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2.3.2　两条直线的交点坐标
【学习目标】
1.进一步巩固两条直线的位置关系的相关知识.(数学抽象)
2.掌握两条直线相交位置关系的判定，学会求其交点坐标.(逻辑推理、数学运算)
3.理解直线系方程.(逻辑推理)
【自主预习】
1.直线l上的点与其方程Ax+By+C=0的解有什么样的关系
2.由两条直线l1，l2的方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不论m取何值，x-y+1=0与x-2my+3=0必相交. (　　)
(2)两条直线l1与l2有无数个公共点，则l1∥l2. (　　)
(3)在两条直线斜率都存在的情况下，若斜率不相等，则两条直线相交. (　　)
2.直线x=1和直线y=2的交点坐标是(　　).
A.(2，2) B.(1，1)
C.(1，2) D.(2，1)
3.下列各直线中，与直线2x-y-3=0相交的是(　　).
A.2ax-ay+6=0(a≠0)
B.y=2x
C.2x-y+5=0
D.2x+y-3=0
【合作探究】
探究1　两条直线的交点坐标
观察图形，思考下列问题：
问题1：在两条直线方程联立的方程组中，每一个方程都可表示为一条直线，那么方程组的解表示什么
问题2：如何求上述两条直线的交点坐标
问题3：两条直线相交的条件是什么
方程组的解与两条直线的交点个数
方程组的解的情况 一组解 无解 无数组解
直线l1与l2的公共点个数 一个 零个 无数个
直线l1与l2的位置关系 相交 平行 重合
例1　(1)(多选题)下列选项中，正确的有(　　).
A.直线l1：x-y+2=0和l2：2x+y-5=0的交点坐标为(1，3)
B.直线l1：x-2y+4=0和l2：2x-4y+8=0的交点坐标为(2，1)
C.直线l1：2x+y+2=0和l2：y=-2x+3的交点坐标为(-2，2)
D.直线l1：x-2y+1=0，l2：y=x，l3：2x+y-3=0两两相交
(2)直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上，则k的值为(　　).
A.-24 B.24
C.6 D.±6
判断下列各组中的直线l1与l2是否相交.若相交，求出它们的交点.
(1)l1：x-4y-1=0，l2：x+2y-4=0.
(2)l1：x-y-2=0，l2：x+y+2=0.
(3)l1：x-3y-2=0，l2：2x-3y+1=0.
当k为何值时，直线l1：y=kx+3k-2与直线l2：x+4y-4=0的交点P在第一象限
探究2　经过两条直线交点的直线方程
问题：怎样表示经过两条直线交点的直线系方程
直线系方程
一般地，经过两条相交直线l1：A1x+B1y+C1=0和l2：A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程可表示为：
(1)A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括l2的方程)；
(2)m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(m，n不同时为零).
一、求过交点的直线方程
例2　求过两条直线2x-3y-3=0和x+y+2=0的交点且与直线3x+y-1=0平行的直线方程.
【方法总结】经过两条直线交点的直线方程的求法：
(1)常规解法(方程组法)：一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.
(2)特殊解法(直线系法)：先设出过两条直线交点的直线方程，再结合其他条件用待定系数法求出参数，最后确定直线方程.
已知直线l经过原点，且经过直线2x+3y+8=0与x-y-1=0的交点，则直线l的方程为(　　).
A.2x+y=0 B.2x-y=0
C.x+2y=0 D.x-2y=0
二、直线系过定点
例3　无论m为何值，直线l：(m+1)x-y-7m-4=0恒过一点P，求点P的坐标.
【方法总结】解含参数的直线过定点问题的策略
(1)任意给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点是否是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解.
(2)若含有一个参数的二元一次方程能整理为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中λ是参数)的形式，就说明它表示的直线必过定点，该定点坐标可由方程组解得.若能整理成y-y0=k(x-x0)的形式，则表示的直线必过定点(x0，y0).
已知直线(a-2)y=(1+a)x-a，求证：无论a为何值，直线总经过第四象限.
【随堂检测】
1.直线x+2y-2=0与直线2x+y-3=0的交点坐标是(　　).
A.(4，1) B.(1，4)
C. D.
2.不论m为何实数，直线l：(m-1)x+(2m-3)y+m=0恒过点(　　).
