资源简介

1.2.1　等差数列及其通项公式
【学习目标】
1.理解等差数列、等差中项的概念.(数学抽象)
2.掌握等差数列的通项公式，能利用通项公式解决等差数列的一些计算问题.(数学运算)
【自主预习】
1.等差数列是如何定义的
2.观察所给的两个数，在两个数之间插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列
(1)2，4；(2)-1，5；(3)a，b；(4)0，0.
3.由等差数列的通项公式可以看出，要求等差数列{an}的通项公式，需要哪几个条件
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列. (　　)
(2)若一个数列的前4项分别为1，2，3，4，则{an}(n>4)一定是等差数列. (　　)
(3)在等差数列{an}中，a1，n，d，an任意给出三个，可求剩下的一个. (　　)
2.下列数列不是等差数列的是(　　).
A.6，6，6，6，6 B.-2，-1，0，1，2
C.5，8，11，14 D.0，1，3，6，10
3.已知实数m是1和5的等差中项，则实数m=(　　).
A. B.± C.3 D.±3
4.已知在等差数列{an}中，首项a1=4，公差d=-2，则通项公式为an=　　　　.
【合作探究】
探究1　等差数列的概念
①在过去的300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的时间：1682，1758，1834，1910，1986.
②我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位，常用的确定鞋号的脚长值按从大到小的顺序可排列为：275，270，265，260，255，250，….
③为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了班里5名男生1分钟内引体向上的个数：10，10，10，10，10.
问题：以上数列有什么共同特征 你能预测一下哈雷彗星下一次出现的时间吗
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数，那么这个数列称为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，公差通常用字母d表示.
微点评：(1)等差数列的定义中特别强调“从第2项起”，如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列.
(2)等差数列的定义中特别强调作差的顺序，即从第2项起，每一项与它的前一项作差，而不是与后一项作差，切不可将减数与被减数弄颠倒.
(3)一个数列，从第2项起，每一项与它前一项的差尽管都是常数，这个数列也不一定是等差数列，当常数不同时，就不是等差数列，因此定义中强调“同一个常数”.
(4)公差可以是正数、负数、0.常数列都是等差数列，公差为0.
例1　判断下列各组数列是不是等差数列.如果是，写出首项a1和公差d.
①1，3，5，7，9，…；
②9，6，3，0，-3，…；
③1，3，4，5，6，…；
④7，7，7，7，7，…；
⑤1，，….
【方法总结】利用定义法判定等差数列的方法：从第2项起，检验每一项与它的前一项的差是否都等于同一个常数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列.
(多选题)下列数列中，是等差数列的是(　　).
A.1，4，7，10 B.lg 2，lg 4，lg 8，lg 16
C.25，24，23，22 D.10，8，6，4，2
探究2　等差数列的通项公式
问题：你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗
首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d.
例2　在等差数列{an}中，
(1)已知a1=2，d=3，n=10，求an；
(2)已知a1=3，an=21，d=2，求n；
(3)已知a1=12，a6=27，求d；
(4)已知d=-，a7=8，求a1和an.
【方法总结】等差数列通项公式的求法与应用技巧
(1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可.
(2)等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个参数，那么就可以由通项公式求出第四个参数，这一求未知量的过程，我们通常称为“知三求一”.
(3)利用等差数列的通项公式不仅可以求出该数列中的任意指定项，也可以判断某个数是否为该数列中的项.
在等差数列{an}中，a1+a5=8，a4=7.
(1)求数列的第10项.
(2)112是数列{an}的第几项
(3)在80到110之间有多少项
探究3　等差中项
问题：根据等差数列的定义，如果1，x，3这三个数成等差数列，你能求出x的值吗
在两个数a，b之间插入数M，使a，M，b成等差数列，则M叫作a与b的等差中项，并且2M=a+b.
微点评：(1)任意两个实数都有等差中项，且唯一；
(2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数，即M=.
例3　(1)若a=，b=，则a，b的等差中项为(　　).
A. B. C. D.
(2)已知m和2n的等差中项是4，2m和n的等差中项是5，则m和n的等差中项是(　　).
A.2 B.3 C.6 D.9
【方法总结】若a，A，b成等差数列，则A=；反之，由A=也可得到a，A，b成等差数列.因此A是a，b的等差中项 A=.
在-1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列.
【随堂检测】
1.已知等差数列{an}的通项公式为an=3-2n，则它的公差d为(　　).
A.2 B.3 C.-2 D.-3
2.一个等差数列的前4项依次是a，x，b，2x(b≠0，x≠0)，则=(　　).
A. B. C. D.
3.在等差数列{an}中，a3=0，a7-2a4=-1，则公差d=(　　).
A.-2 B.- C. D.2
4.已知等差数列1，-1，-3，-5，…，-89，则它的项数是　　　　.
参考答案
1.2.1　等差数列及其通项公式
自主预习
预学忆思
1.如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列.
2.(1)3；(2)2；(3)；(4)0.
3.只要知道等差数列的首项a1和公差d，代入公式an=a1+(n-1)d即可.
自学检测
1.(1)×　(2)×　(3)√
2.D　【解析】A中给出的是常数列，是等差数列，公差为0；
B中给出的数列是等差数列，公差为1；
C中给出的数列是等差数列，公差为3；
D中给出的数列中，第2项减去第1项等于1，第3项减去第2项等于2，故此数列不是等差数列.
3.C　【解析】由题意知，2m=1+5=6，解得m=3.
4.6-2n　【解析】∵a1=4，d=-2，∴an=4+(n-1)×(-2)=6-2n.
合作探究
探究1　情境设置
问题：对于①，我们发现1 758-1 682=76，1 834-1 758=76，1 910-1 834=76，1 986-1 910=76，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，于是我们可以大胆预测下一次哈雷彗星出现的时间应该是1 986+76=2 062；对于②有270-275=-5，…；对于③，10-10=0，有同样的取值规律.
