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专题课:“子弹打木块”模型和“滑块—木板”模型
例1　D　[解析] 由于木块始终保持静止状态,则两子弹对木块的推力大小相等,即两子弹所受的阻力大小相等,设为Ff,根据动能定理,对子弹A有-FfdA=0-EkA,得EkA=FfdA,对子弹B有-FfdB=0-EkB,得EkB=FfdB,由于dA>dB,则有子弹射入时的初动能EkA>EkB,故B错误,D正确.两子弹和木块组成的系统动量守恒,则有=,而EkA>EkB,则mA变式　m
[解析] 子弹射入木块A的极短时间内,弹簧未发生形变(实际上是形变很小,忽略不计),设子弹和木块A获得共同速度v,由动量守恒定律得mv0=(m+99m)v
之后木块A(含子弹)开始压缩弹簧推动B前进,当A、B速度相等时,弹簧的压缩量最大,设此时弹簧的弹性势能为Ep,A、B的共同速度为v1,对A(含子弹)、B组成的系统,由动量守恒定律得(m+99m)v=(m+99m+100m)v1
由机械能守恒定律得
(m+99m)v2=(m+99m+100m)+Ep
联立解得Ep=m
例2　(1)v0　(2)　
(3)　　　
(4)　　(5)
[解析] (1)设子弹、木块相对静止时的速度为v,以子弹初速度的方向为正方向,由动量守恒定律得mv0=(M+m)v
解得v=v0
(2)设子弹在木块内运动的时间为t,对木块,由动量定理得Fft=Mv-0
解得t=
(3)设子弹、木块发生的位移分别为x1、x2,如图所示
对子弹,由动能定理得-Ffx1=mv2-m
解得x1=
对木块,由动能定理得Ffx2=Mv2
解得x2=
子弹打进木块的深度等于相对位移的大小,即
x相=x1-x2=
(4)系统损失的机械能为
E损=m-(M+m)v2=
系统增加的内能为Q=Ff·x相=
(5)假设子弹恰好不射出木块,有
FfL=m-(M+m)v2
解得L=
因此木块的长度至少为
例3　(1)2 m/s　(2)1 s　(3)30 J
[解析] (1)小车和物体组成的系统动量守恒,规定向右为正方向,则mv0=(m+M)v
解得v== m/s=2 m/s
(2)物体在小车上做匀减速直线运动
根据牛顿第二定律可知-μmg=ma
解得a=-μg=-3 m/s2
则物体在小车上滑行的时间为t== s=1 s
(3)根据能量守恒定律,系统产生的摩擦热为
ΔQ=m-(m+M)v2=30 J
例4　(1)0　(2)　(3)
[解析] (1)A受力如图所示,A受到的合力为
FA合=μmg-μmg=0
(2)系统所受合外力为零,系统动量守恒,以向左为正方向
由动量守恒定律得
m·2v-mv=(m+m+m)v'
解得A、B、C最终的共同速度为v'=,即木板A最终运动的速度为
(3)对系统,由能量守恒定律得
mv2+m(2v)2=(m+m+m)v'2+μmgL
解得L=
随堂巩固
1.ACD　[解析] 子弹射入滑块的过程中,将子弹和滑块看成一个整体,所受合外力为0,系统动量守恒,所以两种情况下子弹和滑块的最终速度相同,所以末动能相同,故系统损失的动能一样多,产生的热量一样多,A、C正确;子弹射击滑块上层能射进一半厚度,射击滑块下层刚好不射出,说明在上层所受的摩擦力比下层大,根据动量定理可知,两种情况下滑块对子弹的冲量相同,子弹射击上层所受摩擦力大,所以从入射到共速经历的时间短,B错误,D正确.
2.BC　[解析] 木板在光滑水平桌面上,物块滑上木板后,系统动量守恒,由图像可知,最终物块与木板以共同速度v1运动,有mv0=(M+m)v1,-μmgΔx=(M+m)-m,Δx=t1,可求出物块与木板的质量之比及物块与木板之间的动摩擦因数,但求不出木板的长度,A错误,B、C正确;由于木板质量未知,故不能求出木板获得的动能,D错误.
3.BD　[解析] 子弹、物块、木板整个系统,整个过程根据动量守恒定律,有mv0=2m·+8m·v,求得长木板最终的速度大小为v=v0,故A错误;子弹射入物块的过程中,时间极短,子弹及物块根据动量守恒定律有mv0=2mv',解得v'=,该过程系统损失的机械能为ΔE=m-·2mv'2,联立两式可求得ΔE=m,故C错误;子弹射入物块后到物块v0从长木板滑离时,运动的位移大小为x1=t0==t0=v0t0,长木板滑动位移大小为x2=t0=t0=v0t0,则长木板的长度为L=x1-x2=v0t0,故B正确;对长木板,整个过程根据动量定理有μ·2mgt0=8mv,可求得物块与长木板间的动摩擦因数为μ=,故D正确.
4.(1)10 m/s　(2)2 m
[解析] (1)子弹进入小车的过程中,子弹与小车组成的系统动量守恒,由动量守恒定律得m0v0=(m0+m1)v1
解得v1=10 m/s.
