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专题课:动量守恒定律的应用
例1　A　[解析] 由于A、B都受到小车的摩擦力,当A、B受到静摩擦力时,A、B所受摩擦力大小相等,此情况下合外力为0,A、B组成系统的动量守恒;当A、B受到滑动摩擦力时,A的质量大于B的质量,两个物体与车上表面的动摩擦因数相等,即A物体受到的滑动摩擦力大于B物体受到的滑动摩擦力,此情况下把A、B作为系统时,系统受到摩擦力作用,合外力不为0,此时总动量不守恒,故A错误.当把A、B、C作为系统时,由于地面光滑,系统受到的合外力为0,故系统的总动量守恒,故B正确.若A、B所受摩擦力大小相等,A、B组成的系统所受合外力等于0,故A、B组成的系统动量守恒,故C正确.若A、B所受的摩擦力大小相等,地面光滑,系统所受合外力等于0,故A、B、C组成的系统动量守恒,故D正确.
例2　(1)2.1 m/s　(2)4 m/s
[解析] (1)取向右为正方向,设木块A的最终速度为v1,由动量守恒定律,对A、B、C有
m0v0=mAv1+(mB+m0)·v
解得v1=2.1 m/s
(2)设C滑离A时的速度为v2,当C滑离A后,由动量守恒定律,对B、C有m0v2+mBv1=(mB+m0)v
解得v2=4 m/s
变式　(1)2.5 m/s,方向与铜块初速度方向相同　
(2)3.4 m/s,方向与铜块初速度方向相同
[解析] (1)铜块和10块木板组成的系统所受合外力为零,所以系统动量守恒,当铜块刚滑到第二块木板上时,设第一块木板的速度为v2,由动量守恒定律得
Mv0=Mv1+10mv2
解得v2=2.5 m/s,方向与铜块初速度方向相同
(2)由题可知铜块最终停在第二块木板上,设最终速度为v3,对铜块与后面9块木板组成的系统,由动量守恒定律得Mv1+9mv2=(M+9m)v3
解得v3≈3.4 m/s,方向与铜块初速度方向相同
例3　(1)均为1.5 m/s　(2)15个
[解析] (1)当甲和他的车与乙和他的车具有共同速度时,可保证刚好不相撞,设共同速度为v,以甲车的速度方向为正方向,则有M1v0-M2v0=(M1+M2)v
解得v=1.5 m/s
(2)以甲车的速度方向为正方向,对甲和他的车及所带的小球,由动量守恒定律得M1v0=(M1-nm)v+nmv'
解得n=15个
例4　B　[解析] 取向右为正方向,乙第一次推出A船时,由动量守恒定律有mBv1-mAv=0,解得v1=v,当A船向右返回后,乙第二次将A船推出,由动量守恒定律有2mAv+mBv1=-mAv+mBv2,可得v2=v1+v,设第n(n≥2)次推出A船时,B船的速度大小为vn,由动量守恒定律有2mAv+mBvn-1=-mAv+mBvn,解得vn=vn-1+v,则有vn=v1+(n-1)v(n≥2),乙不能再接到A船有2v≤vn,可得n≥,则n=5,即第5次推出A船时,乙就不能再接到A船,则乙最多可以推船的次数为5,A、C、D错误,B正确.
例5　(1) m/s　(2)11　(3)减小 m/s
[解析] (1)人抛出第一个球前后,对船、人、20个球为系统分析,由动量守恒定律可得(M+20m)v0=(M+19m)v1+mv
代入数据得v1= m/s
(2)设抛出第n个球时,由动量守恒定律可得
(M+20m)v0=vn+nmv
可得vn==
由vn<0,可解得10因n≤20,且为整数,所以取n=11
可知抛出第11个球后船的速度反向
(3)设第16次抛出小球前,小船对地的速度为v15,抛出后小船对地的速度为v16,故抛出后小球对地的速度为v16+v'
由动量守恒定律可得
v15=v16+m
代入数据可求得Δv=v16-v15=- m/s
可使船速度减小 m/s
随堂巩固
1.B　[解析] 依题意,因水平面光滑,则A、B、C组成的系统所受合力为零,满足动量守恒条件,系统动量守恒,木板A上表面粗糙,物块B、C在其上滑行时,会有摩擦生热,系统机械能有损失,则系统机械能不守恒,故A、C、D错误,B正确.
2.0.25 m/s　2.75 m/s
[解析] A、B、C组成的系统动量守恒
根据动量守恒定律得mCvC=mAvA+(mB+mC)v
代入数据计算得出vA=0.25 m/s
C刚滑上B时,B与A的速度相等,大小等于0.25 m/s
根据动量守恒定律得mCvC=(mA+mB)vA+mCvC'
计算得出vC'=2.75 m/s.
3.(1)　(2)
[解析] (1)子弹穿过物体A的过程中,子弹和物体A组成的系统动量守恒,取向右为正方向,由动量守恒定律得m0v0=m0v+mAvA
解得vA=
(2)在子弹穿过物体A后,对物体A和平板车B,以A的速度方向为正方向,由动量守恒定律得
mAvA=(mA+mB)v共
解得v共=
[一题多变] 若子弹未从物体A中射出,则平板车B和物体A的最终速度v共是多少
提示:将子弹、物体A和平板车B看作整体,则由动量守恒定律得m0v0=(m0+mA+mB)v共',解得v共'=.
4.4v0
[解析] 设乙船上的人抛出货物的最小速度为vmin,抛出货物后乙船的速度为v1,甲船上的人接到货物后甲船的速度为v2,以甲、乙两船的运动方向为正方向,由动量守恒定律得
12mv0=11mv1-mvmin
10m×2v0-mvmin=11mv2
避免两船相撞的临界条件为v1=v2
联立解得vmin=4v0专题课:动量守恒定律的应用
1.BC　[解析] 系统动量守恒的条件是合外力为零,A、B组成的系统所受合外力不为零,A、B、C组成的系统所受合外力为零,故A、B组成的系统动量不守恒,A、B、C组成的系统动量守恒,A错误,B正确;当压缩的弹簧被释放后将A、B弹开的过程中,A、B相对C发生相对运动,A向左运动,故C受到A的滑动摩擦力向左,B向右运动,故C受到B的滑动摩擦力向右,而A、B与平板车上表面间的滑动摩擦力之比为3∶5,所以C受到的向右的摩擦力大于向左的摩擦力,故C向右运动,C正确,D错误.
