资源简介

1.1　课时1　数列的概念及通项公式
【学习目标】
1.理解数列及其有关概念.(数学抽象)
2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.数列的定义是什么
2.数列的项与项数有什么不同
3.同一个数在数列中能重复出现吗
4.什么叫数列的通项公式
5.数列1，2，3，4，5，数列5，3，2，4，1与{1，2，3，4，5}有什么区别
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数列1，1，1，…是无穷数列. (　　)
(2)数列中的项互换次序后还是原来的数列. (　　)
(3)有些数列没有通项公式. (　　)
(4){an}与an的意义一样，都表示数列. (　　)
2.已知数列{an}的通项公式为an=，那么a5=(　　).
A. B.
C. D.
3.数列0，1，2，3，4，…的一个通项公式可以为(　　).
A.an=n-1 B.an=n
C.an=n+1 D.an=n2-1
4.数列{an}的通项公式为an=则a3+a6=　　　　.
【合作探究】
探究1　数列的概念与分类
观察以下几列数：
①古埃及“阿默斯”画了一个阶梯，上面的数字依次为7，49，343，2401，16807.
②战国时期庄周引用过一句话：一尺之棰，日取其半，万世不竭.这句话中隐藏着一列数：1，，….
③π，2π，3π，4π，…的正弦值依次为0，0，0，0，….
④小明为了记住刚设置的手机密码，不停地说：7，0，2，5，7，0，2，5，….
⑤-的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂……依次排成一列数：-，-，….
问题：你能找到上述几列数的共同点和不同点吗
1.数列及其相关的概念
按照一定顺序排成的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项，排在第一位的数叫作数列的首项或叫作数列的第1项，排在第二位的数叫作数列的第2项，…，排在第n位的数叫作数列的第n项.
2.数列的表示方法
数列的一般形式可以写成a1，a2，…，an，…，简记为{an}.
3.数列的分类
只有有限多项的数列称为有穷数列，有无穷多项的数列称为无穷数列.
例1　(多选题)下列有关数列的说法，正确的是(　　).
A.数列1，2，3可以表示成{1，2，3}
B.数列-1，0，1与数列1，0，-1是同一数列
C.数列7，7，7，…是无穷数列
D.数列中的每一项都与它的序号有关
【方法总结】(1)数列类型的判断一定要严格按照数列的定义进行；
(2)如果组成两个数列(除常数列)的数相同，但顺序不同，那么它们是不同的数列；
(3)同一个数可以在数列中重复出现.
(多选题)下列说法正确的是(　　).
A.同一数列的任意两项均不可能相同
B.数列中的项与顺序无关
C.数列0，2，4，6是有穷数列
D.数列0，1，2，3，4，5，6，7，…的第8项为7
探究2　数列的通项公式
　　数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}.
问题1：数列{an}中的各项ak与各项序号k(k=1，2，3，…，n，…)之间的对应关系是什么
问题2：你能从函数的角度解释这个数列的特点吗
问题3：在数列中，符号{an}与an所表示的意义是否相同
问题4：在数列0，，…，，…中，是它的第几项
1.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an可以用关于n的一个公式表示，那么这个公式叫作数列{an}的通项公式.
2.数列的表示
从函数观点看，数列的通项公式就是数列的解析表达式，与函数一样，数列还可以用列表法和图象法来表示.
例2　根据下面各数列的前几项，写出数列的一个通项公式：
(1)-1，7，-13，19，…；
(2)，…；
(3)5，55，555，5 555，…；
(4)4，0，4，0，4，0，….
【方法总结】(1)对于正负符号的变化，可用(-1)n或(-1)n+1来调节；
(2)对于分数形式的变化，先分别考虑分母、分子的变化规律，再考虑分子与分母的关系；
(3)从数列5，55，555，5 555，…和数列9，99，999，9 999，…的关系着手；
(4)对于周期数列，可考虑拆成几个简单数列之和的形式，或者利用分段函数或周期函数，如三角函数等.
写出下列各数列的一个通项公式，它们的前几项分别是：
(1)1，3，7，15，31，…；
(2)，…；
(3)，1，，….
