资源简介

2.2.2　直线的两点式方程
【学习目标】
1.掌握直线的两点式方程的形式、特点及适用范围.(直观想象)
2.了解直线的截距式方程的形式、特点及适用范围.(逻辑推理)
【自主预习】
1.已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2，如何求直线P1P2的方程
2.式子y-y1=(x-x1)与=等价吗 能表示过任意两点的直线方程吗
3.若P1(0，b)，P2(a，0)，且a≠0，b≠0，如何求直线P1P2的方程
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)斜率不存在的直线有两点式方程. (　　)
(2)过原点的直线没有截距式方程. (　　)
(3)过点(x1，y1)，(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)的直线的两点式方程是=. (　　)
2.过(1，1)，(2，-1)两点的直线方程为(　　).
A.y=2x-1　　　　　　 B.y=x+
C.y=-2x+3　　　　　　 D.y=-x+
3.直线-=1在两坐标轴上的截距之和为　　　　.
4.已知直线l的两点式方程为=，则直线l的斜率为　　　　.
【合作探究】
探究1　直线的两点式方程
某区商业中心O有通往东、西、南、北的四条大街，某公园位于东大街北侧、北大街东侧P处，如图所示.公园到东大街、北大街的垂直距离分别为1 km和4 km.现在要在公园前修建一条直线大道分别与东大街、北大街交会于A，B两处，并使该区商业中心O到A，B两处的距离之和最短.
问题1：在上述问题中，实际上解题的关键是确定直线AB，那么直线AB的方程确定后，点A，B能否确定
问题2：若给定A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，是否就可以用两点式写出直线AB的方程
问题3：直线的两点式方程能用=(x1≠x2，y1≠y2)代替吗
问题4：过点(1，3)和(1，5)的直线能用两点式表示吗 为什么 过点(2，3)，(5，3)的直线呢
问题5：方程=和方程(y-y1)·(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)的适用范围相同吗
直线的两点式方程
名称 两点式方程
已知条件 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)
示意图
直线方程 (y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0
适用范围 任意两点
若x1≠x2，y1≠y2，则两点式方程也可以写成=.
例1　已知△ABC的三个顶点分别为A(2，-1)，B(2，2)，C(4，1)，求△ABC三条边所在直线的方程.
【方法总结】当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，若两点的连线不垂直于坐标轴，则考虑用两点式的分式形式求方程.
若点P(3，m)在过点A(2，-1)，B(-3，4)的直线上，则m=　　　　.
已知直线经过点A(1，0)，B(m，1)，求这条直线的方程.
探究2　直线的截距式方程
问题1：怎样理解直线的截距式方程
问题2：方程-=1和+=-1都是直线的截距式方程吗
直线的截距式方程
名称 截距式方程
已知条件 在x轴、y轴上的截距分别为a，b，且a≠0，b≠0
示意图
直线方程 +=1
适用范围 斜率存在且不为零，不过原点
(1)截距式方程等号左边以“+”相连，等号右边是1.
(2)a叫作直线在x轴上的截距，a∈R，且a≠0，不一定有a>0.
例2　求过点(4，-3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程.
【方法总结】(1)若问题中涉及直线与两坐标轴相交，则可考虑选用直线的截距式方程，用待定系数法确定其系数即可.
(2)选用直线的截距式方程时，必须首先考虑直线是否过原点以及是否与两坐标轴垂直的情况.
求过点A(5，2)且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍的直线l的方程.
探究3　截距式方程的应用
例3　直线l过点P，2，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点.是否存在同时满足下列条件的直线l
(1)△AOB的面积为6；
(2)△AOB的周长为12.
若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
【方法总结】直线的截距式方程是两点式方程的特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点，记为(a，0)，(0，b))，用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的图形面积或周长时较为方便，直线与坐标轴围成的三角形的面积S=|a|·|b|.
已知定点P(-4，2).
(1)求过点P且在两坐标轴上截距相等的直线方程；
(2)若直线l过点P且交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，记△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值，并求此时直线l的方程.
【随堂检测】
1.过P1(2，0)，P2(0，3)两点的直线方程是(　　).
A.+=0 B.+=0
C.+=1 D.-=1
2.过点A(3，2)，B(4，3)的直线方程是(　　).
A.y=-x-1 B.y=-x+1
C.y=x+1 D.y=x-1
3.若直线3x-4y+k=0在两坐标轴上的截距之和为2，则实数k=　　　　.
4.求过点A(5，2)，且在坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程.
参考答案
2.2.2　直线的两点式方程
自主预习
预学忆思
1.先求得直线P1P2的斜率k=，然后利用点斜式得直线P1P2的方程为y-y1=(x-x1).
2.当且仅当x1≠x2，y1≠y2时等价.不能，当且仅当x1≠x2，y1≠y2时成立.
