资源简介

1.3.2　等比数列与指数函数
【学习目标】
1.通过函数的引入提高学生运用等比数列解决问题的能力.(逻辑推理)
2.理解等比数列与指数函数之间的联系.(数学建模)
3.会用指数函数的知识解决等比数列的单调性问题.(数学运算)
4.熟练掌握等比数列的判定方法.(逻辑推理)
【自主预习】
1.设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，当a1与q分别满足什么条件时，{an}是递增数列 当a1与q分别满足什么条件时，{an}是递减数列
2.如果数列{an}是各项都为正数的等比数列，那么数列{lg an}也是等比数列吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若{an}，{bn}都是等比数列，则{an+bn}是等比数列. (　　)
(2)若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相同，则{an}是等比数列. (　　)
2.(多选题)已知等比数列{an}满足a1=1，q=2，则下列说法正确的是(　　).
A.an=2n-1 B.{a2n}是等比数列
C.a1+a5=a2+a4 D.{an}是递增数列
3.在公比为q的等比数列{an}中依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，…，则此数列(　　).
A.是公比为q的等比数列 B.是公比为q2的等比数列
C.是公比为q3的等比数列 D.不一定是等比数列
4.已知等比数列{an}的公比为q，首项a1>0，则“q<1”是“等比数列{an}为递减数列”的(　　).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【合作探究】
探究1　等比数列与指数函数的关系
问题：观察等比数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关
1.等比数列{an}的图象
由指数函数y=qx的图象可以得出y=cqxc=，c为常数的图象，而y=cqx的图象上横坐标为正整数n的孤立点(n，an)组成了等比数列{an}的图象.
值得指出的是，当等比数列的公比q=1时，等比数列的各项都为常数a1，其图象是一系列从左至右呈水平状的孤立点.
2.等比数列的单调性
当q>1时，
若a1>0，则等比数列{an}是递增数列；
若a1<0，则等比数列{an}是递减数列.
当q=1时，等比数列{an}是非零的常数列.
当0若a1>0，则等比数列{an}是递减数列；
若a1<0，则等比数列{an}是递增数列.
当q<0时，等比数列{an}是摆动数列.
例1　(1)已知{an}是等比数列，且公比q>0，则“q>1”是“数列{an}为递增数列”的(　　).
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)若{an}为等比数列，则“a1A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【方法总结】判断等比数列的增减性时，要结合等比数列的函数性质，选择恰当的性质解题.
设{an}是等比数列，则“a1A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
探究2　等比数列的判定与证明
问题1：利用等比数列的定义证明数列为等比数列的关键是什么
问题2：在数列{an}中，若an+1=2an，则数列{an}是等比数列吗
问题3：若数列{an}是公比为q的等比数列，则它的通项公式为an=a1·qn-1(a1，q为非零常数，n∈N+).反之，能说明数列{an}是等比数列吗
问题4：如何证明数列{an+1}是等比数列
判断一个数列是等比数列的常用方法
(1)定义法：若数列{an}满足=q(n∈N+，q为常数且不为零)或=q(n≥2且n∈N+，q为常数且不为零)，则数列{an}是等比数列.
(2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an=a1qn-1(n∈N+，a1≠0，q≠0)，则数列{an}是等比数列.
(3)等比中项法：若=anan+2(n∈N+且an≠0)，则数列{an}为等比数列.
(4)构造法：在条件中出现an+1=kan+b的关系时，往往构造数列，方法是把an+1+x=k(an+x)与an+1=kan+b对照，求出x即可.
例2　已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=2an+n-4.
(1)求a1的值；
(2)若bn=an-1，试证明数列{bn}为等比数列.
【方法总结】证明一个数列是等比数列的常用方法有定义法与等比中项法，注意不管用哪种方法判定等比数列都要先强调任意一项不等于零.
已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=2-an，求证：{an}为等比数列.
探究3　由等比数列构造新等比数列
问题：结合我们所学，类比等差数列、等比数列的通项公式的结构特点及运算关系.完成下表：
等差数列 等比数列
定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列称为等差数列
符号 表示 an-an-1=d(n≥2，n∈N+)
通项 公式 an=a1+(n-1)d
类比 差 商；和 积，积 乘方
性质 等差数列首项为a1，公差为d
把等差数列前k项去掉，得到一个以ak+1为首项，以d为公差的等差数列
等差数列中，ak，ak+m，ak+2m，…是以md为公差的等差数列
等差数列中每一项加上同一个常数，构成一个公差不变的等差数列
两个等差数列相加，还是一个等差数列
1.在等比数列{an}中，每隔k项(k∈N+)取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列，且公比为qk+1.
2.若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，{|an|}，{}都是等比数列，且公比分别是q，，|q|，q2.
3.若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，则{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和.
注意点：在构造新的等比数列时，要注意新数列中有的项是否为0，比如公比q=-1时，连续相邻两项的和都是0，故不能构成等比数列.
例3　如果数列{an}是等比数列，那么下列数列不一定是等比数列的是(　　).