新知运用
例1　【解析】①是，a1=1，d=2；②是，a1=9，d=-3；③不是；④是，a1=7，d=0；⑤不是.
巩固训练　ABD　【解析】A，B，D项满足等差数列的定义，是等差数列；
C中，因为24-25≠23-24≠22-23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列.
探究2　情境设置
问题：设一个等差数列的首项为a1，公差为d，
由等差数列的定义可知，an-an-1=d(n∈N+，且n≥2)，
思路一：an=an-1+d，故有a2=a1+d，a3=a2+d=a1+2d，a4=a3+d=a1+3d，…，
归纳可得，an=a1+(n-1)d(n∈N+，且n≥2).
又当n=1时，上式显然成立，
所以an=a1+(n-1)d.
思路二：a2-a1=d，
a3-a2=d，
a4-a3=d，
……
an-an-1=d(n≥2)，
左右两边分别相加可得，an-a1=(n-1)d，即an=a1+(n-1)d(n≥2).
又当n=1时，上式显然成立，
所以an=a1+(n-1)d.
新知运用
例2　【解析】(1)an=a10=a1+(10-1)d=2+9×3=29.
(2)由an=a1+(n-1)d，得3+2(n-1)=21，解得n=10.
(3)由a6=a1+5d，得12+5d=27，解得d=3.
(4)由a7=a1+6d，得a1-2=8，解得a1=10，
所以an=a1+(n-1)d=10-(n-1)=-n+.
巩固训练　【解析】设等差数列{an}的公差为d，
则解得
(1)a10=a1+9d=-2+27=25.
(2)an=-2+(n-1)×3=3n-5，
令112=3n-5，解得n=39，
所以112是数列{an}的第39项.
(3)令80<3n-5<110，
解得28所以n的取值为29，30，…，38，共10项.
探究3　情境设置
问题：由定义可知x-1=3-x，即2x=1+3，解得x=2.
新知运用
例3　(1)A　(2)B　【解析】(1)由题意知a，b的等差中项为+=(-++)=.
(2)因为m和2n的等差中项为4，所以m+2n=8.又因为2m和n的等差中项为5，所以2m+n=10.
由解得
所以m和n的等差中项为=3.
巩固训练　【解析】由题意知，-1，a，b，c，7成等差数列，
即b是-1与7的等差中项，
则b==3，
又a是-1与b的等差中项，
则a===1.
又c是b与7的等差中项，
则c===5.
因此该数列为-1，1，3，5，7.
随堂检测
1.C　【解析】由等差数列的定义，得d=-2.
2.C　【解析】∵b是x，2x的等差中项，∴b==，
又∵x是a，b的等差中项，∴2x=a+b，∴a=，
∴=.
3.B　【解析】由题意得
解得
4.46　【解析】由题意知d=-1-1=-2，设an=-89，则-89=a1+(n-1)d=1-2(n-1)，解得n=46.1.2.3　课时2　等差数列前n项和公式的应用
【学习目标】
1.能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值.(数学抽象、逻辑推理、数学运算)
2.理解并能应用等差数列前n项和的性质.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.在等差数列{an}中，当a1>0，d>0或a1<0，d<0时，Sn能否取得最值
2.若数列{an}的通项公式为an=2n-37，则当n为何值时，Sn取得最小值
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若等差数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn(A≠0)，则其最大值或最小值一定在n=-时取得. (　　)
(2)若等差数列{an}的公差d>0，则{an}的前n项和一定有最小值.(　　)
(3)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sp=Sq(p，q∈N+)，则Sn在n=(p+q)处取得最大值或最小值. (　　)
(4)若两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn，则一定有=. (　　)
2.(多选题)已知公差为d的等差数列{an}是递增数列，满足a7=3a5，前n项和为Sn，则下列结论正确的是(　　).
A.d>0
B.a1<0
C.当n=5时，Sn最小
D.当Sn>0时，n的最小值为8
3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2=4，S4=8，则S6=　　　　.
【合作探究】
探究1　等差数列前n项和的最值
例1　在等差数列{an}中，a1=25，S8=S18，求前n项和Sn的最大值.
【方法总结】1.将Sn=na1+d=n2+a1-n配方，转化为求二次函数的最值问题，借助函数的单调性来解决.
2.邻项变号法
当a1>0，d<0时，满足的项数n使Sn取得最大值.
当a1<0，d>0时，满足的项数n使Sn取得最小值.
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a6+a8=6，S9-S6=3，则当Sn取得最大值时，n的值为(　　).
A.5 B.6 C.7 D.8
探究2　等差数列前n项和的性质
已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn.
问题1：Sm，S2m-Sm，S3m-S2m具有什么特征 采用从特殊到一般的思想进行思考分析.
问题2：an与S2n-1之间有什么等量关系 利用等差中项与等差数列的求和公式进行推导.
问题3：S奇，S偶具有什么关系 对n分类讨论.
问题4：数列是什么数列
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d.
1.数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…(m∈N+)也是等差数列，公差为m2d.
2.S2n-1=(2n-1)an，S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1).
3.当项数为偶数2n时，S偶-S奇=nd，S奇∶S偶=an∶an+1；当项数为奇数2n-1时，S奇-S偶=a中，S奇∶S偶=n∶(n-1).
4.设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则=.
5.若{an}是等差数列，则也是等差数列，其首项与{an}的首项相同，公差是{an}的公差的.
例2　(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10=10，S20=30，则S30=　　　　；
(2)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且=，则使得为整数的正整数n的个数是　　　　；
(3)在项数为奇数的等差数列{an}中，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则该数列的项数为　　　　，中间项为　　　　.
