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七上数学专题训练06 有理数章末易错压轴题型
易错题型一：正数与负数
易错题型二：正负数的实际应用
易错题型三：有理数的概念与分类
易错题型四：数轴的三要素及其表示
易错题型五：数轴上两点之间的距离
易错题型六：利用数轴比较有理数的大小
易错题型七：数轴上的整点覆盖问题
易错题型八：求绝对值
易错题型九：绝对值的非负性
易错题型十：绝对值的化简
易错题型十一：相反数
易错题型十二：有理数的四则运算
易错题型十三：有理数的简便运算
易错题型十四：有理数的实际应用
易错题型十五：有理数的乘方运算
易错题型十六：科学记数法
易错题型十七：程序流程图
易错题型十八：算24点
压轴题型一：数轴上的动点问题
压轴题型二：数轴上的规律探究
压轴题型三：绝对值的几何意义
压轴题型四：绝对值的化简（分类讨论）
压轴题型五：有理数的规律运算
压轴题型六：有理数的新定义运算
压轴题型七：有理数的实际应用综合
易错题型一：正数与负数
1．在，2.5，，0，中负数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．以学校门口位置为起点，记作，向东为正，向西为负．小华从学校门口出发，先向东走了，这时他的位置记作 ，然后他又向西走，这时他的位置记作 ．
3．一次数学测试，如果95分为优秀，以95分为基准简记，例如：106分记为分，那么85分应记为 分．
易错题型二：正负数的实际应用
4．如表，表中列出了国外几个城市与北京的时差，其中带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数，则当北京的时间为时，纽约的时间是 ．
城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥
时差/时
5．如下表所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，横式和纵式都可以表示同一个数，古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示，则“”所表示的数是 ．
6．如图，小李在某运动APP中设定了每天的步数目标为8000步，该APP用正数表示超过目标步数的步数，用负数表示少于目标步数的步数．
(1)从9月2日到9月5日这四天中，步数最多的是9月________日，步数最少的是9月________日；
(2)小李这四天走的步数一共是多少？
易错题型三：有理数的概念与分类
7．在5，，，，0.22，，中，是负有理数的为 ．
8．把下列各数填入相应的大括号内：，，，，，，，，，，，
正数{___________}，
整数{___________}，
分数{___________}，
非负有理数{___________}．
9．将下列各数填在相应的集合里．
，，，，，，，，，
整数集合： ；
负有理数集合： ；
正分数集合： ；
非负整数集合： ．
易错题型四：数轴的三要素及其表示
10．下列数轴表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．数轴上与原点的距离是2.5个单位长度的点表示的数是 ．
12．若、、是数轴上的三个点，点表示的数是，线段的长是6，点是线段的中点，则点表示的数是 ．
易错题型五：数轴上两点之间的距离
13．如图，在一条可以折叠的数轴上，A、B两点表示的数分别是 ，3，以点C为折点，将此数轴向右对折，若A、B两点重合，则C点表示的数是 ．

14．已知在数轴上有三个点，点A表示的数是，点B表示绝对值最小的数，点C表示的数是最大的负整数．
(1)在数轴上把三点表示出来，并比较这三个点表示的数的大小；（用“＜”号连接）
(2)直接写出如何移动点C，可以使它到点A和点B的距离相等．
15．一点从数轴上表示的点A开始移动，第一次先向左移动1个单位，再向右移动2个单位到达点；第二次从点先向左移动3个单位，再向右移动4个单位到达点C；第三次从点C先向左移动5个单位，再向右移动6个单位…
(1)第一次移动后这个点在数轴上表示的数为 ；点与点间的距离为 ．
(2)第二次移动后这个点在数轴上表示的数为 ；点A与点C间的距离为 ．
(3)若第n次移动后到达N点则这个点在数轴上表示的数为 ；点与点间的距离为 ．
(4)若第次移动后这个点在数轴上表示的数为78，求m的值．
易错题型六：利用数轴比较有理数的大小
16．在数轴上分别画出数所对应的点和，并用“”连接这几个数．
________________________．
17．把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“”连接起来．
，，，，，．
18．给出下列9个有理数，按下列要求解答：
3，，0，，0.45，，，，
(1)把上面的9个数用“”排列起来；
(2)把数3，0，，，表示在数轴上．
易错题型七：数轴上的整点覆盖问题
19．如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有多少个？它们对应的数是多少？
20．若在单位长度的数轴上随意画出一条长的线段，则线段盖住的整数点至少有( )
A．9个 B．10个 C．100个 D．101个
21．若数轴上表示整数的点称为整点，画一数轴，并规定单位长度为l厘米，若在这条数轴上随意画出一条长10厘米的线段，则线段盖住的整点有（ ）
A．8个或9个 B．9个或10个 C．10个或11个 D．11个或12个
易错题型八：求绝对值
22．若，则a是（ ）
A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数
23．写出一个绝对值小于1的数 ．（写出一个即可）
24．（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ， ；
（2）数轴上表示和的两点之间的距离是 ， ；
（3）数轴上表示1和的两点之间的距离是 ， ；
（4）根据以上规律，数轴上表示a和b的两点之间的距离= ．
易错题型九：绝对值的非负性
25．若与互为相反数，则的值为（ ）
A．1 B． C．0 D．
26．已知那么 ．
27．在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，表示5在数轴上对应的点到原点的距离，可以表示为：；那么表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的两点之间的距离．
(1)若，则_______， ________；
(2)若，则_______；
(3)若，且x的值为整数，则x值为_______；
易错题型十：绝对值的化简
28．已知为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示．
(1)根据数轴化简：__________；___________；__________．
(2)，求的值．
29．已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示．
(1)试判断a，b，c的正负性：a______0；b______0；c______0（用“”“”“”填）；
(2)根据数轴化简：______；______；______；
(3)若，，求a，c的值．
30．已知有理数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示．
(1)化简：；
(2)若互为相反数，，互为倒数，为最小的正整数，求的值．
易错题型十一：相反数
31．和互为相反数，则的值为 ．
32．解答
(1)如果，，且，求的值．
(2)已知与互为相反数，求的值．
33．求下列各数的相反数：
(1)；
(2)；
(3)．
易错题型十二：有理数的四则运算
34．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
35．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
36．计算下面各题．
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
易错题型十三：有理数的简便运算
37．用简便方法计算．
①