2.B　[解析] 当子弹C在木块A中运动时,B对A、C组成的系统有力的作用,则A、C组成的系统动量不守恒,A错误;当子弹C在木块B中运动时,A已经和B脱离,则B、C组成的系统受合外力为零,则B、C组成的系统动量守恒,因此时A的动量也守恒,则A、B、C组成的系统动量守恒,B正确,D错误;当子弹C在木块A中运动时,A、B、C组成的系统受合外力为零,则动量守恒,C错误.
3.B　[解析] 由于五个物块组成的系统水平方向不受外力作用,故系统在水平方向上动量守恒,由动量守恒定律得mv0=5mv,得v=v0,即它们最后的速度为v0,B正确.
4.(1)2.1 m/s　(2)4 m/s
[解析] C在A上滑动时,选A、B、C作为一个系统,其总动量守恒,在C刚滑离A时,有mCv0=mCvC'+(mA+mB)vA'
C滑到B上后A做匀速运动,再选B、C作为一个系统,其总动量也守恒,则
mCvC'+mBvA'=(mB+mC)vBC
也可以研究C在A、B上面滑动的全过程,在整个过程中A、B、C组成的系统的总动量守恒,则
mCv0=mAvA'+(mB+mC)vBC
把上述三个方程式中的任意两个联立求解即可得到vA'=2.1 m/s,vC'=4 m/s.
5.C　[解析] 两车以及人组成的系统,动量守恒,规定向右为正方向,有0=MvB-(M+m)vA, 解得=.故选C.
6.5.2 m/s
[解析] 取甲开始运动的方向为正方向,设甲推出箱子后的速度为v1,箱子的速度为v,以甲和箱子为系统,则由动量守恒定律得(m+M)v0=Mv1+mv
设乙抓住箱子后其速度为v2,取箱子和乙为系统,则由动量守恒定律得mv-Mv0=(m+M)v2
而甲、乙不相碰的条件是v2≥v1,当v1=v2时,甲推箱子的速度最小
联立以上各式可得v=5.2 m/s
即甲至少要以5.2 m/s的速度将箱子推开,才能避免与乙相撞.
7.D　[解析] 若人跳离b、c车时相对地面的水平速度为v,以水平向右为正方向,由水平方向动量守恒知,对人和c车组成的系统有0=m人v+m车vc,对人和b车有m人v=m车vb+m人v,对人和a车有m人v=va,所以vc=-,vb=0,va=,即三辆车的速率关系为vc>va>vb,并且vc与va方向相反,故选D.
8.B　[解析] 取水平向右为正方向,小孩第一次推出A车时,有mBv1-mAv=0,解得v1=v,第n次推出A车时,有mAv+mBvn-1=-mAv+mBvn,则vn-vn-1=v,所以vn=v1+(n-1)v,当vn≥v时,再也接不到A车,由以上各式得n≥5.5,取n=6,故B正确,A、C、D错误.
9.2 m/s
[解析] 长木板A与滑块C处于光滑水平轨道上,两者碰撞时间极短,长木板A与滑块C组成的系统在碰撞过程中动量守恒,取水平向右为正方向
则mAv0=mAvA+mCvC
长木板A和滑块B达到共同速度后,恰好不再与滑块C碰撞,即最后三者速度相等,即vC=v
(mA+mB)v0=(mA+mB+mC)v
联立解得vA=2 m/s.
10.v0≤v≤v0
[解析] 设水平向左为正方向,甲车(包括人)滑下斜坡后速度大小为v1,由机械能守恒定律有
(m1+M)=(m1+M)gh
解得v1==2v0
人跳离甲车的水平速度(相对地面)为v ,在人跳离甲车和人跳上乙车过程中各自动量守恒,设人跳离甲车和跳上乙车后,两车的速度大小分别为v1'和v2',则人跳离甲车时,有(M+m1)v1=Mv+m1v1'
人跳上乙车时,有Mv-m2v0=(M+m2)v2'
解得v1'=6v0-2v ,v2'=v-v0
两车不发生碰撞的临界条件是v1'=±v2'
当v1'=v2'时,解得v=v0
当v1'=-v2'时,解得v=v0
故v的取值范围为v0≤v≤v0专题课:动量守恒定律的应用
学习任务一　多物体、多过程中动量守恒的判断
[科学思维] 多物体、多过程中动量守恒的判断注意以下两点:
(1)分析题意,明确研究对象
对于多个物体、比较复杂的物理过程,要明确在哪些阶段中,哪些物体发生相互作用,从而确定所研究的系统是由哪些物体组成的.
(2)要对各阶段所选系统内的物体进行受力分析
弄清哪些是系统内部物体之间相互作用的内力,哪些是系统外物体对系统内物体作用的外力.在受力分析的基础上根据动量守恒定律条件,判断能否应用动量守恒定律.
例1 如图所示,A、B两物体质量之比mA∶mB=3∶2,原来静止在平板小车C上.A、B间有一根被压缩的弹簧,地面光滑,当弹簧突然释放后,则下列说法中不正确的是 (　)
A.若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同,A、B组成的系统动量守恒
B.若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同,A、B、C组成的系统动量守恒
C.若A、B所受的摩擦力大小相等,A、B组成的系统动量守恒
D.若A、B所受的摩擦力大小相等,A、B、C组成的系统动量守恒
[反思感悟] 　

学习任务二　多物体、多过程中动量守恒定律的应用
[科学思维] 对于多物体、多过程,应用动量守恒定律解题时应注意:
(1)分清作用过程中的不同阶段,并按作用关系将系统内的物体分成几个小系统.
(2)对不同阶段、不同的小系统准确选取初、末状态,分别列动量守恒方程.
(3)在研究地面上物体间相互作用的过程时,各物体运动的速度均应取地球为参考系.
