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2.5.1　圆的标准方程
【学习目标】
1.理解圆的定义，体会推导圆的标准方程的过程.(逻辑推理)
2.利用待定系数法、几何性质法求圆的标准方程.(数学运算)
3.结合圆的标准方程，体会判断点与圆的位置关系的两种方法.(直观想象)
【自主预习】
1.圆的定义是什么
2.确定圆的基本要素是什么
3.已知圆的圆心为A(a，b)，半径为r，你能推导出该圆的方程吗
4.点与圆的位置关系有几种
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆. (　　)
(2)若圆的标准方程为(x+m)2+(y+n)2=a2(a≠0)，则此圆的半径一定是a. (　　)
(3)圆(x+1)2+(y+2)2=4的圆心坐标是(1，2)，半径是4. (　　)
(4)若某点正好是圆的圆心，则该点是圆上的点. (　　)
2.圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心和半径分别是(　　).
A.(-2，3)，1B.(2，-3)，3
C.(-2，3)， D.(2，-3)，
3.与圆(x-2)2+(y+3)2=16有相同的圆心，且过点P(-1，1)的圆的方程是　　　　.
4.已知点(1，1)在圆(x+2)2+y2=m上，求圆的方程.
【合作探究】
探究1　圆的标准方程
“南昌之星”摩天轮2006年建成时是世界上最高的摩天轮，它位于江西省南昌市红谷滩区红角洲赣江边上的赣江市民公园，是南昌市标志性建筑之一.该摩天轮总高度为160米，转盘直径为153米.
问题1：在摩天轮转动过程中游客离摩天轮中心的距离一样吗
问题2：若以摩天轮的中心所在位置为原点，建立平面直角坐标系，则游客在任一点(x，y)的坐标满足什么关系
问题3：以(1，2)为圆心，3为半径的圆上任一点的坐标(x，y)满足什么关系
问题4：确定圆的标准方程需具备哪些条件
圆的标准方程
(1)圆的定义：圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有的点组成的集合.
(2)圆的基本要素是圆心和半径.
(3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2.
特别提醒：(1)从圆的标准方程来看，要确定圆的标准方程需要三个独立的条件：圆心的横坐标、纵坐标以及圆的半径.
(2)当a=b=0时，方程为x2+y2=r2，表示以原点O为圆心、r为半径的圆.
例1　(多选题)下列说法正确的是(　　).
A.圆(x-1)2+(y-2)2=5的圆心为(1，2)，半径为
B.圆(x+2)2+y2=b2(b≠0)的圆心为(-2，0)，半径为b
C.圆(x-)2+(y+)2=2的圆心为(，-)，半径为
D.圆(x+2)2+(y+2)2=5的圆心为(2，2)，半径为
【方法总结】通过圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)确定圆的圆心为(a，b)，半径为r.
圆C：(x-1)2+y2=1的圆心到直线x-y+a=0的距离为，则a的值为(　　).
A.-1或-3 B.-1或3
C.1或-3 D.1或3
例2　求过点A(1，-1)，B(-1，1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程.
【方法总结】求圆的标准方程的主要方法
(1)几何法：利用圆的几何性质，直接求出圆心和半径，代入圆的标准方程.
(2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的标准方程中的三个参数，其步骤为设方程、列式、求解.
求满足下列条件的圆的标准方程：
(1)圆心是(4，0)，且过点(2，2)；
(2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，-4).
探究2　点与圆的位置关系
问题：点M(x0，y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2内的条件是什么 在圆(x-a)2+(y-b)2=r2外的条件又是什么
1.根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小关系判断：
d>r 点在圆外；d=r 点在圆上；d2.根据点M(x0，y0)的坐标与圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2的关系判断：
(x0-a)2+(y0-b)2>r2 点在圆外；
(x0-a)2+(y0-b)2=r2 点在圆上；
(x0-a)2+(y0-b)2例3　(1)写出圆心为A(2，-3)，半径等于5的圆的方程，并判断点M1(5，-7)，M2(-，-1)是否在这个圆上.
(2)已知点M(5+1，)在圆(x-1)2+y2=26的内部，求实数a的取值范围.
【方法总结】
(1)判断点与圆的位置关系的方法：①只需计算该点与圆心间的距离，与半径做比较即可；②把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的连接符号，并作出判断.
(2)若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数的取值范围.
已知点(1，1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的外部，则实数a的取值范围为　　　　.
【随堂检测】
1.经过坐标原点，且圆心坐标为(-1，1)的圆的标准方程是(　　).
A.(x-1)2+(y-1)2=2
B.(x-1)2+(y+1)2=2
C.(x+1)2+(y-1)2=2
D.(x+1)2+(y+1)2=2
2.已知点P(a，10)与圆(x-1)2+(y-1)2=2，则点P(　　).