②
38．用简便方法计算
(1)
(2)
(3)
(4)
39．简便计算．
(1)
(2)
(3)
(4)
易错题型十四：有理数的实际应用
40．某市学生和儿童在三级医院住院就医，医疗费用支付方法如下．
标准 支付方法
一年内 650元以内（含650元） 个人支付全部费用
650元以上部分 个人支付，剩余由医疗保险基金支付
(1)六（1）班的明明做了一个小手术，住院医疗费用一共是4200元，按上面的方法计算，他本次住院需要个人支付多少钱？
(2)六（2）班的亮亮今年住院，按上面的方法计算，医疗费用由医疗保险基金支付了1650元．亮亮本次住院的医疗费用一共是多少钱？
41．小明家买了一套新房子，要进行装修．户型图如下：
(1)用边长8分米的正方形地砖铺客厅地面，如果每块砖售价120元，共需要多少钱？
(2)如果每米石膏条7元，给客厅和卧室的房顶四周装石膏条需要花多少钱？
(3)房屋高度是2.5米，卧室门窗总面积是10平方米，如果一桶5升的墙面漆大约可以刷60平方米，把卧室粉刷一新要多少桶才合适？单位：米
42．某工厂要加工一批相同型号的零件，计划每天加工件，但由于各种原因，实际每天的加工量与计划量相比会有所差异．下表是工厂在某周的加工情况（超过件记为正，不足件记为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减（件）
(1)求工厂当周一共加工的零件总数；
(2)若每件零件的加工成本为元，求该工厂当周的加工总成本；
(3)为鼓励生产，工厂所在城市出台了如下奖惩制度：工厂每加工一件零件奖励元，若某天超过了计划加工量，则当天再给予元奖金，若某天没有达到计划加工量，则当天需缴纳元罚金，求该工厂当周的奖励总额．
易错题型十五：有理数的乘方运算
43．计算：
(1)______；
(2)______；
(3)______；
(4)______；
(5)______；
(6)______．
44．观察下列两组算式：
①与；
②与．
(1)每组两个算式的结果是否相等？
(2)根据（1）的结果猜想等于什么？
(3)用（2）的结论计算．
45．若，
(1)求x，y的值；
(2)求的值．
易错题型十六：科学记数法
46．唐朝典籍《唐六典》中对度量衡制有一段记载：“凡权衡度量之制度，以北方秬黍中者，一黍之广为分，十分为寸，十寸为尺，十尺为丈．”大意为：长度单位——中等大小的秬黍，1粒的长度算为一分，10粒的长度算为一寸，以此递加．则20丈可表示为（ ）
A．20尺 B．寸 C．分 D．分
47．近年来，国产动画电影蓬勃发展，其中《哪吒之魔童降世》凭借其精美的画面、精彩的剧情以及深刻的主题，深受广大观众的喜爱，这部电影在上映后引发了观影热潮，票房一路攀升．2025年2月28日其全球累计票房（含预售及海外）突破140亿元，数据140亿用科学记数法可以表示为（　　）
A． B． C． D．
48．中国国际贸易持续增长，对“一带一路”沿线国家进出口再创新高，截至2023年9月，中国的进出口总值达到了3.74万亿元，即为3740000000000元，这不仅促进了我国出口和进口的增长，也为沿线国家的经济发展提供了有力支撑．其中3740000000000用科学记数法表示为 ．
易错题型十七：程序流程图
49．丁丁在电脑中编写了一个运算程序，运算法则如下图，按照这个运算法则，当在电脑中输入4时，显示结果是 ；当显示结果是8时，输入的数是 ．
50．如图，如果开始输入，那么最后输出的结果是 ．
51．如图是一个数值转换机的示意图，写出运算过程并填写下表：
x 0 1 2
y 1 0
输出
(1)直接写出运算过程： ；
(2)根据数值转换机的运算，填写结果，直接填入表中．
易错题型十八：算24点
52．从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（包括加、减、乘、除和乘方），每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号，使得运算结果为24或，其中黑色扑克牌代表正数（黑桃、梅花为黑色），红色扑克牌代表负数（红桃、方块为红色），A，J，Q，K分别代表1，11，12，13．比如，小明抽到了黑桃7，黑桃3，红桃3，梅花7，他运用下面的方法凑成了：．如果抽到的是黑桃A，红桃2，黑桃2，梅花3，则列出算式为 ．
53．嘉嘉和琪琪在玩24点游戏，游戏规则是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算（可以使用括号）得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用．嘉嘉抽到的四张牌如下，请帮他写出一个计算结果为24的算式 ．
54．“24点”游戏是同学们熟知的数学游戏，游戏规则是利用加、减、乘、除（可加括号），将这四个数列式进行运算（四个数都要用到且都只能使用1次），使其结果为24．
例如：①2、3、4、8：；②2、4、、：．
(1)请用一个算式完成下列两组数据的“24点”运算．
①1、2、3、6；②、、4、4．
(2)若“24点”游戏规则在原有四则运算基础上加入乘方计算，即四个数中的一个数可以用做指数，例如2、3、4、4可以这样计算：也可以这样计算：．请利用上述运算规则列式完成2、、、5的“24点”计算，要求用2种方法．
压轴题型一：数轴上的动点问题
55．如图1，点Z将线段分成和两部分．若或，则称点Z是线段的“分”点．
【理解定义】
（1）若线段，Z是线段的“分”点，且，则 ；
【解决问题】
如图2，有一张半径为个单位长度的圆形纸片，将该纸片边上的某点与数轴上表示1的点重合，并把该纸片沿数轴向右无滑动地滚动1周，使该点到达点D的位置．
（2）若不重合的两点M、N均为线段的“分”点，求线段的长度；
（3）在图2中，点P从点O出发，以3个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动；同时，点Q从点D出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，运动时间为t秒．在点P、D、Q三个点中，当点D和P分别为其余两点所构成线段的“分”点时，直接写出t的值．
56．如图，点、在数轴上表示的数分别是，1，点在点的右侧，且、两点间的距离为4．
(1)点表示的数为______；
(2)动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动的时间为t秒．
①当为何值时，、两点相遇？
②当点表示的数为2时，求、两点间的距离．
57．如图，已知数轴上有A，B，C三点，它们表示的数分别是，，4． 点A到点C的距离可以用表示，且．
(1)应用： ， ；
(2)拓展：若点A沿数轴向右以每秒3个单位长度的速度运动，则t秒时点A表示的数是 ，此时， （用含t的式子表示）；
(3)探究：若点C以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时，点A和点B分别以每秒3个单位长度和8个单位长度的速度向左运动，则的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，求出的值．
压轴题型二：数轴上的规律探究
58．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、表示的数分别为、，则、两点之间的距离，线段的中点表示的数为．
如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为秒．
(1)、两点之间的距离______，线段的中点表示的数为______；
(2)秒后，点表示的数为______，点表示的数为______；（用含的代数式表示）
(3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否会发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请直接写出线段的长度．
59．综合与探究
数轴可以将数与形完美结合．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题：
(1)平移运动
一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳完5次时，落在数轴上的点表示的数是 ；当它跳完2024次时，落在数轴上的点表示的数是 ．