【方法总结】利用等差数列前n项和的性质简化计算
(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量较大.
(2)如果等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中运用得当，可以做到化繁为简、化难为易.
(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法.
已知在等差数列{an}中，S3=3，S6=9，则S12=(　　).
A.12　　 B.18 C.24　　　　 D.30
若等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，记bn=，则(　　).
A.数列{bn}是等差数列，{bn}的公差也为d
B.数列{bn}是等差数列，{bn}的公差为2d
C.数列{an+bn}是等差数列，{an+bn}的公差为d
D.数列{an-bn}是等差数列，{an-bn}的公差为
若一个等差数列前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32∶27，则该数列的公差为　　　　.
【随堂检测】
1.若在等差数列中，a8>0，a4+a10<0，则数列{an}的前n项和Sn中最小的是(　　).
A.S4 B.S5
C.S6 D.S7
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4≥10，S5≤15，则a4的最大值为(　　).
A.2 B.3
C.4 D.5
3.(多选题)已知等差数列{an}的公差为d(d≠0)，{an}的前n项和为Sn，则(　　).
A.S3，S6-S3，S9-S6成等差数列
B.成等差数列
C.S9=2S6-S3
D.S9=3(S6-S3)
4.含2n+1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为　　　　.
参考答案
课时2　等差数列前n项和公式的应用
自主预习
预学忆思
1.当a1>0，d>0时，Sn的最小值为a1，无最大值；当a1<0，d<0时，Sn的最大值为a1，无最小值.
2.∵an=2n-37，
∴an+1-an=2>0，
∴{an}为递增数列.
令an=2n-37≥0，解得n≥18.5，
∴a18<0，a19>0，∴S18最小，
∴当n=18时，Sn取得最小值.
自学检测
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2.ABD　【解析】因为a7=3a5，所以a1+6d=3(a1+4d)，解得a1=-3d.
又由等差数列{an}是递增数列，可知d>0，所以a1<0，故A，B正确.
因为Sn=n2+a1-n=n2-n，
所以由n=-=，可知当n=3或n=4时，Sn最小，故C错误.
令Sn=n2-n>0，解得n<0(舍去)或n>7，即当Sn>0时，n的最小值为8，故D正确.
故选ABD.
3.12　【解析】由题意知S2，S4-S2，S6-S4成等差数列，即2×(8-4)=4+S6-8，
解得S6=12.
合作探究
探究1
例1　【解析】(法一)设等差数列{an}的公差为d，
因为S8=S18，a1=25，
所以8×25+d=18×25+d，
解得d=-2，
所以Sn=25n+×(-2)=-n2+26n=-(n-13)2+169，
所以当n=13时，Sn有最大值，最大值为169.
(法二)同方法一，求出公差d=-2，
所以an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27.
因为a1=25>0，
令
解得≤n≤.
又因为n∈N+，
所以当n=13时，Sn有最大值，最大值为S13=13×25+×(-2)=169.
(法三)因为S8=S18，
所以a9+a10+…+a18=0，
由等差数列的性质得a13+a14=0，即a1+12d+a1+13d=0，解得d=-2<0，
所以a13>0，a14<0，
所以当n=13时，Sn有最大值，最大值为S13=13×25+×(-2)=169.
(法四)设Sn=An2+Bn.
因为S8=S18，a1=25，
所以二次函数图象的对称轴为直线n==13，且图象开口向下，
所以当n=13时，Sn取得最大值.
由题意得
解得
所以Sn=-n2+26n，
所以S13=169，即Sn的最大值为169.
巩固训练　D　【解析】由题意，等差数列{an}的前n项和为Sn，a6+a8=6，S9-S6=3，
根据等差数列的性质与等差数列的前n项和公式，
可得a6+a8=2a7=6，S9-S6=a7+a8+a9=3a8=3，
解得a7=3，a8=1，
则d=a8-a7=-2，
可求得等差数列{an}的通项公式为an=17-2n，
令an≥0，即17-2n≥0，解得n≤.
又由n∈N+，可得在等差数列{an}中，当1≤n≤8，n∈N+时，an>0；当n≥9，n∈N+时，an<0，
所以当Sn取得最大值时，n的值为8.故选D.
探究2　情境设置
问题1：当m=2时，S2=a1+a2，S4-S2=a3+a4=a1+2d+a2+2d=(a1+a2)+4d，S6-S4=a5+a6=a1+4d+a2+4d=(a1+a2)+8d，所以S2，S4-S2，S6-S4成等差数列，公差为4d.
同理可得S2m-Sm=(a1+a2+…+a2m)-(a1+a2+…+am)=am+1+am+2+…+a2m=(a1+a2+…+am)+m2d，
S3m-S2m=a2m+1+a2m+2+…+a3m=(a1+a2+…+am)+2m2d，
所以Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成等差数列，公差为m2d.
问题2：S2n-1==(2n-1)an.
问题3：若项数为2n，则S偶-S奇=a2+a4+…+a2n-a1-a3-…-a2n-1=(a2-a1)+(a4-a3)+…+(a2n-a2n-1)=d+d+…+d=nd，===；
若项数为2n-1，则由等差数列的性质可知，a2+a2n-2=a1+a2n-1=…=2an，所以S偶=a2+a4+…+a2n-2=(a2+a2n-2)=·2an=(n-1)an，S奇=a1+a3+…+a2n-1=(a1+a2n-1)=·2an=nan，所以S奇-S偶=nan-(n-1)an=an(这里an=a中，a中是中间项)，==.
问题4：已知等差数列{an}的公差为d，则Sn=na1+n(n-1)d，所以有=+a1-，=+a1-.因为-=+a1---a1-=，所以数列是首项为a1，公差为的等差数列.
