资源简介

2.1　直线的斜率
【学习目标】
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念.(数学抽象、直观想象)
2.理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.(逻辑推理)
3.了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率.(数学运算)
【自主预习】
我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线.那么，经过一点P的直线l的位置能确定吗 如图，过一点P可以作无数条直线a，b，c，…，可见，答案是否定的.
1.a，b，c…这些直线有什么联系呢 它们的倾斜程度相同吗
2.下图中标的倾斜角α对不对
3.刻画直线倾斜程度的量，除了倾斜角，还有其他的吗 坡度是斜率吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任意一条直线都有倾斜角，都存在斜率. (　　)
(2)倾斜角为135°的直线的斜率为1. (　　)
(3)若一条直线的倾斜角为α，则它的斜率k=tan α. (　　)
(4)直线斜率的取值范围是(-∞，+∞). (　　)
2.若直线l经过原点和点(-1，1)，则它的倾斜角是(　　).
A.45° B.135°
C.45°或135° D.-45°
3.已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为(　　).
A. B. C.1 D.
4.已知坐标平面内，△ABC的三个顶点分别是A(-1，1)，B(1，1)，C(1，-1)，求直线AB，BC，AC的斜率.
【合作探究】
探究1　直线的倾斜角
小明在无聊的时候拿起一支笔，哗啦啦地转起来，他的同桌也学了起来，但手指头总是不够协调，水笔在手上还没转足半圈，就没了惯性，“啪嗒”一声掉在桌子上.
问题1：若把上图中笔的转动看成一条直线绕着一个点P转动，把点P放在坐标系内，直线在旋转的过程中，相对x轴的位置有几种情形
问题2：直线的倾斜角能不能是0° 能否大于平角
问题3：在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角吗
倾斜角的概念
(1)倾斜角
当直线l与x轴相交时，我们把x轴正向绕交点逆时针旋转到与直线l向上方向首次重合所成的角α叫作直线l的倾斜角.
(2)倾斜角的范围
当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角α=0.
直线的倾斜角α的取值范围为0≤α<π.
特别提醒：在平面直角坐标系中，每一条直线都有一个确定的倾斜角.方向相同的直线，其倾斜程度相同，倾斜角相等；方向不同的直线，其倾斜程度不同，倾斜角不相等.
例1　 设直线l过坐标原点O，它的倾斜角为α，将l绕坐标原点O逆时针旋转45°，得到直线l1，则(　　).
A.l1的倾斜角为α+45°
B.l1的倾斜角为α-135°
C.l1的倾斜角为135°-α
D.当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α+45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为α-135°
【方法总结】求直线的倾斜角的方法及注意事项
(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角.
(2)注意事项：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°；②注意直线的倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.
一条直线l与x轴相交，其向上方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　).
A.α
B.180°-α
C.180°-α或90°-α
D.90°+α或90°-α
如图，已知直线l1的倾斜角是150°，l2⊥l1，垂足为B.l1，l2与x轴分别相交于点C，A，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为　　　　.
探究2　直线的斜率
在平面直角坐标系中，设直线l的倾斜角为α.
问题1：已知直线l经过点O(0，0)，P(，1)，α与点O，P的坐标有什么关系
问题2：类似地，如果直线l经过点P1(-1，1)，P2(，0)，α与点P1，P2的坐标又有什么关系
问题3：直线l的倾斜角α与点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)有什么内在联系
1.斜率的定义
一条直线的倾斜角αα≠的正切值k称为这条直线的　　　　，即k=tan α.
2.斜率公式
如果直线经过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，那么该直线的斜率公式为k=.
3.(1)倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率.
(2)直线的倾斜角与斜率的关系
①直线的斜率与倾斜角既有区别，又有联系.它们都反映了直线的倾斜程度，本质上是一致的.但倾斜角是角度，是倾斜度的直接体现；斜率是实数，是直线倾斜度的间接反映.用斜率比用倾斜角更方便.