A. B.{}
C.{an·an+1} D.{an+an+1}
【方法总结】由等比数列构造新的等比数列，一定要检验新的数列中的项是否为0，主要是针对q<0的情况.
设{an}是各项均为正数的无穷数列，Ai是长、宽分别为ai，ai+1的矩形面积(i=1，2，3，…)，则{An}为等比数列的充要条件为(　　).
A.{an}是等比数列
B.a1，a3，…，a2n-1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列
C.a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列
D.a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同
【随堂检测】
1.对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　).
A.a1，a3，a9成等比数列
B.a2，a3，a6成等比数列
C.a2，a4，a8成等比数列
D.a3，a6，a9成等比数列
2.(多选题)设{an}是等比数列，有下列四个命题，其中正确的是(　　).
A.{}是等比数列
B.{anan+1}是等比数列
C.是等比数列
D.{lg|an|}是等比数列
3.若等比数列{an}为递减数列，写出满足上述条件的一个数列{an}的通项公式：　　　　.
4.数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1=1，an+1=Sn(n=1，2，3，…).证明：数列是等比数列.
参考答案
1.3.2　等比数列与指数函数
自主预习
预学忆思
1.(1)或 {an}为递增数列；
(2)或 {an}为递减数列.
2.不一定是等比数列，但一定是等差数列.
自学检测
1.(1)×　(2)×
2.ABD　【解析】对于A，an=a1qn-1=2n-1，A正确；
对于B，a2n=22n-1，故==4，又a2=2，
所以{a2n}是首项为2，公比为4的等比数列，B正确；
对于C，由A可知，a1=1，a2=2，a4=8，a5=16，则a1+a5≠a2+a4，C错误；
对于D，an+1-an=2n-2n-1=2n-1>0，故{an}是递增数列，D正确.
故选ABD.
3.B　【解析】∵=·=q·q=q2，n≥2且n∈N+，
∴{anan+1}是以q2为公比的等比数列.故选B.
4.B　【解析】若q<0，则等比数列{an}为摆动数列，充分性不成立.
由于等比数列{an}为递减数列，故q>0.
又a1>0，则an=a1qn-1>0，
因为an+1所以q<1，
所以a1>0，等比数列{an}为递减数列 0所以若a1>0，则“q<1”是“等比数列{an}为递减数列”的必要不充分条件.
合作探究
探究1　情境设置
问题：等比数列的通项公式与指数型函数有关.由an=a1qn-1=·qn可知，当q>0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an是指数型函数f(x)=·qx(x∈R)在x=n时的函数值，即an=f(n).
新知运用
例1　(1)D　(2)B　【解析】(1)当a1<0，q>1时，数列{an}为递减数列，即充分性不成立；
当“数列{an}是递增数列”时，a1<0，00，q>1，即必要性不成立.
综上，“q>1”是“数列{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件.
(2)若等比数列{an}是递增数列，
可得a1反之，例如an=(-1)n+1·2n，
此时满足a1所以“a1巩固训练　B　【解析】设等比数列{an}的公比为q，
由a10，
解得或
此时数列{an}不一定是递增数列.
由数列{an}为递增数列，
可得a1所以“a1探究2　情境设置
问题1：关键是能够证明(n∈N+)是一个非零常数.
问题2：不一定.当an≠0时，数列{an}是等比数列；当an=0时，数列{an}不是等比数列.
问题3：能.根据等比数列的定义可以判断.
问题4：证明=q(q≠0)即可.
新知运用
例2　【解析】(1)因为Sn=2an+n-4，
所以当n=1时，S1=2a1+1-4=a1，解得a1=3.
(2)因为Sn=2an+n-4，
所以当n≥2时，Sn-1=2an-1+(n-1)-4，
Sn-Sn-1=(2an+n-4)-(2an-1+n-5)，
即an=2an-1-1，
所以an-1=2(an-1-1)，
又bn=an-1，所以bn=2bn-1(n≥2)，且b1=a1-1=2≠0，
所以数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列.
巩固训练　【解析】因为Sn=2-an，所以Sn+1=2-an+1.
所以an+1=Sn+1-Sn=(2-an+1)-(2-an)=an-an+1，
所以an+1=an.
又S1=2-a1=a1，所以a1=1≠0，
又由an+1=an知an≠0，
所以=，
所以数列{an}是首项为1，公比为的等比数列.
探究3　情境设置
等差数列 等比数列
定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列称为等差数列 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列称为等比数列
符号 表示 an-an-1=d(n≥2，n∈N+) =q(n≥2，n∈N+)
通项 公式 an=a1+(n-1)d an=a1qn-1
类比 差 商；和 积，积 乘方
性质 等差数列首项为a1，公差为d 等比数列首项为a1，公比为q
把等差数列前k项去掉，得到一个以ak+1为首项，以d为公差的等差数列 把等比数列前k项去掉，得到一个以ak+1为首项，以q为公比的等比数列
等差数列中，ak，ak+m，ak+2m，…是以md为公差的等差数列 等比数列中，ak，ak+m，ak+2m，…是以qm为公比的等比数列
等差数列中每一项加上同一个常数，构成一个公差不变的等差数列 等比数列中每一项同乘一个非零常数，构成一个公比不变的等比数列
两个等差数列相加，还是一个等差数列 两个等比数列相乘，还是一个等比数列
新知运用
例3　D　【解析】取等比数列{an}的通项公式为an=(-1)n，则an+an+1=0，所以{an+an+1}不是等比数列，故D不一定是等比数列；对于其他选项，均满足等比数列的定义.