例2 如图所示,在光滑水平面上有两个并排静止放置的木块A、B,已知mA=0.5 kg,mB=0.3 kg.现有质量m0=0.08 kg的小物块C以初速度v0=25 m/s在A表面沿水平方向向右滑动,由于C与A、B间均有摩擦,C最终停在B上,B、C最后的共同速度v=2.5 m/s.求:
(1)木块A的最终速度的大小;
(2)小物块C滑离木块A的瞬时速度的大小.
变式 如图所示,光滑水平地面上依次放置着10块质量均为m=0.08 kg的完全相同的长直木板.一质量M=1.0 kg、大小可忽略的小铜块以初速度v0=6.0 m/s从长木板左侧滑上木板,当铜块滑离第一块木板时,速度大小为v1=4.0 m/s,铜块最终停在第二块木板上.重力加速度g取10 m/s2,求:
(1)第一块木板的最终速度;
(2)铜块的最终速度.(结果保留两位有效数字)
【要点总结】
一个系统如果满足动量守恒条件,并且由两个以上的物体构成,那么在对问题进行分析时,既要注意系统总动量守恒,又要注意系统内部分物体总动量守恒.注重系统内部分物体动量守恒分析,可以使求解突破关键的未知量,增加方程个数,为问题的最终解答铺平道路.
学习任务三　动量守恒定律应用的临界问题
[科学思维] 在动量守恒定律的应用中,常常出现相互作用的两物体相距最近(或最远)、恰好不相撞、弹簧最长(或最短)或物体开始反向运动等临界状态,其临界条件常常表现为两物体的相对速度关系或相对位移关系,这些特定关系的判断是求解这类问题的关键.
例3 甲、乙两小孩各乘一辆小车在光滑水平面上匀速相向行驶,速度均为6 m/s.甲的车上有质量为m=1 kg的小球若干个,甲和他的车及所带小球的总质量为M1=50 kg,乙和他的车总质量为M2=30 kg.现为避免相撞,甲不断地将小球以相对地面16.5 m/s的水平速度抛向乙,且被乙接住.假设某一次甲将小球抛出且被乙接住后刚好可保证两车不相撞,此时:
(1)甲、乙两车的速度大小各为多少
(2)甲总共抛出了多少个小球
【要点总结】
两物体不相撞的临界条件是速度相同.
例4 如图所示,A、B两艘小船静止在水面上,甲站在岸边,乙站在B船上,乙与B船的总质量是A船的6倍.现乙将A船以相对于地面的速度v向左推出,当A船到达岸边时,甲立即以2v的速度将A船推回,乙接到A船后,再次将它以速度v向左推出.以此重复,直到乙不能再接到A船,忽略水的阻力且水面静止,则乙最多可以推船的次数为 (　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A.4 B.5 C.6 D.7
[反思感悟] 　

例5 [2025·重庆八中期末] 如图所示,在平静的湖面上有一小船以速度v0=1 m/s匀速行驶,人和船的总质量为M=200 kg,船上另载有N=20个完全相同的小球,每个小球的质量为m=5 kg.人站立船头,沿着船的前进方向、每隔一段相同的时间水平抛出一个小球,不计水的阻力和空气的阻力.
(1)如果每次都是以相对于湖岸v=6 m/s的速度抛出小球,试计算出第一个小球抛出后小船的速度大小v1;
(2)根据第(1)问,计算抛出第几个球后船的速度反向;
(3)如果每次都是以相对于小船v'=6 m/s的速度抛出小球,试问抛出第16个小球可以使船的速度改变多少 (提示:A相对B速度公式的表达式为v=vA-vB,其中v表示两个物体的相对速度,vA表示A物体速度,vB表示B物体速度)
1.(多物体动量守恒的判断)如图所示,光滑水平面上放置一足够长木板A,其上表面粗糙,两个质量和材料均不同的物块B、C,以不同的水平速度分别从两端滑上长木板A.当B、C在木板A上滑动的过程中,由A、B、C组成的系统 (　)
A.动量守恒,机械能守恒
B.动量守恒,机械能不守恒
C.动量不守恒,机械能守恒
D.动量不守恒,机械能不守恒
2.(多物体、多过程中动量守恒定律的应用)如图所示,两块厚度相同的木块A、B,紧靠着放在光滑的桌面上,其质量分别为2.0 kg、0.9 kg,它们的下表面光滑,上表面粗糙,另有质量为0.10 kg的铅块C(大小可以忽略)以10 m/s的速度恰好水平地滑到A的上表面,由于摩擦,铅块C最后停在木块B上,此时B、C的共同速度大小v=0.5 m/s.求木块A的最终速度的大小和铅块C刚滑到B上时的速度的大小.
3.(多物体、多过程中动量守恒定律的应用)如图所示,质量为mB的平板车B上表面水平,开始时静止在光滑水平面上,在平板车左端静置一质量为mA的物体A,一颗质量为m0的子弹以v0的水平初速度射入物体A,射穿A后速度变为v,子弹穿过物体A的时间极短.已知A、B之间的动摩擦因数不为零,平板车B车身足够长,且A与B最终相对静止.求:
(1)子弹射穿物体A的瞬间物体A的速度vA;
(2)平板车B和物体A的最终速度v共.
4.(动量守恒定律应用中的临界问题)如图所示,甲、乙两船的总质量(包括船、人和货物)分别为10m、12m,两船沿同一直线向同一方向运动,速度分别为2v0、v0.为避免两船相撞,乙船上的人将一质量为m的货物沿水平方向抛向甲船,甲船上的人将货物接住,求抛出货物的最小速度.(不计水的阻力)专题课:动量守恒定律的应用 (时间:40分钟　总分:70分)
(选择题每小题4分)
◆ 知识点一　多物体、多过程中动量守恒的判断
1.(多选)如图所示,质量相等的两物体A 、B ,原来静止在平板小车C 上,A 和B 间夹一被压缩了的轻弹簧,A 、B 与平板车上表面间的动摩擦因数之比为3∶5 ,地面光滑.当压缩弹簧突然被释放后,A 、B 相对C 滑动的过程中,以下说法正确的是 (　)
A.A 、B 组成的系统动量守恒
B.A 、B 、C 组成的系统动量守恒
C.小车向右运动
D.小车向左运动
2.[2024·重庆一中期末] 如图所示,A、B两木块紧靠在一起且静止于光滑水平面上,一颗子弹C以一定的速度v0向右从A的左端射入,穿过木块A后进入木块B,最后从B的右端射出,在此过程中下列叙述正确的是 (　)
A.当子弹C在木块A中运动时,A、C组成的系统动量守恒
B.当子弹C在木块B中运动时,B、C组成的系统动量守恒
C.当子弹C在木块A中运动时,A、B、C组成的系统动量不守恒
D.当子弹C在木块B中运动时,A、B、C组成的系统动量不守恒
◆ 知识点二　多物体、多过程中动量守恒定律的应用
3.[2024·北京二中期中] 质量相等的五个物块在一光滑水平面上排成一条直线,且彼此隔开一定的距离,具有初速度v0的第5号物块向左运动,依次与其余四个静止物块发生碰撞,如图所示,最后这五个物块粘成一个整体,则它们最后的速度为 (　)
A.v0 B.