(2)三物体组成的系统动量守恒,由动量守恒定律得
(m0+m1)v1=(m0+m1)v2+m2v3
解得v2=8 m/s
由能量守恒定律可得
(m0+m1)=μm2gL+(m0+m1)+m2
解得L=2 m.专题课:“子弹打木块”模型和“滑块—木板”模型
学习任务一　“子弹打木块”模型
[模型建构]
模型 图示 水平地面光滑
模型 特点 (1)子弹水平打进木块的过程中,系统的动量守恒 (2)系统的机械能有损失
两种 情景 (1)子弹嵌入木块中,两者速度相等,机械能损失最多(完全非弹性碰撞) 动量守恒:mv0=(m+M)v 能量守恒:Q=Ff·x=m-(M+m)v2 (2)子弹穿透木块 动量守恒:mv0=mv1+Mv2 能量守恒:Q=Ff·d=m-(M+m)
例1 如图所示,木块静止在光滑水平面上,两颗不同的子弹A、B从木块两侧同时射入木块,最终都停在木块内,这一过程中木块始终保持静止.若子弹A射入的深度大于子弹B射入的深度,则 (　)
A.子弹A的质量一定比子弹B的质量大
B.入射过程中子弹A受到的阻力比子弹B受到的阻力大
C.子弹A在木块中运动的时间比子弹B在木块中运动的时间长
D.子弹A射入木块时的初动能一定比子弹B射入木块时的初动能大
[反思感悟] 　
变式 如图所示,A、B两个木块用弹簧连接,它们静止在光滑水平面上,A和B的质量分别为99m和100m.一颗质量为m的子弹以速度v0水平射入木块A内没有穿出,则在之后的运动过程中弹簧的最大弹性势能为多少
例2 一质量为M的木块放在光滑的水平面上,一质量为m的子弹以初速度v0水平打进木块并留在其中.设子弹与木块之间的相互作用力大小为Ff.
(1)子弹、木块相对静止时的速度为多大
(2)子弹在木块内运动的时间为多长
(3)子弹、木块相互作用过程中,子弹、木块发生的位移以及子弹打进木块的深度分别为多少
(4)系统损失的机械能、系统增加的内能分别为多少
(5)要使子弹不射出木块,木块至少为多长
学习任务二　“滑块—木板”模型
[模型建构]
模型 图示
模型 特点 (1)系统的动量守恒,但机械能不守恒,摩擦力与两者相对位移的乘积等于系统减少的机械能 (2)若滑块未从木板上滑下,当两者速度相同时,木板速度最大,相对位移最大
求解 方法 (1)求速度:根据动量守恒定律求解,研究对象为一个系统 (2)求时间:根据动量定理求解,研究对象为一个物体 (3)求系统产生的内能或相对位移:根据能量守恒定律Q=FfΔx或Q=E初-E末,研究对象为一个系统
例3 如图所示,质量m=4 kg的物体,以水平速度v0=5 m/s滑上静止在光滑水平面上的平板小车,小车质量M=6 kg,物体与小车车面之间的动摩擦因数μ=0.3,g取10 m/s2,设小车足够长,求:
(1)小车和物体的共同速度;
(2)物体在小车上滑行的时间;
(3)在物体相对小车滑动的过程中,系统产生的摩擦热.
例4 质量为m的长木板A静止在光滑水平面上,另外两个质量也为m的物块B和C同时分别从A的左、右两端滑上A的上表面,初速度大小分别为v和2v,如图所示.物块B、C与长木板A间的动摩擦因数均为μ,假设物块B、C在长木板A表面上运动时始终没有碰撞,重力加速度为g.则:
(1)B、C刚滑上长木板A时,A所受合外力为多大
(2)长木板A的最终运动速度为多大
(3)为使物块B、C不相撞,长木板A至少多长
1.(子弹打木块模型)(多选)如图所示,矩形滑块由不同材料的上、下两层粘合在一起组成,将其放在光滑的水平面上,质量为m的子弹以速度v水平射向滑块,若射击下层,子弹刚好不射出.若射击上层,则子弹刚好能射进一半厚度,上述两种情况相比较 (　)
A.子弹损失的动能一样多
B.子弹射击上层时,从射入到共速所经历时间较长
C.系统产生的热量一样多
D.子弹与上层摩擦力较大
2.(滑块—木板模型)(多选)[2024·上海一中月考] 如图甲所示,一长木板静止于光滑水平桌面上,t=0时,小物块以速度v0滑到长木板上,图乙为物块与木板运动的v t图像,图中t1、v0、v1已知,重力加速度大小为g,由此可求得 (　)
A.木板的长度
B.物块与木板的质量之比
C.物块与木板之间的动摩擦因数
D.从t=0开始到t1时刻,木板获得的动能
3.(动量综合应用) (多选)[2024·山东青岛二中月考] 如图所示,质量为8m、长度一定的长木板放在光滑的水平面上,质量为m、可视为质点的物块放在长木板的最左端,质量为m的子弹以水平向右的速度v0射入物块且未穿出(该过程的作用时间极短可忽略不计),经时间t0物块以的速度离开长木板的最右端,重力加速度为g,则下列说法正确的是 (　)
A.长木板最终的速度大小为
B.长木板的长度为
C.子弹射入物块的过程中损失的机械能为m
D.物块与长木板间的动摩擦因数为
4.(动量综合应用)如图所示,一质量m1=0.45 kg的平顶小车静止在光滑的水平轨道上.质量m2=0.5 kg的小物块(可视为质点)静止在车顶的右端.一质量为m0=0.05 kg的子弹、以水平速度v0=100 m/s射中小车左端并留在车中,最终小物块相对地面以2 m/s的速度滑离小车.已知子弹与车的作用时间极短,物块与车顶面的动摩擦因数μ=0.8,认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力.g取10 m/s2,求:
(1)子弹相对小车静止时小车速度的大小;
(2)小车的长度L.专题课:“子弹打木块”模型和“滑块—木板”模型
1.BD　[解析] 子弹射入木块的过程,由能量守恒定律知,子弹动能的减少量大于系统动能的减少量,A错误;子弹和木块组成的系统动量守恒,系统动量的变化量为零,则子弹与木块的动量变化量大小相等,方向相反,B正确;摩擦力对木块做的功为Ffx,摩擦力对子弹做的功为-Ff(x+d),可知二者不相等,系统因摩擦产生的热量为Ffd,C错误,D正确.