(2)翻折变换
①若折叠数轴所在纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示 的点重合．
②若数轴上D、E两点经折叠后重合，两点之间的距离为2024（D在E的左侧，且折痕与①折痕相同），则D点表示 ，E点表示 ．
③一条数轴上有点M、N、P，其中点M、N表示的数分别是、8，现以点P为折点，将数轴向右对折，若点M对应的点落在点N的右边，并且线段的长度为3，请直接写出点P表示的数 ．
60．观察数轴，充分利用数形结合的思想．若点A，在数轴上分别表示数，，则A，两点的距离可表示为．根据以上信息回答下列问题：已知多项式的次数是，且与互为相反数，在数轴上，点是数轴原点，点A表示数，点表示数．设点在数轴上对应的数为．
(1)由题可知：A，两点之间的距离是　 　．
(2)若满足，求．
(3)若动点从点A出发第一次向左运动1个单位长度，在此新位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度按照此规律不断地左右运动，当运动了1009次时，求出所对应的数．
压轴题型三：绝对值的几何意义
61．同学们都知道，表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：
(1)是所有符合成立条件的整数，则___________；
(2)由以上探索猜想，对于任何有理数，的最小值为___________；
(3)当为整数时，的最小值为___________；
(4)求的最小值．
62．完成下列题目：
(1)分别为数轴上两点，点对应的数为，点对应的数为．
①两点之间的距离为_______；
②折数轴，使点与点重合，则表示的点与表示_______的点重合；
③若在数轴上存在一点到的距离是点到的距离的倍，则点所表示的数是_______；
绝对值拓展材料：表示数在数轴上的对应点与原点的距离，如：表示在数轴上的对应点到原点的距离而，即表示在数轴上对应的两点之间的距离类似的，有：列表示、在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么之间的距离可表示为．
(2)数轴上表示和两点之间的距离为_______，若表示一个有理数，且，则_______．
(3)若满足时，则的值是_______．
63．观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题：
（1）探究：
你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空．
①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ．
②数轴上表示和的两点之间的距离是 ．
③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ．
（2）归纳：
一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于．
（3）应用：
①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值．
②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值．
③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由．
压轴题型四：绝对值的化简（分类讨论）
64．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题：
(1)当时，求的值．
(2)当时，求的值．
(3)已知，是有理数，当时，试求的值．
65．在七年级数学学习中，常用到分类讨论的数学方法，以化简为例．当时，；当时，；当时，．求解下列问题：
(1)当时，值为 ，当时，的值为 ，当x为不等于0的有理数时，的值为 ；
(2)已知，，求的值；
(3)已知：，，…，，，这2024个数都是不等于0的有理数，若这2024个数中有n个正数，，则m的值为 （请用含n的式子表示）．
66．在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：
当时，；当时，；当时，．请用这种方法解决下列问题．
(1)当时，则_____；当时，则_____．
(2)当时，则_____；当时，则_____．
(3)你可以再找些数字代入，通过计算找到规律(不用写出规律)，并解决下列问题：已知，是有理数，当时，试求值．
压轴题型五：有理数的规律运算
67．观察下面三行数：
，，，，，，…；①
，，，，，，…；②
，，，，，，…．③
(1)第①行数的第个数是______；
(2)请将第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数，并找出规律，根据你得到的结论，直接写出第②行数的第n个数是______；同理直接写出第③行数的第n个数是______．
(3)取每行的第个数，这三个数的和能否等于？如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由．
68．观察以下等式：
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
第4个等式：．
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：________；
(2)写出第（取正整数）个等式：________（用含的等式表示）；
(3)利用以上规律计算的值．
69．观察下列等式：
，
将以上三个等式两边分别相加得：．
用你发现的规律解决下列问题：
(1)猜想并写出：______；
(2)直接写出下列各式的计算结果：
①______；
②______；
(3)探究并计算：．
压轴题型六：有理数的新定义运算
70．阅读下列内容，并完成相关问题：
嘉嘉说：“我定义了一种新的运算，叫（加乘）运算”然后他写出了一些按照（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：
；；
；；
；．
琪琪看了这些算式后说：“我知道你定义的（加乘）运算的运算法则了”．
聪明的你也明白了吗？
(1)归纳（加乘）运算的运算法则：同号得________、异号得_________、并把_________相加．
特别地，0和任何数进行（加乘)运算，或任何数和0进行（加乘）运算，都得这个数的__________；
(2)计算：．
71．探究2个“新定义运算”问题．
(1)定义一种新运算“”，运算规则为：，则______．
(2)定义另一种新运算“”，运算规则未知，其运算符合下述规律：
，且，．
请先阅读范例，然后回答问题．
范例学习
若，
则，
；
或．
①若，
填空：______，______，______，______
②若，
计算：．
72．【阅读理解】
材料一：类比“有理数的乘方”的定义，我们规定：求若干个相同的非零有理数的商的运算，叫作除方，如，等．把（记作读作“的括号3次方”；把记作，读作“3的括号4次方”．
材料二：我们知道除法运算可以转化为乘法运算，例如：．
(1)仿照上例，将下列除方运算的结果写成幂的形式：
①；
②；
(2)求的值．
压轴题型七：有理数的实际应用综合
73．某风景名胜区内停车场和道路机动车停车收费标准如下：
某风景名胜区内停车场和道路机动车停车收费标准
机动车车型类别 收费标准
8时~20时（元/辆 小时） 20时~次日8时（元/辆 小时）
双休日 其他时间
小型车 20 10 5
大型车 10 10 5
备注 按时计费的停车费，不足1小时按1小时计．
2025年6月14日（星期六），张叔叔驾驶小型车进入该风景名胜区停车场，当天离开．根据收费标准，他需支付多少停车费？
74．（1）王叔叔从A地出发开车到B地，已经行驶了3小时，每小时行驶80千米，再行全程的就能到达B地，A地到B地一共多少千米？（根据题意把线段图补充完整，标明信息与问题，并解答）
（2）王叔叔到B地之后，在一个停车场停车5小时20分钟，根据下面停车收费标准，他需要付多少钱？
B地车辆停放服务收费标价公示牌
计费方式：计时收费 计费单位：元/辆
收费类型 第一小时内 第一小时后
小型车 8元 3元/半小时