3.利用点斜式可求得y=-x+b，即+=1.
自学检测
1.(1)√　(2)√　(3)×
2.C　【解析】∵直线过两点(1，1)和(2，-1)，∴直线的两点式方程为=，整理得y=-2x+3.
3.-1　【解析】由方程知直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为-5，故截距之和为4+(-5)=-1.
4.-　【解析】由题意知直线l过点(-5，0)，(3，-3)，
所以l的斜率为=-.
合作探究
探究1　情境设置
问题1：可以确定.
问题2：(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0，可以表示任何直线，包括与坐标轴垂直的直线.
问题3：方程=所表示的图形不含点(x1，y1)，故不能表示整条直线，故不能用其代替两点式方程.
问题4：能，两点式方程(y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)(y-y1)=0适合过任意两点的直线.过点(2，3)，(5，3)的直线也能用两点式表示.
问题5：不同.前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线.后者为整式形式方程，适用于过任意两点的直线方程.
新知运用
例1　【解析】∵A(2，-1)，B(2，2)，∴A，B两点的横坐标相同，直线AB与x轴垂直，故其方程为x=2.
∵A(2，-1)，C(4，1)，∴由直线的两点式方程可得直线AC的方程为=，即y=x-3.
同理，可由直线的两点式方程得直线BC的方程为=，即y=-x+3.
∴三边AB，AC，BC所在的直线方程分别为x=2，y=x-3，y=-x+3.
巩固训练1　-2　【解析】由直线的两点式方程，
得直线AB的方程为=，即=，
∴直线AB的方程为y+1=-x+2.
∵点P(3，m)在直线AB上，
∴m+1=-3+2，解得m=-2.
巩固训练2　【解析】直线经过点A(1，0)，B(m，1)，利用两点式，可得直线方程为(1-0)(x-1)-(m-1)(y-0)=0，即x-(m-1)y-1=0.
探究2　情境设置
问题1：①由截距式方程可以直接得到直线在x轴与y轴上的截距.
②由截距式方程可知，截距式方程只能表示在x轴、y轴上的截距都存在且不为0的直线，因此，截距式不能表示过原点的直线、与x轴垂直的直线、与y轴垂直的直线.
③过原点的直线可以表示为y=kx；与x轴垂直的直线可以表示为x=x0；与y轴垂直的直线可以表示为y=y0.
问题2：都不是截距式方程.截距式方程的特点有两个，一是中间必须用“+”号连接，二是等号右边为1.
新知运用
例2　【解析】(法一)设直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b.
①当a≠0，b≠0时，设直线l的方程为+=1.
∵点(4，-3)在直线l上，∴+=1，
若a=b，则a=b=1，此时直线l的方程为y=-x+1.
若a=-b，则a=7，b=-7，此时直线l的方程为y=x-7.
②当a=b=0时，直线l过原点，且过点(4，-3)，
∴直线l的方程为3x+4y=0.
综上可知，所求直线l的方程为y=-x+1或y=x-7或3x+4y=0.
(法二)设直线l的方程为y+3=k(x-4)，
令x=0，得y=-4k-3；令y=0，得x=.
∵直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等，
∴|-4k-3|=，
解得k=1或k=-1或k=-，
∴所求直线l的方程为y=x-7或y=-x+1或3x+4y=0.
巩固训练　【解析】由题意知，当直线l在坐标轴上的截距均为零时，
直线l的方程为y=x；
当直线l在坐标轴上的截距不为零时，
设l的方程为+=1，
将点(5，2)的坐标代入方程得+=1，解得a=，
所以直线l的方程为x+2y-9=0.
综上可知，所求直线l的方程为y=x或x+2y-9=0.
探究3
例3　【解析】设直线l的方程为+=1(a>0，b>0)，
因为直线l过点P，2，所以+=1.　①
又ab=12，　②
联立①②，解得或
当a=4，b=3时，|OA|=4，|OB|=3，则|AB|=5，C△AOB=12，符合条件(2)；
当a=2，b=6时，|OA|=2，|OB|=6，则|AB|=2，C△AOB=8+2，不符合条件(2).
所以存在同时满足(1)，(2)的直线l，且直线l的方程为+=1，即3x+4y-12=0.
巩固训练　【解析】(1)当截距为0时，设直线的方程为y=kx，
因为直线过点P(-4，2)，则2=-4k，
解得k=-，所以直线的方程为y=-x；
当截距相等且不为0时，设直线的方程为+=1，
因为直线过点P(-4，2)，所以a=-2，
则直线方程为x+y+2=0.
所以所求直线的方程为y=-x或x+y+2=0.
(2)由题意可知，直线l的截距不为0，斜率存在且k>0，
设直线l的方程为y-2=k(x+4)，
令x=0，则y=4k+2，令y=0，则x=-，
则S△AOB=|x|y=·==8k++8≥2+8=16，
当且仅当8k=，即k=时，等号成立.