探究3　写出或判断出数列中的项
例3　已知数列{an}的通项公式为an=n(n+1).
(1)求这个数列的第10项和第31项.
(2)420是不是这个数列中的项 如果是，是第几项
(3)证明：60不是这个数列中的项.
【方法总结】(1)利用数列的通项公式求某项的方法
数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项.
(2)判断某数值是否为数列中的项的方法
先假定它是数列中的第n项，然后利用数列的通项公式建立关于n的方程，若方程有正整数解，则该数值是数列中的项；若方程没有正整数解，则该数值不是数列中的项.
已知数列{an}的一个通项公式为an=(-1)n·2n+a，且a3=-5，则实数a等于(　　).
A.1
B.3
C.-1
D.-3
【随堂检测】
1.若数列{an}的通项公式为an=2n+1，则第9项为(　　).
A.9 B.13
C.17 D.19
2.数列0.9，0.99，0.999，…的一个通项公式是(　　).
A.1+n B.-1+n
C.1-n D.1-n+1
3.(多选题)已知n∈N+，下列能作为数列0，1，0，1，0，1，0，1，…的通项公式的是(　　).
A.an=
B.an=
C.an=
D.an=
4.某种树分枝的生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1，1，2，3，5，则预计第10年树的分枝数为　　　　.
参考答案
1.1　数列的概念
课时1　数列的概念及通项公式
自主预习
预学忆思
1.按照一定顺序排成的一列数称为数列.
2.数列的项与项数是两个不同的概念，数列的项是指这个数列中的每一个数，它是一个函数值，即f(n)；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是函数值f(n)对应的自变量的值，即n.
3.能，数列中的数可以重复出现.
4.如果数列{an}的第n项an可以用关于n的一个公式表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式.
5.数列1，2，3，4，5和数列5，3，2，4，1是两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同.集合{1，2，3，4，5}与前两个数列也不相同，首先，形式上不一致，其次，集合中的元素具有无序性.
自学检测
1.(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2.B　【解析】∵an=，∴a5==，故选B.
3.A　【解析】结合选项可知，an=n-1，故选A.
4.8　【解析】a3+a6=(3+2)+(6-3)=5+3=8.
合作探究
探究1　情境设置
问题：共同点：都是按照确定的顺序进行排列的.不同点：从项数上来看，①项数有限，②③④⑤项数无限；从项的变化上来看，①每一项在依次变大，②每一项在依次变小，③项没有发生变化，④项呈现周期性的变化，⑤项的大小交替变化.
新知运用
例1　CD　【解析】A错误，数列和集合是不同的概念；B错误，数列-1，0，1与数列1，0，-1是不同的数列.故选CD.
巩固训练　CD　【解析】A错误，例如无穷个3构成的常数列3，3，…，3，…；B错误，数列中的项与顺序有关；C正确，数列0，2，4，6是有穷数列；D正确.
探究2　情境设置
问题1：　序号　1　2　3　…　n　…
↓ ↓ ↓ ↓
　　　　　项　 a1 a2 a3 … an …
问题2：数列{an}可以看成从正整数集N+(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an=f(n).
问题3：{an}与an是两个不同的概念，{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…，而an只表示数列{an}中的第n项.
问题4：令=，解得n=7，所以是它的第7项.
新知运用
例2　【解析】(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式的正负性可用(-1)n来调节，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为an=(-1)n·(6n-5).
(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项的分母都是两个相邻奇数的乘积.故数列的一个通项公式为an=.
(3)将原数列改写为×9，×99，×999，×9 999，…，易知数列9，99，999，…的通项公式为bn=10n-1，故原数列的一个通项公式为an=(10n-1).
(4)由于该数列中，奇数项全部都是4，偶数项全部都是0，因此可用分段函数的形式表示该数列的通项公式，即an=该数列也可改写为2+2，2-2，2+2，2-2，2+2，2-2，…，因此其通项公式也可表示为an=2+2×(-1)n+1.
巩固训练　【解析】(1)由1=2-1，3=22-1，7=23-1，15=24-1，31=25-1，…，可得an=2n-1.