2.AC　[解析] 小车和木块组成的系统在水平方向上不受外力,系统在水平方向上动量守恒,若小车的初动量大于木块的初动量,则最后相对静止时整体的动量方向向左,木块先减速运动再反向加速运动后匀速运动,小车先减速运动再匀速运动,故A正确,B错误;同理若小车的初动量小于木块的初动量,则最后相对静止时整体的动量方向向右,则木块先减速运动后匀速运动,小车先减速运动再加速运动后匀速运动,C正确,D错误.
3.D　[解析] 长木板固定时,由动能定理得-μMgL=0-M,若长木板不固定,以物块初速度的方向为正方向,由动量守恒定律有Mv0=2Mv,由能量守恒定律有μMgx=M-×2Mv2,得x=,D正确,A、B、C错误.
4.D　[解析] 由题图乙可知,最终长木板A获得的速度为v=1 m/s,A、B组成的系统动量守恒,以B的初速度方向为正方向,由动量守恒定律得mv0=(M+m)v,解得M=2 kg,则A获得的动能为Ek=Mv2=×2×12 J=1 J,故A错误;系统损失的机械能ΔE=m-(m+M)v2,代入数据解得ΔE=2 J,故B错误;v t图像中图线与t轴所围的面积表示位移,由题图乙得到0~1 s内B的位移为xB=×(2+1)×1 m=1.5 m,A的位移为xA=×1×1 m=0.5 m,则长木板A的最小长度为L=xB-xA=1 m,故C错误;由题图乙可知,B的加速度a== m/s2=-1 m/s2,负号表示加速度的方向,由牛顿第二定律得-μmg=ma,解得μ=0.1,故D正确.
5.弹簧第一次恢复原长　m
[解析] 子弹射入A中时,因时间极短,且A与B用弹簧相连,故可认为B未参与此过程,则子弹与A组成的系统动量守恒,设子弹与A的共同速度为vA,则有
v0=vA
解得vA=
此后,弹簧被压缩,B加速,当弹簧再次恢复原长时,弹簧的弹性势能为零,B有最大速度vBm,即有最大动能Ekm,此过程相当于以速度vA运动的滑块A(内含子弹)与静止滑块B发生弹性碰撞,应用弹性正碰的结论,有
vBm=·=v0
Ekm=m=m.
6.CD　[解析] 子弹射入木块并留在木块中,子弹与木块组成的系统受合外力等于零,因此动量守恒,因子弹与木块是完全非弹性碰撞,机械能减少最多,即机械能不守恒,A错误;子弹和木块一起压缩弹簧过程中,子弹、木块、小车组成的系统受合外力等于零,动量守恒,由于压缩弹簧,即对弹簧做功,弹簧的弹性势能增加,子弹、木块、小车组成的系统机械能减少,机械能不守恒,B错误;由能量守恒定律可知,整个过程,子弹、木块、小车组成的系统所损失的机械能等于子弹与木块摩擦产生的热量及弹簧的弹性势能之和,C正确;设子弹的质量为m0,速度为v0,木块的质量为m,小车的质量为M,子弹射入木块后速度为v1,设向右为正方向,由动量守恒定律可得m0v0=(m0+m)v1,解得v1=,此后对子弹、木块、小车组成的系统,由动量守恒定律可得(m0+m)v1=(m0+m+M)v2,由机械能守恒定律可得(m0+m)-(m0+m+M)=Epm,联立解得弹簧的弹性势能为Epm=,由此可见其他条件不变时,若增大小车的质量,弹簧的弹性势能增大,弹簧的最大压缩量增大,D正确.
7.(1)6 m/s　(2)2 m/s　(3)1 s
[解析] (1)子弹射入物块后和物块一起向右滑行的初速度即最大速度,由动量守恒定律得
m0v0=(m0+m)v1
解得v1=6 m/s.
(2)当子弹、物块、木板三者共速时,木板的速度最大,由动量守恒定律得(m0+m)v1=(m0+m+M)v2
解得v2=2 m/s.
(3)对物块和子弹组成的系统,由动量定理得
-μ(m0+m)gt=(m0+m)v2-(m0+m)v1
解得t=1 s.
8.(1)4 m/s　(2)1 m　1 m　(3)36 J
[解析] (1)设滑块与小车的共同速度为v1,二者相对运动过程中根据动量守恒定律,有mv0=(M+m)v1
解得v1=4 m/s
(2)设达到共速时小车移动的距离为x1,对小车根据动能定理有μmgx1=M-0
代入数据解得x1=2 m
小车与挡板的距离x2=x-x1=1 m
设滑块与小车的相对位移为L1,对系统,根据能量守恒定律,有μmgL1=m-(m+M)
代入数据解得L1=3 m
滑块与小车右端的距离L2=L-L1=1 m
其位置情况如图乙所示
(3)共速后小车未碰撞挡板时小车与滑块间的摩擦力消失,如图丙所示.直到小车碰撞挡板被粘住静止,滑块又开始在小车上继续向右做初速度v1=4 m/s的匀减速直线运动,由于与挡板发生弹性碰撞,滑块速度大小不变,设返回的路程为L3,由动能定理,有
-μmg(L2+L3)=0-m
解得L3=3 m
说明滑块不会从车左端掉下,全过程中滑块克服摩擦力做的功
Wf=μmg(L+x1-L2)+μmg(L2+L3)=36 J专题课:“子弹打木块”模型和“滑块—木板”模型
(时间:40分钟　总分:62分)
(选择题每小题4分)
1.(多选)[2024·河北正定中学月考] 如图所示,一子弹(可视为质点)以初速度v0击中静止在光滑的水平面上的木块,最终子弹未能射穿木块,射入的深度为d,摩擦力大小为Ff,木块加速运动的位移为x.则以下说法正确的是 (　)
A.子弹动能的减少量等于系统动能的减少量
B.子弹动量变化量的大小等于木块动量变化量的大小
C.摩擦力对木块做的功等于摩擦力对子弹做的功
D.系统因摩擦产生的热量为Ffd
2.(多选)如图所示,小车在光滑的水平面上向左运动,木块水平向右在小车的水平车板上运动,且未滑出小车.下列说法中正确的是 (　)
A.若小车的初动量大于木块的初动量,则木块先减速运动再加速运动后匀速运动
B.若小车的初动量大于木块的初动量,则小车先减速运动再加速运动后匀速运动
C.若小车的初动量小于木块的初动量,则木块先减速运动后匀速运动
D.若小车的初动量小于木块的初动量,则小车先减速运动后匀速运动
3.如图所示,质量为M、长为L的长木板放在光滑的水平面上,一个质量也为M的物块(视为质点)以一定的初速度从左端冲上长木板,如果长木板是固定的,物块恰好停在长木板的右端,如果长木板不固定,则物块冲上长木板后在长木板上相对长木板最多能滑行的距离为 (　)
A.L B. C. D.