所以S的最小值为16，此时直线l的方程为x-2y+8=0.
随堂检测
1.C　【解析】由截距式方程知，所求直线的方程为+=1.
2.D　【解析】由直线的两点式方程，得=，化简得y=x-1.
3.-24　【解析】令x=0，得y=；令y=0，得x=-.由-=2，得k=-24.
4.【解析】(法一)①当直线l在坐标轴上的截距均为0时，方程为y=x，即2x-5y=0；
②当直线l在坐标轴上的截距不为0时，
可设直线l的方程为+=1，即x-y=a，
∵直线l过点A(5，2)，∴5-2=a，得a=3，
∴直线l的方程为x-y-3=0.
综上所述，直线l的方程是2x-5y=0或x-y-3=0.
(法二)由题意知直线l的斜率一定存在.
设直线l的点斜式方程为y-2=k(x-5)，
当x=0时，y=2-5k，当y=0时，x=5-.
根据题意得2-5k=-5-，解得k=或k=1.
当k=时，直线l的方程为y-2=(x-5)，即2x-5y=0；
当k=1时，直线l的方程为y-2=1×(x-5)，即x-y-3=0.
故直线l的方程是2x-5y=0或x-y-3=0.2.2.1　直线的点斜式方程
【学习目标】
1.了解由斜率公式推导直线的点斜式方程的过程.(逻辑推理、直观想象)
2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.(逻辑推理)
3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关问题.(数学运算)
【自主预习】
1.确定一条直线的几何要素是什么
2.已知直线上一点P0(x0，y0)与这条直线的斜率k，我们能否将直线上的一点P(x，y)满足的关系表示出来
3.直线的点斜式方程y-y0=k(x-x0)也可写成k=，对吗
4.在式子y=kx+b中，k，b的几何意义是什么
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线y-3=m(x+1)恒过点(-1，3). (　　)
(2)直线y=2x+3在y轴上的截距为3. (　　)
(3)经过点P(x0，y0)且斜率不存在的直线的方程为x=x0. (　　)
2.已知直线的方程为y+3=-(x-1)，则(　　).
A.该直线过点(-1，-3)，斜率为-1
B.该直线过点(-1，-3)，斜率为1
C.该直线过点(1，-3)，斜率为-1
D.该直线过点(1，-3)，斜率为1
3.已知过点A(，1)的直线l的倾斜角为60°，则直线l的方程为(　　).
A.y=-x+4 B.y-1=(x-)
C.y=-x-4 D.y-1=(x+)
4.已知直线l的倾斜角为60°，且在y轴上的截距为-2，则直线l的方程为(　　).
A.y=x+2 B.y=-x+2
C.y=-x-2 D.y=x-2
【合作探究】
探究1　直线的点斜式方程
斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足.若以桥面所在直线为x轴，索塔所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则斜拉索可看成过索塔上同一点的直线.
问题1：已知某一斜拉索过索塔上一点B，那么该斜拉索的位置确定吗
问题2：若某条斜拉索过点B(0，b)，斜率为k，则该斜拉索所在直线上的点P(x，y)满足什么条件 该直线的方程是什么
问题3：直线的点斜式方程的前提条件是什么
问题4：当k取任意实数时，方程y-y0=k(x-x0)表示的直线有何特征
问题5：如果直线l过点P0(x0，y0)且垂直于x轴，此时的直线方程是什么
1.点斜式：方程y-y0=k(x-x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫作直线的点斜式方程，简称点斜式.
2.特殊的直线方程
若直线l过定点P(x0，y0)，当直线l的倾斜角为90°时，l没有斜率，则l不能用点斜式方程表示，此时l与x轴垂直，方程为x=x0.
例1　根据条件写出下列直线的点斜式方程：
(1)过点A(-4，3)，斜率k=3；
(2)过点B(-1，4)，倾斜角为135°；
(3)过点C(-1，2)，且与y轴平行.
【方法总结】(1)求直线的点斜式方程的步骤
(2)当直线的斜率不存在时，过点P(x0，y0)的直线与x轴垂直，直线上所有点的横坐标相等，都为x0，故直线方程为x=x0.
求满足下列条件的直线的点斜式方程：
(1)过点D(1，1)，且与x轴平行；
(2)过A(1，3)，B(2，5)两点.
探究2　直线的斜截式方程
问题：直线l的斜率为k，且过点P(0，b)，求直线l的方程.
我们把直线l：y=kx+b与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫作直线l在y轴上的截距.方程y=kx+b由直线的斜率k与在y轴上的截距b确定，因此我们把方程y=kx+b叫作直线的斜截式方程，简称斜截式.
特别提醒：(1)倾斜角是直角的直线没有斜截式方程.
(2)斜截式方程应用的前提是直线的斜率存在.