A.在圆内 B.在圆上
C.在圆外 D.位置不确定
3.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的标准方程是(　　).
A.x2+(y-2)2=1
B.x2+(y+2)2=1
C.(x-1)2+(y-3)2=1
D.x2+(y-3)2=1
4.若(x-m)2+(y-2)2=m2-m-2是圆的标准方程，则实数m的取值范围是　　　　.
参考答案
2.5.1　圆的标准方程
自主预习
预学忆思
1.平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的集合叫作圆.
2.确定圆的基本要素是圆心和半径，如图所示.
3.能.设圆上任一点M(x，y)，则|MA|=r，由两点间的距离公式，得=r，化简可得(x-a)2+(y-b)2=r2.
4.在圆内、在圆上、在圆外，共三种.
自学检测
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2.D　【解析】由圆的标准方程可得圆心为(2，-3)，半径为.
3.(x-2)2+(y+3)2=25　【解析】圆(x-2)2+(y+3)2=16的圆心为(2，-3)，设所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=r2.由点P(-1，1)在圆上可知，(-1-2)2+(1+3)2=r2，解得r2=25.故所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25.
4.【解析】∵点(1，1)在圆(x+2)2+y2=m上，∴(1+2)2+12=m，∴m=10.故圆的标准方程为(x+2)2+y2=10.
合作探究
探究1　情境设置
问题1：一样.圆上的点到圆心的距离都是相等的，都等于圆的半径.
问题2：=.
问题3：=3.
问题4：圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2中有三个参数，要确定圆的标准方程需要确定这三个参数，其中圆心(a，b)是圆的定位条件，半径r是圆的定量条件.
新知运用
例1　AC　【解析】圆(x-1)2+(y-2)2=5的圆心为(1，2)，半径为，A正确；
圆(x+2)2+y2=b2(b≠0)的圆心为(-2，0)，半径为|b|，B错误；
圆(x-)2+(y+)2=2的圆心为(，-)，半径为，C正确；
圆(x+2)2+(y+2)2=5的圆心为(-2，-2)，半径为，D错误.
巩固训练　C　【解析】圆心的坐标为(1，0)，
由圆心到直线x-y+a=0的距离为，得=，
即|1+a|=2，解得a=1或a=-3.
例2　【解析】(法一)设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，
由已知条件知解得
故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
(法二)设点C为圆心，∵点C在直线x+y-2=0上，
∴可设点C的坐标为(a，2-a).
又∵该圆经过A，B两点，
∴|CA|=|CB|，
∴=，
解得a=1，
∴圆心为C(1，1)，半径r=|CA|=2，
故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
(法三)由已知可得线段AB的中点坐标为(0，0)，
kAB==-1，
∴弦AB的垂直平分线的斜率k=1，
∴AB的垂直平分线的方程为y-0=1·(x-0)，
即y=x，则圆心是直线y=x与x+y-2=0的交点.
由得
即圆心为(1，1)，圆的半径为=2，
故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
巩固训练　【解析】(1)r2=(2-4)2+(2-0)2=8，
∴圆的标准方程为(x-4)2+y2=8.
(2)设圆心为C(0，b)，则(3-0)2+(-4-b)2=52，
∴b=0或b=-8，∴圆心为(0，0)或(0，-8)，
又r=5，
∴圆的标准方程为x2+y2=25或x2+(y+8)2=25.
探究2　情境设置
问题：点在圆内时，点到圆心的距离小于半径；点在圆外时，点到圆心的距离大于半径.
新知运用
例3　【解析】(1)圆心为A(2，-3)，半径等于5的圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25，
把点M1(5，-7)，M2(-，-1)的坐标分别代入方程(x-2)2+(y+3)2=25，
则点M1的坐标满足方程，故点M1在圆上；
点M2的坐标不满足方程，故点M2不在圆上.
(2)由题意知
即解得0≤a<1.
故实数a的取值范围是[0，1).
巩固训练　(-∞，-1)∪(1，+∞)　【解析】由题意知，(1-a)2+(1+a)2>4，则2a2-2>0，解得a<-1或a>1.
随堂检测
1.C　【解析】根据题意知，圆的圆心坐标为(-1，1)，且圆过原点，则其半径r==，故其标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2.
2.C　【解析】∵(a-1)2+(10-1)2=81+(a-1)2>2，
∴点P在圆外.
3.A　【解析】(法一：直接法)
设圆的圆心为C(0，b)，
则=1，
∴b=2，∴圆的标准方程是x2+(y-2)2=1.
(法二：数形结合法)
作图(如图)，根据点(1，2)到圆心的距离为1易知，圆心为(0，2)，
故圆的标准方程是x2+(y-2)2=1.