②倾斜角可正，可零，但不可为负，而斜率k不仅可正，可零，而且可以为负.
③当倾斜角α=90°时，直线的斜率不存在；当α≠90°时，可以建立倾斜角α与斜率k之间的函数关系式，即k=tan α(α≠90°).
例2　经过下列两点的直线的斜率是否存在 如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.
(1)A(2，3)，B(4，5)；
(2)C(-2，3)，D(2，-1)；
(3)P(-3，1)，Q(-3，10).
【方法总结】解决斜率问题的方法：(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)，利用公式k=tan α(α≠90°)解决；(2)由两点坐标求斜率，运用斜率公式k=(x1≠x2)求解.
若过点P(1，1)，Q(3，2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是　　　　.
已知点A的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B，若kAB=4，则点B的坐标为　　　　.
探究3　倾斜角与斜率的应用
问题1：一次函数的图象是什么 如何判断函数的单调性
问题2：若一次函数y=kx+b的图象为直线 l，如何求l 的斜率
如图，对照一次函数 y=kx+b的图象，可以得到：
当斜率k >0时，倾斜角α是锐角，直线从左到右上升，因变量增量y2-y1与自变量增量x2-x1同号，此时一次函数是增函数.
当斜率k < 0时，倾斜角α是钝角，直线从左到右下降，因变量增量y2-y1与自变量增量x2-x1异号，此时一次函数是减函数.
一、三点共线问题
例3　如果A2m，，B(4，-1)，C(-4，-m)三点在同一条直线上，试确定常数m的值.
【方法总结】用斜率公式解决三点共线问题时，首先要估测三点中是否任意两点的连线垂直于x轴.当任意两点的连线垂直于x轴，且过同一点时，三点共线.否则，直线的斜率存在，只要证明过同一点的两直线的斜率相等即可.
已知A(-1，-2)，B(2，1)，C(x，2)三点共线，则x=　　　　，直线AB的倾斜角为　　　　.
二、求取值范围问题
例4　过点P(0，-1)作直线l，且直线l与连接A(1，-2)，B(2，1)两点的线段总有公共点，求直线l的倾斜角α和斜率k的取值范围.
【方法总结】涉及直线与线段有交点的问题，常借助数形结合与斜率公式求解.解题时要特别注意倾斜角与90°的大小关系.
过点P(1，-2)作直线l，若直线l与连接A(0，-1)与B(2， 1)两点的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为　　　　.
【随堂检测】
1.若直线l的斜率为，则l的倾斜角为(　　).
A. B. C. D.
2.若直线l经过点A(2，-1)，B(，2)，则l的倾斜角为(　　).
A.30° B.60°
C.120° D.150°
3.若直线l的斜率为k，倾斜角为α，且α∈∪，π，则k的取值范围是　　　　.
4.已知点A(a，2)，B(5，1)，C(-4，2a)在同一条直线上，则a的值为　　　　.
参考答案
2.1　直线的斜率
自主预习
预学忆思
1.它们都经过点P，它们的倾斜程度不相同.
2.都不对.
3.有，如斜率也能刻画直线的倾斜程度.坡度不是斜率，当直线的倾斜角是锐角时，直线的斜率与坡度是类似的.
自学检测
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.B　【解析】作出直线l，如图所示，由图易知，应选B.
3.A　【解析】由题意可知，直线l的斜率k=tan 30°=.
4.【解析】已知点的坐标，可代入过两点的直线的斜率公式求斜率，但应先验证两点的横坐标是否相等.kAB==0，kAC==-1.∵B，C两点的横坐标相等，∴直线BC的斜率不存在.
合作探究
探究1　情境设置
问题1：如图，有4种情形，其中α为倾斜角.
问题2：能是0°，不能大于平角.
问题3：每一条直线都有倾斜角.
新知运用
例1　D　【解析】根据题意，画出图形，如图所示：
易知0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意.
通过画图(如图所示)可知，当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α+45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°+α-180°=α-135°.
故选D.
