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2.7　用坐标方法解决几何问题
【学习目标】
1.理解并掌握用坐标法解决几何问题的基本过程.(逻辑推理、数学运算)
2.能根据曲线的几何特征求曲线的方程.(直观想象、数学运算)
3.初步掌握求曲线方程的方法，解决一些较为复杂的几何问题.(逻辑推理、数学运算)
【自主预习】
1.某涵洞的横截面是半径为5 m的半圆，则该半圆的方程是(　　).
A.x2+y2=25
B.x2+y2=25(y≥0)
C.(x+5)2+y2=25(y≤0)
D.随建立的平面直角坐标系的变化而变化
2.当点P在圆x2+y2=1上运动时，它与定点Q(3，0)的连线PQ的中点的轨迹方程是(　　).
A.(x+3)2+y2=4
B.(x-3)2+y2=1
C.(2x-3)2+4y2=1
D.(2x+3)2+4y2=1
3.已知动点M到点(8，0)的距离等于点M到点(2，0)的距离的2倍，求点M的轨迹方程.
【合作探究】
探究1　用坐标法解决几何问题
如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作△ABC的外接圆的切线交线段AC的延长线于点D，则线段AD的长是多少
问题1：若用坐标法解决上面问题，应怎样建立平面直角坐标系
问题2：结合问题1所建立的平面直角坐标系求圆的方程和AD的长.
用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”
第一步，建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆等，把平面几何问题转化为代数问题.
第二步，通过代数运算，解决代数问题.
第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论.
例1　如图所示，AB是☉O的直径，CD是☉O的一条弦，且AB⊥CD，E为垂足.利用坐标法证明：E是CD的中点.
【方法总结】坐标法解题的关键是建立平面直角坐标系，建立坐标系的原则：(1)若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴；(2)充分利用图形的对称性；(3)让尽可能多的点落在坐标轴上或关于坐标轴对称；(4)关键点的坐标易求得.
如图所示，在圆O上任取一点C为圆心，作圆C，与圆O的直径AB相切于点D，圆C与圆O交于点E，F，且EF与CD相交于点H.利用坐标法证明：EF平分CD.
探究2　代数问题的几何解法
例2　(1)已知实数x，y满足方程(x-2)2+y2=3，则的最大值和最小值分别为　　　　.
(2)函数y=-的值域为　　　　.
【方法总结】
1.与圆上点(x，y)有关的最值问题的常见类型及解法
(1)形如t=的最值问题，可转化为动直线的斜率的最值问题，即转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；
(2)形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
(3)形如t=(x-a)2+(y-b)2的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题.
2.将被开方式配方，可化为两点间的距离公式的形式，结合几何意义求值域.
已知实数x，y满足(x-2)2+y2=3，求y-x的最大值和最小值.
探究3　求轨迹方程
1.用坐标法解决轨迹问题的基本思想
笛卡儿创立解析几何后，人们借助坐标系把形与数联系起来，使几何问题可以通过建立坐标，用代数方法来解决.在将几何问题转化为代数问题并实施代数运算的过程中，我们可以利用几何定理得出坐标之间的关系，也可以将图形用向量语言来描述，用向量运算来解决，再转化为坐标之间的关系.
2.求轨迹方程的一般步骤
(1)建立适当的平面直角坐标系；
(2)设动点的坐标为(x，y)；
(3)找出限制动点的几何条件；
(4)将坐标代入几何关系；
(5)化简式子.
3.求轨迹方程的三种常用方法
(1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明.
(2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程.
(3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，可将x1，y1用x，y表示，再将点Q的坐标代入到已知圆的方程中，得到点P的轨迹方程.
特别提醒：在解决此类问题时易出现不符合条件的点仍在所求的轨迹上，故应排除不合适的点.
例3　若两定点A，B的距离为3，动点M满足|MA|=2|MB|，求点M的轨迹围成的区域的面积.
例4　已知A(2，0)是圆x2+y2=4上的定点，P为圆上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程.
【方法总结】一般地，求轨迹方程就是找等量关系求等式.先把等量关系用坐标表示出来，再进行变形化简，就得到相应的轨迹方程.求轨迹方程的关键就是建立坐标系，找等量关系.
已知△ABC的边AB的长度为4，若BC边上的中线为定长3，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程.
已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(-1，0)，B(3，0)，求直角顶点C的轨迹方程.
【随堂检测】
1.方程x2+xy=x表示的曲线是(　　).
A.一个点
B.一个点和一条直线
C.一条直线
D.两条直线
2.若Rt△ABC的斜边的两个端点A，B的坐标分别为(-3，0)，(7，0)，则直角顶点C的轨迹方程为(　　).
A.x2+y2=25(y≠0)
B.x2+y2=25
C.(x-2)2+y2=25(y≠0)
D.(x-2)2+y2=25
3.设圆x2+y2-4x+2y-11=0的圆心为A，点P在圆上，则PA的中点M的轨迹方程是　　　　.
4.若实数x，y满足x+y-6=0，则x2+y2的最小值为　　　　.
参考答案
2.7　用坐标方法解决几何问题
自主预习
自学检测
1.D　【解析】建立的平面直角坐标系不同，得到的半圆方程也不同.
2.C　【解析】设P(x1，y1)，PQ的中点M的坐标为(x，y)，
∵Q(3，0)，∴∴
又点P在圆x2+y2=1上，
∴(2x-3)2+4y2=1，∴中点M的轨迹方程为(2x-3)2+4y2=1.故选C.