新知运用
例2　(1)60　(2)5　(3)7　11　【解析】(1)∵S10，S20-S10，S30-S20成等差数列，且S10=10，S20=30，S20-S10=20，∴S30-30=20×2-10=30，∴S30=60.
(2)由等差数列前n项和的性质知，====7+，
∴当n=1，2，3，5，11时，为整数，
∴使得为整数的正整数n的个数是5.
(3)设等差数列{an}共有(2n+1)项，则奇数项有(n+1)项，偶数项有n项，中间项是第(n+1)项，即an+1，∴=====，解得n=3，∴项数为2n+1=7.
∵S奇=(n+1)an+1=44，∴an+1=11.
巩固训练1　D　【解析】根据题意得，在等差数列{an}中，S3，S6-S3，S9-S6，S12-S9，…也成等差数列，又由S3=3，S6=9，得S6-S3=6，则S9-S6=9，S12-S9=12，则S12=S3+(S6-S3)+(S9-S6)+(S12-S9)=3+6+9+12=30.
巩固训练2　D　【解析】由题可得an=a1+(n-1)d，Sn=na1+d，则bn==a1+d=a1-+n，故数列{bn}是公差为的等差数列，故A，B错误；由an+bn=2a1-+n，得数列{an+bn}是公差为的等差数列，故C错误；又an-bn=-+n，则数列{an-bn}是公差为的等差数列，故D正确.
故选D.
巩固训练3　5　【解析】设该等差数列前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.
由已知条件，得
解得
又S偶-S奇=6d，所以d==5.
随堂检测
1.D　【解析】因为数列{an}是等差数列，所以a4+a10=2a7，
由a4+a10<0，得a7<0，
又a8>0，所以等差数列{an}的公差d>0，即等差数列{an}是递增数列，且前7项均是负数，
所以前n项和Sn中最小的是S7.
2.C　【解析】因为S4=2(a2+a3)≥10，所以a2+a3≥5.又S5=5a3≤15，所以a3≤3.而a4=3a3-(a2+a3)，故a4≤4，当且仅当a2=2，a3=3时，等号成立，所以a4的最大值为4.故选C.
3.ABD　【解析】∵(S6-S3)-S3=(a4+a5+a6)-(a1+a2+a3)
=(a4-a1)+(a5-a2)+(a6-a3)=3d+3d+3d=9d，
(S9-S6)-(S6-S3)=(a7+a8+a9)-(a4+a5+a6)
=(a7-a4)+(a8-a5)+(a9-a6)=3d+3d+3d=9d，
∴S3，S6-S3，S9-S6成等差数列，故选项A正确；
∵Sn=na1+d，∴=a1+d，
∴=a1+d，=a1+d，=a1+4d，
∴2×=+，
即，，成等差数列，故选项B正确；
∵S9+S3-2S6=9a1+36d+3a1+3d-2×(6a1+15d)=9d≠0，
∴S9=2S6-S3不成立，即选项C错误；
∵S9-3(S6-S3)=9a1+36d-3×(6a1+15d-3a1-3d)=0，
∴S9=3(S6-S3)成立，即选项D正确.
故选ABD.
4.　【解析】S奇=，
S偶=，
∵a1+a2n+1=a2+a2n，∴=.1.2.3　课时1　等差数列的前n项和公式
【学习目标】
1.了解等差数列前n项和公式的推导过程.(逻辑推理、数学运算)
2.掌握等差数列前n项和的公式并会应用.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.阅读教材，高斯是如何快速求1+2+3+…+100的和的 他抓住了问题的什么特征
2.等差数列的前n项和公式是什么 它与什么量有关
3.等差数列的通项公式与等差数列的前n项和公式共涉及几个量 如何求这些量
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知等差数列的首项、公差，可求S10. (　　)
(2)已知等差数列的首项、末项a17，可求S17. (　　)
(3)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则S10+S20=S30. (　　)
2.若在等差数列{an}中，a1=1，d=1，则Sn=(　　).
A.n
B.n(n+1)
C.n(n-1)
D.
3.已知在等差数列{an}中，S10=120，则a1+a10=(　　).
A.10　　　　　　B.12
C.20 D.24
4.已知{an}是等差数列，a1=10，前10项和S10=70，则其公差d=　　　　.
【合作探究】
探究1　等差数列的前n项和公式
泰姬陵坐落于印度古都阿格拉，它宏伟壮观，由纯白大理石砌筑而成的主体建筑令人心醉神迷.传说陵寝中有一个三角形图案，由大小相同的宝石镶饰而成，共有100层，奢靡程度可见一斑.如图所示.
问题1：上述情境的图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石 你能快速地求出吗
问题2：你能得出一般的等差数列的前n项和公式吗
等差数列前n项和公式为Sn==na1+，其推导方法是倒序相加法.
例1　在等差数列{an}中，
(1)已知a6=10，S5=5，求a8和S10；
(2)已知a1=4，S8=172，求a8和d.
【方法总结】等差数列中的基本计算
(1)利用基本量求值：
等差数列的通项公式与前n项和公式中有五个量，分别为a1，d，n，an和Sn，这五个量可以“知三求二”.一般利用公式列出关于基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题.解题时注意整体代换思想的应用.
(2)结合等差数列的性质解题：
等差数列的常用性质：若m+n=p+q(m，n，p，q∈N+)，则am+an=ap+aq，常与求和公式Sn=结合使用.
已知在等差数列{an}中，
(1)a1=1，a4=7，求S9；
(2)a1=，an=-，Sn=-5，求n和d.
探究2　等差数列前n项和的实际应用
例2　某人用分期付款的方式购买了一件家电，价格为1 150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都支付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若支付150元后的第一个月算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该支付多少钱 全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱
【方法总结】应用等差数列解决实际问题的一般思路
已知甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.
