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2.6.2　圆与圆的位置关系
【学习目标】
1.理解圆与圆的几种位置关系的性质及判定.(直观想象)
2.掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.在之前，我们有研究过直线与直线的位置关系、直线与圆的位置关系，那么圆与圆的位置关系又有几种呢
2.如何判断出两圆的位置关系
3.已知两圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，那么两圆外切. (　　)
(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，那么两圆相交. (　　)
(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程. (　　)
(4)过圆O：x2+y2=r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x+y0y=r2. (　　)
2.圆O1：x2+y2-2x=0和圆O2：x2+y2-4y=0的位置关系为(　　).
A.相离　　　　　　　　B.相交
C.外切 D.内切
3.已知两圆x2+y2=10和(x-1)2+(y-3)2=20相交于A，B两点，则直线AB的方程是　　　　.
【合作探究】
探究1　圆与圆的位置关系
某地12月24日拍到的日环食的全过程如图所示.
可以用两个圆来表示上述变化过程.
根据上图，结合平面几何，判断圆与圆的位置关系有几种.能否通过一些数量关系表示这些圆的位置关系
问题：判断两圆的位置关系有什么方法
1.圆与圆的位置关系
圆与圆之间存在以下三种位置关系：
(1)两圆相交，有两个公共点；
(2)两圆相切，包括内切与外切，只有一个公共点；
(3)两圆相离，包含外离与内含，没有公共点.
2.圆与圆位置关系的判定
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判定方法如下：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1，r2的 关系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|(2)代数法：设两圆的一般方程分别为C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0(+-4F1>0)，C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0(+-4F2>0)，
联立方程得
则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：
方程组解的个数 2个 1个 0个
两圆的公共点个数 2个 1个 0个
两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含
例1　两圆C1：x2+y2-2x-3=0，C2：x2+y2-4x+2y+3=0的位置关系是(　　).
A.外离 B.相切
C.相交 D.内含
【方法总结】判断两圆的位置关系的两种方法
(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是解析几何中主要使用的方法.
(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数判断两圆的位置关系.
若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2-6x-8y+m=0外切，则m=(　　).
A.21 B.19
C.9 D.-11
探究2　两圆相切问题
例2　求与圆x2+y2-2x=0外切且与直线x+y=0相切于点M(3，-)的圆的方程.
【方法总结】处理两圆相切问题的两个步骤
(1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切和外切两种情况讨论.
(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切)或两圆半径之和(外切).
若圆x2+y2=m与圆x2+y2+6x-8y-11=0内切，则m=　　　　.
探究3　相交弦及圆系方程问题
例3　已知圆C1：x2+y2+6x-4=0和圆C2：x2+y2+6y-28=0.
(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；
(2)求经过两圆交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.
【方法总结】
1.若圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.
2.公共弦长的求法
(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.
(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.
(3)已知圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1).
已知两圆C1：x2+y2+2y-3=0和C2：x2+y2-4x-2y+1=0.
(1)判断两圆的位置关系；
(2)求两圆公共弦所在的直线方程及公共弦的弦长.
【随堂检测】
1.圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+(y-3)2=1的内公切线有且仅有(　　).
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
2.若圆x2+y2-4x+6y=0和圆x2+y2-6x=0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是(　　).
A.x+y+3=0 B.2x-y-5=0
C.3x-y-9=0 D.4x-3y+7=0
3.已知圆x2+y2+2x-4y-5=0与圆x2+y2+2x-1=0相交于A，B两点，则公共弦AB的长度是　　　　.
4.已知以C(4，-3)为圆心的圆与圆O：x2+y2=1相切，求圆C的方程.
参考答案
2.6.2　圆与圆的位置关系
自主预习
预学忆思
1.按交点个数可分为三种位置关系.