A.(-3，-1) B.(-2，-1)
C.(-3，1) D.(-2，1)
3.三条直线ax+2y+8=0，4x+3y=10，2x-y=10相交于一点，则实数a的值为　　　　.
4.斜率为-2，且过两条直线3x-y+4=0和x+y-4=0的交点的直线方程为　　　　.
参考答案
2.3.2　两条直线的交点坐标
自主预习
预学忆思
1.直线l上每一个点的坐标都满足其直线方程，也就是说直线l上的点的坐标都是其方程的解.反之，直线l的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标.
2.①若方程组无解，则l1∥l2；
②若方程组有且只有一个解，则l1与l2相交；
③若方程组有无数个解，则l1与l2重合.
自学检测
1.(1)×　(2)×　(3)√
2.C　【解析】由得两直线的交点坐标为(1，2).故选C.
3.D　【解析】直线2x-y-3=0的斜率为2，A，B，C选项中的直线斜率均为2，D选项中的直线的斜率为-2，故D符合题意.
合作探究
探究1　情境设置
问题1：两条直线的公共部分，即交点.
问题2：将两条直线的方程联立，求方程组的解即可.
问题3：两条直线相交的条件：①将两条直线方程联立，解方程组，当方程组只有一个解时，两条直线相交.②设l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，则l1与l2相交的条件是A1B2-A2B1≠0或≠(A2≠0，B2≠0).③若两条直线的斜率都存在，设两条直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，则l1与l2相交 k1≠k2.
新知运用
例1　(1)AD　(2)A　【解析】(1)方程组的解为因此直线l1和l2相交，交点坐标为(1，3)，A正确；
方程组有无数组解，这表明直线l1和l2重合，B错误；
方程组无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2，C错误；
方程组的解为方程组的解为方程组的解为所以三条直线两两相交且交于同一点(1，1)，D正确.
(2)因为两条直线相交，所以k≠-.
由解得因为直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上，所以y==0，解得k=-24.
巩固训练1　【解析】(1)由题设，l1中A1=1，B1=-4，l2中A2=1，B2=2，则A1B2-A2B1=1×2-1×(-4)=6≠0，
所以l1与l2相交，由方程组解得即交点坐标为3，.
(2)由题设，l1中A1=，B1=-1，l2中A2=1，B2=，则A1B2-A2B1=×-1×(-1)=4≠0，
所以l1与l2相交，由方程组解得即交点坐标为(1，-).
(3)由题设，l1中A1=，B1=-3，l2中A2=2，B2=-3，则A1B2-A2B1=×(-3)-2×(-3)=0，
又当y=0时，l1中x=，l2中x=-，所以l1与l2不重合，
所以l1与l2平行.
巩固训练2　【解析】当k=-时，l1与l2平行，不符合题意.
当k≠-时，由
解得∴P，.
∵点P在第一象限，∴解得∴当探究2　情境设置
问题：经过直线l1：A1x+B1y+C1=0与直线l2：A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括l2的方程).
新知运用
例2　【解析】(法一)由
解得所以两条直线的交点坐标为.
又所求直线与直线3x+y-1=0平行，所以所求直线的斜率为-3.
故所求直线的方程为y+=-3，即15x+5y+16=0.
(法二)设所求直线方程为(2x-3y-3)+λ(x+y+2)=0，
即(2+λ)x+(λ-3)y+(2λ-3)=0.　①
因为所求直线与直线3x+y-1=0平行，
所以有解得λ=.
代入①式，得x+y+=0，即15x+5y+16=0.
巩固训练　B　【解析】设所求直线l的方程为2x+3y+8+λ(x-y-1)=0，即(2+λ)x+(3-λ)y+8-λ=0，因为l过原点，所以λ=8，则所求直线的方程为2x-y=0.
例3　【解析】∵(m+1)x-y-7m-4=0，
∴m(x-7)+(x-y-4)=0.
由解得
∴点P的坐标为(7，3).
巩固训练　【解析】将直线方程整理为(x+2y)+a(x-y-1)=0.
由解得
所以直线(a-2)y=(1+a)x-a过第四象限内的定点，-，
所以无论a为何值，直线总经过第四象限.
