实数a的取值集合A；
(2)设集合B={x|6m-4<2x-4<2m}，若“x∈A”是“x∈B”的必要而不充分条件，求实数m的取值范围.
　充分条件与必要条件的应用技巧
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题.
(2)求解步骤：先把p，q等价转化，再利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解.
全称量词命题与存在量词命题
例6　(1) 命题“ x∈R，x2-2x+1≥0”的否定是(　 　).
A. x∈R，x2-2x+1≤0
B. x∈R，x2-2x+1≥0
C. x∈R，x2-2x+1<0
D. x∈R，x2-2x+1<0
(2)若命题p： x∈R，x2-2x+m≠0是真命题，则实数m的取值范围是(　 　).
A.{m|m≥1}　　　　　　B.{m|m>1}
C.{m|m<1} D.{m|m≤1}
　1.全称量词命题的否定一定是存在量词命题，存在量词命题的否定一定是全称量词命题.首先改变量词，把全称量词改为存在量词，把存在量词改为全称量词，然后把判断词加以否定.
2.通过含有量词的命题的否定及利用命题的真假求参数的取值范围等，培养逻辑推理和数学运算素养.
集合的实际应用
例7　某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有　　　　人.
　数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养，主要表现在：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题.在本章主要表现在集合的实际应用问题中.
【拓展延伸】
集合论的背景
集合论在19世纪诞生的基本原因来自数学基础的批判运动.数学分析的发展必然涉及无穷过程、无穷小和无穷大这些无穷概念.在18世纪，无穷概念还没有精确的定义，不仅使微积分理论遇到严重的逻辑困难，而且还使无穷概念在数学中信誉扫地.19世纪上半叶，柯西给出了极限概念的精确描述，在这基础上建立起连续、导数、微分、积分以及无穷级数的理论.正是这19世纪发展起来的极限理论解决了微积分理论所遇到的逻辑困难.但是，柯西并没有彻底完成微积分的严密化.柯西思想有一定的模糊性，甚至产生逻辑矛盾.19世纪后期的数学家们发现使柯西产生逻辑矛盾的原因在奠定微积分基础的极限概念上.严格地说，柯西的极限概念并没有真正地摆脱几何直观，确实地建立在纯粹严密的算术的基础上.于是，许多受分析基础危机影响的数学家致力于分析的严格化.在这一过程中，都涉及对微积分的基本研究对象——连续函数的描述.
在数与连续性的定义中，有涉及关于无限的理论.因此，无限集合在数学上存在的问题又被提出来了.这也就带来寻求无限集合的理论基础的工作.
总之，寻求微积分彻底严密的算术化倾向，成了集合论产生的一个重要原因.
康托尔与集合论
康托尔是19世纪末20世纪初德国伟大的数学家，集合论的创立者.19世纪末他所创立的集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造，集合概念大大扩充了数学的研究领域，给数学结构提供了一个基础，集合论不仅影响了现代数学，而且也深深地影响了现代哲学和逻辑.集合论是现代数学中重要的基础理论.它的概念和方法已经渗透到代数、拓扑和分析等许多数学分支以及物理学和质点力学等一些自然科学部门，为这些学科提供了奠基的方法，改变了这些学科的面貌.几乎可以说，如果没有集合论的观点，很难对现代数学获得一个深刻的理解.
参考答案
第1章章末小结
题型突破
例1　(1)C　(2)AB　【解析】(1)①当x=0时，y=0，1，2，此时x-y的值分别为0，-1，-2；
②当x=1时，y=0，1，2，此时x-y的值分别为1，0，-1；
③当x=2时，y=0，1，2，此时x-y的值分别为2，1，0.
综上可知，x-y的可能取值为-2，-1，0，1，2，共5个.
(2)∵集合A={y|y≥2}，
集合B是由抛物线y=x2+2上的点组成的集合，
∴A，B正确，C，D错误.故选AB.
例2　(1)D　(2)B　(3)D　【解析】(1)由题意知，RM N，作出Venn图如图所示，
故只有RN M正确.
(2)依题意，有a-2=0或2a-2=0.当a-2=0时，解得a=2，此时A={0，-2}，B={1，0，2}，不满足A B；当2a-2=0时，解得a=1，此时A={0，-1}，B={-1，0，1}，满足A B.所以a=1.故选B.
(3)∵{1} A {1，2，3，4}，∴A可能的集合为{1}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{1，2，3，4}，共8个.故选D.
例3　(1)D　(2)A　(3){x|1≤x<2}
【解析】(1)因为A={1，2，3，4，5，9}，B={x|∈A}，所以B={1，4，9，16，25，81}，
则A∩B={1，4，9}，A(A∩B)={2，3，5}.故选D.
(2)因为A=，B={-3，-1，0，2，3}，且1<<2，
所以A∩B={-1，0}.故选A.
(3)图中阴影部分表示的集合为A∩(UB).因为UB={x|x≥1}，画出数轴，如图所示，所以A∩(UB)={x|1≤x<2}.
例4　(1)B　(2)A　【解析】(1)由2-x≥0，得x≤2，由-1≤x-1≤1，得0≤x≤2，因为0≤x≤2 x≤2，x≤2 / 0≤x≤2，所以“2-x≥0”是“-1≤x-1≤1”的必要而不充分条件.故选B.
(2)因为A B a>4，而a>5 a>4，且a>4 / a>5，所以“a>5”是“A B”的充分而不必要条件.
例5　【解析】(1)命题p的否定是“ x∈R，ax2+2x-1≠0”，且为真命题，
∴a≠0且Δ=4+4a<0，解得a<-1，∴A={a|a<-1}.
(2)由6m-4<2x-4<2m，解得3m若“x∈A”是“x∈B”的必要而不充分条件，则B A.
当B= 时，即3m≥m+2，解得m≥1；
当B≠ 时，解得m≤-3，
综上，实数m的取值范围为.
例6　(1)C　(2)B　【解析】(1)∵命题“ x∈R，x2-2x+1≥0”为全称量词命题，
∴该命题的否定为“ x∈R，x2-2x+1<0”，故选C.
(2)若命题p： x∈R，x2-2x+m≠0是真命题，则m≠-(x2-2x)，
∵-(x2-2x)=-(x-1)2+1≤1，
∴m>1，
∴实数m的取值范围是{m|m>1}.故选B.
例7　8　【解析】设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图.
由全班共36名同学可得(26-6-x)+6+(15-4-6)+4+(13-4-x)+x=36，解得x=8，即同时参加数学和化学小组的有8人.

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