资源简介

2.4　点到直线的距离
【学习目标】
1.领会两点间的距离公式、点到直线的距离公式的推导过程.(逻辑推理、数学运算)
2.能灵活运用两点间的距离公式、点到直线的距离公式解决相关问题.(直观想象、数学运算)
3.初步学会使用解析法研究几何问题.(直观想象、数学运算)
【自主预习】
1.已知平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，如何求P1，P2两点间的距离|P1P2|
2.如何用代数法求点P0(x0，y0)到直线l：Ax+By+C=0的距离
3.能否将平行直线间的距离转化为点到直线的距离 如果能，如何转化
4.在使用点到直线的距离公式时，对直线方程的形式有何要求
5.如何求两条平行直线间的距离
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两点间的距离公式、点到直线的距离公式的推导过程是一样的. (　　)
(2)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x=a(a≠0)的距离d=|x0-a|. (　　)
(3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值是点到直线的距离. (　　)
(4)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离，也可以看作是两条直线上各取一点的最短距离. (　　)
2.已知点A(-2，-1)，B(a，3)，且|AB|=5，则a的值为(　　).
A.1 B.-5
C.1或-5 D.-1或5
3.已知直线l1：x+y+1=0，l2：x+y-1=0，则l1与l2之间的距离为(　　).
A.1 B.
C. D.2
4.若第二象限内的点P(m，1)到直线x+y+1=0的距离为，则m的值为　　　　.
【合作探究】
探究1　两点间的距离公式
问题1：如果点A，B在x轴上，那么怎样求|AB|
问题2：如果点A，B在y轴上，那么怎样求|AB|
问题3：如果点A，B不在坐标轴上，那么如何求|AB|
两点间的距离公式
P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式|P1P2|=.
(1)此公式与两点的先后顺序无关.
(2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|=|x2-x1|.
当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|=|y2-y1|.
当点P1，P2中有一个是原点时，|P1P2|=或|P1P2|=.
一、两点间的距离公式
例1　(1)已知点A(-3，4)，B(2，)，在x轴上找一点P，使|PA|=|PB|，并求|PA|的值.
(2)已知点M(x，-4)与点N(2，3)间的距离为7，求实数x的值.
【方法总结】若已知两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，求这两点间的距离，可直接运用两点间的距离公式|P1P2|=求解.若已知两点间的距离，求点的坐标，可设未知数，逆用两点间的距离公式列出方程，从而解决问题.
在直线2x-3y+5=0上求点P，使点P到A(2，3)的距离为，则点P的坐标是(　　).
A.(5，5) B.(-1，1)
C.(5，5)或(-1，1) D.(5，5)或(1，-1)
二、坐标法的应用
例2　已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM|=|BC|.
【方法总结】用解析法证明几何结论的注意事项：
(1)用解析法证明几何结论时，首先要根据题设条件建立适当的平面直角坐标系，然后根据题中所给的条件，设出已知点的坐标；
(2)根据题设条件及几何性质推出未知点的坐标；
(3)在证明过程中要不失一般性.
在△ABC中，D是BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且|AB|2=|AD|2+
|BD|·|DC|.求证：△ABC为等腰三角形.
探究2　点到直线的距离公式
问题：如图，在平面直角坐标系中，已知直线l：Ax+By+C=0(A≠0，B≠0)和直线l外一点P0(x0，y0)，怎样求出点P0到直线l的距离呢
点P(x0，y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=.
点到几种特殊直线的距离：
(1)点P(x0，y0)到x轴的距离d=|y0|；
(2)点P(x0，y0)到y轴的距离d=|x0|；
(3)点P(x0，y0)到直线y=a的距离d=|y0-a|；
(4)点P(x0，y0)到直线x=b的距离d=|x0-b|.
例3　求点P(3，-2)到下列直线的距离.
(1)y=x+；(2)y=6；(3)x=4.