第一小时后不足半小时按半小时计算，连续停车24小时内最高收费不超过60元，超过24小时重新计算．
75．综合实践
问题背景 某校编程社团为每位考生的准考证号设计二维码．二维码的图案由一系列黑白相间的方块（黑色代表1，白色代表0）组成，形成一串二进制序列，用于存储各种类型的数据．
查阅资料一 十进制，即“逢十进一”，使用十个数字记数，基数为10（基数10常省略不写）．例如，十进制数3925表示3个千，9个百，2个十，5个一的和，可得式子：（规定：当时，），可见，一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．二进制，即“逢二进一”，各数位上的数字只有0和1，基数为2．例如，二进制数10100简记为（角标2为基数，除十进制外，基数不能省略），可利用上述方法将其转化为十进制数：．
查阅资料二 根据二进制数“逢二进一”的原则，可以用2连续去除十进制数，直到商为0为止，然后逆序取余数，得到二进制数．例如：可得：上述方法可以推广为把十进制数转换为k进制的第法（除k取余法）
制作二维码 图1是小南同学的二维码简易编码和制作说明．小南同学的准考证号是0207181124，其中“02”表示性别男，转化成二进制数为10，对应二维码第一行的五个方格从左到右分别为：白、白、白、黑、白；“07”表示年级为七年级，转化成二进制数为111，对应二维码第二行的五个方格从左到右分别为：白、白、黑、黑、黑：“18”表示班级为18班，转化成二进制数为10010，对应二维码第三行的五个方格从左到右分别为：黑、白、白、黑、白；“11”‘表示考场号为11，转化成二进制数为1011，对应二维码第四行的五个方格从左到右分别为：白、黑、白、黑、黑；“24”表示座位号为24，转化成二进制数为11000，对应二维码第五行的五个方格从左到右分别为：黑、黑、白、白、白．图2是未完成的小宁同学准考证号的二维码．
请完成下列问题：
【图形感知】（1）根据图1的制作示意图，把小宁同学的考场号二进制数10101在图2中填涂出来；
【转化计算】（2）根据图2的二维码图形，求小宁同学所在的年级和班级；
【实践操作】（3）已知小宁的准考证座位号是13号，请先转化计算，再完善二维码制作．
答案与解析
易错题型一：正数与负数
1．在，2.5，，0，中负数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解．根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数．
【详解】解：，，是负数；
，，是正数；
0既不是正数，也不是负数；
∴负数有，，共2个．
故选：B．
2．以学校门口位置为起点，记作，向东为正，向西为负．小华从学校门口出发，先向东走了，这时他的位置记作 ，然后他又向西走，这时他的位置记作 ．
【答案】
【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数加法运算，根据正数和负数表示一对互为相反意义的量求解即可．
【详解】解：规定学校向东为正，向西为负，小华从学校门口出发，先向东走了，这时他的位置记作，又向西走，,这时他的位置记作，
故答案为：，．
3．一次数学测试，如果95分为优秀，以95分为基准简记，例如：106分记为分，那么85分应记为 分．
【答案】
【分析】本题主要考查正负数的应用，熟练掌握正负数的应用是解题的关键．根据正负数的应用即可得到答案．
【详解】解：106分记为分，那么85分应记为分，
故答案为：．
易错题型二：正负数的实际应用
4．如表，表中列出了国外几个城市与北京的时差，其中带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时数，则当北京的时间为时，纽约的时间是 ．
城市 纽约 巴黎 东京 芝加哥
时差/时
【答案】前一日
【分析】本题主要考查正负数的实际运用，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据正数和负数的实际意义，结合表格信息即可求得答案．
【详解】解：由题意得：（时），（时），
则当北京的时间为时，纽约的时间是前一日，
故答案为：前一日．
5．如下表所示，算筹是我国古代的计算工具之一，摆法有纵式和横式两种，横式和纵式都可以表示同一个数，古人在个位数上划上斜线以表示负数．如“”表示，则“”所表示的数是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了正数和负数，解题的关键是读懂题目，找出数筹和数字的对应关系．
根据题干描述的算筹计数法计数即可．
【详解】
解：根据算筹计数法，“”所表示的数是，
故答案为：．
6．如图，小李在某运动APP中设定了每天的步数目标为8000步，该APP用正数表示超过目标步数的步数，用负数表示少于目标步数的步数．
(1)从9月2日到9月5日这四天中，步数最多的是9月________日，步数最少的是9月________日；
(2)小李这四天走的步数一共是多少？
【答案】(1)4；3；
(2)
【分析】本题考查了正负数，掌握正负数的意义是关键．
（1）步数超出最多的量为最多的一天，步数不足最多的量为最少的一天；
（2）用每天8000步加上每天的出入量，得出总和即可．
【详解】（1）∵，
∴从9月2日到9月5日这四天中，
步数最多的是9月4日，步数最少的是9月3日．
故答案为：4；3；
（2）（步），
答：小李这四天走的步数一共是步．
易错题型三：有理数的概念与分类
7．在5，，，，0.22，，中，是负有理数的为 ．
【答案】，，
【分析】本题主要考查有理数的分类，根据负有理数的概念求解即可．
【详解】在5，，，，0.22，，中，
是负有理数的为，，．
故答案为：，，．
8．把下列各数填入相应的大括号内：，，，，，，，，，，，
正数{___________}，
整数{___________}，
分数{___________}，
非负有理数{___________}．
【答案】，，，，，；，，，，；，，，，；，，，，，
【分析】本题主要考查了有理数及正数和负数．根据正负数、整数、分数及非负有理数的定义，依次对所给各数进行分类即可．
【详解】解：由题知，
正数{，，，，，}，
整数{，，，，}，
分数{，，，，}，
非负有理数{，，，，，}．
故答案为：，，，，，；，，，，；
，，，，；，，，，，．
9．将下列各数填在相应的集合里．
，，，，，，，，，
整数集合： ；
负有理数集合： ；
正分数集合： ；
非负整数集合： ．
【答案】见详解
【分析】本题主要考查有理数的分类，掌握有理数的分类方法是关键．
整数包括正整数、0、负整数；负有理数包括：负分数，负整数；正分数就是大于0的分数；非负整数包括正整数和0，由此即可求解．
【详解】解：，，，，，，，，，，
整数集合：，，，；
负有理数集合：，， ；
正分数集合： ， ；
非负整数集合：，， ．
易错题型四：数轴的三要素及其表示
10．下列数轴表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据数轴的三要素即规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴，解答即可．
本题考查了数轴的三要素，熟练掌握数轴三要素是解题的关键．
【详解】
解：A. 具备了三要素，但是单位长度不同，
该选项错误，不符合题意；
B. 具备了三要素，但是负数的标记位置错误，
该选项错误，不符合题意；
C. 没有原点，
该选项错误，不符合题意；
D. 表示正确，
该选项正确，符合题意；
故选：D．
11．数轴上与原点的距离是2.5个单位长度的点表示的数是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了数轴的特征和应用，与原点距离是2.5个单位长度的点有两个，是．
【详解】解：与原点的距离是2.5个单位长度的点有两个，是．
故答案为：．
12．若、、是数轴上的三个点，点表示的数是，线段的长是6，点是线段的中点，则点表示的数是 ．
【答案】或0
【分析】本题主要考查了数轴上表示有理数，中点的定义，当点B在点A的右边时，确定点B对应的数，可得答案；当点B在点A的左边时，确定点B对应的数，即可得答案．
【详解】解：当点B在点A的右边时，
点B对应的数是．
∵点C是线段的中点，
∴点C表示的数是；
当点B在点A的左边时，
点B对应的数．
∵点C是线段的中点，
∴点C表示的数是.