(3)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0.
例2　根据条件写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是-2.
【方法总结】(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示.
(2)直线的斜截式方程y=kx+b中只有两个参数，因此要确定直线方程，只需知道参数k，b的值即可.
求倾斜角是直线y=-x+1的倾
斜角的，且在y轴上的截距是-5的直线方程.
探究3　含参数的直线方程的几何特征
例3　已知直线l：y=ax+，a∈R.求证：无论a为何值，直线l必经过第一象限.
【方法总结】含参数k的直线y-y0=k(x-x0)恒过点(x0，y0).
已知直线l：y=kx+k-3，则直线l恒过点(　　).
A.(1，3)
B.(-1，-3)
C.(3，1)
D.(-3，-1)
【随堂检测】
1.过点P(0，1)且斜率为2的直线的方程为(　　).
A.y=-2x+1
B.y=2x+1
C.y=-x+1
D.y=x+1
2.直线y+2=k(x+1)恒过点(　　).
A.(2，1)
B.(-2，-1)
C.(-1，-2)
D.(1，2)
3.经过点(-1，1)，斜率是直线y=x-2的斜率的2倍的直线的方程是(　　).
A.x=-1
B.y=1
C.y-1=(x+1)
D.y-1=2(x+1)
4.已知直线l的方程为y+=(x-1)，则l在y轴上的截距为　　　　.
参考答案
2.2.1　直线的点斜式方程
自主预习
预学忆思
1.①一点和斜率，可以确定一条直线；②两点，可以确定一条直线.
2.能，当x≠x0时，根据斜率公式=k可知点P(x，y)满足的关系式为y-y0=k(x-x0)；当x=x0时，点P(x，y)满足的关系式为x=x0，y=y0.
3.不对.前者含点(x0，y0)，后者不含点(x0，y0).
4.k是直线y=kx+b的斜率，b是直线y=kx+b在y轴上的截距(纵截距).
自学检测
1.(1)√　(2)√　(3)√
2.C　【解析】因为直线的方程为y+3=-(x-1)，所以直线的斜率为-1，且当x=1时，y=-3，故直线过点(1，-3).
3.B　【解析】因为直线l的倾斜角为60°，所以直线l的斜率k=，又直线过点A(，1)，由直线方程的点斜式可得直线l的方程为y-1=(x-).
4.D　【解析】∵α=60°，∴k=tan 60°=，∴直线l的方程为y=x-2.
合作探究
探究1　情境设置
问题1：不确定，从一点可引出多条斜拉索.
问题2：满足y-b=kx.该直线的方程为y-b=kx.
问题3：过一点P(x0，y0)和斜率存在.只有这两个条件都具备，才可以写出直线的点斜式方程.
问题4：方程y-y0=k(x-x0)表示恒过点(x0，y0)的无数条直线.
问题5：当l与x轴垂直时，它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时直线方程表示为x=x0，如图所示.
新知运用
例1　【解析】(1)由点斜式方程可知，所求直线方程为y-3=3[x-(-4)].
(2)由题意知，直线的斜率k=tan 135°=-1，故所求直线的点斜式方程为y-4=-[x-(-1)].
(3)∵直线与y轴平行，∴斜率不存在.由于直线上所有点的横坐标都是-1，故这条直线的方程为x=-1，该直线没有点斜式方程.
巩固训练　【解析】(1)由题意可知直线的斜率为0，∴所求直线的点斜式方程为y-1=0×(x-1)，即y-1=0.
(2)∵k==2，
∴所求直线的点斜式方程为y-3=2(x-1).
探究2　情境设置
问题：y=kx+b.
新知运用
例2　【解析】(1)由直线方程的斜截式可知，所求直线的方程为y=2x+5.
(2)因为直线的倾斜角α=150°，所以其斜率k=tan 150°=-，由斜截式可得所求直线的方程为y=-x-2.
巩固训练　【解析】∵直线y=-x+1的斜率k=-，∴其倾斜角α=120°，由题意，得所求直线的倾斜角α1=α=30°，故所求直线的斜率k1=tan 30°=，
又∵所求直线在y轴上的截距为-5，
∴所求直线的方程为y=x-5.
探究3
例3　【解析】因为y=ax+=ax-+，
所以直线l恒过点，.
因为点，位于第一象限，
所以直线l必经过第一象限.
巩固训练　B　【解析】y=kx+k-3可变形为y+3=k(x+1)，由直线的点斜式方程可得直线l恒过点(-1，-3).
随堂检测
1.B　【解析】已知直线的斜率为2，且直线过点P(0，1)，则用斜截式得到该直线方程为y=2x+1.
2.C　【解析】由直线的点斜式方程可得直线恒过点(-1，-2).
3.C　【解析】因为已知直线的斜率为，所以所求直线的斜率是.由直线的点斜式方程可得所求直线的方程为y-1=(x+1).