C. D.
4.(10分)如图所示,在光滑的水平面上有两块并列放置的木块A与B,已知A的质量是500 g,B的质量是300 g,有一质量为80 g的小铜块C(可视为质点)以25 m/s的水平初速度开始在A的表面滑动.铜块最后停在B上,B与C一起以2.5 m/s的速度共同前进.求:
(1)(5分)木块A最后的速度vA';
(2)(5分)C离开A时的速度vC'.
◆ 知识点三　动量守恒定律应用的临界问题
5.如图所示,两辆质量均为M的小车A和B置于光滑的水平面上,有一质量为m的人静止站在A车上,两车静止.若这个人自A车跳到B车上,接着又跳回A车并与A车相对静止.则此时A车和B车的速度之比为 (　)
A. B.
C. D.
6.(10分)[2025·河北石家庄二中高二月考] 如图所示,甲、乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏,甲和他乘的冰车质量之和为M=30 kg,乙和他乘的冰车质量之和也为30 kg.游戏时,甲推着一个质量为m=15 kg的箱子,共同以速度v0=2.0 m/s滑行.乙以同样大小的速度迎面滑来,为了避免相撞,甲突然将箱子沿冰面推给乙,箱子滑到乙处时,乙迅速把它抓住.若不计冰面的摩擦力,求甲至少要以多大的速度(相对于地面)将箱子推出,才能避免与乙相撞.
7.如图所示,三辆完全相同的平板小车a、b、c成一直线排列,静止在光滑水平面上.c车上有一小孩跳到b车上,接着又立即从b车跳到a车上.小孩跳离c车和b车时对地的水平速度相同.他跳到a车上相对a车保持静止,此后 (　)
A.a、b两车运动速率相等
B.a、c两车运动速率相等
C.三辆车的速率关系为vc=vb>va
D.a、c两车运动方向相反
8.如图所示,在光滑水平面上有A、B两辆小车,水平面的左侧有一竖直墙,在小车B上坐着一个小孩,小孩与B车的总质量是A车质量的10倍.两车开始都处于静止状态,小孩把A车以相对于地面的速度v推出,A车与墙壁碰后仍以原速率返回,小孩接到A车后,又把它以相对于地面的速度v推出.每次推出,A车相对于地面的速度都是v,方向向左.若A车返回时小孩不能再接到A车,则小孩把A车推出 (　)
A.5次
B.6次
C.7次
D.8次
9.(10分)[2024·天津一中月考] 如图所示,光滑水平轨道上放置长木板A(上表面粗糙)和滑块C,滑块B置于A的左端,三者质量分别为mA=2 kg,mB=1 kg,mC=2 kg.开始时C静止,A、B一起以v0=5 m/s的速度匀速向右运动,A与C发生碰撞(时间极短)后C向右运动,经过一段时间,A、B再次达到共同速度一起向右运动,且恰好不再与C碰撞.求A与C发生碰撞后瞬间A的速度大小.
10.(16分)[2025·湖南长郡中学高二月考] 如图所示,甲车质量为m1=m,在车上有质量为M=2m的人,甲车(连同车上的人)从足够长的斜坡上高h处由静止滑下,到水平地面上后继续向前滑动,此时质量为m2=2m的乙车正以大小为v0的速度迎面滑来,已知h=,为了使两车不发生碰撞,当两车相距适当距离时,人从甲车跳上乙车,试求人跳离甲车的水平速度v(相对地面)应满足什么条件 不计地面和斜坡的摩擦,小车和人均可看成质点.(共69张PPT)
专题课:动量守恒定律的应用
学习任务一 多物体、多过程中动量守恒的判断
学习任务二 多物体、多过程中动量守恒定律的应用
学习任务三 动量守恒定律应用的临界问题
备用习题
随堂巩固
练习册
◆
答案核查【导】
答案核查【练】
学习任务一 多物体、多过程中动量守恒的判断
［科学思维］ 多物体、多过程中动量守恒的判断注意以下两点：
(1)分析题意，明确研究对象
对于多个物体、比较复杂的物理过程，要明确在哪些阶段中，哪些物体发生相
互作用，从而确定所研究的系统是由哪些物体组成的.
(2)要对各阶段所选系统内的物体进行受力分析
弄清哪些是系统内部物体之间相互作用的内力，哪些是系统外物体对系统内物
体作用的外力.在受力分析的基础上根据动量守恒定律条件，判断能否应用动量
守恒定律.
例1 如图所示，、两物体质量之比 ，
原来静止在平板小车上.、 间有一根被压缩的弹簧，
地面光滑，当弹簧突然释放后，则下列说法中不正确
的是( )
A.若、与平板车上表面间的动摩擦因数相同，、 组成的系统动量守恒
B.若、与平板车上表面间的动摩擦因数相同，、、 组成的系统动量守恒
C.若、所受的摩擦力大小相等，、 组成的系统动量守恒
D.若、所受的摩擦力大小相等，、、 组成的系统动量守恒
√
[解析] 由于、都受到小车的摩擦力，当、受到静摩擦力时，、 所受摩
擦力大小相等，此情况下合外力为0，、组成系统的动量守恒；当、 受到
滑动摩擦力时，的质量大于 的质量，两个物体与车上表面的动摩擦因数相等，
即物体受到的滑动摩擦力大于物体受到的滑动摩擦力，此情况下把、 作
为系统时，系统受到摩擦力作用，合外力不为0，此时总动量不守恒，故A错误.
