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第2章章末小结
【知识导图】
【题型突破】
直线的倾斜角与斜率
例1　已知两点M(2，-3)，N(-3，-2)，直线l过点P(1，1)且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是　　　　.
　求直线的倾斜角与斜率的注意点：
(1)求直线的倾斜角，关键是依据平面几何知识判断直线向上方向与x轴正方向之间所成的角，同时应明确倾斜角的范围.
(2)当直线的倾斜角α∈0，时，随着α的增大，直线的斜率k为非负值且逐渐变大；当直线的倾斜角α∈，π时，随着α的增大，直线的斜率k为负值且逐渐变大.
直线方程及其应用
例2　已知△ABC的顶点A(1，2)，B(-3，2)，直线BC的斜率为.
(1)求过点A，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程；
(2)求角B的平分线所在直线的方程.
　求直线方程的两种方法：
(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论.
(2)待定系数法：设含有参数的直线方程，由条件求出参数，最后代入直线方程.
两条直线的位置关系
例3　设常数m∈R，已知两条直线l1：mx+3y-1=0，l2：x+(m-2)y+1=0.
(1)若l1与l2垂直，求m的值.
(2)若l1与l2平行，求m的值.
　两条直线的位置关系的判断方法及注意点：(1)判断方法：两条直线的位置关系有相交(特例垂直)、平行、重合三种，主要考查两条直线的平行和垂直，通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的位置关系.(2)注意点：解题时要注意分析斜率是否存在，用一般式方程来判断，可以避免讨论斜率不存在的情况.
距离问题
例4　(1)直线l在两坐标轴上的截距相等，且P(4，3)到直线l的距离为3，求直线l的方程.
(2)直线l1过点A(0，1)，直线l2过点B(5，0)，如果l1∥l2，l1到l2的距离为5，求l1，l2的方程.
　1.距离问题的解决方法：牢记各种距离的公式并能直接应用，解决距离问题时，往往将代数运算与几何图形的直观分析相结合.
2.三种距离的计算公式
圆的方程
例5　(1)(2022年全国甲卷)设点M在直线2x+y-1=0 上，点(3，0)和(0，1)均在☉M 上，则☉M 的方程为　　　　.
(2)(2022年全国乙卷)过四点(0，0)，(4，0)，(-1，1)，(4，2) 中的三点的一个圆的方程为　　　　　　　　　　　　　　.
　求圆的方程的方法：先设出圆的标准方程或一般方程，然后利用待定系数法解题.
直线与圆的位置关系
例6　(1)(多选题)(2021年新高考全国Ⅱ卷)已知直线l：ax+by-r2=0与圆C：x2+y2=r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　　).
A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
(2)(2023年新高考全国Ⅰ卷)过点(0，-2)与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α，则sin α=(　　).
A.1 B.
C. D.
　直线与圆的位置关系是高考考查的重点，切线问题更是重中之重，判断点、直线与圆的位置关系以几何法为主，解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程.
弦长问题
例7　(1)(多选题)(2021年新高考全国Ⅰ卷)已知点P在圆(x-5)2+(y-5)2=16上，点A(4，0)，B(0，2)，则(　　).
A.点P到直线AB的距离小于10
B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时，|PB|=3
D.当∠PBA最大时，|PB|=3
(2)(2023年新高考全国Ⅱ卷)已知直线l：x-my+1=0与☉C：(x-1)2+y2=4交于A，B两点，则满足“△ABC的面积为”的m的一个值是　　　　.
　直线与圆相交时求弦长的常用的方法是解弦心距d，圆的半径r及半弦长构成的直角三角形.
圆与圆的位置关系
例8　已知圆C1：x2+y2+4x-4y-5=0与圆C2：x2+y2-8x+4y+7=0.
(1)证明圆C1与圆C2相切，并求过切点的两圆公切线的方程；
(2)求过点(2，3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程.
　判断两圆位置关系的两种比较方法
(1)几何法是利用两圆半径的和或差的绝对值与圆心距作比较，得到两圆的位置关系.
(2)代数法是把两圆位置关系的判断完全转化为代数问题，即转化为方程组解的个数问题，从而体现了几何问题与代数问题之间的相互联系.
参考答案
第2章章末小结
题型突破
例1　(-∞，-4]∪，+∞　【解析】如图，若直线l与线段MN相交，则k≤kPM或k≥kPN，
因为kPM==-4，kPN==，所以k≤-4或k≥.
例2　【解析】(1)①当所求直线过原点时，设所求直线的方程为y=kx，又直线过点A(1，2)，则k=2，故所求直线的方程为2x-y=0；
②当所求直线不过原点时，因为所求直线在两坐标轴上的截距相等，所以设所求的直线方程为+=1，
因为直线过点A，所以+=1，解得a=3，
所以所求直线的方程为x+y-3=0.
综上，满足条件的直线方程为2x-y=0或x+y-3=0.
(2)由题意知，直线AB的方程为y=2，直线BC的倾斜角为60°.
①当点C位于直线AB下方时，∠ABC=120°，设其角平分线为BD，
则角平分线BD的倾斜角为120°，其斜率为-，
所以直线BD的方程为y-2=-(x+3)，即x+y+3-2=0；
②当点C位于直线AB上方时，∠ABC=60°，
设其角平分线为BE，则角平分线BE的倾斜角为30°，其斜率为，
所以直线BE的方程为y-2=(x+3)，即x-y+3+2=0.