所以点C表示的数是或0．
故答案为：或0．
易错题型五：数轴上两点之间的距离
13．如图，在一条可以折叠的数轴上，A、B两点表示的数分别是 ，3，以点C为折点，将此数轴向右对折，若A、B两点重合，则C点表示的数是 ．

【答案】
【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，理解以点C为折点，将此数轴向右对折，若A、B两点重合，即点C为线段的中点是解题关键．
【详解】解：当点C为线段的中点时，以点C为折点，将此数轴向右对折，A、B两点重合，
∴C点表示的数是，
故答案为：，
14．已知在数轴上有三个点，点A表示的数是，点B表示绝对值最小的数，点C表示的数是最大的负整数．
(1)在数轴上把三点表示出来，并比较这三个点表示的数的大小；（用“＜”号连接）
(2)直接写出如何移动点C，可以使它到点A和点B的距离相等．
【答案】(1)见解析，
(2)见解析
【分析】本题考查了绝对值的意义，数轴上表示有理数，数轴上两点间的距离，运用数轴比较有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先得出点B表示的数是0，点C表示的数是再在表示数轴表示各个数，最后比较大小，即可作答．
（2）依题意，点C向左移动1个单位长度后，即移动后点C表示的数是即可满足到点A和点B的距离相等．
【详解】（1）解：∵点B表示绝对值最小的数，点C表示的数是最大的负整数，
∴点B表示的数是0，点C表示的数是
∵点A表示的数是，
则三点在数轴上表示如图所示．
根据数轴上左边的数小于右边的数可知，．
（2）解：∵点B表示的数是0，点C表示的数是点A表示的数是
∴点C向左移动1个单位长度后，即移动后点C表示的数是可以使它到点A和点B的距离相等．
15．一点从数轴上表示的点A开始移动，第一次先向左移动1个单位，再向右移动2个单位到达点；第二次从点先向左移动3个单位，再向右移动4个单位到达点C；第三次从点C先向左移动5个单位，再向右移动6个单位…
(1)第一次移动后这个点在数轴上表示的数为 ；点与点间的距离为 ．
(2)第二次移动后这个点在数轴上表示的数为 ；点A与点C间的距离为 ．
(3)若第n次移动后到达N点则这个点在数轴上表示的数为 ；点与点间的距离为 ．
(4)若第次移动后这个点在数轴上表示的数为78，求m的值．
【答案】(1)2；1
(2)3；2
(3)
(4)
【分析】本题考查了数轴，数字的变化类—规律型，根据题意得出数轴上数字的变化规律是解题的关键．
（1）点从数轴上表示的点先向左移动个单位，再向右移动个单位，等于向右移动个单位，移动后这个点表示的数为，；
（2）第二次点先向左移动个单位，再向右移动个单位，等于向右移动个单位，移动后这个点表示的数为，；
（3）根据题意得出规律：第次移动后点表示的数是，；
（4）根据移动规律得出，计算即可得到答案．
【详解】（1）解：点表示的数为，
，
故答案为：；
（2）解：点表示的数为，
，
故答案为：；
（3）解：点表示的数为，
，
故答案为：；
（4）解：∵，
∴．
易错题型六：利用数轴比较有理数的大小
16．在数轴上分别画出数所对应的点和，并用“”连接这几个数．
________________________．
【答案】，数轴见解析
【分析】本题考查了有理数的大小比较，在数轴上表示有理数，根据分数的意义，确定各数在数轴上的位置，然后按从大到小排列．
【详解】解：
数轴上的位置如图，
从大到小顺序为：
17．把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“”连接起来．
，，，，，．
【答案】数轴见解析，
【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解题关键．把各点在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“”连接起来即可．
【详解】解：，，，
如图，
故．
18．给出下列9个有理数，按下列要求解答：
3，，0，，0.45，，，，
(1)把上面的9个数用“”排列起来；
(2)把数3，0，，，表示在数轴上．
【答案】(1)
(2)见详解；
【分析】本题考查了数轴、有理数的大小比较．熟知相关定义是正确解题的关键．
（1）根据“正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数”的法则即可结果；
（2）根据数轴是用直线上的点表示数的一条直线，可把数在数轴上表示出来；
【详解】（1）解：将3，，0，，，，，，用“”排列如下：
；
（2）解：把数3，0，，，表示在数轴上，如下：
易错题型七：数轴上的整点覆盖问题
19．如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有多少个？它们对应的数是多少？
【答案】9个，它们对应的数是
【分析】本题考查了数轴，是基础题，知道数轴上的点是连续的是解题的关键．根据数轴上的点是连续的特点，写出被墨水盖住的整数即可．
【详解】解：根据数轴的特点，到之间的整数有、、、、共5个，
0到之间的整数有1、2、3、4共4个，
所以被墨迹盖住的整数有（个）．
它们对应的数是．
20．若在单位长度的数轴上随意画出一条长的线段，则线段盖住的整数点至少有( )
A．9个 B．10个 C．100个 D．101个
【答案】C
【分析】分类讨论：线段的两端点是整数点，线段的两端点不是整数点，根据线段的长度，可得答案．
【详解】解：当线段的两端点是整数点时，一条长的线段，则被线段盖住的整数有个，
当线段的两端点不是整数点时，一条长的线段，则被线段盖住的整数有个，
线段盖住的整数点至少有个
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴上两点的距离，熟练掌握数轴的定义是解题的关键．
21．若数轴上表示整数的点称为整点，画一数轴，并规定单位长度为l厘米，若在这条数轴上随意画出一条长10厘米的线段，则线段盖住的整点有（ ）
A．8个或9个 B．9个或10个 C．10个或11个 D．11个或12个
【答案】C
【分析】分线段的端点在整点上和不在整点上两种情况讨论，据此得出规律即可解答本题．
【详解】解：依题意得：①当线段的端点在整点上时，覆盖11个数；
②当线段的端点不在整点，即在两个整点之间时覆盖10个数．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分类讨论思想和数形结合思想的应用，取一个较小的整数，然后画出图形得出规律是解决此题的关键．
易错题型八：求绝对值
22．若，则a是（ ）
A．负数 B．正数 C．非负数 D．非正数
【答案】C
【分析】本题考查了绝对值的代数意义，一个正数的绝对值是它本身；零的绝对值是零；一个负数的绝对值是它的相反数．
根据绝对值的代数意义判断即可．
【详解】∵
∴，即a是非负数．
故选：C．
23．写出一个绝对值小于1的数 ．（写出一个即可）
【答案】0.5（答案不唯一）
【分析】本题考查了绝对值的性质，且是开放性试题，较简单．根据绝对值的性质作答．
【详解】解：∵的绝对值为1，1的绝对值为1，
∴到1的数的绝对值都小于1．
故这个数可以是：0.5
故答案为：0.5（答案不唯一）．
24．（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ， ；
（2）数轴上表示和的两点之间的距离是 ， ；
（3）数轴上表示1和的两点之间的距离是 ， ；
（4）根据以上规律，数轴上表示a和b的两点之间的距离= ．
【答案】（1）3，3；（2）3，3；（3）4，4；（4）
【分析】（1）根据数轴上两点之间距离的计算方法进行计算即可．
（2）根据数轴上两点之间距离的计算方法进行计算即可．
（3）根据数轴上两点之间距离的计算方法进行计算即可．
（4）根据上面计算的结果，发现规律即可解决问题．
本题主要考查了数轴及绝对值，熟知数轴上两点之间距离的计算方法是解题的关键．
【详解】解：（1）由题知，
数轴上表示2和5的两点之间的距离是：，
故答案为：3，3
（2）由题知，
数轴上表示和的两点之间的距离是：，
故答案为：3，3
（3）由题知，
数轴上表示1和的两点之间的距离是：，．
故答案为：4，4
（4）根据以上规律可知，
数轴上表示a和b的两点之间的距离
故答案为：
易错题型九：绝对值的非负性
25．若与互为相反数，则的值为（ ）
A．1 B． C．0 D．
【答案】B
【分析】本题考查了绝对值的非负性，相反数的定义，求代数式的值等知识，新根据相反数的定义得出，然后根据绝对值的非负性可求出，，最后代入计算即可．
【详解】解：∵与互为相反数，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
故选：B．
26．已知那么 ．
【答案】3
【分析】本题考查了绝对值的非负性，已知字母的值求代数式的值，因为，则，得，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：3