2.通过两圆的交点个数或圆心距与两圆半径的大小关系判断.具体如下：
设两圆的圆心距为l，圆C1的半径为r1，圆C2的半径为r2，则判断圆C1与圆C2的位置关系的依据有以下几点：
①当l>r1+r2时，圆C1与圆C2外离；
②当l=r1+r2时，圆C1与圆C2外切；
③当|r1-r2|④当l=|r1-r2|时，圆C1与圆C2内切；
⑤当l<|r1-r2|时，圆C1与圆C2内含.
3.联立两圆的方程，消去y后得到一个关于x的一元二次方程.当Δ>0时，两圆相交；当Δ=0时，两圆外切或内切；当Δ<0时，两圆外离或内含.
自学检测
1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.B　【解析】由题意得圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径r1=1；圆O2的圆心坐标为(0，2)，半径r2=2.因为1=r2-r1<|O1O2|=3.x+3y=0　【解析】圆(x-1)2+(y-3)2=20化为一般式为x2+y2-2x-6y-10=0，　①
又圆x2+y2=10，即x2+y2-10=0，　②
由①-②得x+3y=0，即为直线AB的方程.
合作探究
探究1　情境设置
问题：判断两圆的位置关系，我们可以类比直线与圆的位置关系的判定，目前我们只有初中学过的几何法，利用圆心距与两圆半径的和与差的绝对值之间的关系判断.
新知运用
例1　C　【解析】(法一：几何法)把两圆的方程分别配方，化为标准方程是(x-1)2+y2=4，(x-2)2+(y+1)2=2，所以两圆的圆心分别为C1(1，0)，C2(2，-1)，半径分别为r1=2，r2=，则|C1C2|==，r1+r2=2+，r1-r2=2-，故r1-r2<|C1C2|(法二：代数法)由解得即方程组有2组解，也就是说两圆的交点个数为2，故可判断两圆相交.
巩固训练　C　【解析】因为x2+y2-6x-8y+m=0可化为(x-3)2+(y-4)2=25-m，
所以25-m>0，得m<25，且圆C2的圆心为(3，4)，半径为.
由圆与圆外切，可得=1+，解得m=9.故选C.
探究2
例2　【解析】圆的标准方程为(x-1)2+y2=1，
则圆心为C(1，0)，半径为1.
设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).
由题意，可得
解得或
即所求圆的方程为(x-4)2+y2=4或x2+(y+4)2=36.
巩固训练　1或121　【解析】圆x2+y2=m的圆心坐标为(0，0)，半径r1=，
圆x2+y2+6x-8y-11=0的圆心坐标为(-3，4)，半径r2=6.因为两圆内切，且圆心距d=5，
所以|6-|=5，
解得m=1或m=121.
探究3
例3　【解析】(1)设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则A，B两点的坐标是方程组的解.
①-②，得x-y+4=0.
∵A，B两点的坐标都满足此方程，
∴x-y+4=0为两圆公共弦所在直线的方程.
又圆C1的圆心为(-3，0)，半径r=，
∴点C1到直线AB的距离d==，
∴|AB|=2=2=5，
即两圆的公共弦长为5.
(2)(法一)解方程组得两圆的交点为A(-1，3)，B(-6，-2).
设所求圆的圆心为(a，b)，由于圆心在直线x-y-4=0上，故b=a-4，
则=，解得a=，
故圆心为，-，半径为.
故圆的方程为x-2+y+2=，
即x2+y2-x+7y-32=0.
(法二)设所求圆的方程为x2+y2+6x-4+λ(x2+y2+6y-28)=0(λ≠-1)，
其圆心为-，-，代入x-y-4=0，
解得λ=-7.
故所求圆的方程为x2+y2-x+7y-32=0.
巩固训练　【解析】(1)由消去y，整理得x2-2x=0，　①
因为Δ=(-2)2-4×1×0=4>0，
所以两圆相交.