巩固训练　D　【解析】因为Ai是长、宽分别为ai，ai+1的矩形面积(i=1，2，3，…)，所以Ai=aiai+1(i=1，2，3，…)，
则数列{An}的通项公式为An=anan+1.
根据等比数列的定义，知数列{An}(n=1，2，3，…)为等比数列的充要条件是===q(常数).故选D.
随堂检测
1.D　【解析】因为=a3a9，所以a3，a6，a9成等比数列.
2.ABC　【解析】由{an}是等比数列可得=q(q为非零定值，n>1).
A中，==q2，为常数，故A正确；
B中，==q2，为常数，故B正确；
C中，==，为常数，故C正确；
D中，不一定为常数，故D错误.
3.an=(答案不唯一)　【解析】∵等比数列{an}为递减数列，∴a1>0，01，∴满足上述条件的一个数列{an}的通项公式为an=.
4.【解析】由a1=1，an+1=Sn，得an>0，Sn>0.
由an+1=Sn，an+1=Sn+1-Sn，
得(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn)，
整理得nSn+1=2(n+1)Sn，
所以=2·，即=2.
因为==1，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列.1.3.3　课时2　等比数列前n项和的性质及应用
【学习目标】
1.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题.(逻辑推理、数学运算)
2.在具体的问题情境中，能发现数列的等比关系，并解决相应的问题.(逻辑推理、数学建模)
【自主预习】
1.若等比数列{an}的公比q不为1，其前n项和为Sn=Aqn+B，则A与B有什么关系
2.当等比数列{an}的公比q=-1时，若k是偶数，则Sk，S2k-Sk，S3k-S2k是等比数列吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若等比数列{an}的公比为q，则{a2n}的公比为q2. (　　)
(2)若等比数列{an}的公比为q，则a1+a2+a3，a2+a3+a4，a3+a4+a5的公比也为q. (　　)
(3)若等比数列{an}是递增数列，{an}的前n项和为Sn，则{Sn}也是递增数列. (　　)
2.在等比数列{an}中，若a1+a2=20，a3+a4=40，则S6=(　　).
A.140 B.120 C.210 D.520
3.若数列{an}是等比数列，且其前n项和Sn=3n+1-3k，则实数k=　　　　.
【合作探究】
探究1　等比数列前n项和的函数特征
已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.
问题：当q≠1时，从函数的角度分析，Sn关于n的解析式对应的函数模型是什么
若数列{an}的前n项和Sn=A(an-1)(A≠0，a≠0，a≠1，n∈N+)，则数列{an}是等比数列.
例1　数列{an}的前n项和Sn=3n-2.求{an}的通项公式，并判断{an}是否为等比数列.
【方法总结】(1)已知Sn，可通过an=求{an}的通项公式，注意当n≥2时，an=Sn-Sn-1.
(2)若数列{an}的前n项和Sn=A(qn-1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则数列{an}是等比数列.
若等比数列{an}的前n项和Sn=2n-2+，则r=　　　　.
探究2　等比数列连续n项和的性质
已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.
问题1：你能否用等比数列{an}中的Sm，Sn来表示Sm+n
问题2：Sk，S2k-Sk，S3k-S2k具有什么特征 采用从特殊到一般的思想进行思考分析.
1.若{an}是公比为q的等比数列，则Sn+m=Sn+qnSm(n，m∈N+).
2.若公比不为-1的等比数列的前n项和为Sn(Sn≠0，n∈N+)，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…构成等比数列，且公比为qn.
例2　在等比数列{an}中，已知Sn=48，S2n=60，求S3n.
【方法总结】
处理与等比数列前n项和有关问题的常用方法
(1)充分利用Sm+n=Sm+qmSn和Sn，S2n-Sn，S3n-S2n，…(n为偶数且q=-1除外)构成等比数列的性质，能有效减少运算.
(2)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q=1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元.
设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S6∶S3=1∶2，则S9∶S3=　　　　.
探究3　等比数列不连续n项和的性质
问题：类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质
若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是该数列的偶数项和与奇数项和，则
①在其前2n项中，=q；
②在其前2n+1项中，S奇-S偶=a1-a2+a3-a4+…-a2n+a2n+1==(q≠-1)，
S奇=a1+qS偶.
例3　若等比数列{an}共有2n项，其和为-240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q=　　　　.
【方法总结】
若等比数列{an}共有2n项，则要抓住=q和S偶+S奇=S2n这一隐含条件；若等比数列{an}共有2n+1项，则要抓住S奇=a1+qS偶和S偶+S奇=S2n+1这一隐含条件.要注意公比q=1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元.