当把、、 作为系统时，由于地面光滑，系统受到的合外力为0，故系统的总
动量守恒，故B正确.若、所受摩擦力大小相等，、 组成的系统所受合外力
等于0，故、组成的系统动量守恒，故C正确.若 、
所受的摩擦力大小相等，地面光滑，系统所受合外
力等于0，故、、 组成的系统动量守恒，故D正确.
学习任务二 多物体、多过程中动量守恒定律的应用
［科学思维］ 对于多物体、多过程,应用动量守恒定律解题时应注意:
(1)分清作用过程中的不同阶段,并按作用关系将系统内的物体分成几个小系统.
(2)对不同阶段、不同的小系统准确选取初、末状态,分别列动量守恒方程.
(3)在研究地面上物体间相互作用的过程时，各物体运动的速度均应取地球为参
考系.
例2 如图所示，在光滑水平面上有两个并排静止放置的木块、 ，已知
，.现有质量的小物块 以初速度
在表面沿水平方向向右滑动，由于与、间均有摩擦， 最终停
在上，、最后的共同速度 .求：
(1) 木块 的最终速度的大小；
[答案]
[解析] 取向右为正方向，设木块的最终速度为，由动量守恒定律，对 、
、 有
解得
例2 如图所示，在光滑水平面上有两个并排静止放置的木块、 ，已知
，.现有质量的小物块 以初速度
在表面沿水平方向向右滑动，由于与、间均有摩擦， 最终停
在上，、最后的共同速度 .求：
(2) 小物块滑离木块 的瞬时速度的大小.
[答案]
[解析] 设滑离时的速度为，当滑离后，由动量守恒定律，对、 有
解得
变式 如图所示，光滑水平地面上依次放置着10块质量均为 的完全
相同的长直木板.一质量、大小可忽略的小铜块以初速度
从长木板左侧滑上木板，当铜块滑离第一块木板时，速度大小为 ，
铜块最终停在第二块木板上.重力加速度取 ，求：
(1) 第一块木板的最终速度；
[答案] ，方向与铜块初速度方向相同
[解析] 铜块和10块木板组成的系统所受合外力为零，所以系统动量守恒，当铜
块刚滑到第二块木板上时，设第一块木板的速度为 ，由动量守恒定律得
解得 ，方向与铜块初速度方向相同
变式 如图所示，光滑水平地面上依次放置着10块质量均为 的完全
相同的长直木板.一质量、大小可忽略的小铜块以初速度
从长木板左侧滑上木板，当铜块滑离第一块木板时，速度大小为 ，
铜块最终停在第二块木板上.重力加速度取 ，求：
(2) 铜块的最终速度.(结果保留两位有效数字)
[答案] ，方向与铜块初速度方向相同
[解析] 由题可知铜块最终停在第二块木板上，设最终速度为 ，对铜块与后面
9块木板组成的系统，由动量守恒定律得
解得 ，方向与铜块初速度方向相同
【要点总结】
一个系统如果满足动量守恒条件，并且由两个以上的物体构成，那么在对问题
进行分析时，既要注意系统总动量守恒，又要注意系统内部分物体总动量守恒.
注重系统内部分物体动量守恒分析，可以使求解突破关键的未知量，增加方程
个数，为问题的最终解答铺平道路.
学习任务三 动量守恒定律应用的临界问题
［科学思维］ 在动量守恒定律的应用中，常常出现相互作用的两物体相距最近
(或最远)、恰好不相撞、弹簧最长(或最短)或物体开始反向运动等临界状态，其
临界条件常常表现为两物体的相对速度关系或相对位移关系，这些特定关系的
判断是求解这类问题的关键.
例3 甲、乙两小孩各乘一辆小车在光滑水平面上匀速相向行驶，速度均为 .
甲的车上有质量为 的小球若干个，甲和他的车及所带小球的总质量为
，乙和他的车总质量为 .现为避免相撞，甲不断地将小球
以相对地面 的水平速度抛向乙，且被乙接住.假设某一次甲将小球抛出
且被乙接住后刚好可保证两车不相撞，此时：
(1) 甲、乙两车的速度大小各为多少？
[答案] 均为
[解析] 当甲和他的车与乙和他的车具有共同速度时，可保证刚好不相撞，设共
同速度为，以甲车的速度方向为正方向，则有
解得
例3 甲、乙两小孩各乘一辆小车在光滑水平面上匀速相向行驶，速度均为 .
甲的车上有质量为 的小球若干个，甲和他的车及所带小球的总质量为
，乙和他的车总质量为 .现为避免相撞，甲不断地将小球
以相对地面 的水平速度抛向乙，且被乙接住.假设某一次甲将小球抛出
且被乙接住后刚好可保证两车不相撞，此时：
(2) 甲总共抛出了多少个小球？
[答案] 15个
[解析] 以甲车的速度方向为正方向，对甲和他的车及所带的小球，由动量守恒
定律得
解得 个
【要点总结】
两物体不相撞的临界条件是速度相同.
例4 如图所示，、 两艘小船静止在水面上，甲站在岸边，乙站在船上，
乙与船的总质量是 船的6倍.现乙将船以相对于地面的速度 向左推出，
当船到达岸边时，甲立即以的速度将船推回，乙接到 船后，再次将它以
速度向左推出.以此重复，直到乙不能再接到 船，忽略水的阻力且水面静止，
则乙最多可以推船的次数为( )
A.4 B.5
C.6 D.7
√
[解析] 取向右为正方向，乙第一次推出 船时，由动量守恒定律有
,解得,当船向右返回后，乙第二次将 船推出，由动
量守恒定律有,可得 ,设第
次推出船时，船的速度大小为 ，由动量守恒定律有
,解得 ,则有
,乙不能再接到 船
有，可得，则，即第5次推出
船时，乙就不能再接到 船，则乙最多可以推船的
次数为5，A、C、D错误，B正确.
例5 ［2025·重庆八中期末］ 如图所示，在平静的湖面上有一小船以速度
匀速行驶，人和船的总质量为，船上另载有 个完
全相同的小球，每个小球的质量为 .人站立船头，沿着船的前进方向、
每隔一段相同的时间水平抛出一个小球，不计水的阻力和空气的阻力.