4.长木板A放在光滑的水平面上,质量为m=2 kg的另一物体B以水平速度v0=2 m/s滑上原来静止的长木板A的上表面,由于A、B间存在摩擦,之后A、B速度随时间变化情况如图乙所示,重力加速度g取10 m/s2.则下列说法正确的是 (　)
A.长木板A获得的动能为2 J
B.系统损失的机械能为4 J
C.长木板A的最小长度为2 m
D.A、B间的动摩擦因数为0.1
5.(10分)[2024·湖北黄冈中学月考] 如图所示,一轻质弹簧两端分别连着质量均为m的滑块A和B,两滑块都置于光滑的水平面上.今有质量为的子弹以水平速度v0射入A中不再穿出(时间极短),则弹簧在什么状态下滑块B具有最大动能 其值是多少
6.(多选)如图,一表面光滑的平板小车放在光滑水平面上,木块和轻弹簧置于小车表面,轻弹簧一端与固定在小车上的挡板连接,整个装置静止.一颗子弹以一定速度水平射入木块,留在木块中并与木块一起向前滑行,与弹簧接触后压缩弹簧.不计挡板与弹簧质量,弹簧始终在弹性限度内.下列说法正确的是 (　)
A.子弹射入木块过程中,子弹与木块组成的系统动量及机械能均守恒
B.子弹和木块一起压缩弹簧过程中,子弹、木块、小车组成的系统动量及机械能均守恒
C.整个过程,子弹、木块、小车组成的系统所损失的机械能等于子弹与木块摩擦产生的热量及弹簧的弹性势能之和
D.其他条件不变时,若增大小车的质量,弹簧的最大压缩量增大
7.(16分)[2024·河北石家庄一中月考] 如图所示,质量为m=245 g的物块(可视为质点)放在质量为M=0.5 kg的木板左端,足够长的木板静止在光滑水平面上,物块与木板间的动摩擦因数为μ=0.4.质量为m0=5 g的子弹以速度v0=300 m/s沿水平方向射入物块并留在其中(时间极短),重力加速度g取10 m/s2.子弹射入后,求:
(1)(4分)子弹和物块一起向右滑行的最大速度v1;
(2)(6分)木板向右滑行的最大速度v2;
(3)(6分)物块在木板上滑行的时间t.
8.(16分)如图所示,在光滑水平地面上固定足够高的挡板,距离挡板x=3 m处静止放置质量M=1 kg、长L=4 m的小车,一质量m=2 kg的滑块(可视为质点)以v0=6 m/s的初速度滑上小车左端,带动小车向右运动,小车与挡板碰撞时被粘住不动,已知滑块与小车表面间的动摩擦因数μ=0.2,g取10 m/s2.
(1)(4分)求滑块与小车的共同速度大小;
(2)(6分)当滑块与小车共速时,小车与挡板的距离和滑块与小车右端的距离分别为多少
(3)(6分)若滑块与挡板碰撞时为弹性碰撞,求全过程中滑块克服摩擦力做的功.(共73张PPT)
专题课：“子弹打木块”模型和“滑块—
木板”模型
学习任务一 “子弹打木块”模型
学习任务二 “滑块—木板”模型
备用习题
随堂巩固
练习册
◆
答案核查【导】
答案核查【练】
学习任务一 “子弹打木块”模型
［模型建构］
模型 图示 __________________________________________________________________
模型 特点 (1)子弹水平打进木块的过程中，系统的动量守恒
(2)系统的机械能有损失
水平地面光滑
两种 情景 (1)子弹嵌入木块中，两者速度相等，机械能损失最多(完全非弹性碰撞)
动量守恒：
能量守恒：
(2)子弹穿透木块
动量守恒：
能量守恒：
续表
例1 如图所示，木块静止在光滑水平面上，两颗不同的子弹、 从木块两侧同
时射入木块，最终都停在木块内，这一过程中木块始终保持静止.若子弹 射入
的深度大于子弹 射入的深度，则( )
A.子弹的质量一定比子弹 的质量大
B.入射过程中子弹受到的阻力比子弹 受到的阻力大
C.子弹在木块中运动的时间比子弹 在木块中运动的时间长
D.子弹射入木块时的初动能一定比子弹 射入木块时的初动能大
√
[解析] 由于木块始终保持静止状态，则两子弹对木块的推力大小相等，即两子
弹所受的阻力大小相等，设为，根据动能定理，对子弹有 ，
得，对子弹有，得，由于 ，则
有子弹射入时的初动能 ，故B错误，D正确.两子弹和木块组成的系统
动量守恒，则有，而，则 ，故A错误.
子弹、 从木块两侧同时射入木块，木块始终保持静止，分析得知，两子弹在
木块中运动的时间必定相等，否则木块就会运动，故C错误.