若等比数列{an}共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为　　　　，项数为　　　　.
【随堂检测】
1.已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和为(　　).
A.31 B.33 C.35 D.37
2.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若=3，则=(　　).
A.2 B. C. D.3
3.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=8，S6=24，则a10+a11+a12=(　　).
A.32 B.64 C.72 D.216
4.已知等比数列{an}的公比q=2，且a1+a2+…+a99=77，则a2+a5+…+a98=　　　　.
参考答案
课时2　等比数列前n项和的性质及应用
自主预习
预学忆思
1.A=-B.
2.不是.如数列1，-1，1，-1，…是公比为-1的等比数列，S2=S4-S2=S6-S4=…=0，不是等比数列.
自学检测
1.(1)√　(2)√　(3)×
2.A　【解析】∵S2=20，S4-S2=40，且(S4-S2)2=S2·(S6-S4)，∴S6-S4=80.
又∵S4=60，∴S6=140.
3.1　【解析】∵Sn=3n+1-3k=3·3n-3k，∴3=3k，即k=1.
合作探究
探究1　情境设置
问题：若q≠1，则Sn==qn-=Aqn-A，其中A=.
故等比数列前n项和Sn关于n的解析式对应的函数模型是f(x)=Axn-A(A≠0).
注意点：等比数列前n项和公式的结构特点是qn的系数与常数项互为相反数.
新知运用
例1　【解析】当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=2×3n-1；
当n=1时，a1=S1=31-2=1，不适合上式.
∴an=
(法一)易知a1=1，a2=6，a3=18，显然a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列.
(法二)当等比数列{bn}的公比q≠1时，其前n项和Sn=Aqn+B满足的条件为A=-B，对比Sn=3n-2可知，1≠2，所以{an}不是等比数列.
巩固训练　-　【解析】∵Sn=2n-2+=×2n+，
∴=-，即r=-.
探究2　情境设置
问题1：(法一)Sm+n=a1+a2+…+am+am+1+am+2+…+am+n=Sm+a1qm+a2qm+…+anqm=Sm+qmSn.
(法二)Sm+n=a1+a2+…+an+an+1+an+2+…+an+m
=Sn+a1qn+a2qn+…+amqn
=Sn+qnSm.
问题2：当q=-1时，例如an=(-1)n，当k为偶数时，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k都等于零，不能构成等比数列.
当q≠-1时，Sn≠0，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k构成等比数列，
因为S2k-Sk=ak+1+ak+2+…+a2k=a1qk+a2qk+…+akqk=Skqk，
S3k-S2k=a2k+1+a2k+2+…+a3k=a1q2k+a2q2k+…+akq2k=Skq2k，
所以==qk，所以Sk，S2k-Sk，S3k-S2k构成等比数列.
新知运用
例2　【解析】(法一)∵S2n≠2Sn，∴q≠1，
由已知得
②÷①得1+qn=，即qn=，　③
将③代入①得=64，
∴S3n==64×1-=63.
(法二)∵{an}为等比数列，显然公比不等于-1，
∴Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也成等比数列，
∴(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n)，
∴S3n=+S2n=+60=63.
(法三)由性质Sm+n=Sm+qmSn可知S2n=Sn+qnSn，即60=48+48qn，得qn=，∴S3n=S2n+q2nSn=60+48×2=63.
巩固训练　3∶4　【解析】由等比数列的性质得S3，S6-S3，S9-S6仍成等比数列，于是(S6-S3)2=S3·(S9-S6)，不妨令S3=2，则S6=1，代入解得S9=，故S9∶S3=3∶4.
探究3　情境设置
问题：若等比数列{an}的项数为2n，则其偶数项和S偶=a2+a4+…+a2n；其奇数项和S奇=a1+a3+…+a2n-1.
容易发现两列式子中对应项之间存在联系，即S偶=a1q+a3q+…+a2n-1q=qS奇，所以有=q.
若等比数列{an}的项数为2n+1，则其偶数项和为S偶=a2+a4+…+a2n，其奇数项和为S奇=a1+a3+…+a2n-1+a2n+1，从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是我们有S奇-a1=a3+…+a2n-1+a2n+1=a2q+a4q+…+a2nq=qS偶，即S奇=a1+qS偶.
新知运用
例3　2　【解析】由题意知
解得
故公比q===2.
巩固训练　2　9　【解析】由等比数列的性质S奇=a1+qS偶可知341=1+170q，所以q=2.
S2n+1==341+170=511，解得n=4，即这个等比数列的项数为9.
随堂检测
1.B　【解析】根据等比数列的性质得=q5，
∴=25，∴S10=33.
2.B　【解析】设公比为q(q≠0)，由题意知q≠-1，根据等比数列前n项和的性质，得==1+q3=3，解得q3=2.于是===.
3.B　【解析】因为S3，S6-S3，S9-S6，S12-S9成等比数列，S3=8，S6-S3=16，所以其公比为2，故S9-S6=32，a10+a11+a12=S12-S9=64.