随堂检测
1.C　【解析】由方程组解得即直线x+2y-2=0与直线2x+y-3=0的交点坐标是.
2.C　【解析】直线l的方程可化为m(x+2y+1)-x-3y=0，
由解得
所以直线l恒过点(-3，1).故选C.
3.-1　【解析】由解得又点(4，-2)在直线ax+2y+8=0上，所以4a+2×(-2)+8=0，解得a=-1.
4.2x+y-4=0　【解析】设所求直线的方程为3x-y+4+λ(x+y-4)=0，λ∈R，
即(3+λ)x+(λ-1)y+4-4λ=0，
∴k==-2，解得λ=5，
∴所求直线的方程为2x+y-4=0.2.3.1　两条直线平行与垂直的判定
【学习目标】
1.理解两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.(直观想象)
2.能根据已知条件判断两条直线的平行与垂直.(逻辑推理)
3.能应用两条直线的平行或垂直解决实际问题.(数学运算)
【自主预习】
1.我们知道，平面中的两条不重合直线有两种位置关系：相交、平行.当直线l1与l2平行且斜率都存在时，它们的斜率k1与k2满足什么关系 证明你的结论.
2.两条直线平行，它们的斜率一定相等吗
3.当两条相交直线的斜率都存在时，它们的斜率不相等；反之，当两条直线的斜率不相等时，它们相交.在相交的位置关系中，垂直是最特殊的情形，直线l1，l2垂直时，它们的斜率除了不相等外，是否还有特殊的数量关系
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若不重合的两条直线的斜率相等，则这两条直线平行. (　　)
(2)若l1∥l2，则k1=k2. (　　)
(3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直. (　　)
(4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行. (　　)
2.已知点A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率kl=(　　).
A.-3 B.3
C.- D.
3.若直线l1，l2的斜率是方程x2-3x-1=0的两根，则l1与l2的位置关系是(　　).
A.平行 B.重合
C.相交但不垂直 D.垂直
4.已知l1过点A(m，1)，B(-3，4)，l2过点C(0，2)，D(1，1)，且l1∥l2，则m=　　　　.
【合作探究】
探究1　两条直线平行的判定
问题：平面中的两条平行直线被x轴所截，形成的同位角相等，而两平行直线的倾斜角是一对同位角，因此可以得出什么结论
两条直线平行
(1)两条直线都有斜率且不重合时的平行
已知直线l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2，则l1∥l2 k1=k2且b1≠b2.
(2)特殊情况下的两条直线的平行
若两条平行直线中的一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率也不存在；反之，若两条不重合直线的斜率都不存在，则这两条直线平行.
特别提醒：讨论两条直线平行时，要分斜率存在和斜率不存在两种情形，缺少任何一种情形都有可能发生错误.
例1　判断下列各组直线是否平行，并说明理由.
(1)l1：y=3x+2，l2：y=3x+1.
(2)l1：x+2y-1=0，l2：x+2y=0.
(3)l1：x+2=0，l2：2x=1.
【方法总结】
(1)判断两条直线平行时，应先看两条直线的斜率是否存在，即先看两点的横坐标是否相等，横坐标相等是特殊情况，应特殊判断.在证明两条直线平行时，要区分平行与重合，必须强调不共线才能确定平行，因为斜率相等也可能推出两条直线重合.
(2)应用两条直线平行求参数值时，应分斜率存在与不存在两种情况进行讨论.
求m，n的值，使直线l1：y=(m-1)x-n+7：
(1)平行于x轴；
(2)平行于直线l2：7x-y+15=0.
探究2　两条直线垂直的判定
问题1：若两条垂直直线的斜率都存在，则它们的斜率有怎样的关系呢
问题2：反过来，如果两条直线斜率的乘积为-1，这两条直线互相垂直吗
两条直线垂直
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于　　　　；反之，如果它们的斜率之积等于　　　　，那么它们互相垂直.即l1⊥l2 k1·k2=-1.
特别提醒：l1⊥l2 k1·k2=-1成立的前提条件是两条直线的斜率都存在.
例2　(1)已知l1经过点A(3，2)，B(3，-1)，l2经过点M(1，1)，N(2，1)，判断l1与l2是否垂直；
(2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a-2，3)，直线l2经过点C(2，3)，D(-1，a-2)，若l1⊥l2，求a的值.