(1) 如果每次都是以相对于湖岸 的速度抛出小球，试计算出第一个小
球抛出后小船的速度大小 ；
[答案]
[解析] 人抛出第一个球前后，对船、人、20个球为系统分析，由动量守恒定律
可得
代入数据得
例5 ［2025·重庆八中期末］ 如图所示，在平静的湖面上有一小船以速度
匀速行驶，人和船的总质量为，船上另载有 个完
全相同的小球，每个小球的质量为 .人站立船头，沿着船的前进方向、
每隔一段相同的时间水平抛出一个小球，不计水的阻力和空气的阻力.
(2) 根据第(1)问，计算抛出第几个球后船的速度反向；
[答案] 11
[解析] 设抛出第 个球时，由动量守恒定律可得
可得
由，可解得
因，且为整数，所以取
可知抛出第11个球后船的速度反向
例5 ［2025·重庆八中期末］ 如图所示，在平静的湖面上有一小船以速度
匀速行驶，人和船的总质量为，船上另载有 个完
全相同的小球，每个小球的质量为 .人站立船头，沿着船的前进方向、
每隔一段相同的时间水平抛出一个小球，不计水的阻力和空气的阻力.
(3) 如果每次都是以相对于小船 的速度抛出小球，试问抛出第16个小
球可以使船的速度改变多少？(提示：相对速度公式的表达式为 ，
其中表示两个物体的相对速度，表
示物体速度，表示 物体速度)
[答案] 减小
[解析] 设第16次抛出小球前，小船对地的速度为 ，抛出后小船对地的速度为
，故抛出后小球对地的速度为
由动量守恒定律可得
代入数据可求得
可使船速度减小
1.如图所示,甲、乙两人分别站在静止小车的左、右两端,当他俩同时相向行走时,
发现小车向右运动(车与地面之间无摩擦).下列说法不正确的是( )
A.乙的速度一定大于甲的速度
B.乙对小车的摩擦力的冲量一定大于甲对小车
的摩擦力的冲量
C.乙的动量一定大于甲的动量
D.甲、乙的总动量一定不为零
√
[解析] 甲、乙两人及小车组成的系统在水平方向不受外力,系统在水平方向上动
量守恒,根据动量守恒定律得 ,小车向右运动,说明甲、
乙两人的总动量方向向左,乙的动量大于甲的动量,即两人的总动量不为零,但是
由于不知两人的质量关系,故无法确定两人的速度大小关系,选项A错误,符合题意，
C、D正确，不符合题意;因小
车的动量向右,说明小车受到的合冲量方向向右,而乙对小车的摩擦力的冲量向右,
甲对小车的摩擦力的冲量方向向左,故乙对小车的
摩擦力的冲量一定大于甲对小车的摩擦力的冲量,
选项B正确，不符合题意.
2.甲、乙两人站在光滑的水平冰面上，他们的质量都是，甲手持一个质量为
的球.现甲把球以对地为的速度传给乙，乙接球后又以对地为 的速度把球传
回甲(忽略空气阻力)，甲接到球后，甲、乙两人的速度大小之比为 ( )
A. B. C. D.
[解析] 甲、乙之间传递球的过程中，甲、乙二人和球组成的系统开始时的总动
量为零，在任意时刻系统的总动量都为零，设甲的速度大小为 ，乙的速度大
小为，二者方向相反，根据动量守恒定律得 ，解得
，选项D正确.
√
3.质量为的木块在光滑水平面上以速度水平向右运动,质量为 的子弹以速
度 水平向左射入木块.要使木块停下来,必须使发射子弹的数目为(子弹留在木
块中不穿出)( )
A. B. C. D.
[解析] 设发射子弹的数目为,选择 颗子弹和木块组成的系统为研究对象,系统
在水平方向上所受的合外力为零,选子弹运动的方向为正方向,由动量守恒定律得
,解得 ,故C正确.
√
4.质量相同的、两小车置于光滑的水平面上,有一个质量为的人静止在 车
上,两车都静止,当这个人自车跳到车上,接着又跳回车上,最终相对 车静止,
则 车最终的速率 ( )
A.等于零 B.小于车的速率 C.大于车的速率 D.等于 车的速率
[解析] 设车的质量为,、两车以及人组成的系统动量守恒,规定由车指向
车为正方向,有,解得,则车最终的速率小于 车
的速率,故选B.
√
5.(多选)如图所示，在质量为 的小车上用细线挂有一小球，小球的质量为，
小车和小球以恒定的速度 沿光滑水平地面运动，与位于正前方的质量为 的
静止木块发生碰撞，碰撞的时间极短，在此碰撞过程中，下列情况可能发生的
是( )
A.小车、木块、小球的速度都发生变化，分别变为、
、 ，满足
B.小球的速度不变，小车和木块的速度变为和，满足
C.小球的速度不变，小车和木块的速度都变为，满足
D.小车和小球的速度都变为，木块的速度变为 ，满足
√
√
[解析] 在小车与木块发生碰撞的瞬间，彼此间作用力很大，所以它们的速度在瞬
间发生改变，作用过程中它们的位移可看成为零，而小球并没有直接与木块发生
力的作用，在它与小车共同匀速运动时，细线沿竖直方向，因此细线的拉力不能
改变小球速度的大小，即小球的速度不变，A、D错误；而小车和木块碰撞后，
可能以不同的速度继续向前运动，也可能以共同速度向前运动，B、C正确.
6.将两个完全相同的磁铁(磁性极强)分别固定在质量相等的甲、乙两车上，水平
面光滑.开始时甲车速度大小为，乙车速度大小为 ，方向相反并在同
一直线上，如图所示.
(1) 当乙车速度为零时，甲车的速度为多大？方向如何？
[答案] ; 向右
[解析] 两车及磁铁组成的系统在水平方向不受外力作用，两磁铁之间的磁力是
系统内力，则系统动量守恒，规定向右为正方向.
根据动量守恒定律得
则 ，方向向右.
6.将两个完全相同的磁铁(磁性极强)分别固定在质量相等的甲、乙两车上，水平
面光滑.开始时甲车速度大小为，乙车速度大小为 ，方向相反并在同
一直线上，如图所示.