4.22　【解析】设a1+a4+…+a97=x，则a2+a5+…+a98=2x，a3+a6+…+a99=4x，
由题意可得7x=77，即x=11，所以a2+a5+…+a98=22.1.3.1　等比数列及其通项公式
【学习目标】
1.能够通过实际问题理解等比数列、公比的定义，掌握等比中项的概念并会应用.(数学抽象、逻辑推理)
2.掌握等比数列的通项公式并会应用.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.阅读教材第24页案例中的4个数列，类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律 你发现了什么规律
2.等比数列的定义是什么
3.等比数列的公比q能否为零
4.若c是a，b的等比中项，则c2=ab，反之成立吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若an+1=qan，n∈N+且q≠0，则{an}是等比数列. (　　)
(2)在等比数列{an}中，an=a1qn，n∈N+. (　　)
(3)常数列一定是等比数列. (　　)
(4)存在一个数列既是等差数列，又是等比数列. (　　)
2.已知{an}是首项为2，公比为3的等比数列，则这个数列的通项公式为(　　).
A.an=2×3n+1
B.an=3×2n+1
C.an=2×3n-1
D.an=3×2n-1
3.下列数列为等比数列的是(　　).
A.2，22，3×22，…
B.，…
C.S-1，(S-1)2，(S-1)3，…
D.0，0，0，…
4.已知{an}是等比数列，a2=2，a5=，则公比q=　　　　.
【合作探究】
探究1　等比数列的概念
(1)《孙子算经》中载有“出门望堤”问题：“今有出门，望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各几何 ”
(2)《算学宝鉴》中有这样一个问题：“一文(钱)日增一倍，倍至三十日，问计几何 ”
(3)“诸葛统兵”问题：“诸葛统领八员将，每将又分八个营.每营里面排八阵，每阵先锋有八人.每人旗头俱八个，每个旗头八队成.每队更该八个甲，每个甲头八个兵.”
问题1：分别写出这三个问题所构成的数列.
问题2：类比等差数列的探究，观察这三个数列，你能发现它们的共同特点吗
等比数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数，那么这个数列称为等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0).
例1　判断下列数列是否是等比数列，如果是，写出它的公比.
(1)1，，…；
(2)10，10，10，10，10，…；
(3)，2，3，4，…；
(4)1，0，1，0，1，0，…；
(5)1，-4，16，-64，256，…；
(6)-1，1，2，4，8，….
【方法总结】如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中任意一项不能为0(对于含参数的数列则需要分类讨论).
(多选题)以下数列中，不能判定是等比数列的有(　　).
A.数列1，2，6，18，…
B.数列{an}中，已知=2，=2
C.常数列a，a，…，a，…
D.数列{an}中，=q(q≠0)，其中n∈N+
探究2　等比数列的通项公式
问题1：类比等差数列，如何推导等比数列的通项公式
问题2：你能由等差数列中的an=am+(n-m)d类比出等比数列中相似的性质吗
1.首项是a1，公比是q的等比数列的通项公式为an=a1qn-1(n∈N+，a1≠0，q≠0).
2.等比数列通项公式的推广和变形：an=amqn-m.
例2　已知在等比数列{an}中，
(1)a1=1，a4=8，求an；
(2)an=625，n=4，q=5，求a1；
(3)a2+a5=18，a3+a6=9，an=1，求n.
【方法总结】等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出另外一个，在这4个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出这2个基本量，问题便迎刃而解.
求下列等比数列{an}的通项公式.
(1)a1=-2，a3=-8.
(2)a1=5，且2an+1=-3an.
(3)a5=8，a7=2，an>0.
探究3　等比中项
问题：任意两个不为零的数是否一定都有等比中项 若有，是否唯一
在两个数a与b中间插入数G，使a，G，b成等比数列，则称G为a与b的等比中项，且G=±(ab>0).
例3　(1)2与8的等比中项为　　　　；
(2)若1，a，5成等差数列，1，b，9成等比数列，则a+b=　　　　.
【方法总结】(1)由等比中项的定义可知= G2=ab G=±，所以只有a，b同号时，a，b有两个等比中项，a，b异号时，没有等比中项.
(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项.
(3)a，G，b成等比数列等价于G2=ab(ab>0).
已知a，b，c∈R，如果-1，a，b，c，-9成等比数列，那么(　　).
A.b=3，ac=9 B.b=-3，ac=9
C.b=3，ac=-9 D.b=-3，ac=-9
若b既是a和c的等差中项，又是a和c的等比中项，则数列a，b，c的公比为　　　　.
探究4　等比数列的性质
问题：你能由等差数列中的“若m+n=k+l，m，n，k，l∈N+，则am+an=ak+al”类比出等比数列中相似的性质吗
设数列{an}为等比数列.
(1)若k+l=m+n(k，l，m，n∈N+)，则ak·al=am·an.
(2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列.