【方法总结】点到直线的距离的求解方法：
(1)求点到直线的距离，首先要把直线化成一般式方程，然后套用点到直线的距离公式；
(2)当点与直线有特殊位置关系时，也可以用公式求解，但是这样会把问题变复杂了，要注意数形结合.
(多选题)直线l过点B(3，3)，若A(1，2)到直线l的距离为2，则直线l的方程可以为(　　).
A.3x+4y-21=0 B.4x+3y-21=0
C.x=3 D.y=3
求垂直于直线x+3y-5=0，且与点P(-1，0)之间的距离是的直线l的方程.
探究3　两条平行直线间的距离
问题：怎样求两条平行直线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0间的距离
(1)两条平行直线间的距离：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度.求两条平行直线间的距离可转化为求点到直线的距离.
(2)公式：两条平行直线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0之间的距离d=.
例4　若两条直线3x+y-3=0和6x+my-1=0平行，则它们之间的距离为　　　　.
【方法总结】求两条平行直线间的距离，要先将两条直线方程化为一次项系数相同的方程，再利用两条平行直线间的距离公式求解.
求与直线l：5x-12y+6=0平行且与直线l距离为3的直线方程.
【随堂检测】
1.已知O为坐标原点，点P在直线x+y-1=0上运动，则|OP|的最小值为(　　).
A. B.1 C. D.2
2.已知直线3x+2y-3=0和直线6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离是(　　).
A.4 B. C. D.
3.若点M到x轴和到点N(-4，2)的距离都等于10，则点M的坐标为　　　　.
4.若点(3，)到直线x+my-4=0的距离等于1，则m的值为　　　　.
参考答案
2.4　点到直线的距离
自主预习
预学忆思
1.①当x1≠x2，y1=y2时，|P1P2|=|x2-x1|；
②当x1=x2，y1≠y2时，|P1P2|=|y2-y1|；
③当x1≠x2，y1≠y2时，|P1P2|= .
2.当A=0，B≠0时，点P0到直线l的距离为y0+；当B=0，A≠0时，点P0到直线l的距离为x0+；当A≠0，B≠0时，过点P0作P0Q垂直直线l于点Q，由直线l的斜率为-，可得l的垂线P0Q的斜率为，进而求出垂线P0Q的方程，再联立P0Q与直线l的方程，解得点Q的坐标，最后利用两点间的距离公式求出|P0Q|，即点P0到直线l的距离.
3.能.因为一条直线上任意一点到另一条直线的距离都是两条平行直线间的距离，所以在一条直线上找到一个已知点，求这个点到另一条直线的距离即可.
4.使用点到直线的距离公式的前提是直线方程为一般式.
5.因为两条平行线间的距离处处相等，所以可以转化为点到直线的距离求解，也可以利用两条平行直线间的距离公式，即两条平行直线l1：Ax+By+C1=0与l2：Ax+By+C2=0之间的距离d=.
自学检测
1.(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2.C　【解析】∵|AB|==5，∴a=-5或a=1.
3.B　【解析】由题意知l1∥l2，则l1与l2之间的距离为=.
4.-4　【解析】由=，得m=-4或m=0.
∵点P在第二象限，∴m<0，故m=-4.
合作探究
探究1　情境设置
问题1：当点A，B在x轴上时，yA=yB=0，|AB|=|xA-xB|.
问题2：当点A，B在y轴上时，xA=xB=0，|AB|=|yA-yB|.
问题3：因为=(xB-xA，yB-yA)，
所以|AB|=||=.
新知运用
例1　【解析】(1)设点P的坐标为(x，0)，
则有|PA|==，
|PB|==.
由|PA|=|PB|，得=，解得x=-，
所以点P的坐标为-，0，
所以|PA|==.
(2)由|MN|=7，得|MN|==7，即x2-4x-45=0，解得x1=9，x2=-5，
故所求实数x的值为9或-5.