(2)将两圆方程作差得x+y-1=0，所以两圆的公共弦所在直线的方程为x+y-1=0，
由①得x1=0，x2=2，代入上式得y1=1，y2=-1，
所以两圆的交点坐标分别为(0，1)，(2，-1)，
由两点间的距离公式得=2，
所以所求弦长为2.
随堂检测
1.B　【解析】因为两圆的圆心距为3，半径之和为2，故两圆外离，所以两圆的内公切线的条数为2.
2.C　【解析】两圆的圆心分别为(2，-3)，(3，0)，又线段AB的垂直平分线过两圆的圆心，把圆心坐标代入选项，即可排除A，B，D.故选C.
3.2　【解析】由题意知，AB所在的直线方程为(x2+y2+2x-4y-5)-(x2+y2+2x-1)=0，即y=-1.
因为圆x2+y2+2x-1=0的圆心为P(-1，0)，半径r=，
所以圆心P(-1，0)到直线y=-1的距离为1，
所以|AB|=2=2.
4.【解析】设圆C的半径为r，
圆心距d==5，
当圆C与圆O外切时，r+1=5，即r=4，
当圆C与圆O内切时，r-1=5，即r=6，
∴圆C的方程为(x-4)2+(y+3)2=16或(x-4)2+(y+3)2=36.2.6.1　直线与圆的位置关系
【学习目标】
1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.(直观想象)
2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.我们已经学习了直线与圆的位置关系，怎样用几何法判断直线与圆的位置关系
2.如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系
3.用“几何法”与“代数法”判断直线与圆的位置关系各有什么特点
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)如果直线与圆组成的方程组有解，那么直线与圆相交或相切. (　　)
(2)直线x+2y-1=0与圆2x2+2y2-4x-2y+1=0的位置关系是相交. (　　)
(3)过圆内一点一定能作圆的两条切线. (　　)
(4)若一条直线与圆相交，所得的弦长是圆的弦中最长的，则这条直线一定过圆心. (　　)
2.直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=1的位置关系是(　　).
A.相交
B.相切
C.相离
D.无法判断
3.设直线2x+3y+1=0和圆x2+y2-2x-3=0相交于点A，B，则弦AB的垂直平分线的方程是　　　　.
4.若过点M(2，-3)作圆C：x2+y2=13的切线，则切线的方程为　　　　.
【合作探究】
探究1　直线与圆的位置关系
“海上生明月，天涯共此时”表达了诗人望月怀人的深厚情谊.在海天交于一线的天际，一轮明月慢慢升起，先是探出半个圆圆的“小脑袋”，然后冉冉上升，和天际线相连，再跃出海面，越来越高，展现出迷人的风采.
问题1：在这个过程中，将月亮看作一个圆，海天交线看作一条直线，则月出的过程中体现了直线与圆的几种位置关系
问题2：直线与圆相交有几个交点 圆心到直线的距离比半径大还是小
1.直线与圆的三种位置关系
位置关系 交点个数
相交 有两个公共点
相切 只有一个公共点
相离 没有公共点
2.直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 两个 一个 零个
判定方法 几何法：圆心到直线的距离d= dr
代数法：将直线与圆的方程联立，消元得到一元二次方程的根的判别式Δ Δ>0 Δ=0 Δ<0
例1　已知直线方程为mx-y-m-1=0，圆的方程为x2+y2-4x-2y+1=0.当m为何值时，圆与直线：
(1)有两个公共点
(2)只有一个公共点
(3)没有公共点
【方法总结】判断直线与圆的位置关系的两种方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.
(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断.
直线l：y-1=k(x-1)和圆x2+y2-2y=0的位置关系是(　　).
A.相离 B.相切或相交
C.相交 D.相切
若直线x-y=0与圆(x-1)2+(y+1)2=m相离，则实数m的取值范围是(　　).
A.(0，2] B.(1，2]
C.(0，2) D.(1，2)
探究2　圆的弦长问题
例2　求直线l：3x+y-6=0被圆C：x2+y2-2y-4=0截得的弦长.
