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第2章章末小结
【知识导图】
【题型突破】
不等式性质的应用
例1　(多选题)设a>b>0，c≠0，则(　 　).
A.ac2C.a2->b2- D.a2+>b2+
　不等式是否成立要依据其适用范围和条件来确定，举反例是判断命题为假的一个好方法，用特例法验证时要注意，符合题意的不一定对，不符合题意的一定错，故特例只能否定选项，只要四个中排除了三个，剩下的就是正确答案了.
利用基本不等式求最值
例2　(1)(-6A.9 B. C.3 D.
(2)若x>0时，ax+的最小值为5，则正实数a=　　　　.
(3)设a>0，x+(x>-2)的最小值为6，则a=　　　　.
　基本不等式的关注点
(1)前提：“一正”“二定”“三相等”.
(2)配凑：要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后利用基本不等式.
(3)方法：一是消元法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是配凑法.
解一元二次不等式
例3　(1)(2023年新高考全国Ⅰ卷)已知集合M={-2，-1，0，1，2}，N={x|x2-x-6≥0}，则M∩N=(　 　).
A.{-2，-1，0，1} B.{0，1，2}
C.{-2} D.{2}
(2)不等式<0的解集为　　　　.
　本题(1)考查的是有关集合的问题，涉及的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算；本题(2)考查简单分式不等式的解法.解题过程渗透了数学运算和逻辑推理的核心素养.
含参数的一元二次不等式的解法
例4　求关于x的不等式>1的解集.
　解一元二次不等式时，要注意数形结合，充分利用对应的二次函数图象、一元二次方程的解的关系.若含有参数，则需按一定的标准对参数进行分类讨论.
不等式恒成立问题
例5　已知不等式mx2-mx-1<0，当1≤x≤3时，该不等式恒成立，求实数m的取值范围.
　对于不等式恒成立求参数范围的问题，常用方法是分离参数法或利用不等式与二次函数的关系通过函数图象直观判断.
不等式在实际问题中的应用
例6　某企业有员工1 000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加竞争力，企业决定优化产业结构，从原有的员工中调整出x(x∈N+)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10(a-0.8x%)(a>0)万元，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.4x%.
(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业
(2)在保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1 000名员工创造的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少
　解决实际问题的步骤
(1)准确审题，初步建模；
(2)设出变量，列出函数关系式；
(3)根据题设构造二次函数或基本不等式的形式解决问题.
【拓展延伸】
融入不等式中的数学文化
数学文化是人类从历史、运用、欣赏等角度对数学进行的思考，它比知识更能直接地、深刻地揭示数学的本质及价值.多角度地呈现数学文化的价值，不停留在只把数学当作冷冰冰的纯知识，而是将数学融入整个文化元素中去积极思考，主动探究，从而感悟数学的魅力所在.本文借助典型实例揭示融入不等式中的数学文化.
不等式性质的应用
例1　古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平称物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘积.某金店用一杆不准确的天平(两边臂不等长)称黄金，某顾客要购买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5 g的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金(　 　).
A.大于10 g
B.小于10 g
C.大于或等于10 g
D.小于或等于10 g
方法指导　设天平左臂长为a，右臂长为b(不妨设a>b)，先称得到的黄金的实际质量为m1，后称得到的黄金的实际质量为m2.根据天平平衡，列出等式，可得m1，m2的表达式，利用作差法比较m1+m2与10的大小，即可得答案.
答案 A
解析 由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为a，右臂长为b(不妨设a>b)，先称得到的黄金的实际质量为m1，后称得到的黄金的实际质量为m2.
由杠杆的平衡原理，可得bm1=a×5，am2=b×5，解得m1=，m2=，
则m1+m2=+.
下面比较m1+m2与10的大小：
因为(m1+m2)-10=+-10=，
又a≠b，所以>0，即m1+m2>10.
故可知称出的黄金质量大于10 g.故选A.
点评　本题利用杠杆原理，展示不等式性质的应用.
解不等式的应用
例2　古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是≈0.618，称为黄金分割比例，著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是(　 　).
A.165 cm B.175 cm
C.185 cm D.190 cm
方法指导　设身高为x cm，运用黄金分割比例，结合图形得到对应成比例的线段，通过计算可估计身高.