注意点：(1)性质的推广：若m+n+p=x+y+z，则amanap=axayaz；(2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同；(3)在有穷等比数列中，与首、末两项等距离的两项之积都相等，即a1·an=a2·an-1=….
例4　已知数列{an}为等比数列.
(1)若a2a4=，求a1a5；
(2)若an>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，求a3+a5.
【方法总结】 利用等比数列的性质解题的基本思路：(1)充分发挥项的“下标”的指导作用，分析等比数列项与项之间的关系，选择恰当的性质解题.(2)在等比数列的有关运算中，常涉及次数较高的指数运算，通常建立关于a1，q的方程组求解，但这样解起来很麻烦.此时，利用等比数列的性质求解可使问题简单明了.另外，在应用等比数列的性质解题时，需时刻注意等比数列性质成立的前提条件.
若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则ln a1+ln a2+…+ln a20=　　　　.
【随堂检测】
1.已知数列{an}是公比为2的等比数列，若a4=16，则a1=(　　).
A.1 B.2
C.3 D.4
2.已知数列a，a(1-a)，a(1-a)2，…是等比数列，则实数a满足(　　).
A.a≠1 B.a≠0或a≠1
C.a≠0 D.a≠0且a≠1
3.若互不相等的实数a，b，c成等差数列，a是b，c的等比中项，且a+3b+c=10，则a的值是(　　).
A.1 B.-1 C.-3 D.-4
4.已知在递减的等比数列{an}中，a5+a6=6，a3a8=8，则a7=　　　　.
参考答案
1.3.1　等比数列及其通项公式
自主预习
预学忆思
1.通过除法运算发现：从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数.
2.如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个不为0的常数，那么这个数列就叫作等比数列.
3.不能.根据等比数列的定义，公比为每一项与前一项的比，即=q，若q=0，则an=0，所以数列中每一项都为零，所以an-1=0，这样比值无意义，所以q≠0.
4.不一定成立.在c2=ab中，若c=0，则a，b中至少有一个为0，此时三个数不成等比数列，则c不是a，b的等比中项；若a，b，c均为非零常数，反之也成立.
自学检测
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.C　【解析】由已知可得a1=2，q=3，
则数列{an}的通项公式为an=a1·qn-1=2×3n-1.
3.B　【解析】结合等比数列的定义可知选项B正确.
4.　【解析】∵a2=a1q=2，　①
a5=a1q4=，　②
∴②÷①得q3=，∴q=.
合作探究
探究1　情境设置
问题1：(1)9，92，93，94，95，96，97，98.
(2)2，22，23，…，230.
(3)8，82，83，84，85，86，87，88.
问题2：对于数列(1)，从第2项起，每一项与前一项的比都等于9；对于数列(2)，从第2项起，每一项与前一项的比都等于2；对于数列(3)，从第2项起，每一项与前一项的比都等于8.
也就是说，这些数列有一个共同的特点：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个非零常数.
新知运用
例1　【解析】(1)不是等比数列；(2)是等比数列，公比为1；(3)是等比数列，公比为；(4)不是等比数列；(5)是等比数列，公比为-4；(6)不是等比数列.
巩固训练　ABC　【解析】对于A，数列不符合等比数列的定义，不是等比数列；
对于B，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等比数列；
对于C，当a=0时，不是等比数列；
对于D，该数列符合等比数列的定义，是等比数列.
探究2　情境设置
问题1：(1)累乘法：
设在等比数列{an}中，=q(n∈N+，n≥2，q为非零常数)，则=q，=q，…，=q，
将以上(n-1)个等式相乘，得··…·=qn-1(n≥2)，
整理得an=a1qn-1(n≥2)，
当n=1时，上面的式子也成立，
所以等比数列的通项公式为an=a1qn-1.
(2)归纳法：
若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，则据其定义可得，
a2÷a1=q，即a2=a1·q，
a3÷a2=q，即a3=a2·q=a1·q2，
a4÷a3=q，即a4=a3·q=a1·q3，
…
由此归纳等比数列{an}的通项公式为an=a1qn-1.
问题2：类比可得an=amqn-m.由等比数列的定义可知an=a1qn-1，am=a1qm-1，两式相除可得==q(n-1)-(m-1)=qn-m，即an=amqn-m(n，m∈N+).
新知运用
例2　【解析】(1)因为a4=a1q3=8，a1=1，
所以8=q3，解得q=2，
所以an=a1qn-1=2n-1.
(2)a1===5.
(3)因为
所以由，得q=，从而a1=32.
又an=1，所以32×n-1=1，
即26-n=20，故n=6.
巩固训练　【解析】(1)∵a3=a1q2，∴q2=4，解得q=±2，
∴an=(-2)×2n-1=-2n或an=(-2)×(-2)n-1=(-2)n.
(2)∵q==-，且a1=5，∴an=5×-n-1.
(3)由a7=a5·q2，得q2===，解得q=±，
∵an>0，∴q=，
∴an=a5·qn-5=8×n-5=n-8.
探究3　情境设置
问题：不一定，只有当两个数同号，即两个数之积大于零时，这两个数才有等比中项且有两个等比中项，这两个等比中项互为相反数.