4.-9　【解析】由y+=(x-1)，得y=x-9，
∴l在y轴上的截距为-9.2.2.3　课时1　直线的一般式方程
【学习目标】
1.掌握直线的一般式方程.(逻辑推理)
2.理解关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(A，B不同时为0)都表示直线.(直观想象)
3.会进行直线方程的五种形式之间的相互转化.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.前两节我们学习了直线方程的四种形式，你能写出这四种形式吗
2.我们学习过四种表示直线的方程，它们有怎样的区别与联系
3.平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗 为什么
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若方程Ax+By+C=0表示直线，则A≠0. (　　)
(2)若方程Ax+By+C=0表示直线，则B≠0. (　　)
(3)若方程Ax+By+C=0表示直线，则A2+B2≠0. (　　)
2.在平面直角坐标系中，直线x+y-3=0的倾斜角是(　　).
A.30° B.60° C.120° D.150°
3.经过点A(8，-2)，斜率为-2的直线方程为(　　).
A.x+2y-4=0 B.x-2y-12=0
C.2x+y-14=0 D.x+2y+4=0
4.已知直线l的倾斜角为60°，在y轴上的截距为-4，则直线l的点斜式方程为　　　　　　　，截距式方程为　　　　　　　，斜截式方程为　　　　　　　，一般式方程为　　　　　　　.
【合作探究】
探究1　一般式方程
问题1：观察下列直线方程：直线l1：y-2=3(x-1)；直线l2：y=3x+2；直线l3：=；直线l4：+=1.
上述形式的直线方程能化成二元一次方程Ax+By+C=0的形式吗
问题2：每一个关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(A，B不同时为零)都能表示一条直线吗 为什么
问题3：在方程Ax+By+C=0(A，B不同时为零)中，A，B，C为何值时，方程表示的直线：①平行于x轴 ②平行于y轴 ③与x轴重合 ④与y轴重合
问题4：二元一次方程与直线的关系是什么
直线的一般式方程
定义：关于x，y的二元一次方程都表示一条直线，我们把关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A，B不同时为0)叫作直线的一般式方程，简称一般式.
适用范围：平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示.
系数的几何意义：
①当B≠0时，斜率k=-，在y轴上的截距为-；
②当B=0，A≠0时，斜率不存在，在x轴上的截距为-.
解题时，若无特殊说明，应把求得的直线方程化为一般式.
例1　根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：
(1)斜率是-，且经过点A(8，-2)；
(2)经过点B(4，2)，且平行于x轴；
(3)在x轴和y轴上的截距分别是，-3；
(4)经过点P1(3，-2)和点P2(5，-4).
【方法总结】在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的方法还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式.在利用直线方程的四种特殊形式时，一定要注意其适用的前提条件.
根据下列条件分别写出直线的一般式方程：
(1)经过A(5，7)，B(1，3)两点；
(2)经过点(-4，3)，斜率为-3；
(3)经过点(2，1)，平行于y轴；
(4)斜率为2，在x轴上的截距为1.
探究2　直线的一般式方程的应用
例2　在△ABC中，A(4，2)，B，C两点分别在x轴与y轴上，且直线AB在y轴上的截距为1，直线AC的倾斜角为45°.求：
(1)直线AB，AC的方程；
(2)△ABC的面积S.
【方法总结】含参数的直线方程的研究策略
(1)若方程Ax+By+C=0表示直线，则需满足A，B不同时为0.
(2)令x=0，可得直线在y轴上的截距.令y=0，可得直线在x轴上的截距.若确定直线的斜率存在，则可将一般式化为斜截式.
(3)解分式方程要注意验根.
设直线l的方程为(m2-2m-3)x-(2m2+m-1)y+6-2m=0.根据下列条件分别确定m的值：
(1)直线l在x轴上的截距为-3；
(2)直线l的斜率为1.
例3　已知直线l：5ax-5y-a+3=0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限.
(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围.
【方法总结】
(1)要证直线l总经过某一象限，只需证直线l总经过该象限内的一个定点即可.
(2)要证直线l不经过某一象限，可将该直线方程转化为斜截式后，借助于数形结合的方法确定斜率与截距的符号.
已知直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值；
(2)若l不经过第二象限，求a的取值范围.
【随堂检测】
1.直线+=1的一般式方程为(　　).
A.y=-x+4　　　　　B.y=-(x-3)
C.4x+3y-12=0 D.4x+3y=12
2.(多选题)下列结论正确的有(　　).
A.直线l：x+y+1=0在x轴上的截距为-1
B.如果AB<0，BC<0，那么直线Ax+By+C=0不经过第三象限
C.过点(3，2)且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为x+y-5=0
D.直线kx+y-2k-1=0必定经过点(2，1)
3.斜率为2，且经过点A(1，3)的直线的一般式方程为　　　　.