【方法总结】
利用斜率公式判定两条直线垂直的步骤
一看：看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则该直线的斜率不存在，这时只需看另一条直线上的两点的纵坐标是否相等，若相等，则两条直线垂直；若横坐标不相等，则进行第二步.
二代：将点的坐标代入斜率公式.
三求：计算斜率的值，进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论.
与直线y=2x+1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是(　　).
A.y=x+4 B.y=2x+4
C.y=-2x+4 D.y=-x+4
已知△ABC的三个顶点分别是A(-5，0)，B(3，-3)，C(0，2)，则BC边上的高所在直线的斜截式方程为　　　　.
探究3　由一般式确定两条直线的位置关系
问题1：给出直线的一般式，如何解决两条直线平行或垂直中的参数问题
问题2：直线l1和l2的方程分别是A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0，其中A1，B1不全为0，A2，B2也不全为0.当l1∥l2时，直线方程中的系数应满足什么关系
问题3：在问题2的条件下，当l1⊥l2时，直线方程中的系数应满足什么关系
1.直线l1和l2的方程分别是A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0.
(1)两条直线平行的条件
l1∥l2 法向量平行 A2=λA1，B2=λB1，C2≠λC1，λ是非零实数.
(2)两条直线垂直的条件
l1⊥l2 法向量垂直 (A1，B1)·(A2，B2)=A1A2+B1B2=0.
2.与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0(m≠C)，与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+n=0.
例3　(1)已知直线l1：2x+(m+1)y+4=0与直线l2：mx+3y-2=0平行，求m的值.
(2)当a为何值时，直线l1：(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2：(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直
【方法总结】在利用直线的一般式求解直线的平行或垂直问题时，易忽视讨论参数的值或取值范围.
已知直线l的方程为3x+4y-12=0，当直线l'满足下列条件时，求直线l'的一般式方程.
(1)过点(-1，3)且与l平行；
(2)过点(-1，3)且与l垂直.
【随堂检测】
1.已知过点A(-2，m)和B(m，4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m的值为(　　).
A.-8 B.0 C.2 D.10
2.已知直线l1：ax+y+1=0与直线l2：x+(2a-3)y+5=0垂直，则a=(　　).
A.3 B.2 C.1 D.-1
3.已知直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则l2的斜率为　　　　.
4.已知在平面直角坐标系中，A(-2，3)，B(3，-2)，C，m，D(0，-3).
(1)若点C在直线AB上，求m的值；
(2)若直线AC与直线BD平行，求m的值；
(3)若直线AC与直线BC垂直，求m的值.
参考答案
2.3.1　两条直线平行与垂直的判定
自主预习
预学忆思
1.相等，因为两条直线平行，它们的倾斜角相等.
2.不一定，因为两条直线平行，有可能它们的斜率都不存在.
3.若斜率存在，则k1k2=-1；若有一条直线的斜率为0，则另一条直线的斜率不存在.
自学检测
1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2.B　【解析】由题意知kAB==3，∵l∥AB，∴kl=3.
3.D　【解析】设l1，l2的斜率分别为k1，k2，由题意知k1·k2=-1，所以l1⊥l2.故选D.
4.0　【解析】设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，∵l1∥l2，且k2==-1，∴k1==-1，∴m=0.
合作探究
探究1　情境设置
问题：两直线平行，它们的倾斜角相等.
新知运用
例1　【解析】(1)平行.理由如下：设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，在y轴上的截距分别为b1，b2.
由l1，l2的方程可知k1=k2=3，且b1≠b2，故l1∥l2.
(2)平行.理由如下：设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，在y轴上的截距分别为b1，b2.
因为l1，l2的方程可分别化为斜截式l1：y=-x+，l2：y=-x，所以k1=k2=-且b1≠b2，所以l1∥l2.
(3)平行.理由如下：由l1，l2的方程可知，l1⊥x轴，l2⊥x轴，且两条直线l1，l2在x轴上的截距不相同，故l1∥l2.
巩固训练　【解析】(1)当直线l1平行于x轴时，直线l1的斜率为0，即m-1=0，得m=1.
又直线l1不与x轴重合，所以-n+7≠0，即n≠7.