(2)由=，=，=，=，=，…，可得an=.
(3)将数列变形为，，，，…，对于分子3，5，7，9，…，可得分子的通项公式为bn=2n+1，对于分母2，5，10，17，…，联想到数列1，4，9，16，…，可得分母的通项公式为cn=n2+1，所以原数列的一个通项公式为an=.
探究3
例3　【解析】(1)因为数列{an}的通项公式为an=n(n+1)，
所以a10=10×(10+1)=110，a31=31×(31+1)=992.
(2)是.令n(n+1)=420，解得n=20或n=-21(舍去)，
所以420是这个数列的第20项.
(3)令n(n+1)=60，即n2+n-60=0，解得n=-+(负值已舍去)，
又n∈N+，所以n=-+不满足题意，
所以60不是这个数列中的项.
巩固训练　B　【解析】因为an=(-1)n·2n+a，且a3=-5，
所以-23+a=-5，解得a=3.故选B.
随堂检测
1.D　【解析】因为数列{an}的通项公式为an=2n+1，所以a9=2×9+1=19.
2.C　【解析】原数列可改写为1-，1-，1-，…，故该数列的一个通项公式为an=1-n.故选C.
3.ABC　【解析】逐一写出各选项中数列的前几项，检验知A，B，C都可作为所给数列的通项公式.故选ABC.
4.55　【解析】因为2=1+1，3=2+1，5=3+2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以预计第10年树的分枝数为21+34=55.1.1　课时2　数列中的递推公式与性质
【学习目标】
1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.(数学运算)
2.理解数列的单调性，会判断数列的单调性，会求简单数列的最大项.(逻辑推理、直观想象)
3.会利用数列的周期性解决简单的问题.(逻辑推理、数学建模)
【自主预习】
1.什么是数列的递推公式
2.能由递推公式写出一个数列的条件是什么
3.数列的递推公式与数列的通项公式有什么区别与联系
4.数列是特殊的函数，我们知道函数有递增函数，递减函数，那么数列有单调性吗 若有，如何判断数列的单调性
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)有些数列可能不存在最大项. (　　)
(2)所有的数列都有递推公式. (　　)
(3)所有数列都具有单调性. (　　)
(4)在数列{an}中，若an=，则{an}是递减数列. (　　)
2.数列1，，…的递推公式可以是(　　).
A.an=(n∈N+) B.an=(n∈N+)
C.an+1=an(n∈N+) D.an+1=2an(n∈N+)
3.已知数列{an}的通项公式为an=lo(n+1)，则数列{an}是　　　　数列.(填“递增”或“递减”)
4.已知数列{bn}满足b1+b2+…+bn=3n+n，则数列{bn}的通项公式为　　　　.
5.已知数列{an}满足an+2=an+1+2an，且a1=1，a2=2，写出该数列的前5项.
【合作探究】
探究1　数列的递推关系
已知某冰雪项目看台有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位.
问题1：写出前五排的座位数.
问题2：第n排与第n+1排的座位数有何关系
问题3：能用等式表示出第n排座位数an与第n+1排座位数an+1的关系吗
问题4：仅由数列{an}的关系式an=an-1+2(n≥2，n∈N+)就能确定这个数列吗
数列的递推公式
如果数列{an}的任一项an+1与它的前一项an之间的关系可用一个公式来表示，即an+1=f(an)，n≥1，那么这个公式就叫作数列{an}的递推公式，a1称为数列{an}的初始条件.
微点评：由递推公式和初始条件可确定数列{an}，这是表示数列的又一种重要方法.许多与数列有关的应用问题最后都归结为这种数学模型.
一、利用数列的递推公式求数列的项
例1　已知数列{an}满足a1=2，an+1=，n∈N+，求a2 025的值.
【方法总结】递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项，而对于递推公式，则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项.若所求项的项数很大，则应考虑数列是否具有规律.
二、利用递推公式求通项公式
例2　(1)在数列{an}中，a1=1，an+1=an+-(n∈N+)，则an=(　　).