(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇
(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么甲、乙开始运动几分钟后第二次相遇
探究3　利用等差数列前n项和公式判断等差数列
已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn.
问题：从函数的观点分析，Sn关于n的函数具有什么特点
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，则Sn=An2+Bn，其中A=，B=a1-.
例3　(1)若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n-1，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否为等差数列.若是，请证明；若不是，请说明理由.
(2)若将(1)中条件“Sn=2n2-3n-1”改为“Sn=2n2-3n”，判断数列{an}是否为等差数列.若是，请证明；若不是，请说明理由.
【方法总结】由Sn求通项公式an的步骤
(1)令n=1，则a1=S1，求得a1.
(2)令n≥2，则an=Sn-Sn-1.
(3)验证a1与an的关系：
①若a1适合an，则an=Sn-Sn-1；
②若a1不适合an，则an=
已知数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn=(n+1)2+λ，则λ的值是　　　　.
已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n-1，求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等差数列.
探究4　求数列{|an|}的前n项和
问题：若an=16-3n，如何求数列{|an|}的前40项的和S40
根据等差数列{an}的通项公式判断数列{an}是先正后负，还是先负后正，在正、负分界点处分为两段，分别去掉绝对值符号，将{|an|}的求和问题转化为等差数列{an}的求和问题.
例4　若等差数列{an}的首项a1=13，d=-4，记Tn=|a1|+|a2|+…+|an|，求Tn.
【方法总结】已知等差数列{an}，求{|an|}的前n项和的步骤：
(1)确定{an}的通项公式；
(2)根据通项公式确定数列{an}中项的符号，即判断数列{an}是先负后正，还是先正后负；
(3)去掉数列{|an|}中各项的绝对值，转化为{an}的前n项和求解，转化过程中有时需添加一部分项，再利用数列{an}的前n项和公式求解；
(4)将{|an|}的前n项和写成分段函数的形式.
已知等差数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，若S2=16，S4=24，求数列{|an|}的前n项和Tn.
【随堂检测】
1.已知等差数列{an}的前9项和为27，a10=8，则a100=(　　).
A.100 B.99 C.98 D.97
2.一百零八塔，位于宁夏回族自治区吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一.塔的排列顺序自上而下，第一层有1座，第二层有3座，第三层有3座，第四层有5座，第五层有5座.从第五层开始，每一层塔的数目构成一个首项为5，公差为2的等差数列，总计108座，则该塔共有(　　).
A.8层 B.10层 C.11层 D.12层
3.若数列{an}的前n项和Sn=n2+n，则它的通项公式是an=　　　　.
4.已知在等差数列{an}中，
(1)a1=，d=-，Sn=-15，求n；
(2)a1=1，an=-512，Sn=-1 022，求d.
参考答案
1.2.3　课时1　等差数列的前n项和公式
自主预习
预学忆思
1.高斯的计算方法：1+2+3+…+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=101×50=5 050.高斯抓住了与首、末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和这个特征.
2.等差数列的前n项和公式Sn=na1+d与首项a1、公差d和项数n这三个量有关；公式Sn=与首项a1、末项an和项数n这三个量有关.
3.这些公式共涉及5个量，即a1，d，n，an，Sn，只需知道其中的3个量就可以通过解方程组求出另外的2个量.
自学检测
1.(1)√　(2)√　(3)×
2.D　【解析】Sn=na1+d=n+==.故选D.
3.D　【解析】由S10==120，得a1+a10=24.
4.-　【解析】S10=10a1+d=70，又a1=10，所以d=-.
合作探究
探究1　情境设置
问题1：
S21==231.
问题2：设Sn是等差数列{an}的前n项和.
∵Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an
=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n-2)d]+[a1+(n-1)d]，
Sn=an+an-1+an-2+…+a2+a1
=an+(an-d)+(an-2d)+…+[an-(n-2)d]+[an-(n-1)d]，
∴2Sn=(a1+an)·n，
由此可得等差数列{an}的前n项和公式为Sn=.
新知运用
例1　【解析】(1)由题意知
解得
故a8=a6+2d=10+2×3=16，
S10=10a1+d=10×(-5)+5×9×3=85.
(2)由已知得S8===172，
解得a8=39，
又∵a8=4+(8-1)d=39，
∴d=5.
巩固训练　【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，则a4=a1+3d=1+3d=7，所以d=2.故S9=9a1+d=9+×2=81.
(2)由题意得，Sn===-5，解得n=15.
又a15=+(15-1)d=-，所以d=-.
探究2
例2　【解析】由题意知，共分期20次，设分期付款时每次交款数额依次为a1，a2，…，a20，则a1=50+1 000×1%=60，
a2=50+(1 000-50)×1%=59.5，
……
a10=50+(1 000-9×50)×1%=55.5，
即第10个月应付款55.5元，
所以{an}是以60为首项，-0.5为公差的等差数列，
所以S20=×20=1 105，
即全部贷款付清后，实际付款为1 105+150=1 255(元).
巩固训练　【解析】(1)设n分钟后相遇，依题意，有2n++5n=70，
整理得n2+13n-140=0，解得n=7或n=-20(舍去).
故甲、乙是在开始运动后7分钟相遇.
(2)设n分钟后第二次相遇，依题意，有2n++5n=3×70，整理得n2+13n-420=0，解得n=15或n=-28(舍去).
故甲、乙第二次相遇是在开始运动后15分钟.
探究3　情境设置
问题：Sn=na1+d=n2+a1-n=An2+Bn，其中A=，B=a1-，
故当d≠0时，Sn关于n的函数解析式是一个常数项为0的二次函数解析式.