综上所述，当m=1且n≠7时，直线l1平行于x轴.
(2)将7x-y+15=0化为斜截式得y=7x+15，得到直线l2的斜率k2=7，在y轴上的截距b2=15.
当l1∥l2时，应有直线l1的斜率k1=k2=7且在y轴上的截距b1≠b2=15，即m-1=7且-n+7≠15，故m=8且n≠-8.
探究2　情境设置
问题1：如图，
如果直线l1⊥l2(l1，l2都不与x轴垂直)，那么直线l1，l2的倾斜角α1，α2中必定一个是锐角，另一个是钝角.不妨设α2是钝角，则α2=α1+，从而k2=tan α2=tanα1+=-=-，即k1k2=-1.
问题2：两条直线互相垂直.
新知生成
-1　-1
新知运用
例2　【解析】(1)由题意得，直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，所以l1⊥l2.
(2)由题意知，l2的斜率k2一定存在，l1的斜率可能不存在.
当l1的斜率不存在时，3=a-2，即a=5，此时k2=0，
则l1⊥l2，满足题意；
当l1的斜率k1存在时，a≠5，
由斜率公式得k1==，
k2==.
由l1⊥l2知，k1k2=-1，
即·=-1，解得a=0.
综上所述，a的值为0或5.
巩固训练1　D　【解析】直线y=2x+1的斜率k1=2，则与直线y=2x+1垂直的直线的斜率k2=-.因为所求直线在y轴上的截距为4，所以直线的斜截式方程为y=-x+4.
巩固训练2　y=x+3　【解析】设BC边上的高为AD，则BC⊥AD，所以kAD·kBC=-1.因为kBC==-，即-·kAD=-1，所以kAD=，所以BC边上的高所在直线的方程为y-0=(x+5)，即y=x+3.
探究3　情境设置
问题1：由平行或垂直可得到两条直线斜率的关系式，然后建立方程求解，注意斜率不存在的情况.
问题2：当两条直线的斜率都不存在时，B1=B2=0，A1A2≠0，≠，
因此有A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0；
当两条直线的斜率都存在时，-=-且-≠-，
因此有A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0.
所以l1∥l2的条件是A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0(或B1C2-B2C1≠0).
问题3：若两条直线中的一条斜率不存在，则另一条斜率为0，如B2=0，A1=0，则A1A2+B1B2=0；
若两条直线斜率都存在，则-·-=-1，即A1A2+B1B2=0.
所以l1⊥l2的充要条件是A1A2+B1B2=0.
新知运用
例3　【解析】(1)由题意得2×3=m(m+1)，
解得m=-3或m=2.
当m=-3时，l1：x-y+2=0，l2：3x-3y+2=0，
显然l1与l2不重合，所以l1∥l2；
同理当m=2时，l1：2x+3y+4=0，l2：2x+3y-2=0，
显然l1与l2不重合，所以l1∥l2.
所以m的值为2或-3.
(2)由题意知直线l1⊥l2，
所以(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0，解得a=±1，
将a=±1代入方程，均满足题意，
故当a=1或a=-1时，直线l1⊥l2.
巩固训练　【解析】(1)∵l'与l平行，∴可设l'的方程为3x+4y+m=0(m≠-12).
将点(-1，3)的坐标代入上式得m=-9，
∴直线l'的方程为3x+4y-9=0.
(2)∵l'与l垂直，∴可设其方程为4x-3y+n=0.
将点(-1，3)的坐标代入上式得n=13，
∴直线l'的方程为4x-3y+13=0.
随堂检测
1.A　【解析】由已知，得=-2，∴m=-8.经检验，直线AB与直线2x+y-1=0不重合，符合题意.
2.C　【解析】由题意得a·1+1·(2a-3)=0，解得a=1.
3.-或不存在　【解析】当a≠0时，由k1k2=-1，得k2=-，
当a=0时，l2的斜率不存在.
4.【解析】(1)因为点C在直线AB上，所以kAB=kAC，即=，解得m=.
(2)因为直线AC与直线BD平行，所以kAC=kBD，即=，解得m=，
经检验两直线不重合，所以m=.
(3)因为直线AC与直线BC垂直，且两直线的斜率均存在，所以kAC·kBC=-1，
即·=-1，解得m=.

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