27．在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，表示5在数轴上对应的点到原点的距离，可以表示为：；那么表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的两点之间的距离．
(1)若，则_______， ________；
(2)若，则_______；
(3)若，且x的值为整数，则x值为_______；
【答案】(1)
(2)5或
(3)
【分析】本题考查数轴上点与点之间的距离和绝对值的非负性，解题的关键是掌握数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于．
（1）根据绝对值的非负性求解即可；
（2）由可得或，求解方程即可；
（3）根据点与点之间的距离的概念确定x的范围，取整即可．
【详解】（1）若，
则，解得，，解得．
（2）若，
则或，
解得或．
（3）若，
表示数的点到数的点距离与到数的点的距离之和为5，
，
x的值为整数，
x值为．
易错题型十：绝对值的化简
28．已知为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示．
(1)根据数轴化简：__________；___________；__________．
(2)，求的值．
【答案】(1)；；
(2)
【分析】本题主要考查了数轴，化简绝对值，代数式求值等知识．
（1）根据数轴可知：，进而化简绝对值即可．
（2）根据，，结合数轴上三个点的位置，得出a，b，c的值，再代入代数式，进而得出答案．
【详解】（1）解：根据数轴可知：，，
∴，，．
（2）解：根据数轴可知：，
∵，
∴，，，
∴．
29．已知a，b，c为有理数，且它们在数轴上的对应点的位置如图所示．
(1)试判断a，b，c的正负性：a______0；b______0；c______0（用“”“”“”填）；
(2)根据数轴化简：______；______；______；
(3)若，，求a，c的值．
【答案】(1)；；
(2)；；
(3)
【分析】本题主要考查了有理数与数轴，绝对值，正确读懂数轴是解题的关键．
（1）在原点左边的数小于0，原点右边的数大于0，据此可得答案；
（2）正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此可得答案；
（3）正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，据此可得答案．
【详解】（1）解：由数轴可知；
（2）解：∵，
∴，；；
（3）解：∵，，，
∴．
30．已知有理数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示．
(1)化简：；
(2)若互为相反数，，互为倒数，为最小的正整数，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了数轴和绝对值，相反数，倒数，代数式求值，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）判断各项的取值，再根据绝对值的性质化简即可；
（2）求出和的值，再代入计算即可得到答案．
【详解】（1）解：由图得，，，，
；
（2）解：互为相反数，
，
，互为倒数，
，
为最小的正整数，
，
．
易错题型十一：相反数
31．和互为相反数，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了相反数的性质和简单的一元一次方程的解法，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．根据互为相反数的两个数之和为0可得关于x的方程，解方程即得答案．
【详解】解：∵和互为相反数，
∴，
解得：．
故答案为：．
32．解答
(1)如果，，且，求的值．
(2)已知与互为相反数，求的值．
【答案】(1)或
(2)3
【分析】本题考查了绝对值、相反数、代数式求值、一元一次方程的应用，熟练掌握绝对值和相反数的性质是解题关键．
（1）先根据绝对值的意义可得，由确定值，即可求解；
（2）根据题意得到，再根据绝对值的非负性求出值，即可求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴或，
∴或，
∴的值为或；
（2）解：∵与互为相反数，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
33．求下列各数的相反数：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了化简多重符号，相反数的定义，熟练掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解此题的关键．
（1）先将化简，再由相反数的定义即可得解；
（2）根据相反数的定义即可得解；
（3）相反数的定义即可得解．
【详解】（1）解：∵，
∴的相反数是；
（2）解：的相反数是；
（3）解：的相反数是．
易错题型十二：有理数的四则运算
34．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键．
（1）先将带分数和小数化简，再对括号内通分计算，然后计算乘除法，最后计算加减法即可；
（2）先将带分数和小数化简，再对括号内通分计算，然后计算乘除法，最后计算加减法即可；
（3）先将分数化为小数，再计算括号内运算和乘除法，最后计算加减法即可；
（4）先将小数化为分数，再对括号内通分计算，再计算乘除法，最后计算加减法即可；
（5）先将分数化为小数，再计算括号内运算和乘除法，最后计算加减法即可；
（6）先将带分数和小数化简，再对括号内通分计算，然后计算乘除法，最后计算加减法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
（5）解：
；
（6）解：
．
35．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】本题主要考查了有理数的乘法，有理数的加减混合运算，有理数的乘除混合运算．
对于（1），根据有理数乘法法则计算；
对于（2），根据有理数的加减法法则计算；
对于（3），根据多个有理数相乘，先确定结果的符号，再把绝对值相乘；
对于（4），先确定结果的符号，再按照顺序计算即可；
对于（5），先拆成，再根据乘法分配律计算即可；
对于（6），先将小数变成分数，再根据有理数的加法结合律计算即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式；
（4）解：原式；
（5）解：原式；
（6）解：原式．
36．计算下面各题．
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【答案】(1)610
(2)26.1
(3)
(4)
(5)4
(6)３
【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练运用运算法则是解答本题的关键．
（1）原式先计算除法，再计算减法即可；
（2）原式先计算括号内的减法，再计算乘法即可；
（3）原式把除法转换为乘法，再约分可得结论；
（4）原式先计算括号内的除法，再把括号展开，最后计算减法即可；
（5）原式运用乘法分配律将括号展开，再运用加法结合律进行计算即可；
（6）原式分别计算括号内的，再进行除法运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
（5）解：
；
（6）解：
．
易错题型十三：有理数的简便运算
37．用简便方法计算．
①
②
【答案】①；②
【分析】本题考查了有理数的混合运算，乘法运算律，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
①先运算括号内，再运算乘法，即可作答．
②运用乘法运算律进行计算，即可作答．
【详解】解：①
；
②
．
38．用简便方法计算
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)7
(3)
(4)
【分析】本题主要考查分数的四则混合运算；
（1）把除法变乘法，再约分计算即可；
（2）把除法变乘法，再根据乘法分配律进行简算即可；
（3）先乘法约分，再计算加法即可；
（4）先计算小括号，再乘法约分，最后计算除法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
，
；
（3）解：
，
；
（4）解：
，
，
；
39．简便计算．
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)400
(2)25
(3)
(4)
【分析】本题考查了小数，分数，百分数之间的四则混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）将原算式变形为，再进行计算；