(2) 由于磁铁的磁性极强，故两车不会相碰，那么两车间的距离最小时，乙车
的速度是多大？方向如何？
[答案] ; 向右
[解析] 两车相距最近时，两车的速度相同，设为 ，由动量守恒定律得
解得 ，方向向右.
1.(多物体动量守恒的判断)如图所示,光滑水平面上放置一足够长木板 ,其上表面
粗糙,两个质量和材料均不同的物块、 ,以不同的水平速度分别从两端滑上长
木板.当、在木板上滑动的过程中,由、、 组成的系统( )
A.动量守恒,机械能守恒 B.动量守恒,机械能不守恒
C.动量不守恒,机械能守恒 D.动量不守恒,机械能不守恒
[解析] 依题意,因水平面光滑,则、、 组成的系统所受合力为零,满足动量守
恒条件,系统动量守恒,木板上表面粗糙,物块、 在其上滑行时,会有摩擦生热,
系统机械能有损失,则系统机械能不守恒,故A、C、D错误,B正确.
√
2.(多物体、多过程中动量守恒定律的应用)如图所示，两块厚度相同的木块 、
，紧靠着放在光滑的桌面上，其质量分别为、 ，它们的下表面光
滑，上表面粗糙，另有质量为的铅块(大小可以忽略)以 的速度恰
好水平地滑到的上表面，由于摩擦，铅块最后停在木块上，此时、 的共
同速度大小.求木块的最终速度的大小和铅块刚滑到 上时的速度
的大小.
[答案] ;
[解析] 、、 组成的系统动量守恒
根据动量守恒定律得
代入数据计算得出
C刚滑上时,与的速度相等,大小等于
根据动量守恒定律得
计算得出 .
3.(多物体、多过程中动量守恒定律的应用)如图所示，质量为的平板车 上表
面水平，开始时静止在光滑水平面上，在平板车左端静置一质量为的物体 ，
一颗质量为的子弹以的水平初速度射入物体，射穿后速度变为 ，子弹
穿过物体的时间极短.已知、之间的动摩擦因数不为零，平板车 车身足够
长，且与 最终相对静止.求：
(1) 子弹射穿物体的瞬间物体的速度 ；
[答案]
[解析] 子弹穿过物体的过程中，子弹和物体 组成的系统动量守恒，取向右为
正方向，由动量守恒定律得
解得
3.(多物体、多过程中动量守恒定律的应用)如图所示，质量为的平板车 上表
面水平，开始时静止在光滑水平面上，在平板车左端静置一质量为的物体 ，
一颗质量为的子弹以的水平初速度射入物体，射穿后速度变为 ，子弹
穿过物体的时间极短.已知、之间的动摩擦因数不为零，平板车 车身足够
长，且与 最终相对静止.求：
(2) 平板车和物体的最终速度
[答案]
[解析] 在子弹穿过物体后，对物体和平板车，以 的速度方向为正方向，
由动量守恒定律得
解得
［一题多变］ 若子弹未从物体中射出，则平板车和物体的最终速度 是
多少？
提示：将子弹、物体和平板车 看作整体，则由动
量守恒定律得 ，解得
.
4.(动量守恒定律应用中的临界问题)如图所示,甲、乙两船的总质量(包括船、人
和货物)分别为、,两船沿同一直线向同一方向运动,速度分别为、 .
为避免两船相撞,乙船上的人将一质量为 的货物沿水平方向抛向甲船,甲船上的
人将货物接住,求抛出货物的最小速度.(不计水的阻力)
[答案]
[解析] 设乙船上的人抛出货物的最小速度为,抛出货物后乙船的速度为 ,甲
船上的人接到货物后甲船的速度为 ,以甲、乙两船的运动方向为正方向,由动量
守恒定律得
避免两船相撞的临界条件为
联立解得
练习册
知识点一 多物体、多过程中动量守恒的判断
1.(多选)如图所示，质量相等的两物体、 ，原来静止在平板小车上，和
间夹一被压缩了的轻弹簧，、 与平板车上表面间
的动摩擦因数之比为 ，地面光滑.当压缩弹簧突
然被释放后，、相对 滑动的过程中，以下说法
正确的是 ( )
A.、组成的系统动量守恒 B.、、 组成的系统动量守恒
C.小车向右运动 D.小车向左运动
√
√
[解析] 系统动量守恒的条件是合外力为零，、 组成的系统所受合外力不为
零，、、组成的系统所受合外力为零，故、 组成的系统动量不守恒，
、、组成的系统动量守恒，A错误，B正确；当压缩的弹簧被释放后将 、
弹开的过程中，、相对发生相对运动，向左运动，故受到 的滑动摩擦
力向左，向右运动，故受到的滑动摩擦力向右，而、 与平板车上表面间
的滑动摩擦力之比为，所以受到的向右的摩擦力大于向左的摩擦力，故
向右运动，C正确，D错误.
2.［2024·重庆一中期末］如图所示，、 两木块紧靠在一起且静止于光滑水平
面上，一颗子弹以一定的速度向右从的左端射入，穿过木块 后进入木块
，最后从 的右端射出，在此过程中下列叙述正确的是( )
A.当子弹在木块中运动时，、 组成的系统动量守恒
B.当子弹在木块中运动时，、 组成的系统动量守恒
C.当子弹在木块中运动时，、、 组成的系统动量不守恒
D.当子弹在木块中运动时，、、 组成的系统动量不守恒
√
[解析] 当子弹在木块中运动时，对、组成的系统有力的作用，则、
组成的系统动量不守恒，A错误；当子弹在木块中运动时，已经和 脱离，
则、组成的系统受合外力为零，则、组成的系统动量守恒，因此时 的动
量也守恒，则、、组成的系统动量守恒，B正确，D错误；当子弹 在木块
中运动时，、、 组成的系统受合外力为零，则动量守恒，C错误.
知识点二 多物体、多过程中动量守恒定律的应用
3.［2024·北京二中期中］质量相等的五个物块在一光滑水平
面上排成一条直线，且彼此隔开一定的距离，具有初速度
的第5号物块向左运动，依次与其余四个静止物块发生碰撞，
A. B. C. D.
[解析] 由于五个物块组成的系统水平方向不受外力作用，故系统在水平方向上
动量守恒，由动量守恒定律得，得 ，即它们最后的速度为
，B正确.