4.(-∞，-1)∪(2，+∞)　【解析】由m2-m-2>0，得m<-1或m>2.2.5.2　圆的一般方程
【学习目标】 1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径.(逻辑推理) 2.会在不同条件下求圆的一般方程.(数学运算)
【自主预习】
1.方程x2+y2-2x+4y+1=0表示什么图形 x2+y2-2x+4y+6=0表示什么图形
2.把x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后，将得到怎样的方程 这个方程是不是表示圆
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)方程x2+y2+x+1=0表示圆. (　　)
(2)方程2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0)表示圆. (　　)
(3)圆的一般方程可以化为圆的标准方程. (　　)
(4)任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程. (　　)
2.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标是(　　).
A.(2，3)　　　　　　　B.(-2，3)
C.(-2，-3) D.(2，-3)
3.过O(0，0)，A(3，0)，B(0，4)三点的圆的一般方程为　　　　.
4.若圆x2+y2+2x-4y+m=0的直径为3，则m的值为　　　　.
【合作探究】
探究1　圆的一般方程
已知某圆的圆心为(2，3)，半径为2，其标准方程为(x-2)2+(y-3)2=4.
问题1：上述方程能否化为二元二次方程的形式
问题2：方程x2+y2-4x-6y+13=0是否表示圆
问题3：怎样理解圆的一般方程
1.圆的一般方程的概念：
当D2+E2-4F>0时，二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫作圆的一般方程.
2.圆的一般方程对应的圆心和半径：
圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示的圆的圆心坐标为-，-，半径长为.
3.当D2+E2-4F=0时，x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一个点-，-.
4.当D2+E2-4F<0时，方程不表示任何图形.
特别提醒：圆的标准方程和一般方程有如下关系
(1)由圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，可以直接看出圆心坐标(a，b)和半径r，圆的几何特征明显.
(2)由圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)，知道圆的方程是一种特殊的二元二次方程，圆的代数特征明显.
(3)
例1　(1)若x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆，则实数k的取值范围是(　　).
A.R B.(-∞，1)
C.(-∞，1] D.[1，+∞)
(2)已知a∈R，方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐标是　　　　，半径是　　　　.
【方法总结】对于形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程，判断其是否表示圆时可用如下两种方法：
(1)由圆的一般方程的定义令D2+E2-4F>0，成立则表示圆，否则不表示圆；
(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.
应用这两种方法时，要注意所给的方程是不是x2+y2+Dx+Ey+F=0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解.
已知方程x2+y2+2mx+4y+2m2-3m=0表示一个圆.
(1)求实数m的取值范围；
(2)求圆的周长的最大值.
探究2　待定系数法的应用
例2　已知△ABC的三个顶点分别为A(1，4)，B(-2，3)，C(4，-5)，求△ABC的外接圆的标准方程.
【方法总结】待定系数法求圆的方程的解题策略：
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程，那么一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r的值；
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，那么一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出D，E，F的值.
已知一圆过P(4，-2)，Q(-1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程.
探究3　圆的一般方程的实际应用
例3　一隧道内设双行线公路，隧道截面由一段圆弧和一个长方形构成，如图所示，已知隧道总宽度AD为6 m，侧墙EA，FD的高均为2 m，弧顶高MN为5 m.试建立适当的平面直角坐标系，求出圆弧所在圆的一般方程.
【方法总结】解应用题的步骤
(1)建立数学模型.
(2)转化为数学问题求解.
(3)回归实际问题，得出结论.
某圆弧形桥的示意图如图所示.圆弧跨度AB=20 m，弧顶高OP=4 m.建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01 m).
【随堂检测】
1.方程2x2+2y2-4x+8y+10=0表示的图形是(　　).
A.一个点 B.一个圆
C.一条直线 D.不存在
2.若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以点(2，-4)为圆心，4为半径的圆，则F=　　　　.
3.若点(1，-1)在圆x2+y2-x+y+m=0外，则实数m的取值范围是　　　　.
4.在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点分别为A(-3，0)，B(2，0)，C(0，-4)，经过这三个点的圆记为M.
(1)求BC边上的中线所在直线的一般式方程；
(2)求圆M的一般方程.
参考答案
2.5.2　圆的一般方程
自主预习
预学忆思
1.对方程x2+y2-2x+4y+1=0配方，得(x-1)2+(y+2)2=4，它表示圆心为(1，-2)，半径为2的圆；对方程x2+y2-2x+4y+6=0配方，得(x-1)2+(y+2)2=-1，因为不存在点(x，y)满足这个方程，所以它不表示任何图形.
2.配方得到的方程为x+2+y+2=.
当D2+E2-4F>0时，该方程表示以点-，-为圆心，为半径的圆；
当D2+E2-4F=0时，方程只有实数解x=-，y=-，即只表示一个点-，-；
当D2+E2-4F<0时，方程没有实数解，因此它不表示任何图形.
自学检测
1.(1)×　(2)√　(3)√　(4)√
2.D　【解析】∵-=2，-=-3，∴圆的圆心坐标是(2，-3).