【方法总结】求弦长的常用三种方法：
(1)利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系l2+d2=r2解题；
(2)利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，则求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长；
(3)利用弦长公式，设直线的方程为y=kx+b，直线与圆的两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l=·|x1-x2|==|y1-y2|.
特别提醒：(1)弦长公式的前提是判别式大于零；
(2)直线斜率不存在时，|AB|=|y1-y2|.
已知圆(x-2)2+y2=9，则过点M(1，2)的最长弦与最短弦的弦长之和为(　　).
A.4 B.6 C.8 D.10
圆心为C(2，-1)，且截直线y=x-1的弦长为2的圆的标准方程为　　　　.
探究3　圆的切线问题
例3　(1)过点M(2，4)向圆(x-1)2+(y+3)2=1作切线，则所求切线的方程为　　　　.
(2)若圆C：x2+y2+2x-4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点(a，b)向圆作切线，切线长的最小值是(　　).
A.2 B.3 C.4 D.6
【方法总结】求过某一点的圆的切线方程的方法
(1)点(x0，y0)在圆上.
①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为-，由点斜式可得切线方程.
②如果斜率为零或不存在，那么由图形可直接得切线方程为y=y0或x=x0.
(2)点(x0，y0)在圆外.
①设切线方程为y-y0=k(x-x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，即得切线方程.
②当用此法只求出一个方程时，另一个切线方程应为x=x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况.
③不要忘记过圆外一点的切线有两条.
圆x2+y2=4在点P(，-1)处的切线方程为(　　).
A.x+y-2=0
B.x+y-4=0
C.x-y-4=0
D.x-y+2=0
【随堂检测】
1.直线3x-4y+8=0与圆(x-1)2+(y+1)2=16的位置关系是(　　).
A.相离 B.相交
C.相切 D.不确定
2.已知点M在圆x2+y2=2上，点N在直线l：y=x-3上，则|MN|的最小值是(　　).
A. B. C. D.1
3.从圆(x-1)2+(y-1)2=1外一点P(2，3)向圆引切线，则切线长为　　　　.
4.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4x=0所截得的弦长为　　　　.
参考答案
2.6.1　直线与圆的位置关系
自主预习
预学忆思
1.利用圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断它们之间的位置关系.若d>r，则直线与圆相离；若d=r，则直线与圆相切；若d2.①如果直线l和圆C的方程分别为Ax+By+C=0，(x-a)2+(y-b)2=r2，那么可以用圆心C(a，b)到直线的距离d=与圆C的半径r的大小关系来判断直线与圆的位置关系.②把直线与圆的交点个数问题转化为直线与圆的对应方程组成的方程组的解的个数问题.当方程组无解时，直线与圆相离；当方程组有一组解时，直线与圆相切；当方程组有两组解时，直线与圆相交.
3.“几何法”与“代数法”是从不同的方面及不同的思路来判断直线与圆的位置关系的.“几何法”侧重于“形”，更多地结合图形的几何性质；“代数法”则侧重于“数”，它倾向于“坐标”与“方程”.
自学检测
1.(1)√　(2)√　(3)×　(4)√
2.B　【解析】由题意得圆心(0，0)到直线3x+4y-5=0的距离d==1.∵d=r，∴直线与圆相切.
3.3x-2y-3=0　【解析】圆的方程x2+y2-2x-3=0化成标准方程为(x-1)2+y2=4，则圆心坐标为(1，0)，由kAB=-，得AB的垂直平分线的斜率为，且经过圆心，因此所求直线方程为y-0=(x-1)，即3x-2y-3=0.
4.2x-3y-13=0　【解析】由圆C：x2+y2=13，得圆心C的坐标为(0，0)，圆的半径r=，而|CM|===r，所以点M在圆C上，则过点M的圆的切线与CM所在的直线垂直，又M(2，-3)，得到CM所在直线的斜率为-，所以切线的斜率为，则切线方程为y+3=(x-2)，即2x-3y-13=0.