（2）将原算式变形为，先利用乘法分配律进行括号内计算，再计算除法；
（3）括号内先利用乘法分配律进行计算，再计算除法；
（4）将原算式变形为，再由乘法分配律进行计算．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
易错题型十四：有理数的实际应用
40．某市学生和儿童在三级医院住院就医，医疗费用支付方法如下．
标准 支付方法
一年内 650元以内（含650元） 个人支付全部费用
650元以上部分 个人支付，剩余由医疗保险基金支付
(1)六（1）班的明明做了一个小手术，住院医疗费用一共是4200元，按上面的方法计算，他本次住院需要个人支付多少钱？
(2)六（2）班的亮亮今年住院，按上面的方法计算，医疗费用由医疗保险基金支付了1650元．亮亮本次住院的医疗费用一共是多少钱？
【答案】(1)元
(2)元
【分析】本题主要考查有理数混合运算，分段收费的计算，理解分段收费的方法及计算是关键．
（1）根据分段收费方法计算即可求解；
（2）根据医疗保险基金支付的方法计算即可．
【详解】（1）解：（元），
答：他本次住院需要个人支付元钱；
（2）解：（元），
答：亮亮本次住院的医疗费用一共是2850元．
41．小明家买了一套新房子，要进行装修．户型图如下：
(1)用边长8分米的正方形地砖铺客厅地面，如果每块砖售价120元，共需要多少钱？
(2)如果每米石膏条7元，给客厅和卧室的房顶四周装石膏条需要花多少钱？
(3)房屋高度是2.5米，卧室门窗总面积是10平方米，如果一桶5升的墙面漆大约可以刷60平方米，把卧室粉刷一新要多少桶才合适？单位：米
【答案】(1)4800元
(2)378元
(3)2桶
【分析】本题考查了有理数混合运算的应用．
（1）先求出客厅地面的面积，再乘以单价即可；
（2）用石膏条的长度乘以单价即可；
（3）先求出墙面的面积，再求桶数即可．
【详解】（1） (平方米) ，
，
块，
元
（2）元
（3） (平方米)
桶
42．某工厂要加工一批相同型号的零件，计划每天加工件，但由于各种原因，实际每天的加工量与计划量相比会有所差异．下表是工厂在某周的加工情况（超过件记为正，不足件记为负）：
星期 一 二 三 四 五 六 日
增减（件）
(1)求工厂当周一共加工的零件总数；
(2)若每件零件的加工成本为元，求该工厂当周的加工总成本；
(3)为鼓励生产，工厂所在城市出台了如下奖惩制度：工厂每加工一件零件奖励元，若某天超过了计划加工量，则当天再给予元奖金，若某天没有达到计划加工量，则当天需缴纳元罚金，求该工厂当周的奖励总额．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查有理数的混合运算、正数和负数，解答本题的关键是明确题意，写出相应的算式．
（1）先把表格中的数据相加，再加上，即可求解；
（2）用（1）中求得的工厂当周一共加工的零件总数乘以每件零件的加工成本求解即可；
（3）用工人该周一共加工的总数乘以10，再加上奖金，减去缴纳的罚金，即可求出该周的工资总额．
【详解】（1）解：根据题意得：（件），
答：工厂当周一共加工件零件；
（2）解：根据题意得：（元），
答：该工厂当周的加工总成本为元；
（3）解：根据题意得：元，
答：该工厂当周的奖励总额为元．
易错题型十五：有理数的乘方运算
43．计算：
(1)______；
(2)______；
(3)______；
(4)______；
(5)______；
(6)______．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
【分析】本题主要考查了有理数的乘，求多个相同因数的乘积的运算用乘方表示，例如：．
表示个相乘，根据有理数的乘法法则计算即可；
表示个相乘的相反数，根据有理数的乘法法则计算即可；
把转化成假分数，可得：原式，表示个相乘，根据有理数的乘法法则计算即可；
把转化成分数，可得：原式，表示个相乘的相反数，根据有理数的乘法法则计算即可；
表示把分子进行乘方计算，其他部分不变，可得：原式，再根据有理数的乘法法则计算即可；
首先把转化成，可得：原式，表示个相乘，再根据有理数的乘法法则计算即可．
【详解】（1）解：
，
故答案为：；
（2）解：
，
故答案为：；
（3）解：
，
故答案为：；
（4）解：
，
故答案为：；
（5）解：
，
故答案为：；
（6）解：
，
故答案为：．
44．观察下列两组算式：
①与；
②与．
(1)每组两个算式的结果是否相等？
(2)根据（1）的结果猜想等于什么？
(3)用（2）的结论计算．
【答案】(1)相等；
(2)；
(3)1
【分析】本题考查有理数的混合运算：
（1）根据运算法则进行计算后，判断即可；
（2）利用（1）中规律即可得出结论；
（3）利用规律得到，计算即可．
【详解】（1）解：相等：
，
∴；
，，
∴；
（2）由（1）可得：
（3）．
45．若，
(1)求x，y的值；
(2)求的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了绝对值的非负性，有理数的乘方．
（1）根据绝对值的非负性求解即可；
（2）把x，y的值代入计算即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，；
（2）解：∵，
∴．
易错题型十六：科学记数法
46．唐朝典籍《唐六典》中对度量衡制有一段记载：“凡权衡度量之制度，以北方秬黍中者，一黍之广为分，十分为寸，十寸为尺，十尺为丈．”大意为：长度单位——中等大小的秬黍，1粒的长度算为一分，10粒的长度算为一寸，以此递加．则20丈可表示为（ ）
A．20尺 B．寸 C．分 D．分
【答案】D
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据单位间的换算关系，科学记数法的表示方法进行解答即可．
【详解】解：∵1丈尺，1尺寸，1寸分，
∴1丈分，
∴丈分分．
故选：D．
47．近年来，国产动画电影蓬勃发展，其中《哪吒之魔童降世》凭借其精美的画面、精彩的剧情以及深刻的主题，深受广大观众的喜爱，这部电影在上映后引发了观影热潮，票房一路攀升．2025年2月28日其全球累计票房（含预售及海外）突破140亿元，数据140亿用科学记数法可以表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】用移动小数点的方法确定a值，根据整数位数减一原则确定n值，最后写成的形式即可．
本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a，运用整数位数减去1确定n值是解题的关键．
【详解】解：∵亿，
故选：C．
48．中国国际贸易持续增长，对“一带一路”沿线国家进出口再创新高，截至2023年9月，中国的进出口总值达到了3.74万亿元，即为3740000000000元，这不仅促进了我国出口和进口的增长，也为沿线国家的经济发展提供了有力支撑．其中3740000000000用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【详解】解：．
故答案为：．
易错题型十七：程序流程图
49．丁丁在电脑中编写了一个运算程序，运算法则如下图，按照这个运算法则，当在电脑中输入4时，显示结果是 ；当显示结果是8时，输入的数是 ．
【答案】
【分析】本题考查程序运算，质数和合数，利用质数和合数，根据程序运算解答即可．
【详解】解：∵是合数，
∴当输入4时，显示结果是，
当输入的是质数时，，解得；
当输入的是合数时，，解得，不符合题意，舍去；
故答案为：，．
50．如图，如果开始输入，那么最后输出的结果是 ．
【答案】2
【分析】根据题意，得，当时，，继续代入计算，
当时，，解答即可．
本题考查了程序式的计算，正确理解程序式的计算是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得，
当时，，继续代入计算，
当时，，
符合题意，输出2．
故答案为：2．
51．如图是一个数值转换机的示意图，写出运算过程并填写下表：
x 0 1 2
y 1 0
输出
(1)直接写出运算过程： ；
(2)根据数值转换机的运算，填写结果，直接填入表中．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据运算顺序列式计算即可 ；
（2）根据数值转换机的运算，计算解答即可．
本题考查了乘方，加法，除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，得，
故答案为：．
（2）解：根据题意，得，，，，
故答案如下：
x 0 1 2
y 1 0
输出 1
故答案为：1，，，．
易错题型十八：算24点