新知运用
例3　【解析】(1)数列{an}不是等差数列.理由如下：
∵Sn=2n2-3n-1，　①
∴当n=1时，a1=S1=2-3-1=-2，
当n≥2时，Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)-1，　②
由①-②得an=Sn-Sn-1=2n2-3n-1-[2(n-1)2-3(n-1)-1]=4n-5(n≥2)，
经检验，当n=1时，an=4n-5不成立，
故an=
故数列{an}不是等差数列，数列{an}从第二项起是以4为公差的等差数列.
(2)数列{an}是等差数列.证明如下：
∵Sn=2n2-3n，　①
∴当n=1时，a1=S1=2-3=-1，
当n≥2时，Sn-1=2(n-1)2-3(n-1)，　②
由①-②得an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5(n≥2且n∈N+)，
经检验，当n=1时，an=4n-5成立，
故an=4n-5.
故数列{an}是以-1为首项，4为公差的等差数列.
巩固训练1　-1　【解析】∵等差数列前n项和Sn的形式为Sn=An2+Bn，
又由题意知Sn=n2+2n+1+λ，
∴1+λ=0，∴λ=-1.
巩固训练2　【解析】当n=1时，a1=S1=1；
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n2+n-1)-[(n-1)2+(n-1)-1]=2n.
∵a1=1不满足an=2n，
∴数列{an}的通项公式是an=
∵当n≥2时，an-an-1=2n-2(n-1)=2，a2-a1=4-1=3≠2，∴数列{an}不是等差数列.
探究4　情境设置
问题：数列{an}的前5项为正，从第6项开始为负，
所以S40=a1+a2+a3+a4+a5-(a6+a7+…+a40)=2(a1+a2+a3+a4+a5)-(a1+a2+a3+a4+a5+a6+…+a40)=2×-=70+1 820=1 890.
新知运用
例4　【解析】设数列{an}的前n项和为Sn.
∵a1=13，d=-4，∴an=17-4n.
当n≤4时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=na1+d=13n+×(-4)=15n-2n2；
当n≥5时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|
=(a1+a2+a3+a4)-(a5+a6+…+an)
=S4-(Sn-S4)=2S4-Sn
=2×-(15n-2n2)=2n2-15n+56.
∴Tn=
巩固训练　【解析】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由S2=16，S4=24，得
即解得
所以等差数列{an}的通项公式为an=11-2n.
令an≥0，解得n≤.
①当n≤5时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-n2+10n.
②当n≥6时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a5-a6-a7-…-an=2S5-Sn=2×(-52+10×5)-(-n2+10n)=n2-10n+50.
故Tn=
随堂检测
1.C　【解析】∵{an}是等差数列，设其公差为d，∴S9=(a1+a9)=9a5=27，∴a5=3.又∵a10=8，∴解得∴a100=a1+99d=-1+99×1=98.故选C.
2.D　【解析】设该塔共有n+4层，则5n+×2=108-(1+3+3+5)，即(n+12)(n-8)=0，解得n=8或n=-12(舍去)，即该塔共有8+4=12层.故选D.
3.2n　【解析】当n=1时，a1=S1=1+1=2；
当n≥2且n∈N+时，an=Sn-Sn-1=(n2+n)-[(n-1)2+(n-1)]=2n，经检验，n=1也满足该式.
故an=2n.
4.【解析】(1)由Sn=n·+-·=-15，整理得n2-7n-60=0，解得n=12或n=-5(舍去).
(2)由Sn===-1 022，解得n=4.
又an=a1+(n-1)d，
即-512=1+(4-1)d，解得d=-171.1.2.2　等差数列与一次函数
【学习目标】
1.熟悉等差数列的相关性质，并能够灵活应用该知识进行运算.(逻辑推理、数学运算)
2.理解公差不为0的等差数列的通项公式就是一个定义域为全体正整数的一次函数.(数学抽象、直观想象)
3.通过函数的引入增强运用等差数列公式解决问题的能力.(逻辑推理、数学运算)
4.掌握等差数列的判定方法.(数学抽象、逻辑推理)
【自主预习】
1.等差数列中的奇数项、偶数项是否分别构成等差数列 若构成等差数列，则公差是多少
2.等差数列去掉前面若干项后，剩下的项是否还构成等差数列
3.在等差数列{an}中，若m，n，p，q，…成等差数列，则am，an，ap，aq，…也成等差数列吗 若成等差数列，则公差是多少
4.由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可得，an=dn+(a1-d)，那么这个等差数列的图象与一次函数y=dx+(a1-d)(其中d≠0)图象之间有什么关系
5.在等差数列{an}中，若an=3n+18，你能知道该数列的单调性吗 如何判断
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在等差数列{an}中，必有a10=a1+a9. (　　)
(2)若等差数列{an}的公差d>0，则{|an|}是递增数列. (　　)
(3)若等差数列{an}的公差d<0，则{an+nd}是递减数列. (　　)
(4)若数列a1，a3，a5，…和a2，a4，a6…都是公差为d的等差数列，则a1，a2，a3…也是等差数列. (　　)
2.在等差数列{an}中，a10=18，a2=2，则公差d=(　　).
A.-1　　　　B.2
C.4　　　　 D.6
3.若数列{an}是等差数列，且an=an2+n，则实数a=　　　　.
4.在等差数列-5，-3，-2，-，…的每相邻两项间插入一个数，使之成为一个新的等差数列{an}，则新数列的通项公式为an=　　　　.
【合作探究】
探究1　 等差数列与一次函数的关系
问题1：等差数列的图象是直线吗
问题2：直线y=dx+(a1-d)的单调性如何判断 等差数列{an}的单调性又如何判断
等差数列与一次函数的关系
(1)对于一般的等差数列{an}，其通项公式为an=a1+(n-1)d，将其中的正整数自变量n换成实数自变量x，得到y=dx+(a1-d).
(2)当d≠0时，y是一次函数(其中一次项系数为等差数列的公差d)；当d=0时，y=a1(a1为常数).这两种情形的函数图象都是直线.