3.x2+y2-3x-4y=0　【解析】由题意知该圆的圆心为AB的中点，2，半径为，故其标准方程为x-2+(y-2)2=，化成一般方程为x2+y2-3x-4y=0.
4.　【解析】∵(x+1)2+(y-2)2=5-m，∴r==，∴m=.
合作探究
探究1　情境设置
问题1：可以，x2+y2-4x-6y+9=0.
问题2：配方得(x-2)2+(y-3)2=0，方程不表示圆.
问题3：圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点：x2，y2的系数相等且不为0；没有xy项.对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，只有当D2+E2-4F>0时才表示圆.
新知运用
例1　(1)B　(2)(-2，-4)　5　【解析】(1)由方程x2+y2-4x+2y+5k=0，可得(x-2)2+(y+1)2=5-5k，此方程表示圆，则5-5k>0，解得k<1.故实数k的取值范围是(-∞，1).故选B.
(2)由题意可得a2=a+2，解得a=-1或a=2.
当a=-1时，方程为x2+y2+4x+8y-5=0，表示圆，故圆心坐标为(-2，-4)，半径为5.当a=2时，方程不表示圆.
巩固训练　【解析】(1)原方程可化为(x+m)2+(y+2)2=-m2+3m+4，
若该方程表示一个圆，则-m2+3m+4>0，解得-1即实数m的取值范围是(-1，4).
(2)圆的半径r==≤，当且仅当m=时，半径r取得最大值，最大值为，所以圆的周长的最大值为5π.
探究2
例2　【解析】(法一)设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
∵点A，B，C在圆上，
∴解得
∴△ABC的外接圆的方程为x2+y2-2x+2y-23=0，
即(x-1)2+(y+1)2=25.
(法二)∵kAB==，kAC==-3，
∴kAB·kAC=-1，∴AB⊥AC，
∴△ABC是以角A为直角的直角三角形，
∴外心是线段BC的中点，坐标为(1，-1)，r=|BC|=5，
∴△ABC的外接圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=25.
巩固训练　【解析】(法一)设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)，
将点P，Q的坐标分别代入上式，
得
令x=0，得y2+Ey+F=0.　③
由已知得|y1-y2|=4，其中y1，y2是方程③的根，
则y1+y2=-E，y1y2=F，
∴|y1-y2|2=(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48.　④
联立①②④，解得或
故圆的方程为x2+y2-2x-12=0或x2+y2-10x-8y+4=0.
(法二：几何法)由题意得线段PQ的垂直平分线方程为x-y-1=0，
∴所求圆的圆心C在直线x-y-1=0上.
设圆心C的坐标为(a，a-1)，
又圆C的半径r=|CP|=.　⑤
由已知得圆C截y轴所得的线段长为4，而圆心C到y轴的距离为|a|，
∴r2=a2+2，
代入⑤式整理得a2-6a+5=0，
解得a1=1，a2=5，
∴r1=，r2=.
故圆的方程为(x-1)2+y2=13或(x-5)2+(y-4)2=37.
探究3
例3　【解析】以EF所在直线为x轴，MN所在直线为y轴，MN与EF的交点为原点，1 m为单位长度，建立平面直角坐标系(图略)，则有E(-3，0)，F(3，0)，M(0，3).
因为所求圆的圆心在y轴上，所以设圆的方程为x2+(y-b)2=r2.
因为点F，M在圆上，所以
解得所以所求圆的方程为x2+(y+3)2=36.
故所求圆的一般方程为x2+y2+6y-27=0.
巩固训练　【解析】以线段AB所在直线为x轴，O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意知，P(0，4)，B(10，0)，A(-10，0).
设圆弧所在圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)，因为点A，B，P在圆上，
所以解得
故圆弧所在圆的方程为x2+y2+21y-100=0，
将P2的横坐标x=-2代入圆的方程，得y≈3.86.
故支柱A2P2的高度约为3.86 m.
随堂检测
1.A　【解析】方程2x2+2y2-4x+8y+10=0，可化为x2+y2-2x+4y+5=0，即(x-1)2+(y+2)2=0，∴方程2x2+2y2-4x+8y+10=0表示点(1，-2).
2.4　【解析】以点(2，-4)为圆心，4为半径的圆的方程为(x-2)2+(y+4)2=16，即x2+y2-4x+8y+4=0，故F=4.
3.0，　【解析】由已知条件可得
解得04.【解析】(1)设BC边的中点为D(x，y)，所以x==1，y==-2，则D(1，-2)，
所以直线AD的斜率k==-，
则直线AD的方程为y-0=-(x+3)，整理成一般式为x+2y+3=0.
(2)设圆M的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)，
则解得
所以圆M的一般方程为x2+y2+x+y-6=0.

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