4.若直线(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5m=0的倾斜角是45°，则实数m的值是　　　　.
参考答案
2.2.3　直线的一般式方程
课时1　直线的一般式方程
自主预习
预学忆思
1.①点斜式方程为y-y0=k(x-x0)；②斜截式方程为y=kx+b；③两点式方程为=(x2≠x1，y2≠y1)或(x-x1)(y2-y1)-(x2-x1)(y-y1)=0；④截距式方程为+=1(a≠0，b≠0).
2.区别：四种方程是通过已知不同类型的几何要素推导出来的，方程的应用条件不同，呈现的表达形式也不同.
联系：四种方程的推导均可以直接将直线上任意点的几何特征利用几何要素的代数形式进行刻画，得到直线的代数表示，即直线上点的横、纵坐标x，y之间的关系，且部分方程有限制条件.
3.都可以，原因如下：①当直线和y轴相交于点(0，b)时，倾斜角α≠，直线的斜率k存在，直线可表示成y=kx+b，可转化为kx+(-1)y+b=0，这是关于x，y的二元一次方程.
②当直线和y轴平行(包含重合)时，倾斜角α=，直线的斜率k不存在，不能用y=kx+b表示，而只能表示成x-a=0，它可以认为是关于x，y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0.
自学检测
1.(1)×　(2)×　(3)√
2.D　【解析】因为直线的斜率k=-，所以直线的倾斜角为150°.故选D.
3.C　【解析】由题意得，经过点A(8，-2)，斜率为-2的直线方程为y+2=-2(x-8)，即2x+y-14=0.
4.y+4=(x-0)　+=1　y=x-4　x-y-4=0　【解析】由题意可得，直线l的点斜式方程为y+4=(x-0)，截距式方程为+=1，斜截式方程为y=x-4，一般式方程为x-y-4=0.
合作探究
探究1　情境设置
问题1：都能化成二元一次方程的形式.
问题2：能表示一条直线，理由如下：当B≠0时，方程Ax+By+C=0可变形为y=-x-，它表示过点0，-，斜率为-的直线；
当B=0时，方程Ax+By+C=0变成Ax+C=0，即x=-，它表示与y轴平行或重合的一条直线.
问题3：当A=0，B≠0时，方程变为y=-，当C≠0时，表示的直线平行于x轴，当C=0时，表示的直线与x轴重合；当A≠0，B=0时，方程变为x=-，当C≠0时，表示的直线平行于y轴，当C=0时，表示的直线与y轴重合.
问题4：①二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合就组成了一条直线.
②二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的，因此直线的一般式方程可以表示坐标平面内的任意一条直线.
新知运用
例1　【解析】(1)由点斜式，得直线的方程为y-(-2)=-(x-8)，即x+2y-4=0.
(2)由斜截式，得直线的方程为y=2，即y-2=0.
(3)由截距式，得直线的方程为+=1，即2x-y-3=0.
(4)由两点式，得直线的方程为=，即x+y-1=0.
巩固训练　【解析】(1)由两点式，得直线的方程为=，即x-y+2=0.
(2)由点斜式，得直线的方程为y-3=-3(x+4)，
即3x+y+9=0.
(3)由题意知，直线的方程为x=2，即x-2=0.
(4)由点斜式，得直线的方程为y=2(x-1)，
即2x-y-2=0.
探究2
例2　【解析】(1)设直线AB在y轴上的交点为D.因为直线AB在y轴上的截距为1，所以其过点D(0，1)，
所以直线AB的方程为=，化简得y=x+1，
故直线AB的方程为x-4y+4=0.
由题意知直线AC的斜率k=tan 45°=1，
所以直线AC的方程为y-2=x-4，
化简得x-y-2=0.
(2)由(1)知，直线AB的方程为x-4y+4=0，
令y=0，得x=-4，故B(-4，0).
直线AC的方程为x-y-2=0，
令x=0，得y=-2，故C(0，-2).
所以S=S△ACD+S△BCD=|CD|×4+|CD|×4=4|CD|=12.
巩固训练　【解析】(1)由题意知m2-2m-3≠0，即m≠3且m≠-1.令y=0，得x=，
∴=-3，解得m=-.
(2)由题意知，2m2+m-1≠0，即m≠且m≠-1.
将直线l的方程化为斜截式方程，得y=x+，则=1，解得m=-2.
例3　【解析】(1)将直线l的方程整理为y-=a，
∴直线l的斜率为a，且过定点A，又点A在第一象限，∴不论a为何值，直线l总经过第一象限.
(2)直线OA的斜率kOA==3.
如图所示，要使l不经过第二象限，只需斜率a≥kOA=3.
∴a≥3，即a的取值范围是[3，+∞).
巩固训练　【解析】(1)①当a=-1时，直线l的方程为y+3=0，显然不符合题意.