(3)等差数列的图象由相应函数图象上横坐标为正整数n的孤立点(n，an)组成.
当d>0时，直线y=dx+(a1-d)从左至右上升，等差数列{an}递增；
当d<0时，直线y=dx+(a1-d)从左至右下降，等差数列{an}递减；
当d=0时，y=a1为水平方向的直线，数列{an}为常数列.
例1　已知(3，5)，(7，13)是等差数列{an}的图象上的两点.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)画出数列{an}的图象；
(3)判断数列{an}的单调性.
【方法总结】(1)等差数列的图象是一些孤立的点，这些点在一条直线上.(2)单调性可以根据公差的符号判断.
已知(5，11)，(8，5)是等差数列{an}的图象上的两点.
(1)求等差数列{an}的通项公式；
(2)画出等差数列{an}的图象；
(3)判断等差数列{an}的单调性.
探究2　等差数列的判定与证明
问题1：对于给定的等差数列{an}，从第二项起的每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等差中项吗
问题2：问题1的结论可以给我们什么样的启示
问题3：若数列{an}的通项公式为an=kn+b(k，b为常数)，则该数列是等差数列吗
1.等差数列的三种判定方法
(1)定义法：an+1-an=d(常数)(n∈N+) {an}为等差数列.
(2)等差中项法：2an+1=an+an+2(n∈N+) {an}为等差数列.
(3)通项公式法：an=an+b(a，b是常数，n∈N+) {an}为等差数列.
2.要证明一个数列不是等差数列，只要证明其中特定三项(如前三项a1，a2，a3)不是等差数列即可.
例2　已知数列{an}满足an+1=(n∈N+)，且a1=3.证明：数列是等差数列.
例3　判断下列通项公式对应的数列{an}是否为等差数列：
(1)an=3n-1；
(2)an=
【方法总结】等差数列的判定与证明的关键是根据题干给出的相关条件，选择合适的判定方法.
在数列{an}中，a1=，an-an+1=2anan+1.
(1)证明：数列是等差数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
已知a，b，c成等差数列，求证：b+c，c+a，a+b也成等差数列.
已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=n2-3n+1.
(1)求{an}的通项公式；
(2)判断该数列是否为等差数列，并说明理由.
探究3　等差数列的性质
问题1：已知{an}是等差数列，a3=5，d=2，如果不求首项，你能求数列的通项公式吗
问题2：若数列{an}是等差数列，公差为d，m+n=p+q(m，n，p，q∈N+)，则am，an，ap，aq这四项之间有什么关系
性质1 等差数列通项公式的推广：an=am+(n-m)d(n，m∈N+)
性质2 若{an}是等差数列，且k+l=m+n(k，l，m，n∈N+)，则ak+al=am+an
性质3 若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d
性质4 若{an}，{bn}分别是以d1，d2为公差的等差数列，则{pan+qbn}是以pd1+qd2为公差的等差数列
性质5 若{an}是公差为d的等差数列，则ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N+)组成公差为md的等差数列
性质6 若{an}是等差数列，ap=q，aq=p，则ap+q=0
性质7 在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项之和：a1+an=a2+an-1=…=ai+an+1-i=…
性质8 若{an}是等差数列，公差为d，则{λan+m}(λ，m为常数)是公差为λd的等差数列
例4　(1)已知{an}为等差数列，a15=8，a60=20，则a75=　　　　.
(2)已知数列{an}是等差数列，若a1-a9+a17=7，则a3+a15=　　　　.
(3)在等差数列{an}中，a3+a7+2a15=40，则a10=　　　　.
【方法总结】(1)灵活运用等差数列的性质，可以减少运算.令m=1，则an=am+(n-m)d即变为an=a1+(n-1)d，可以减少记忆负担.
(2)等差数列运算的两种常用思路
①基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量.
②巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m+n=p+q=2r(m，n，p，q，r∈N+)，则am+an=ap+aq=2ar.
在等差数列{an}中，a1+3a8+a15=120，则2a9-a10的值是(　　).
A.20 B.22 C.24 D.-8
(多选题)下列说法正确的是(　　).
A.若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2一定成等差数列
B.若a，b，c成等差数列，则2a，2b，2c可能成等差数列
C.若a，b，c成等差数列，则ka+2，kb+2，kc+2一定成等差数列
D.若a，b，c成等差数列，则可能成等差数列
已知{bn}为等差数列，若b3=-2，b10=12，则b8=　　　　.
【随堂检测】
1.在等差数列{an}中，已知a3=10，a8=-20，则公差d=(　　).
A.3 B.-6 C.4 D.-3
2.在公差为d的等差数列{an}中，“d>1”是“{an}是递增数列”的(　　).
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.已知数列{an}，{bn}均为等差数列，且公差分别为d1=2，d2=1，则数列{2an-3bn}的公差为(　　).
A.7 B.5 C.3 D.1
4.已知数列是等差数列，且a3=2，a15=30，则a9=　　　　.
参考答案
1.2.2　等差数列与一次函数
自主预习
预学忆思
1.是.公差为原来的2倍.
2.是.改变了首项，公差不变.
3.成等差数列，若{an}的公差为d，则am，an，ap，aq，…的公差为(n-m)d.
4.等差数列{an}的图象就是一次函数y=dx+(a1-d)(d≠0)图象的一个子集，是直线y=dx+(a1-d)上的均匀分布的一群孤立的点.
5.能.若已知等差数列的通项公式为an=dn+a，可以通过n的系数判断，若d>0，数列单调递增，若d<0，单调递减.故数列{an}是递增数列.
自学检测
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2.B　【解析】由题意知a10-a2=8d，即8d=16，解得d=2.