如图所示，最后这五个物块粘成一个整体，则它们最后的速度为( )
√
4.(10分)如图所示，在光滑的水平面上有两块并列放置的木块与，已知 的质
量是，的质量是，有一质量为的小铜块(可视为质点)以
的水平初速度开始在的表面滑动.铜块最后停在上，与一起以 的速
度共同前进.求：
(1) (5分)木块最后的速度 ；
[答案]
(2) (5分)离开时的速度 .
[答案]
[解析] 在上滑动时，选、、作为一个系统，其总动量守恒，在 刚滑离
时，有
滑到上后做匀速运动，再选、 作为一个系统，其总动量也守恒，则
也可以研究在、上面滑动的全过程，在整个过程中、、 组成的系统的
总动量守恒，则
把上述三个方程式中的任意两个联立求解即可得到
， .
知识点三 动量守恒定律应用的临界问题
5.如图所示，两辆质量均为的小车和置于光滑的水平面上，有一质量为
的人静止站在车上，两车静止.若这个人自车跳到车上，接着又跳回 车并
与车相对静止.则此时车和 车的速度之比为( )
A. B. C. D.
[解析] 两车以及人组成的系统，动量守恒，规定向右为正方向，有
，解得 .故选C.
√
6.(10分)［2025·河北石家庄二中高二月考］ 如图所示，甲、乙两小孩各乘一辆
冰车在水平冰面上游戏，甲和他乘的冰车质量之和为 ，乙和他乘的冰
车质量之和也为.游戏时，甲推着一个质量为 的箱子，共同以速
度 滑行.乙以同样大小的速度迎面滑来，为了避免相撞，甲突然将
箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处时，乙迅速把它抓住.若不计冰面的摩擦力，
求甲至少要以多大的速度(相对于地面)将箱子推出，才能避免与乙相撞.
[答案]
[解析] 取甲开始运动的方向为正方向，设甲推出箱子后的速度为 ，箱子的速
度为，以甲和箱子为系统，则由动量守恒定律得
设乙抓住箱子后其速度为 ，取箱子和乙为系统，则由动量守恒定律得
而甲、乙不相碰的条件是，当 时，甲推箱子的速度最小
联立以上各式可得
即甲至少要以 的速度将箱子推开，才能避免与乙相撞.
7.如图所示，三辆完全相同的平板小车、、 成一直线排列，静止在光滑水平
面上.车上有一小孩跳到车上，接着又立即从车跳到车上.小孩跳离车和
车时对地的水平速度相同.他跳到车上相对 车保持静止，此后( )
A.、两车运动速率相等 B.、 两车运动速率相等
C.三辆车的速率关系为 D.、 两车运动方向相反
√
[解析] 若人跳离、车时相对地面的水平速度为 ，以水平向右为正方向，由
水平方向动量守恒知，对人和车组成的系统有，对人和 车
有，对人和车有 ，所以
，，，即三辆车的速率关系为 ，并
且与 方向相反，故选D.
8.如图所示，在光滑水平面上有、 两辆小车，水平面的左侧有一竖直墙，在
小车上坐着一个小孩，小孩与车的总质量是 车质量的10倍.两车开始都处于
静止状态，小孩把车以相对于地面的速度推出， 车与墙壁碰后仍以原速率
返回，小孩接到车后，又把它以相对于地面的速度推出.每次推出， 车相对
于地面的速度都是，方向向左.若车返回时小孩不能再接到车,则小孩把 车
推出( )
A.5次 B.6次 C.7次 D.8次
√
[解析] 取水平向右为正方向，小孩第一次推出车时，有 ，解
得，第次推出车时，有 ，则
,所以,当时，再也接不到 车，
由以上各式得，取 ，故B正确，A、C、D错误.
9.(10分)［2024·天津一中月考］ 如图所示，光滑水平轨道上放置长木板
(上表面粗糙)和滑块，滑块置于的左端，三者质量分别为 ，
，.开始时静止，、一起以 的速度匀速向右
运动，与发生碰撞(时间极短)后向右运动，经过一段时间，、 再次达到
共同速度一起向右运动，且恰好不再与碰撞.求与发生碰撞后瞬间 的速度
大小.
[答案]
[解析] 长木板与滑块处于光滑水平轨道上，两者碰撞时间极短，长木板 与
滑块 组成的系统在碰撞过程中动量守恒，取水平向右为正方向
则
长木板和滑块达到共同速度后，恰好不再与滑块 碰撞，即最后三者速度相
等，即
联立解得 .
10.(16分)［2025·湖南长郡中学高二月考］ 如图所示，甲车质量为 ，
在车上有质量为 的人，甲车(连同车上的人) 从足够长的斜坡上高 处
由静止滑下，到水平地面上后继续向前滑动，此时质量为的乙车正以
大小为 的速度迎面滑来，已知 ，为了使两车不发生碰撞，当两车相
距适当距离时，人从甲车跳上乙车，试求人跳离甲车的水平速度 (相对地面)
应满足什么条件？不计地面和斜坡的摩擦，小车和人均可看成质点.
[答案]
[解析] 设水平向左为正方向，甲车(包括人) 滑下斜坡后速度大小为 ，由机械
能守恒定律有
解得
人跳离甲车的水平速度(相对地面)为 ，在人跳离甲车和人跳上乙车过程中各
自动量守恒，设人跳离甲车和跳上乙车后，
两车的速度大小分别为和 ，则人跳离
甲车时，有
人跳上乙车时，有
解得 ，
两车不发生碰撞的临界条件是
当时，解得
当时，解得
故的取值范围为
例1.A 例2.（1） （2）
变式.（1），方向与铜块初速度方向相同
（2），方向与铜块初速度方向相同
例3.（1）均为 （2）15个 例4.B
例5.（1） （2）11 （3）减小
随堂巩固
1.B 2., 3.（1） （2） 4.
基础巩固练
1.BC 2.B 3.B 4.（1） （2） 5.C 6.
综合提升练
7.D 8.B 9.
拓展挑战练
10.

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