②当a≠-1时，令x=0，则y=a-2，
令y=0，则x=.
∵l在两坐标轴上的截距相等，
∴a-2=，
解得a=2或a=0，
经检验均是方程的解.
综上，a的值为2或0.
(2)直线l的方程可化为y=-(a+1)x+a-2，故要使l不经过第二象限，只需解得a≤-1.
故a的取值范围为(-∞，-1].
随堂检测
1.C　【解析】将直线的截距式方程+=1化成一般式方程，得到4x+3y-12=0.
2.AD　【解析】直线l：x+y+1=0中，令y=0，得x=-1，A正确；不妨设A=1，B=-1，C=1，满足条件，此时直线方程为x-y+1=0，直线经过第一、二、三象限，B错误；当直线在x轴、y轴上的截距均为0时，设直线的方程为y=kx，将点(3，2)的坐标代入，得3k=2，解得k=，即y=x也满足在x轴、y轴上的截距相等，C错误；直线方程kx+y-2k-1=0可变形为y-1=-k(x-2)，故该直线必定经过点(2，1)，D正确.
3.2x-y+1=0　【解析】由直线的点斜式方程可得y-3=2(x-1)，化成一般式为2x-y+1=0.
4.3　【解析】∵已知直线的倾斜角为45°，∴该直线的斜率存在且为1，可得解得m=3.2.2.3　课时2　直线的方向向量与法向量
【学习目标】
1.了解直线的方向向量与法向量.(数学抽象、直观想象)
2.会利用直线的方向向量与法向量求直线的方程.(数学抽象、逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.什么是直线l的方向向量 它与斜率k有什么关系
2.直线l的方向向量v唯一吗 为什么
3.直线的法向量与直线的方向向量有什么关系 直线的法向量是唯一的吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直线y=kx+b的全体方向向量为(k，1). (　　)
(2)直线y=kx+b的一个法向量为(k，-1). (　　)
2.若直线过A(0，1)，B(2，-1)两点，则下列不是直线的方向向量的是(　　).
A.(2，-2) B.(-2，2)
C.(0，1) D.(1，-1)
3.在平面直角坐标系中，直线l的倾斜角是60°，则直线l的全体方向向量为(　　)(其中λ≠0).
A.λ(，1) B.λ(1，)
C.λ，-1 D.λ-1，
4.已知直线l的一个方向向量为(3，4)，且过点(-1， 2)，则直线l的点斜式方程为　　　　.
【合作探究】
探究1　直线的方向向量
问题1：求直线y=-2x+1的全体方向向量.
问题2：求直线Ax+By+C=0(A，B不能同时为0)的全体方向向量.
1.直线的方向向量
与直线l平行的非零向量v都称为l的方向向量，用它们来表示直线的方向.
直线l的方向向量v并不唯一，v的所有的非零实数倍λv都是方向向量.反过来，所有的方向向量都与 l 平行，因此它们相互平行，互为实数倍.
2.斜率为k的直线的方向向量
斜率为k的直线的方向向量为(1， k)的非零实数倍.
3.直线一般式的方向向量
直线Ax+By+C=0的全体方向向量为λ(-B，A)，其中λ为任意非零实数.
例1　(1)求直线2x+2y-1=0的全体方向向量.
(2)已知直线l的一个方向向量为，且经过点P(2，-1)，求直线l的方程.
【方法总结】求直线的方向向量可以化为点斜式，也可以根据一般式的直线的方向向量公式求解.此外，倾斜角为α的直线的一个方向向量为(cos α， sin α).已知方向向量求直线方程，可根据方向向量与直线的关系，求出斜率，再根据条件写出直线方程.
写出直线2x+y+1=0的一个方向向量：m=　　　　.
探究2　直线的法向量
问题1：求直线y=kx+b的法向量.
问题2：类比直线l：Ax+By+C=0(A，B不同时为0)的方向向量，推导直线l的法向量.
1.直线的法向量
与直线l：Ax+By+C=0(A，B不同时为0)垂直的非零向量(A，B)称为直线l的一个法向量.
2.点斜式与一般式的法向量
(1)斜率为k的直线的一个法向量为(k，-1).
(2)直线方程 Ax+By+C=0 (A， B不同时为0)的法向量为(A，B).
例2　过点(2，-1)且法向量为(2，-1)的直线方程是　　　　.
【方法总结】过点P(x0，y0)，且其一个法向量为(A，B)的直线方程是A(x-x0)+B(y-y0)=0.
已知点A(3，2)和点B(-1，-4)，则线段AB的垂直平分线方程为　　　　.
【随堂检测】
1.若直线l的倾斜角等于135°，则直线l的一个方向向量是(　　).
A.(1，-1) B.(1，1)
C.(2，-) D.(3，)
2.直线3x+4y-1=0的一个单位方向向量是(　　).