答案 B
解析 如图，设头顶、咽喉、肚脐、足底分别为点A，B，C，D，身高为x cm，即AD=x cm，
∵人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，∴=，∴AC=CD.
∵AC+CD=x，且AC=CD，∴CD+CD=x，∴CD=x，∴CD=x=x.
∵人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比均是，∴=，∴AB=BC，
∵AB+BC+CD=x，且AB=BC，CD=x，∴BC+BC+x=x，
∴BC=(-2)x，∴AB=BC=(-2)x=x.
由题意可得
解得即
∴169.89点评　本题以“断臂维纳斯”的塑像为背景，展示不等式性质、解不等式的应用.
不等式的应用
例3　《九章算术》是中国古代数学重要的著作，奠定了中国古代数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问出南门几何步而见木 ”其算法如下：东门南到城角的步数乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门x里见到树，则x=.一小城如图所示，若出东门1 200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为(　 　).(参考数据：1里=300步)
A.4 里 B.6 里
C.8 里 D.10 里
方法指导　设GF=x步，EF=y步，由相似三角形得出x，y的关系，然后由基本不等式求得小城的周长2(2x+2y)的最小值.
答案 C
解析 设GF=x步，EF=y步，
由△BEF∽△FGA得=，
所以=，得y=步，
所以小城的周长z=2(2x+2y)=4x+≥4×2=2 400(步)=8(里)，当且仅当x=，即x=300(步)时，等号成立.故选C.
点评　本题以《九章算术》中的题目为背景，展示基本不等式的应用.
参考答案
第2章章末小结
题型突破
例1　BC　【解析】因为a>b>0，c≠0，所以c2>0，所以ac2>bc2，故A错误；
因为a>b>0，c≠0，所以b-a<0，c2>0，a+c2>0，所以-=<0，即<，故B正确；
因为a>b>0，所以a2>b2，<，则->-，所以a2->b2-，故C正确；
取a=，b=，可得a2+=，b2+=，则a2+故选BC.
例2　(1)B　(2)　(3)16　【解析】(1)因为-60，a+6>0.
由基本不等式得≤=，当且仅当3-a=a+6，即a=-时，等号成立.
(2)因为a>0，x>0，所以ax+≥2=2，当且仅当ax=，即x=时，等号成立，
所以2=5，解得a=.
(3)因为x>-2，所以x+2>0，又a>0，
所以x+=x+2+-2≥2-2，当且仅当x+2=，即x=-2时，等号成立，则2-2=6，解得a=16.
例3　(1)C　(2){x|0(2)因为<0，所以或解得0例4　【解析】原不等式可化为=>0，
即(x-2)[(a-1)x-(a-2)]>0(x≠2)，
当a>1时，1-<2，不等式可化为(x-2)x-1->0，解不等式得x<或x>2.
当a=1时，原不等式可化为>0，解得x>2.
当a<1时，原不等式可化为(x-2)x-1-<0，
①当02，解不等式得2②当a<0时，1-<2，解不等式得③当a=0时，原不等式无实数解.
综上，当a>1时，原不等式的解集为xx<或x>2；
当a=1时，原不等式的解集为{x>2}；
当0当a=0时，原不等式的解集为 ；
当a<0时，原不等式的解集为x例5　【解析】令y=mx2-mx-1，1≤x≤3.
当m=0时，y=-1<0显然恒成立.
当m>0时，若y<0恒成立，则解得m<，所以0当m<0时，函数的图象开口向下，其对称轴为直线x=，若y<0恒成立，则结合二次函数图象(如图)知，只需m-m-1=-1<0，解得m∈R，所以m<0符合题意.
综上所述，实数m的取值范围是mm<.
例6　【解析】(1)由题意，得10(1 000-x)(1+0.4x%)≥10×1 000，
即x2-750x≤0，又x>0，所以0即最多调整出750名员工从事第三产业.
(2)从事第三产业的员工创造的年利润为10a-x万元，
从事原来产业的员工的年总利润为10(1 000-x)1+x万元，
则10a-x≤10(1 000-x)1+x，
所以ax-≤1 000+4x-x-x2，
所以ax≤+1 000+3x，
即a≤++3在x∈(0，750]时恒成立.
因为+≥2=2=4，当且仅当=，即x=500时，等号成立，所以a≤7.
又a>0，所以0所以a的取值范围为(0，7].

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