变式 如图所示,、两个木块用弹簧连接,它们静止在光滑水平面上,和 的质
量分别为和.一颗质量为的子弹以速度水平射入木块 内没有穿出,
则在之后的运动过程中弹簧的最大弹性势能为多少
[答案]
[解析] 子弹射入木块 的极短时间内,弹簧未发生形变(实际上是形变很小,忽略
不计),设子弹和木块获得共同速度,由动量守恒定律得
之后木块(含子弹)开始压缩弹簧推动前进,当、 速度相等时，弹簧的压缩量
最大,设此时弹簧的弹性势能为,、的共同速度为,对(含子弹)、 组成的
系统,由动量守恒定律得
由机械能守恒定律得
联立解得
例2 一质量为的木块放在光滑的水平面上，一质量为的子弹以初速度 水
平打进木块并留在其中.设子弹与木块之间的相互作用力大小为 .
(1) 子弹、木块相对静止时的速度为多大？
[答案]
[解析] 设子弹、木块相对静止时的速度为 ，以子弹初速度的方向为正方向，
由动量守恒定律得
解得
例2 一质量为的木块放在光滑的水平面上，一质量为的子弹以初速度 水
平打进木块并留在其中.设子弹与木块之间的相互作用力大小为 .
(2) 子弹在木块内运动的时间为多长？
[答案]
[解析] 设子弹在木块内运动的时间为，对木块，由动量定理得
解得
例2 一质量为的木块放在光滑的水平面上，一质量为的子弹以初速度 水
平打进木块并留在其中.设子弹与木块之间的相互作用力大小为 .
(3) 子弹、木块相互作用过程中，子弹、木块发生的位移以及子弹打进木块的
深度分别为多少？
[答案] ; ;
[解析] 设子弹、木块发生的位移分别为、 ，如图所示
对子弹，由动能定理得
解得
对木块，由动能定理得
解得
子弹打进木块的深度等于相对位移的大小，即
例2 一质量为的木块放在光滑的水平面上，一质量为的子弹以初速度 水
平打进木块并留在其中.设子弹与木块之间的相互作用力大小为 .
(4) 系统损失的机械能、系统增加的内能分别为多少？
[答案] ;
[解析] 系统损失的机械能为
系统增加的内能为
例2 一质量为的木块放在光滑的水平面上，一质量为的子弹以初速度 水
平打进木块并留在其中.设子弹与木块之间的相互作用力大小为 .
(5) 要使子弹不射出木块，木块至少为多长？
[答案]
[解析] 假设子弹恰好不射出木块，有
解得
因此木块的长度至少为
学习任务二 “滑块—木板”模型
［模型建构］
模型 图示 ________________________________________________________
模型 特点 (1)系统的动量守恒，但机械能不守恒，摩擦力与两者相对位移的乘积等
于系统减少的机械能
(2)若滑块未从木板上滑下，当两者速度相同时，木板速度最大，相对位
移最大
水平地面光滑
求解 方法 (1)求速度：根据动量守恒定律求解，研究对象为一个系统
(2)求时间：根据动量定理求解，研究对象为一个物体
(3)求系统产生的内能或相对位移：根据能量守恒定律 或
，研究对象为一个系统
续表
例3 如图所示，质量的物体，以水平速度 滑上静止在光滑
水平面上的平板小车，小车质量 ，物体与小车车面之间的动摩擦因数
，取 ，设小车足够长，求：
(1) 小车和物体的共同速度；
[答案]
[解析] 小车和物体组成的系统动量守恒，规定向右为正方向，则
解得
例3 如图所示，质量的物体，以水平速度 滑上静止在光滑
水平面上的平板小车，小车质量 ，物体与小车车面之间的动摩擦因数
，取 ，设小车足够长，求：
(2) 物体在小车上滑行的时间；
[答案]
[解析] 物体在小车上做匀减速直线运动
根据牛顿第二定律可知
解得
则物体在小车上滑行的时间为
例3 如图所示，质量的物体，以水平速度 滑上静止在光滑
水平面上的平板小车，小车质量 ，物体与小车车面之间的动摩擦因数
，取 ，设小车足够长，求：
(3) 在物体相对小车滑动的过程中，系统产生的摩擦热.
[答案]
[解析] 根据能量守恒定律，系统产生的摩擦热为
例4 质量为的长木板静止在光滑水平面上，另外两个质量也为的物块 和
同时分别从的左、右两端滑上的上表面，初速度大小分别为和 ，如图所
示.物块、与长木板间的动摩擦因数均为 ，假设物块、在长木板 表面
上运动时始终没有碰撞，重力加速度为 .则：
(1) 、刚滑上长木板时， 所受合外力为多大？
[答案] 0
[解析] 受力如图所示， 受到的合力为
合
例4 质量为的长木板静止在光滑水平面上，另外两个质量也为的物块 和
同时分别从的左、右两端滑上的上表面，初速度大小分别为和 ，如图所
示.物块、与长木板间的动摩擦因数均为 ，假设物块、在长木板 表面
上运动时始终没有碰撞，重力加速度为 .则：
(2) 长木板 的最终运动速度为多大？
[答案]
[解析] 系统所受合外力为零，系统动量守恒，以向左为正方向
由动量守恒定律得
解得、、最终的共同速度为，即木板最终运动的速度为
例4 质量为的长木板静止在光滑水平面上，另外两个质量也为的物块 和
同时分别从的左、右两端滑上的上表面，初速度大小分别为和 ，如图所
示.物块、与长木板间的动摩擦因数均为 ，假设物块、在长木板 表面
上运动时始终没有碰撞，重力加速度为 .则：
(3) 为使物块、不相撞，长木板 至少多长？
[答案]
[解析] 对系统，由能量守恒定律得
解得
1.(多选)质量为、内壁间距为 的箱子静止于光滑的水平面上，箱子中间有一
质量为的小物块，小物块与箱子底板间的动摩擦因数为 .初始时小物块停在
箱子正中间，如图所示.现给小物块一水平向右的初速度，小物块与箱壁碰撞
次后恰又回到箱子正中间，并与箱子保持相对静止.重力加速度为 ,设碰撞都是
弹性的，则整个过程中，系统损失的动能为( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 设物块与箱子相对静止时共同速度为 ，则由动量守恒定律有
，得 ，系统损失的动能为
， A错误，B正确；根据能量守恒定律可
知，系统产生的内能等于系统损失的动能，根据功能关系可知，系统产生的内
能等于系统克服摩擦力做的功，则有 ，C错误，D正确.