A.(3，-4)
B.(-4，3)
C.-
D.，-
3.过点A(-1，5)且以n=(-2，-1)为法向量的直线方程为　　　　.
4.已知直线l过点P(-1，2)，Q(2，-2)，求直线l的法向量及方程.
参考答案
课时2　直线的方向向量与法向量
自主预习
预学忆思
1. 与直线l平行的非零向量v都称为l的方向向量；斜率为k的直线的方向向量为(1，k)的非零实数倍.
2. 直线l的方向向量v并不唯一，因为v的所有非零实数倍λv都是方向向量.
3. 直线的法向量与直线的方向向量垂直；直线的法向量不唯一.
自学检测
1.(1)×　(2)√
2.C　【解析】若直线过A(0，1)，B(2，-1)两点，则=(2，-2)，则(0，1)不是直线的方向向量，故选C.
3.B　【解析】因为直线l的倾斜角是60°，所以该直线的斜率k=，所以直线l的全体方向向量为λ(1，)，故选B.
4.y-2=(x+1)　【解析】因为直线l的一个方向向量为(3，4)，所以直线l的斜率为，
所以直线l的点斜式方程为y-2=(x+1).
合作探究
探究1　情境设置
问题1：由题意知，直线的斜率k=-2，所以直线y=-2x+1的全体方向向量为λ(1，-2)(其中λ≠0，且λ∈R).
问题2：直线上任意两点P(x0，y0)，Q(x，y)的坐标满足等式：
Ax0+By0+C=0，　①
Ax+By+C=0.　②
由②-①得A(x-x0)+B(y-y0)=0.　③
当P，Q两点不重合时，=(x-x0，y-y0)代表了直线的全体方向向量，将③式的左边写成数量积的形式，得(A，B)·(x-x0，y-y0)=0.　④
由④可知，与向量(A，B)垂直，因此这条直线与向量(A，B)垂直.
又向量(-B，A)与向量(A，B)垂直，所以(-B，A)是直线的一个方向向量，故直线的全体方向向量为λ(-B，A)，其中λ为任意非零实数.
新知运用
例1　【解析】(1)(法一)直线方程2x+2y-1=0可变形为y=-x+，
所以直线的斜率k=-，
所以向量(1，-)为直线的一个方向向量，
故该直线的全体方向向量为λ(1，-)(λ为任意非零实数).
(法二)根据一般式的方向向量可得直线2x+2y-1=0的全体方向向量为λ(-2，2)(λ为任意非零实数).
(2)由直线l的一个方向向量为-，1，得直线l的斜率k=-2，
故直线l的方程为y+1=-2(x-2)，即2x+y-3=0.
巩固训练　(1，-2)(答案不唯一)　【解析】由题意可知，直线2x+y+1=0可以化为y=-2x-1，
所以直线的斜率为-2，故所求直线的一个方向向量可以为(1，-2).
探究2　情境设置
问题1：若直线上任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1 ≠x2)的坐标满足k=，即y2-y1=k(x2-x1)，
则方向向量=(x2-x1，y2-y1)=(x2-x1，k(x2-x1))=(x2-x1)(1，k)=λ(1，k)，
其中，λ=x2-x1可以取任意非零实数.
因为(k，-1)·(1，k)=0，所以斜率为k的直线的一个法向量为(k，-1).
问题2：因为直线l：Ax+By+C=0的一个方向向量为(-B，A)，根据垂直关系可知直线l的一个法向量为(A，B).
新知运用
例2　2x-y-5=0　【解析】设(x，y)是所求直线上的任意一点，则2(x-2)-(y+1)=0，
即所求直线方程为2x-y-5=0.
巩固训练　2x+3y+1=0　【解析】设线段AB的中点为C，则点C的坐标为，，即(1，-1).
=(-1-3，-4-2)=(-4，-6)，
表示线段AB垂直平分线的一个法向量，代入直线的点法式方程，得-4(x-1)-6(y+1)=0，即2x+3y+1=0.
随堂检测
1.A　【解析】∵直线l的倾斜角等于135°，∴直线l的斜率k=-1，
∴直线l的一个方向向量为(1，-1).
2.C　【解析】由题意得，直线3x+4y-1=0的斜率k=-，则直线的一个方向向量为(1，k)=1，-，所以直线的一个单位方向向量为e=-，.
3.2x+y-3=0　【解析】设B(x，y)是所求直线上不与点A重合的一点，则直线的方向向量为a==(x+1，y-5)，又直线的一个法向量n=(-2，-1)，由a·n=0得-2(x+1)-(y-5)=0，即2x+y-3=0.
4.【解析】由已知得=(3，-4)，则直线l的一个法向量n=(4，3)，
故直线l的方程为4(x+1)+3(y-2)=0，即4x+3y-2=0.

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