A. B. C. D.
(2)已知数列{an}满足a1=1，an+1=an(n∈N+)，则an=(　　).
A.n+1 B.n C. D.
【方法总结】由递推公式求通项公式的常用方法
(1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式.
(2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类：
①an+1-an=常数，或an+1-an=f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法；
②an+1=pan(p为非零常数)，或an+1=f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法；
③an+1=pan+q(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决.
(多选题)已知数列{an}中，a1=3，an+1=-，能使an=3的n可以为(　　).
A.22 B.24 C.26 D.28
已知数列{an}满足a1=3，an+1=2an+1(n∈N+)，则a5=　　　　，由此归纳出{an}的一个通项公式为　　　　，a8=　　　　.
(1)已知a1=1，an+1-an=2(n∈N+)，求数列{an}的通项公式.
(2)已知数列{an}中，a1=2，an+1=3an(n∈N+)，求数列{an}的通项公式.
探究2　an与Sn的关系
问题：如果已知某数列的前n项和Sn=n2+n，如何求a4
1.把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn=a1+a2+…+an.
2.an=
注意点：
(1)注意等式成立的条件；
(2)一定要检验当n=1时，a1是否适合an；
(3)若Sn与an的关系式较复杂，可分别写出Sn与Sn-1，然后作差求得.
例3　已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-30n，求a1及an.
延伸探究　将本例的条件“Sn=2n2-30n”改为“Sn=2n2-30n+1”，其他条件不变，求an.
【方法总结】由Sn求通项公式an的步骤
(1)当n=1时，a1=S1.
(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn-1，则an=Sn-Sn-1.
(3)如果a1也满足当n≥2时{an}的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an=Sn-Sn-1；否则数列{an}的通项公式要分段表示为an=
已知Sn是数列{an}的前n项和，根据条件求an.
(1)Sn=2n2+3n+2；
(2)Sn=3n-1.
探究3　数列的单调性
观察下面的数列，回答问题.
(1)2，，…；
(2)-，-，…；
(3)0.8，0.88，0.888，….
问题1：写出(1)(2)(3)的通项公式.
问题2：观察(1)(2)(3)中数列的各项，从第二项起每一项与它前一项有什么大小关系
数列的单调性
一般地，对于一个数列{an}，如果从第二项起，每一项都大于它的前一项，即an+1>an，那么这个数列叫作递增数列；如果从第二项起，每一项都小于它的前一项，即an+1一、判断数列的单调性
例4　已知数列{an}的通项公式为an=，判断数列{an}的单调性.
【方法总结】判断数列单调性的方法
(1)作差比较法：
①若an+1-an>0恒成立，则数列{an}是递增数列；
②若an+1-an<0恒成立，则数列{an}是递减数列；
③若an+1-an=0恒成立，则数列{an}是常数列.
(2)作商比较法：
①若an>0，则
当>1时，数列{an}是递增数列；
当<1时，数列{an}是递减数列；
当=1时，数列{an}是常数列.
②若an<0，则
当<1时，数列{an}是递增数列；
当>1时，数列{an}是递减数列；
当=1时，数列{an}是常数列.
二、求数列的最大(小)项
例5　已知{an}的通项公式为an=，则数列{an}中有没有最大项 如果有，求出最大项；如果没有，请说明理由.
【方法总结】求数列最大(小)项的方法
(1)函数单调性法：令an=f(n)，通过研究f(n)的单调性来研究数列的最大(小)项.
(2)不等式组法：先假设有最大(小)项.不妨设an最大，则满足(n≥2)，解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；求最小项时，用不等式组(n≥2)求得n的取值范围.
已知数列{an}的通项公式为an=.
(1)讨论数列{an}的单调性；
(2)求数列{an}的最大项和最小项.
【随堂检测】
1.已知数列{an}的第1项是1，第2项是2，且an=an-1+an-2(n≥3，n∈N+)，则该数列的第5项为(　　).
A.6 B.7
C.8 D.9
2.(多选题)已知函数f(x)=(x∈R)，设数列{an}的通项公式为an=f(n)(n∈N+)，则下列结论正确的是(　　).