3.【解析】设M(x，y)，由题意有=2，整理得点M的轨迹方程为x2+y2=16.
合作探究
探究1　情境设置
问题1：以C为原点，AC所在的直线为x轴，BC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系比较合适.因为图中恰有这两条直线互相垂直且线段长度已知.
问题2：如图，建立平面直角坐标系，则A(3，0)，B(0，4)，所以AB的中点坐标为，|AB|=5，
所以圆的方程为x-2+(y-2)2=，
所以切线BD的方程为-×x-+(4-2)(y-2)=，整理得3x-4y+16=0，
所以点D的坐标为-，0，|AD|=3+=.
新知运用
例1　【解析】如图所示，以O为坐标原点，直径AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系.
设☉O的半径为r，|OE|=m(m设C(m，b1)，D(m，b2)，
则m2+=r2，m2+=r2，
即b1，b2是关于b的方程m2+b2=r2的两根，
解方程得b=±，
不妨设b1=-，b2=，
则CD的中点坐标为m，，即(m，0).
故E(m，0)是CD的中点.
巩固训练　【解析】假设点D在点O右侧，以O为坐标原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示.
设|AB|=2r，D(a，0)(0可得圆O：x2+y2=r2，圆C：(x-a)2+(y-)2=r2-a2.
两方程作差得直线EF的方程为2ax+2y=r2+a2.
令x=a，得y=，
则Ha，，
即H为CD的中点，所以EF平分CD.(其他情形同理易证)
探究2
例2　(1)，-　(2)(-1，1)　【解析】(1)原方程表示以点(2，0)为圆心，为半径的圆，设=k，即y=kx.
当直线y=kx与圆相切时，斜率k取得最大值和最小值，此时=，解得k=±.
故的最大值为，最小值为-.
(2)由题意，y=-，
设P(x，0)，A，，B-，，
则|PA|=，
|PB|=.
函数的几何意义为动点P(x，0)到定点B-，和定点A，的距离的差值，即y=|PB|-|PA|.
∵||PB|-|PA||<|AB|，且|AB|=1，
∴|y|<1，即-1巩固训练　【解析】设y-x=b，即y=x+b.
当y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，
此时=，即b=-2±.
故y-x的最大值为-2+，最小值为-2-.
探究3
新知运用
例3　【解析】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图.
设点M(x，y)，则A(0，0)，B(3，0)，
由=2，化简并整理得(x-4)2+y2=4，
于是得点M的轨迹是以点(4，0)为圆心，2为半径的圆，其面积为4π，
所以点M的轨迹围成的区域的面积为4π.
例4　【解析】设线段AP的中点为M(x，y)，
由中点坐标公式，得点P的坐标为(2x-2，2y).
∵点P在圆x2+y2=4上，
∴(2x-2)2+(2y)2=4，
故线段AP的中点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.
巩固训练1　【解析】设AB的中点为O，以O为原点，直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(如图)，则A(-2，0)，B(2，0).设C(x，y)，BC的中点D(x0，y0).
∴　①
∵|AD|=3，∴(x0+2)2+=9.　②
将①代入②，整理得(x+6)2+y2=36.
∵点C不能在x轴上，∴y≠0.
综上，点C的轨迹是以(-6，0)为圆心，6为半径的圆，去掉(-12，0)和(0，0)两点，轨迹方程为(x+6)2+y2=36(x≠-12，且x≠0).
巩固训练2　【解析】(法一)设顶点C(x，y)，因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，
所以x≠3，且x≠-1.
又因为kAC=，kBC=，
且kAC·kBC=-1，
所以·=-1，
化简得x2+y2-2x-3=0，
所以直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(x≠3，且x≠-1).
(法二)同法一，得x≠3，且x≠-1，
由勾股定理，得|AC|2+|BC|2=|AB|2，
即(x+1)2+y2+(x-3)2+y2=16，
化简得x2+y2-2x-3=0，
所以直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(x≠3，且x≠-1).
(法三)设AB的中点为D，由中点坐标公式，得D(1，0)，
由直角三角形的性质，知|CD|=|AB|=2.由圆的定义，知动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(因为A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).
设C(x，y)，则直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(x≠3，且x≠-1).
随堂检测
1.D　【解析】方程可化为x(x+y-1)=0，即x=0或x+y-1=0.因此方程表示的是两条直线.
2.C　【解析】由已知可得，线段AB的中点坐标为(2，0)，因为△ABC为直角三角形，C为直角顶点，所以点C到点(2，0)的距离为|AB|=5，所以点C(x，y)满足=5(y≠0)，即点C的轨迹方程为(x-2)2+y2=25(y≠0).
3.(x-2)2+(y+1)2=4　【解析】由条件知A(2，-1)，设M(x，y)，根据中点坐标公式可得点P(2x-2，2y+1)，
∵点P在圆上，
∴(2x-2)2+(2y+1)2-4(2x-2)+2(2y+1)-11=0，
整理得x2+y2-4x+2y+1=0，即(x-2)2+(y+1)2=4，
∴PA的中点M的轨迹方程为(x-2)2+(y+1)2=4.
4.18　【解析】令x2+y2=r2，则x2+y2的最小值为圆x2+y2=r2与直线相切时的圆的半径的平方，所以r==3，即x2+y2的最小值为18.

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