3.0　【解析】∵{an}是等差数列，∴an+1-an=常数，
∴[a(n+1)2+(n+1)]-(an2+n)=2an+a+1=常数，∴2a=0，即a=0.
4.n-　【解析】新数列的公差d=×-3+5=，∴an=-5+(n-1)·=n-.
合作探究
探究1　情境设置
问题1：不是，等差数列的图象由相应函数图象上横坐标为正整数n的孤立点(n，an)组成.
问题2：当d>0时，直线y=dx+(a1-d)从左至右上升，等差数列{an}递增；
当d<0时，直线y=dx+(a1-d)从左至右下降，等差数列{an}递减；
当d=0时，y=a1为水平方向的直线，数列{an}为常数列.
新知运用
例1　【解析】(1)设首项为a1，公差为d，由已知得解得
因此an=a1+(n-1)d=1+(n-1)×2=2n-1.
(2)等差数列{an}的图象如图所示.
(3)因为d=2>0，所以数列{an}为递增数列.
巩固训练　【解析】(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由题意知a5=11，a8=5，即解得
故an=19+(n-1)×(-2)=-2n+21.
(2)等差数列{an}的图象如图所示.
(3)因为d=-2<0，所以数列{an}为递减数列.
探究2　情境设置
问题1：是.根据等差数列的概念知an+1-an=an-an-1(n≥2)，即an=(n≥2).
再由等差中项的概念知，对于给定的等差数列{an}，从第二项起的每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等差中项.
问题2：可以用等差中项的定义来证明一个数列是等差数列，即证明2an+1=an+an+2.
问题3：是.因为an+1-an=k(n+1)+b-kn-b=k，所以数列{an}是等差数列.
新知运用
例2　【解析】由==
===+，
得-=，n∈N+，
故数列是等差数列.
例3　【解析】(1)因为通项公式an=3n-1是关于n的一次函数，所以这个数列是等差数列.
(2)由通项公式an=知a1=1，a2=1，a3=2.
因为a2-a1≠a3-a2，
所以该数列不是等差数列.
巩固训练1　【解析】(1)由题意知an≠0，因为=2，-===2，
所以数列是以2为首项，2为公差的等差数列.
(2)由(1)知，=2+2(n-1)=2n，所以an=.
巩固训练2　【解析】因为a，b，c成等差数列，
所以2b=a+c，
所以(b+c)+(a+b)=a+2b+c=a+(a+c)+c=2(a+c)，
所以b+c，c+a，a+b成等差数列.
巩固训练3　【解析】(1)因为Sn=n2-3n+1，
当n=1时，a1=S1=-1，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-3n+1-(n-1)2+3(n-1)-1=2n-4，
a1=-1不满足上式，
所以an=
(2)由(1)得a1=-1，a2=0，a3=2，
因为a3-a2=2≠a2-a1=1，
所以数列{an}不是等差数列.
探究3　情境设置
问题1：能.由定义可知a3=a1+2d，an=a1+(n-1)d，两式相减得an-a3=(n-3)d，即an=a3+(n-3)d.
问题2：由等差数列的定义可知，am=a1+(m-1)d，an=a1+(n-1)d，ap=a1+(p-1)d，aq=a1+(q-1)d，容易发现am+an=2a1+(m+n-2)d，ap+aq=2a1+(p+q-2)d，因为m+n=p+q，所以am+an=ap+aq.
新知运用
例4　(1)24　(2)14　(3)10　【解析】(1)(法一：利用an=am+(n-m)d)
设等差数列{an}的公差为d，
则a60=a15+(60-15)d=8+45d=20，
所以d===，
所以a75=a60+(75-60)d=20+15×=24.
(法二：利用隔项成等差数列)
因为{an}为等差数列，
所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列，
设新数列的公差为d，a15为首项，则a60为第四项，
所以a60=a15+3d，解得d=4，
所以a75=a60+d=24.
(2)因为a1-a9+a17=(a1+a17)-a9=2a9-a9=a9=7，
所以a3+a15=2a9=2×7=14.
(3)(法一)设等差数列{an}的公差为d，
则a3+a7+2a15=a1+2d+a1+6d+2(a1+14d)
=4a1+36d=4(a1+9d)
=4a10=40，
所以a10=10.
(法二)因为a3+a7+2a15=2a5+2a15=4a10=40，所以a10=10.
巩固训练1　C　【解析】∵a1+3a8+a15=5a8=120，∴a8=24，
∴2a9-a10=a10+a8-a10=a8=24.故选C.
巩固训练2　BCD　【解析】对于A，取a=1，b=2，c=3，则a2=1，b2=4，c2=9，故A错误；
对于B，a=b=c 2a=2b=2c，故B正确；
对于C，∵a，b，c成等差数列，∴a+c=2b，
∴(ka+2)+(kc+2)=k(a+c)+4=k·2b+4=2(kb+2)，故C正确；
对于D，a=b=c≠0 ==，故D正确.
故选BCD.
巩固训练3　8　【解析】(法一)∵{bn}为等差数列，∴可设其公差为d，则d===2，
∴bn=b3+(n-3)d=2n-8，
∴b8=2×8-8=8.
(法二)由=，得b8=×5+(-2)=2×5+(-2)=8.
随堂检测
1.B　【解析】由等差数列的性质得a8-a3=(8-3)d=5d，则d==-6.
2.A　【解析】若d>1，则 n∈N+，an+1-an=d>1>0，则{an}是递增数列；若{an}是递增数列，则 n∈N+，an+1-an=d>0，推不出d>1.故“d>1”是“{an}是递增数列”的充分不必要条件，故选A.
3.D　【解析】{2an-3bn}的公差为2d1-3d2=4-3=1.
4.12　【解析】令bn=，由题意可知b3==，b15==2，则等差数列{bn}的公差d==，则b9=b3+(9-3)d=，则a9=9b9=12.

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