巩固训练　C　【解析】设点P(x0，y0)，则y0=.由|PA|=，得(x0-2)2+-32=13，即(x0-2)2=9，解得x0=-1或x0=5.当x0=-1时，y0=1；当x0=5时，y0=5.∴点P的坐标为(-1，1)或(5，5).
例2　【解析】以Rt△ABC的直角边AB，AC所在的直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设B，C两点的坐标分别为(b，0)，(0，c).
因为斜边BC的中点为M，所以点M的坐标为，，即，.
由两点间的距离公式，得|BC|==，
|AM|==，
即|AM|=|BC|.
巩固训练　【解析】作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示.
因为|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|，所以由距离公式可得b2+a2=d2+a2+(d-b)(c-d)，
即-(d-b)(b+d)=(d-b)(c-d).
又d-b≠0，所以-b-d=c-d，即-b=c，
所以|AB|=|AC|，
即△ABC为等腰三角形.
探究2　情境设置
问题：如图，过点P0作直线l的垂线P0P1，交l于点P1(x1，y1)，
则点P0到直线l的距离d=|P0P1|.从P0出发作有向线段P0N表示直线l的一个法向量(A，B)，即作=(A，B).由于两条线段P0P1和P0N都与l垂直，则它们共线，从而它们之间的夹角为0或π，于是它们表示的向量的数量积的绝对值等于它们的长度的乘积，即|·|=|P0N||P0P1|，
由此得|(A，B)·(x1-x0，y1-y0)|=·d，
则d=
=.　①
由点P1(x1，y1)在直线l上，
得Ax1+By1+C=0.　②
将②式代入①式，得点P0(x0，y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=.
新知运用
例3　【解析】(1)直线y=x+化为一般式为3x-4y+1=0，由点到直线的距离公式可得d==.
(2)因为直线y=6与y轴垂直，所以点P到它的距离d=|-2-6|=8.
(3)因为直线x=4与x轴垂直，所以点P到它的距离d=|3-4|=1.
巩固训练1　AC　【解析】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=3，满足条件.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y-3=k(x-3)，即kx-y+3-3k=0.由题意可得=2，解得k=-，所以直线l的方程为3x+4y-21=0.综上，直线l的方程为x=3或3x+4y-21=0.
巩固训练2　【解析】设与直线x+3y-5=0垂直的直线的方程为3x-y+m=0，则由点到直线的距离公式知d===，
解得m=9或m=-3.
故所求直线l的方程为3x-y+9=0或3x-y-3=0.
探究3　情境设置
问题：在直线l1上任取一点P(x0，y0)，点P(x0，y0)到直线l2的距离，就是这两条平行直线间的距离，即d=.
因为点P(x0，y0)在直线l1上，
所以Ax0+By0+C1=0，
即Ax0+By0=-C1，
因此d===.
新知运用
例4　　【解析】将直线3x+y-3=0化为6x+2y-6=0，
由两条平行直线间的距离公式得=.
巩固训练　【解析】设与直线l平行的直线方程为5x-12y+b=0，
根据两条平行直线间的距离公式得=3，
解得b=45或b=-33，
所以直线l的方程为5x-12y+45=0或5x-12y-33=0.
随堂检测
1.A　【解析】易知|OP|的最小值为坐标原点O到直线x+y-1=0的距离，则|OP|min=d==.
2.D　【解析】直线3x+2y-3=0可以化为6x+4y-6=0，由两条平行直线间的距离公式，得d==.
3.(2，10)或(-10，10)　【解析】由点M到x轴的距离等于10可知，其纵坐标为±10.设点M的坐标为(xM，±10).由两点间的距离公式，得|MN|==10或|MN|==10，解得xM=-10或xM=2，所以点M的坐标为(2，10)或(-10，10).
4.0或　【解析】由题意知1=，
∴=|m-1|，解得m=0或m=.

展开更多......

收起↑