2.质量为的子弹以某一初速度击中静止在水平地面上质量为 的木块，并陷
入木块一定深度后与木块相对静止，甲、乙两图表示了这一过程开始和结束时
子弹和木块可能的相对位置，设地面粗糙程度均匀，木块对子弹的阻力大小恒
定，则下列说法中正确的是 ( )
A.无论、、 的大小和地面粗糙程度如何，都只可能是甲图所示的情形
B.若较大，则可能是甲图所示情形；若 较小，则可能是乙图所示情形
C.若较小，则可能是甲图所示情形；若 较大，则可能是乙图所示情形
D.若地面较粗糙，则可能是甲图所示情形；若地面较光滑，则可能是乙图所示情形
√
[解析] 在子弹射入木块的瞬间，子弹与木块间的摩擦力远远大于木块与地面间
的摩擦力，故地面光滑与粗糙效果相同，子弹和木块构成一系统，在水平方向
上所受合外力为零，在水平方向上动量守恒，规定向右为正方向，设子弹与木
块的共同速度为，根据动量守恒定律有 ，设木块在水平面上
滑行的距离为，子弹陷入木埠的深度为 ，子弹射入并穿出木块的过程中对木
块运用动能定理得 ，根据能量守恒定律得
，则 ，不论速度、质量大小关系
和地面粗糙程度如何，都只可能是甲图所示的情形，故选A.
3.如图所示，一质量 的平顶小车静止在光滑的水平轨道上.质量
的小物块(可视为质点)静止在车顶的右端.一质量为 的
子弹、以水平速度 射中小车左端并留在车中，最终小物块相对地
面以 的速度滑离小车.已知子弹与车的作用时间极短，物块与车顶面的动
摩擦因数，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力.取 ，求：
(1) 子弹相对小车静止时小车速度的大小；
[答案]
[解析] 子弹进入小车的过程中，子弹与小车组成的系统动量守恒，由动量守恒
定律得
解得 .
3.如图所示，一质量 的平顶小车静止在光滑的水平轨道上.质量
的小物块(可视为质点)静止在车顶的右端.一质量为 的
子弹、以水平速度 射中小车左端并留在车中，最终小物块相对地
面以 的速度滑离小车.已知子弹与车的作用时间极短，物块与车顶面的动
摩擦因数，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力.取 ，求：
(2) 小车的长度 .
[答案]
[解析] 三物体组成的系统动量守恒，由动量守恒定律得
解得
由能量守恒定律可得
解得 .
1.(子弹打木块模型)(多选)如图所示，矩形滑块由不同材料的上、下两层粘合在一起组成，
将其放在光滑的水平面上，质量为的子弹以速度 水平射向滑块，若射击下层，子弹
刚好不射出.若射击上层，则子弹刚好能射进一半厚度，上述两种情况相比较 ( )
A.子弹损失的动能一样多
B.子弹射击上层时，从射入到共速所经历时间较长
C.系统产生的热量一样多
D.子弹与上层摩擦力较大
√
√
√
[解析] 子弹射入滑块的过程中，将子弹和滑块看成一个整体，所受合外力为0，
系统动量守恒，所以两种情况下子弹和滑块的最终速度相同，所以末动能相同，
故系统损失的动能一样多，产生的热量一样多，A、C正确；子弹射击滑块上层
能射进一半厚度，射击滑块下层刚好不射出，说明在上层所受的摩擦力比下层
大，根据动量定理可知，两种情况下滑块对子弹的冲量相同，子弹射击上层所
受摩擦力大，所以从入射到共速经历的时间短，B错误，D正确.
2.(滑块—木板模型)(多选)［2024·上海一中月考］ 如图甲所示，一长木板静止
于光滑水平桌面上，时，小物块以速度 滑到长木板上，图乙为物块与木
板运动的图像，图中、、已知，重力加速度大小为 ，由此可求得
( )
A.木板的长度
B.物块与木板的质量之比
C.物块与木板之间的动摩擦因数
D.从开始到 时刻，木板获得的动能
√
√
[解析] 木板在光滑水平桌面上，物块滑上木板后，系统动量守恒，由图像可知，
最终物块与木板以共同速度运动，有 ，
， ，可求出物块与木板的质
量之比及物块与木板之间的动摩擦因数，但求不出木板的长度，A错误，B、C
正确；由于木板质量未知，故不能求出木板获得的动能，D错误.
3.(动量综合应用) (多选)［2024·山东青岛二中月考］ 如图所示，质量为 、
长度一定的长木板放在光滑的水平面上，质量为 、可视为质点的物块放在长
木板的最左端，质量为的子弹以水平向右的速度 射入物块且未穿出
(该过程的作用时间极短可忽略不计)，经时间物块以 的速度离开长木板的最
右端，重力加速度为 ，则下列说法正确的是( )
A.长木板最终的速度大小为
B.长木板的长度为
C.子弹射入物块的过程中损失的机械能为
D.物块与长木板间的动摩擦因数为
√
√
[解析] 子弹、物块、木板整个系统，整个过程根据动量守恒定律，有
，求得长木板最终的速度大小为 ，故A错误；子
弹射入物块的过程中，时间极短,子弹及物块根据动量守恒定律有 ，
解得，该过程系统损失的机械能为 ，联立两式可
求得，故C错误；
子弹射入物块后到物块 从长木板滑离时，运动 的位移大小为，长木板滑动位移大小为 ，
则长木板的长度为，故B正确；对长木板，整个过程根据动量定理有，可求得物块与长木板间的动摩擦因数为 ，故D正确.