A.f(x)的值域是R
B.{an}的最小项为a1=
C.an<1
D.数列{an}是递增数列
3.设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2n-1(n∈N+)，则{an}的通项公式为an=　　　　.
4.若数列{an}满足(n-1)an=(n+1)an-1(n≥2，n∈N+)，且a1=1，则a100=　　　　.
参考答案
课时2　数列中的递推公式与性质
自主预习
预学忆思
1.如果数列{an}的任一项an+1与它的前一项an之间的关系可用一个公式来表示，即an+1=f(an)，n≥1，那么这个公式就叫作数列{an}的递推公式.
2.由递推公式写出一个数列，必须给出：(1)递推“基础”——数列{an}的第1项(或前几项).(2)递推关系——数列{an}的第n项an与它的前一项an-1(n≥2)(或前几项)之间的关系，并且这个关系可以用一个式子来表示.
3.
递推公式 通项公式
区别 表示an与它的前一项an-1(或前几项)之间的关系 表示an与n之间的关系
联系 (1)都是表示数列的一种方法； (2)由递推公式求出前几项，进而可归纳猜想出通项公式
4.有些数列具有单调性，在数列{an}中，若an+1>an，则{an}是递增数列；若an+1自学检测
1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2.C　【解析】由题意可知选项C符合题意，故选C.
3.递减　【解析】因为当n≥2时，an-an-1=lo(n+1)-lon=lo1+<0，
所以an4.bn=　【解析】当n=1时，b1=4；
当n≥2时，b1+b2+…+bn-1=3n-1+n-1，
因为b1+b2+…+bn=3n+n，所以两式相减可得bn=3n+n-(3n-1+n-1)=2×3n-1+1.
显然b1=4不满足上式.
综上所述，bn=
5.【解析】由题意得a3=a2+2a1=4，a4=a3+2a2=8，a5=a4+2a3=16，
故该数列的前5项依次为1，2，4，8，16.
合作探究
探究1　情境设置
问题1：20，22，24，26，28.
问题2：第n+1排比第n排多2个座位.
问题3：能.an+1=an+2.
问题4：不能.数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的.
新知运用
例1　【解析】∵a2===-3，
a3===-，
a4===，
a5===2=a1，
……
∴数列{an}是周期为4的周期数列，
∴a2 025=a4×506+1=a1=2.
例2　(1)B　(2)D　【解析】(1)(法一：归纳法)数列的前5项分别为
a1=1，
a2=1+1-=2-=，
a3=+-=2-=，
a4=+-=2-=，
a5=+-=2-=，
由此可得数列的一个通项公式为an=.
(法二：迭代法)a2=a1+1-，
a3=a2+-，…，
an=an-1+-(n≥2)，
则an=a1+1-+-+-+…+-=2-=(n≥2).
又a1=1也适合上式，所以an=.
(法三：累加法)an+1-an=-，
a1=1，
a2-a1=1-，
a3-a2=-，
a4-a3=-，
……
an-an-1=-(n≥2)，
以上各式相加得an=1+1-+-+…+-，
所以an=(n≥2).
因为a1=1也适合上式，所以an=.
(2)因为数列{an}满足an+1=an(n∈N+)，所以=，
所以an=··…···a1=××…×××1=(n≥2).又a1=1也适合上式，所以an=.
巩固训练1　AD　【解析】由a1=3，an+1=-，得a2=-，a3=-，a4=3，
所以数列{an}是周期为3的数列，
故a22=a3×7+1=a1=3，a28=a3×9+1=a1=3.
巩固训练2　63　an=2n+1-1　511　【解析】∵a1=3，an+1=2an+1，∴a2=2a1+1=7，a3=2a2+1=15，a4=2a3+1=31，a5=2a4+1=63.
可以归纳出an=2n+1-1，∴a8=29-1=511.
巩固训练3　【解析】(1)∵a1=1，an+1-an=2，∴a2-a1=2，a3-a2=2，a4-a3=2，…，an-an-1=2(n≥2)，将这些式子的两边分别相加，得(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)=2(n-1)(n≥2)，即an-a1=2(n-1)(n≥2).又a1=1，∴an=2n-1(n≥2)，∵a1=1也满足上式，故数列{an}的通项公式为an=2n-1.