巩固训练1　D　【解析】如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°+α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°-α.故选D.
巩固训练2　30°　【解析】因为直线l1的倾斜角为150°，所以∠BCA=30°，所以l3的倾斜角为×(90°-30°)=30°.
探究2　情境设置
问题1：如图，
向量=(，1)，且直线OP的倾斜角为α.由正切函数的定义，得tan α==.
问题2：如图，
向量=(-1-，1-0)=(-1-，1).平移向量到，则点P的坐标为(-1-，1)，且直线OP的倾斜角也是α.由正切函数的定义，得tan α==1-.
问题3：如图，
向量=(x2-x1，y2-y1).平移向量到，则点P的坐标为(x2-x1，y2-y1)，且直线OP的倾斜角也是α.由正切函数的定义，得tan α=.
新知生成
斜率
新知运用
例2　【解析】(1)存在.直线AB的斜率kAB==1，
即tan α=1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α=45°.
(2)存在.直线CD的斜率kCD==-1，即tan α=-1，
又0°≤α<180°，所以倾斜角α=135°.
(3)不存在.因为xP=xQ=-3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α=90°.
巩固训练1　-∞，　【解析】∵直线PQ的倾斜角为钝角，∴kPQ<0，即=<0，∴a<，即实数a的取值范围是-∞，.
巩固训练2　(2，0)或(0，-8)　【解析】设B(x，0)(x≠3)或B(0，y)，
∴kAB=或kAB=，
∴=4或=4，
∴x=2或y=-8，
∴点B的坐标为(2，0)或(0，-8).
探究3　情境设置
问题1：一次函数的图象是一条直线；它的单调性根据其一次项系数来判断.
问题2：任取直线 l上两个不同的点A(x1， kx1+b)，B(x2， kx2+b).
由直线斜率公式可知， l的斜率为==k.
新知运用
例3　【解析】由于A，B，C三点所在直线不可能垂直于x轴，因此可设直线AB，BC的斜率分别为kAB，kBC，
由斜率公式，得kAB==，kBC==.
∵点A，B，C在同一条直线上，∴kAB=kBC，
即=，整理得m2-3m-12=0，解得m1=，m2=.
∴常数m的值是或.
巩固训练　3　　【解析】因为A(-1，-2)，B(2，1)，C(x，2)三点共线，所以kAB=kBC，即=，解得x=3.设直线AB的倾斜角为θ，由tan θ=1得θ=，所以直线AB的倾斜角为.
例4　【解析】如图所示，连接PA，PB，因为kPA==-1，kPB==1，且l与线段AB相交，
所以kPA≤k≤kPB，即-1≤k≤1，
所以-1≤tan α≤1.
因为y=tan x在及上均为增函数，
所以直线l的倾斜角α的取值范围为0，∪.
故斜率k的取值范围是[-1，1]，倾斜角α的取值范围是0，∪.
巩固训练　(-∞，-1]∪[3，+∞)　【解析】如图所示，连接PA，PB，此时直线PA和直线PB均与线段AB相交，
又kPA==-1，kPB==3，
由题意知直线l的斜率存在，根据直线的倾斜角与斜率k的关系知，
满足条件的直线l的斜率k的取值范围为(-∞，-1]∪[3，+∞).
随堂检测
1.C　【解析】设直线l的倾斜角为α，则tan α=，
又∵α∈[0，π)，∴α=.故选C.
2.C　【解析】因为l经过点A(2，-1)，B(，2)，
所以k==-=tan α，故α=120°.
3.[-，0)∪，1　【解析】∵α∈，∪，π，当≤α<时，≤tan α<1，∴≤k<1.当≤α<π时，-≤tan α<0，∴-≤k<0.∴k∈[-，0)∪，1.
4.2或　【解析】∵5≠-4，∴A，B，C三点所在直线的斜率存在，
∴kAB==，kBC==.
∵点A，B，C在同一直线上，∴kAB=kBC，
∴=，解得a=2或a=.

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