新知运用
例3　(1)±4　(2)0或6　【解析】(1)由题意得，2与8的等比中项为±=±4.
(2)因为1，a，5成等差数列，1，b，9成等比数列，
所以a==3，b=±=±3，
所以a+b的值为0或6.
巩固训练1　B　【解析】∵b2=(-1)×(-9)=9且b与首项-1同号，∴b=-3，
∵a，c同号，∴ac=b2=9.
巩固训练2　1　【解析】由题意可知2b=a+c，且b2=ac，
∴2=ac，整理得(a-c)2=0，
∴a=c=b，∴数列a，b，c的公比为1.
探究4　情境设置
问题：类比可得aman=akal，其中m+n=k+l，m，n，k，l∈N+.
推导过程：因为am=a1qm-1，an=a1qn-1，ak=a1qk-1，al=a1ql-1，
所以aman=a1qm-1·a1qn-1=qm+n-2，akal=a1qk-1·a1ql-1=qk+l-2.
因为m+n=k+l，所以aman=akal.
新知运用
例4　【解析】(1)在等比数列{an}中，a2a4=，∴=a1a5=a2a4=，∴a1a5=.
(2)由等比数列的性质，得+2a3a5+=25，即(a3+a5)2=25，
∵an>0，∴a3+a5=5.
巩固训练　50　【解析】根据等比数列的性质可得a10a11=a9a12，所以a10a11=e5.令S=ln a1+ln a2+…+ln a20，则S=ln a20+ln a19+…+ln a1，于是2S=20ln(a1a20)=20ln(a10a11)=20ln e5=100，所以S=50.
随堂检测
1.B　【解析】由题意知a4=16=a1q3，则16=a1·23，解得a1=2.
2.D　【解析】因为a，a(1-a)，a(1-a)2，…是等比数列，所以a需满足a≠0，a(1-a)≠0，a(1-a)2≠0，所以a≠0且a≠1.
3.D　【解析】由题意得
解得(舍去)或
故a=-4.
4.1　【解析】设等比数列{an}的公比为q，由
解得或(舍去)，
所以q=，所以a7=a5q2=4×2=1.1.3.3　课时1　等比数列的前n项和公式
【学习目标】
1.掌握等比数列的前n项和公式及公式的证明思路.(逻辑推理)
2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题.(数学运算)
【自主预习】
1.如何计算公比为1的等比数列的前n项和Sn
2.当q≠1时，如何计算等比数列的前n项和Sn
3.当等比数列的公比为字母时，求{an}的前n项和要注意什么
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn=来求. (　　)
(2)若首项为a的数列既是等差数列又是等比数列，则其前n项和为Sn=na. (　　)
(3)等比数列的前n项和不可以为0. (　　)
2.在等比数列{an}中，其前n项和为Sn，若q=-，S5=11，则a1=　　　　.
3.在等比数列{an}中，已知a1=3，an=96，Sn=189，则n=　　　　.
4.已知某厂去年的产值为a，计划在5年内每年比上一年的产值增长10%，则从今年起，5年内该厂的总产值为　　　　.
【合作探究】
探究1　等比数列的前n项和公式
问题1：等比数列的前n项和公式(q≠1)的推导除了教材中用的方法，还有其他的方法吗
问题2：能否根据首项、公比(q≠1)与项数求出等比数列的前n项和
公比为q的等比数列{an}的前n项和公式
(1)Sn=等比数列的前n项和可由首项、公比和项数唯一确定；
(2)Sn=等比数列的前n项和可由首项、公比和末项唯一确定.
例1　求下列等比数列前8项的和.
(1)，…；
(2)a1=27，a9=，q<0.
【方法总结】求等比数列的前n项和，要确定首项、公比、项数或首项、末项、公比，应注意公比q是否等于1.
求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和.
探究2　等比数列前n项和公式与通项公式的综合应用
例2　在等比数列{an}中，Sn为其前n项和，q为其公比.
(1)若S2=30，S3=155，求Sn；
(2)若a1+a3=10，a4+a6=，求S5；
(3)若a1+an=66，a2an-1=128，Sn=126，求q.
【方法总结】1.在等比数列{an}的五个量a1，q，an，n，Sn中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.
2.在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q=1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论.
在等比数列{an}中，
(1)若a1=，an=16，Sn=11，求n和q；
(2)已知S4=1，S8=17，求an.
探究3　等比数列前n项和公式的实际应用
例3　中国三大名楼之一的黄鹤楼因其独特的建筑结构而闻名，其外观有五层而实际上内部有九层，隐喻“九五至尊”之意.现打算在黄鹤楼内部挂灯笼进行装饰，若在黄鹤楼内部九层塔楼共挂1 533盏灯笼，且相邻的两层中，下一层的灯笼数是上一层灯笼数的两倍，则内部塔楼的顶层应挂　　　　盏灯笼.