(2)由an+1=3an得=3，
因此=3，=3，=3，…，=3(n≥2).
将上面的(n-1)个式子相乘可得···…·=3n-1(n≥2)，
即=3n-1(n≥2)，
∴an=a1·3n-1(n≥2).
又a1=2，∴an=2×3n-1(n≥2).
∵a1=2也符合上式，
∴an=2×3n-1.
探究2　情境设置
问题：a4=S4-S3=(42+4)-(32+3)=8.
新知运用
例3　【解析】因为Sn=2n2-30n，
所以当n=1时，a1=S1=2×12-30×1=-28，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2-30n-[2(n-1)2-30(n-1)]=4n-32.
因为a1=-28满足上式，
所以an=4n-32.
延伸探究　【解析】因为Sn=2n2-30n+1，
所以当n=1时，a1=S1=2×12-30×1+1=-27，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2-30n+1-[2(n-1)2-30(n-1)+1]=4n-32.
因为a1=-27不满足上式，
所以an=
巩固训练　【解析】(1)当n=1时，a1=S1=7，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2+3n+2-[2(n-1)2+3(n-1)+2]=4n+1，
又a1=7不满足上式，
所以an=
(2)当n=1时，a1=S1=2，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n-1-(3n-1-1)=2×3n-1，
显然a1=2满足上式，
所以an=2×3n-1.
探究3　情境设置
问题1：(1)所给数列可写成，，，，…，
∴原数列的一个通项公式为an=.
(2)所给数列可写成(-1)1×，(-1)2×，(-1)3×，(-1)4×，…，
∴原数列的一个通项公式为an=(-1)n×=.
(3)所给数列可写成×1-，×1-，×1-，…，
∴原数列的一个通项公式为an=1-.
问题2：(1)中从第二项起每一项都比它前一项小；(2)中从第二项起有些项比它前一项大，有些项比它前一项小；(3)中从第二项起每一项都比它前一项大.
新知运用
例4　【解析】因为an=，所以an==1-，当n增大时，减小，所以an=1-增大，即该数列是递增数列.
例5　【解析】(法一：函数单调性法)
令f(n)=an，则f(n+1)-f(n)=an+1-an=-=(8-n).
当n<8时，an+1-an>0，即an+1>an，所以{an}在n<8时单调递增；
当n=8时，an+1-an=0，即an+1=an，所以a8=a9；
当n>8时，an+1-an<0，即an+18时单调递减.
所以数列{an}的最大项是第8项和第9项，为a8=a9=.
(法二：不等式组法)
设an最大，则(n≥2)，
即
解得8≤n≤9.
又因为n∈N+，所以n=8或n=9.
故{an}的最大项为a8=a9=.
巩固训练　【解析】(1)已知数列{an}的通项公式为an==1+，
据此可得即当n<16(n∈N+)时，数列{an}单调递减；当n≥16(n∈N+)时，数列{an}单调递减.
(2)由(1)知，数列{an}的最大项为a16=，最小项为a15=.
随堂检测
1.C　【解析】∵a1=1，a2=2，an=an-1+an-2(n≥3，n∈N+)，
∴a3=a2+a1=2+1=3，a4=a3+a2=3+2=5，a5=a4+a3=5+3=8.
2.BCD　【解析】由于f(x)==1-<1(x∈R)，故A选项错误；
∵f(x)=(x∈R)，∴an=f(n)==1-(n∈N+)，
∵an+1-an=1--1-=>0，
∴{an}是递增数列，又n∈N+，>0，
∴a1≤an<1，即≤an<1，
∴{an}的最小项为a1=，故B，C，D正确.
故选BCD.
3.2n-1　【解析】当n=1时，a1=S1=1，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1，
因为a1=1满足上式，
所以an=2n-1.
4.5 050　【解析】由(n-1)an=(n+1)an-1得=(n≥2)，
则a100=a1···…·=1×××…××=5 050.

展开更多......

收起↑