所以角B的平分线所在直线的方程为x+y+3-2=0或x-y+3+2=0.
例3　【解析】(1)根据题意，若l1与l2垂直，则m+3(m-2)=0，解得m=.
(2)根据题意，若l1与l2平行，则m(m-2)=1×3=3，
解得m=-1或m=3.
当m=-1时，直线l1：-x+3y-1=0，l2：x-3y+1=0，两条直线重合，不符合题意；
当m=3时，直线l1：3x+3y-1=0，l2：x+y+1=0，两条直线平行，符合题意.
故m=3.
例4　【解析】(1)当直线过原点时，设所求直线方程为kx-y=0，则=3，
解得k=±-6，∴y=±-6x.
当直线不经过原点时，设所求直线方程为x+y=a，则=3，解得a=13或a=1，
∴x+y-13=0或x+y-1=0.
综上，直线l的方程为y=±-6x或x+y-13=0或x+y-1=0.
(2)①若l1，l2的斜率存在，设两直线的斜率为k，
由斜截式得l1的方程为y=kx+1，即kx-y+1=0.
由点斜式得l2的方程为y=k(x-5)，即kx-y-5k=0.
因为直线l1到l2的距离d==5，
所以25k2+10k+1=25k2+25，解得k=，
所以l1的方程为12x-5y+5=0，l2的方程为12x-5y-60=0.
②若l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x=0，l2的方程为x=5，它们之间的距离为5，同样满足条件.
综上，满足条件的直线方程有两组：或
例5　(1)(x-1)2+(y+1)2=5　(2)(x-2)2+(y-3)2=13 或(x-2)2+(y-1)2=5 或x-2+y-2=或x-2+(y-1)2=(写出一个即可)　【解析】(1)∵点M在直线2x+y-1=0上，
∴设点M(a，1-2a)，又点(3，0)和(0，1)均在☉M上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴==R，
a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2，解得a=1，
∴M(1，-1)，R=，
故☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
(2)依题意，设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
若圆过点(0，0)，(4，0)，(-1，1)，
则解得
故圆的方程为x2+y2-4x-6y=0，即(x-2)2+(y-3)2=13；
若圆过点(0，0)，(4，0)，(4，2)，则解得
故圆的方程为x2+y2-4x-2y=0，即(x-2)2+(y-1)2=5；
若圆过点(0，0)，(4，2)，(-1，1)，
则解得
故圆的方程为x2+y2-x-y=0，即x-2+y-2=；
若圆过点(-1，1)，(4，0)，(4，2)，
则解得
故圆的方程为x2+y2-x-2y-=0，即x-2+(y-1)2=.
例6　(1)ABD　(2)B　【解析】(1)圆心C(0，0)到直线l的距离d=，
若点A(a，b)在圆C上，则a2+b2=r2，所以d==|r|，则直线l与圆C相切，故A正确；
若点A(a，b)在圆C内，则a2+b2|r|，则直线l与圆C相离，故B正确；
若点A(a，b)在圆C外，则a2+b2>r2，所以d=<|r|，则直线l与圆C相交，故C错误；
若点A(a，b)在直线l上，则a2+b2-r2=0，即a2+b2=r2，所以d==|r|，则直线l与圆C相切，故D正确.故选ABD.
(2)如图，
由x2+y2-4x-1=0得(x-2)2+y2=5，所以圆心坐标为(2，0)，半径r=，所以圆心到点(0，-2)的距离为=2.
因为圆心与点(0，-2)的连线平分角α，所以sin ===，所以cos =，所以sin α=2sin cos =2××=.故选B.
例7　(1)ACD　(2)2或-2，，-其中的一个
【解析】(1)圆(x-5)2+(y-5)2=16的圆心为M(5，5)，半径为4，直线AB的方程为+=1，即x+2y-4=0，圆心M到直线AB的距离为==>4，
所以点P到直线AB的距离的最小值为-4<2，最大值为+4<10，故A正确，B错误；
如图所示，当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP，BM，可知PM⊥PB，
|BM|==，|MP|=4，由勾股定理可得|BP|==3，故C，D正确.故选ACD.
(2)由条件知，☉C的圆心为C(1，0)，半径R=2，点C到直线l的距离d=，|AB|=2=2=.由S△ABC=，得··=，整理得2m2-5|m|+2=0，解得m=±2或m=±.
例8　【解析】(1)把圆C1与圆C2的方程都化为标准方程，得(x+2)2+(y-2)2=13，(x-4)2+(y+2)2=13，
圆心与半径长分别为C1(-2，2)，r1=，
C2(4，-2)，r2=.
因为|C1C2|==2=r1+r2，
所以圆C1与圆C2相外切.
由得12x-8y-12=0，
即3x-2y-3=0，就是过切点的两圆公切线的方程.
(2)由圆系方程，可设所求圆的方程为x2+y2+4x-4y-5+λ(3x-2y-3)=0，
将点(2，3)的坐标代入方程，解得λ=，
所以所求圆的方程为x2+y2+4x-4y-5+(3x-2y-3)=0，即x2+y2+8x-y-9=0.

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