【方法总结】解决数列应用题时，一是明确问题属于哪类应用问题，即明确是等差数列或等比数列问题，还是含有递推关系的数列问题；二是明确是求an，还是求Sn.细胞繁殖、利率、增长率等问题一般为等比数列问题.
某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上一年减少，本年度当
地旅游业收入估计为400万元.由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增长.求n年内的总投入与n年内旅游业的总收入.
【随堂检测】
1.设数列{(-1)n}的前n项和为Sn，则Sn=(　　).
A. B.
C. D.
2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S3=a2+10a1，a5=9，则a1=(　　).
A. B.- C. D.-
3.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论.他提出让乌龟在阿基里斯前面1 000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1 000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟领先他10米；当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟领先他1米……所以阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10-2米时，乌龟爬行的总距离为(　　)米.
A. B.
C. D.
4.在等比数列{an}中，公比为q，前n项和为Sn.
(1)若a1=-8，a3=-2，求S4.
(2)若S6=315，q=2，求a1.
参考答案
1.3.3　等比数列的前n项和
课时1　等比数列的前n项和公式
自主预习
预学忆思
1.当q=1时，a1=a2=…=an，
故Sn=a1+a2+…+an=a1+a1+…+a1=na1.
2.利用公式Sn=或计算.
3.若等比数列的公比为字母，应用公式求其前n项和时要注意讨论公比是否为1，分情况选取合适的公式来解答.
自学检测
1.(1)×　(2)√　(3)×
2.16　【解析】∵S5==×a1=11，
∴a1=16.
3.6　【解析】由Sn===189，得q=2.又an=a1qn-1=3×2n-1=96，所以n=6.
4.11a(1.15-1)　【解析】因为去年的产值为a，从今年起5年内各年的产值分别为1.1a，1.12a，1.13a，1.14a，1.15a，所以1.1a+1.12a+1.13a+1.14a+1.15a=a·=11a(1.15-1).
合作探究
探究1　情境设置
问题1：有.根据等比数列的定义，有===…==q(q≠1)，
所以a2=a1q，a3=a2q，…，an=an-1q，即a2+a3+…+an=(a1+a2+…+an-1)q，
所以=q，即=q，进而可求得Sn=.
问题2：能.利用公式Sn=.
新知运用
例1　【解析】(1)因为a1=，q=，
所以S8==.
(2)由a1=27，a9=，可得=27·q8，
又由q<0，可得q=-，
所以S8====.
巩固训练　【解析】由等比数列1，2，4，…，得公比q=2，首项a1=1，∴an=1·2n-1=2n-1，
∴a5+a6+…+a10=S10-S4=-=1 008.
探究2　情境设置
例2　【解析】(1)由题意知解得或
所以Sn=×5n+1-或Sn=.
(2)由(a1+a3)q3=a4+a6，得q3=，所以q=.
又a1+a3=a1(1+q2)=10，所以a1=8，所以S5==.
(3)因为a2an-1=a1an=128，a1+an=66，所以a1，an是方程x2-66x+128=0的两个根，
得或
又Sn==126，所以q=2或q=.
巩固训练　【解析】(1)由Sn=得11=，解得q=-2，又由an=a1qn-1得16=(-2)n-1，解得n=5.
(2)若q=1，则S8=2S4，不符合题意，所以q≠1，所以S4==1，S8==17，
两式相除得=1+q4=17，解得q=2或q=-2，所以a1=或a1=-，
所以an=·2n-1或an=-·(-2)n-1.
探究3
例3　3　【解析】依题意，塔楼内部从上到下各层灯笼数构成等比数列{an}(n∈N+，n≤9)，公比q=2，前9项和为1 533，于是得S9==1 533，解得a1=3，所以内部塔楼的顶层应挂3盏灯笼.
巩固训练　【解析】由题意知，第1年投入800万元，
第2年投入800×1-万元，
……
第n年投入800×1-n-1万元，
所以每年的投入资金数构成首项为800，公比为1-的等比数列.
所以n年内的总投入Sn=800+800×1-+…+800×1-n-1=4 000×1-n万元.
由题意知，第1年旅游业的收入为400万元，
第2年旅游业的收入为400×1+万元，
……
第n年旅游业的收入为400×1+n-1万元，
所以每年的旅游业收入资金数构成首项为400，公比为1+的等比数列.
所以n年内旅游业的总收入Tn=400+400×1++…+400×1+n-1=1 600×n-1万元.
故n年内旅游业的总投入为4 000×1-n万元，总收入为1 600×n-1万元.
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1.D　【解析】Sn==.
2.C　【解析】由题意知公比q≠1，则S3==a1q+10a1，化简得q2=9，又a5=a1q4=9，所以a1=.故选C.
3.B　【解析】由题意知，乌龟每次爬行的距离构成等比数列{an}，且首项a1=100，公比q=，易知a5=10-2，则乌龟爬行的总距离为S5===(米).
4.【解析】(1)由题意可得q2===，
所以q=-或q=.
当q=-时，S4==-5；
当q=时，S4==-15.
综上所述，S4=-5或S4=-15.
(2)由题意得S6==315，解得a1=5.

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