合作探究
探究1　情境设置
问题1：三种，相交、相切和相离.
问题2：有两个交点，比半径小.
新知运用
例1　【解析】(法一)将直线方程mx-y-m-1=0代入圆的方程化简整理，得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0，
则Δ=4m(3m+4).
(1)当Δ>0，即m>0或m<-时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点.
(2)当Δ=0，即m=0或m=-时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点.
(3)当Δ<0，即-(法二)圆的方程可化为(x-2)2+(y-1)2=4，即圆心为C(2，1)，半径r=2.
所以圆心C(2，1)到直线mx-y-m-1=0的距离d==.
(1)当d<2，即m>0或m<-时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点.
(2)当d=2，即m=0或m=-时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点.
(3)当d>2，即-巩固训练1　C　【解析】易知直线l过定点A(1，1)，∵12+12-2×1=0，∴点A在圆上.∵直线x=1过点A且为圆的切线，又l的斜率存在，∴l与圆一定相交，故选C.
巩固训练2　C　【解析】由题意得，圆心(1，-1)到直线的距离d=>，
∴m<2，又m>0，∴0探究2
例2　【解析】(法一)圆C：x2+y2-2y-4=0可化为x2+(y-1)2=5，
其圆心坐标为(0，1)，半径r=.
所以点(0，1)到直线l的距离d==，
则截得的弦长为2=.
(法二)设直线l与圆C交于A，B两点.
由得交点A(1，3)，B(2，0)，
所以|AB|==.
(法三)设直线l与圆C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点.
由消去x得y2-3y=0，所以y1+y2=3，y1y2=0，
所以|AB|=·
=×3=.
巩固训练1　D　【解析】设圆心为C，则C(2，0)，过点M的弦为直径时，长度最长，最长为2×3=6，过点M的弦以M为中点且与CM垂直时，长度最短，最短为2=2=4，所以最长弦与最短弦的弦长之和为6+4=10.
巩固训练2　(x-2)2+(y+1)2=4　【解析】设圆的半径为r，
由条件得圆心到直线y=x-1的距离d==.
又由题意知，半弦长为，
∴r2=2+2=4，解得r=2.
∴圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=4.
探究3
例3　(1)24x-7y-20=0或x=2　(2)C　【解析】(1)由于(2-1)2+(4+3)2=50>1，故点M在圆外.
当切线斜率存在时，设切线方程为y-4=k(x-2)，即kx-y+4-2k=0，
因为直线与圆相切，所以=1，解得k=，
所以切线方程为24x-7y-20=0.
当切线斜率不存在时，直线x=2与圆相切.
综上，所求切线方程为24x-7y-20=0或x=2.
(2)圆C的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=2，圆心为C(-1，2)，半径r=，
因为点(a，b)在直线y=x-3上，
所以点(a，b)与圆心的距离的最小值即圆心到直线y=x-3的距离d，
d==3，
所以切线长的最小值为==4.
巩固训练　C　【解析】∵()2+(-1)2=4，∴点P在圆上，∴P为切点.
∵切点与圆心连线的斜率为-，∴切线的斜率为，
∴切线方程为y+1=(x-)，即x-y-4=0.
随堂检测
1.B　【解析】因为圆(x-1)2+(y+1)2=16的圆心坐标为(1，-1)，半径为4，所以圆心到直线的距离d===3<4，所以直线与圆相交.
2.B　【解析】由题意可知，圆心为(0，0)，
且圆心(0，0)到直线l：y=x-3的距离为=，所以|MN|的最小值为-r=-=.
3.2　【解析】易知点P(2，3)到圆心(1，1)的距离为=，
则切线长为=2.
4.2　【解析】直线方程为y=x，圆的标准方程为(x-2)2+y2=4，因为圆心(2，0)到直线的距离d==，圆的半径r=2，所以弦长l=2=2=2.

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