4.(动量综合应用)如图所示，一质量 的平顶小车静止在光滑的水平
轨道上.质量 的小物块(可视为质点)静止在车顶的右端.一质量为
的子弹、以水平速度 射中小车左端并留在车中，最终
小物块相对地面以 的速度滑离小车.已知子弹与车的作用时间极短，物块
与车顶面的动摩擦因数，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力. 取
，求：
(1) 子弹相对小车静止时小车速度的大小；
[答案]
[解析] 子弹进入小车的过程中，子弹与小车组成的系统动量守恒，由动量守恒
定律得
解得 .
4.(动量综合应用)如图所示，一质量 的平顶小车静止在光滑的水平
轨道上.质量 的小物块(可视为质点)静止在车顶的右端.一质量为
的子弹、以水平速度 射中小车左端并留在车中，最终
小物块相对地面以 的速度滑离小车.已知子弹与车的作用时间极短，物块
与车顶面的动摩擦因数，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力. 取
，求：
(2) 小车的长度 .
[答案]
[解析] 三物体组成的系统动量守恒，由动量守恒定律得
解得
由能量守恒定律可得
解得 .
练习册
1.(多选)［2024·河北正定中学月考］ 如图所示，一子弹(可视为质点)以初速度
击中静止在光滑的水平面上的木块，最终子弹未能射穿木块，射入的深度为
，摩擦力大小为，木块加速运动的位移为 .则以下说法正确的是( )
A.子弹动能的减少量等于系统动能的减少量
B.子弹动量变化量的大小等于木块动量变化量的大小
C.摩擦力对木块做的功等于摩擦力对子弹做的功
D.系统因摩擦产生的热量为
√
√
[解析] 子弹射入木块的过程，由能量守恒定律知，子弹动能的减少量大于系统
动能的减少量，A错误；子弹和木块组成的系统动量守恒，系统动量的变化量
为零，则子弹与木块的动量变化量大小相等，方向相反，B正确；摩擦力对木
块做的功为，摩擦力对子弹做的功为 ，可知二者不相等，系统因
摩擦产生的热量为 ，C错误，D正确.
2.(多选)如图所示,小车在光滑的水平面上向左运动,木块水
平向右在小车的水平车板上运动,且未滑出小车.下列说法
中正确的是( )
A.若小车的初动量大于木块的初动量,则木块先减速运动再加速运动后匀速运动
B.若小车的初动量大于木块的初动量,则小车先减速运动再加速运动后匀速运动
C.若小车的初动量小于木块的初动量,则木块先减速运动后匀速运动
D.若小车的初动量小于木块的初动量,则小车先减速运动后匀速运动
√
√
[解析] 小车和木块组成的系统在水平方向上不受外力，系统在水平方向上动量
守恒，若小车的初动量大于木块的初动量，则最后相对静止时整体的动量方向
向左，木块先减速运动再反向加速运动后匀速运动，小车先减速运动再匀速运
动，故A正确，B错误；同理若小车的初动量小于木块的初动量，则最后相对静
止时整体的动量方向向右，则木块先减速运动后匀速运动，小车先减速运动再
加速运动后匀速运动，C正确，D错误.
3.如图所示，质量为、长为的长木板放在光滑的水平面上，一个质量也为
的物块(视为质点)以一定的初速度从左端冲上长木板，如果长木板是固定的，
物块恰好停在长木板的右端，如果长木板不固定，则物块冲上长木板后在长木
板上相对长木板最多能滑行的距离为( )
A. B. C. D.
[解析] 长木板固定时，由动能定理得 ，若长木板不固定，
以物块初速度的方向为正方向，由动量守恒定律有 ，由能量守恒定
律有，得 ，D正确，A、B、C错误.
√
4.长木板放在光滑的水平面上，质量为的另一物体 以水平速度
滑上原来静止的长木板的上表面，由于、间存在摩擦，之后 、
速度随时间变化情况如图乙所示，重力加速度取 .则下列说法正确的
是 ( )
A.长木板A获得的动能为 B.系统损失的机械能为
C.长木板的最小长度为 D.、 间的动摩擦因数为0.1
√
[解析] 由题图乙可知，最终长木板获得的速度为，、 组成的系统
动量守恒，以的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得 ，
解得，则获得的动能为 ，故A错误；
系统损失的机械能，代入数据解得 ，故B错
误；
图像中图线与轴所围的面积表示位移，由题图乙得到内 的位
移为，的位移为 ，则
长木板的最小长度为，故C错误；由题图乙可知， 的加速
度 ，负号表示加速度的方向，由牛顿第二定律得
，解得 ，故D正确.
5.(10分)［2024·湖北黄冈中学月考］ 如图所示,一轻质弹簧两端分别连着质量均
为的滑块和,两滑块都置于光滑的水平面上.今有质量为 的子弹以水平速度
射入中不再穿出(时间极短),则弹簧在什么状态下滑块 具有最大动能 其值
是多少
[答案] 弹簧第一次恢复原长
[解析] 子弹射入中时,因时间极短,且与用弹簧相连,故可认为 未参与此过程,
则子弹与组成的系统动量守恒，设子弹与的共同速度为 ,则有
解得
此后,弹簧被压缩,加速,当弹簧再次恢复原长时,弹簧的弹性势能为零, 有最大速
度,即有最大动能，此过程相当于以速度运动的滑块 (内含子弹)与静
止滑块 发生弹性碰撞,应用弹性正碰的结论,有
.
6.(多选)如图，一表面光滑的平板小车放在光滑水平面上，木块和轻弹簧置于小
车表面，轻弹簧一端与固定在小车上的挡板连接，整个装置静止.一颗子弹以一
定速度水平射入木块，留在木块中并与木块一起向前滑行，与弹簧接触后压缩
弹簧.不计挡板与弹簧质量，弹簧始终在弹性限度内.下列说法正确的是 ( )
A.子弹射入木块过程中，子弹与木块组成的系统
动量及机械能均守恒
B.子弹和木块一起压缩弹簧过程中，子弹、木块、
小车组成的系统动量及机械能均守恒
C.整个过程，子弹、木块、小车组成的系统所损失的机械能等于子弹与
木块摩擦产生的热量及弹簧的弹性势能之和
D.其他条件不变时，若增大小车的质量，弹簧的最大压缩量增大
√
√
[解析] 子弹射入木块并留在木块中，子弹与木块组成的系统受合外力等于零，
因此动量守恒，因子弹与木块是完全非弹性碰撞，机械能减少最多，即机械能
不守恒，A错误；子弹和木块一起压缩弹簧过程中，子弹、木块、小车组成的
系统受合外力等于零，动量守恒，由于压缩弹簧，即对弹簧做功，弹簧的弹性
势能增加，子弹、木块、小车组成的系统机械能减少，机械能不守恒，B错误；
由能量守恒定律可知，整个过程，子弹、木块、小车组成的系统所损失的机械
能等于子弹与木块摩擦产生的热量及弹簧的弹性势能之和，C正确；设子弹的
质量为，速度为，木块的质量为 ，小
车的质量为，子弹射入木块后速度为 ，
设向右为正方向，由动量守恒定律可得
，解得，此后对子弹、木块、小车组成的系统，由动量守恒定律可得，由机械能守恒定律可得，联立解得弹簧的弹性势能为 ，由此可见其他条件不变时，若增大小车的质量，弹簧的弹性势能增大，弹簧的最大压缩量增大，D正确.
7.(16分)［2024·河北石家庄一中月考］ 如图所示,质量为 的物块
(可视为质点)放在质量为 的木板左端,足够长的木板静止在光滑水平面
上,物块与木板间的动摩擦因数为质量为 的子弹以速度
沿水平方向射入物块并留在其中(时间极短),重力加速度取 .
子弹射入后,求:
(1) (4分)子弹和物块一起向右滑行的最大速度 ;
[答案]
[解析] 子弹射入物块后和物块一起向右滑行的初速度即最大速度,由动量守恒定
律得
解得 .
7.(16分)［2024·河北石家庄一中月考］ 如图所示,质量为 的物块
(可视为质点)放在质量为 的木板左端,足够长的木板静止在光滑水平面
上,物块与木板间的动摩擦因数为质量为 的子弹以速度
沿水平方向射入物块并留在其中(时间极短),重力加速度取 .
子弹射入后,求:
(2) (6分)木板向右滑行的最大速度 ;
[答案]
[解析] 当子弹、物块、木板三者共速时,木板的速度最大,由动量守恒定律得
解得 .
7.(16分)［2024·河北石家庄一中月考］ 如图所示,质量为 的物块
(可视为质点)放在质量为 的木板左端,足够长的木板静止在光滑水平面
上,物块与木板间的动摩擦因数为质量为 的子弹以速度
沿水平方向射入物块并留在其中(时间极短),重力加速度取 .
子弹射入后,求:
(3) (6分)物块在木板上滑行的时间 .
[答案]
[解析] 对物块和子弹组成的系统，由动量定理得
解得 .
8.(16分)如图所示，在光滑水平地面上固定足够高的挡板，距离挡板 处
静止放置质量、长的小车，一质量 的滑块
(可视为质点)以 的初速度滑上小车左端，带动小车向右运动，小车与
挡板碰撞时被粘住不动，已知滑块与小车表面间的动摩擦因数， 取
.
(1) (4分)求滑块与小车的共同速度大小；
[答案]
[解析] 设滑块与小车的共同速度为 ，
二者相对运动过程中根据动量守恒定律，
有
解得
8.(16分)如图所示，在光滑水平地面上固定足够高的挡板，距离挡板 处
静止放置质量、长的小车，一质量 的滑块
(可视为质点)以 的初速度滑上小车左端，带动小车向右运动，小车与
挡板碰撞时被粘住不动，已知滑块与小车表面间的动摩擦因数， 取
.
(2) (6分)当滑块与小车共速时，小车与挡板的距离和滑块与小车右端的距离分
别为多少？
[答案] ;
[解析] 设达到共速时小车移动的距离为 ，对小车根据动能定理有
代入数据解得
小车与挡板的距离
设滑块与小车的相对位移为 ，对系统，根据能量守恒定律，有
代入数据解得
滑块与小车右端的距离
其位置情况如图乙所示
8.(16分)如图所示，在光滑水平地面上固定足够高的挡板，距离挡板 处
静止放置质量、长的小车，一质量 的滑块
(可视为质点)以 的初速度滑上小车左端，带动小车向右运动，小车与
挡板碰撞时被粘住不动，已知滑块与小车表面间的动摩擦因数， 取
.
(3) (6分)若滑块与挡板碰撞时为弹性碰撞，求全过程中滑块克服摩擦力做的功.
[答案]
[解析] 共速后小车未碰撞挡板时小车与滑块间的摩擦力消失，如图丙所示.直到
小车碰撞挡板被粘住静止，滑块又开始在小车上继续向右做初速度
的匀减速直线运动，由于与挡板发生弹性碰撞，滑块速度大小不变，设返回的
路程为 ，由动能定理，有
解得
说明滑块不会从车左端掉下，全过程中滑块
克服摩擦力做的功
例1.D 变式. 例2.（1） （2） （3）
,, （4）, （5）
例3.（1） （2） （3）
例4.（1）0 （2） （3）
随堂巩固
1.ACD 2.BC 3.BD 4.（1） （2）
基础巩固练
1.BD 2.AC 3.D 4.D
5.弹簧第一次恢复原长
综合提升练
6.CD 7.（1） （2） （3）
8.（1） （2）, （3）

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