52．从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取四张，根据牌面上的数字进行混合运算（包括加、减、乘、除和乘方），每一张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号，使得运算结果为24或，其中黑色扑克牌代表正数（黑桃、梅花为黑色），红色扑克牌代表负数（红桃、方块为红色），A，J，Q，K分别代表1，11，12，13．比如，小明抽到了黑桃7，黑桃3，红桃3，梅花7，他运用下面的方法凑成了：．如果抽到的是黑桃A，红桃2，黑桃2，梅花3，则列出算式为 ．
【答案】(答案不唯一)
【分析】本题考查了有理数的混合运算以及正数和负数，根据题意列出算式即可，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
【详解】解：由题意得：或或．
故答案为：或或．
53．嘉嘉和琪琪在玩24点游戏，游戏规则是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算（可以使用括号）得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用．嘉嘉抽到的四张牌如下，请帮他写出一个计算结果为24的算式 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．
【详解】解： 本题中设计的数字有：8，4，2，12．
根据题目规则，可得满足条件的算式如下：
（1）．
（2）．
（3）．
（4）等．
故答案为：（答案不唯一）．
54．“24点”游戏是同学们熟知的数学游戏，游戏规则是利用加、减、乘、除（可加括号），将这四个数列式进行运算（四个数都要用到且都只能使用1次），使其结果为24．
例如：①2、3、4、8：；②2、4、、：．
(1)请用一个算式完成下列两组数据的“24点”运算．
①1、2、3、6；②、、4、4．
(2)若“24点”游戏规则在原有四则运算基础上加入乘方计算，即四个数中的一个数可以用做指数，例如2、3、4、4可以这样计算：也可以这样计算：．请利用上述运算规则列式完成2、、、5的“24点”计算，要求用2种方法．
【答案】(1)①；②；
(2)，，，等（答案不唯一，符号条件即可）
【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则．
（1）根据有理数四则混合运算法则，写出结果即可；
（2）根据题干要求，利用有理数四则混合运算法则和含乘方的有理数混合运算法则，进行解答即可．
【详解】（1）解：①；②．
（2）解：；
，，．
压轴题型一：数轴上的动点问题
55．如图1，点Z将线段分成和两部分．若或，则称点Z是线段的“分”点．
【理解定义】
（1）若线段，Z是线段的“分”点，且，则 ；
【解决问题】
如图2，有一张半径为个单位长度的圆形纸片，将该纸片边上的某点与数轴上表示1的点重合，并把该纸片沿数轴向右无滑动地滚动1周，使该点到达点D的位置．
（2）若不重合的两点M、N均为线段的“分”点，求线段的长度；
（3）在图2中，点P从点O出发，以3个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动；同时，点Q从点D出发，以1个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，运动时间为t秒．在点P、D、Q三个点中，当点D和P分别为其余两点所构成线段的“分”点时，直接写出t的值．
【答案】（1）4；（2）；（3）， ，，
【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，解一元一次方程，
对于（1），先设，则，根据题意得出方程，求出解即可；
对于（2），先求出点D表示的数，可得，再根据新定义得，，最后根据得出答案；
对于（3），设当运动时间为t秒时，点P表示的数是，点Q表示的数是，
再分两种情况：当点D是线段的“分”点时，当点P是线段的“分”点时，列出方程，求出解即可.
【详解】解：（1）设，则，根据题意，得
，
解得，
∴；
故答案为：4；
（2）∵点D表示的数是，
∴.
∵不重合的两点M，N均为线段的“分”点，假设点M在点N的左边，
∴，，
∴；
（3）当运动时间为t秒时，点P表示的数是，点Q表示的数是，
当点D是线段的“分”点时，
或，
解得或；
当点P是线段的“分”点时，
或，
解得或.
所以，t的值为或或得或.
56．如图，点、在数轴上表示的数分别是，1，点在点的右侧，且、两点间的距离为4．
(1)点表示的数为______；
(2)动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动的时间为t秒．
①当为何值时，、两点相遇？
②当点表示的数为2时，求、两点间的距离．
【答案】(1)5
(2)①；②
【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上动点问题，熟练掌握以上知识点，正确表示出点、表示的数是解题的关键．
（1）根据数轴上两点之间的距离公式即可求得点表示的数；
（2）①根据数轴上两点之间的距离公式用表示出点、分别为、，当、相遇时，有，解之即可；②先求得，然后求得点，再算得的距离即可．
【详解】（1）解：点表示的数为1，点在点的右侧，且、两点间的距离为4，
点表示的数为，
故答案为：5．
（2）解：①点表示的数为，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，
点表示的数为，
点表示的数为1，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左运动，
点表示的数为，
点、在数轴上表示的数分别是，1，
当、相遇时，有，
解得，
故当时，、两点相遇；
②由①可知，当点表示的数为2时，即，
解得，
此时点表示的数为，
点表示的数为5，
点、两点间的距离，
故当点表示的数为2时，点、两点间的距离为．
57．如图，已知数轴上有A，B，C三点，它们表示的数分别是，，4． 点A到点C的距离可以用表示，且．
(1)应用： ， ；
(2)拓展：若点A沿数轴向右以每秒3个单位长度的速度运动，则t秒时点A表示的数是 ，此时， （用含t的式子表示）；
(3)探究：若点C以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时，点A和点B分别以每秒3个单位长度和8个单位长度的速度向左运动，则的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，求出的值．
【答案】(1)6；10
(2)；或；
(3)当时的值随着时间t的变化而改变；当时，的值不随着时间t的变化而改变，．
【分析】此题考查数轴上动点问题，数轴上两点之间的距离，
（1）根据数轴上两点之间的距离公式直接计算即可；
（2）根据数轴上两点之间的距离公式直接计算即可；
（3）根据两点之间的距离公式分别求出，，即可判断．
【详解】（1）解：，，
故答案为：6；10；
（2）解：t秒时点A表示的数是，
此时或，
故答案为：；或；
（3）解：t秒时点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是，
当点A与点B重合时，，解得，
当时，，，
∴，此时的值随着时间t的变化而改变；
当时，，，
∴，此时的值不随着时间t的变化而改变，
综上，当时的值随着时间t的变化而改变；当时，的值不随着时间t的变化而改变，．
压轴题型二：数轴上的规律探究
58．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点、表示的数分别为、，则、两点之间的距离，线段的中点表示的数为．
如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为8，点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为秒．
(1)、两点之间的距离______，线段的中点表示的数为______；
(2)秒后，点表示的数为______，点表示的数为______；（用含的代数式表示）
(3)若点为的中点，点为的中点，点在运动过程中，线段的长度是否会发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请直接写出线段的长度．
【答案】(1)；
(2)点表示的数是，点表示的数是
(3)不变，线段的长度为；
【分析】本题考查了数轴上两点的距离公式，线段的中点，以及线段的和差，找出线段之间的数量关系是解题关键，注意分类讨论．
（1）利用两点之间的距离公式和线段中点公式求解即可；
（2）根据题意，秒后，点表示的数是，点表示的数是；
（3）分两种情况讨论：①当点在线段上；②当点在线段的延长线上时，根据线段的和差关系，结合线段中点分别求解即可．
【详解】（1）解：数轴上点表示的数为，点表示的数为8，
、两点间的距离，线段的中点表示的数为，
（2）解：根据题意，秒后，点表示的数是，点表示的数是；
（3）解：线段的长度不变，理由如下：
①当点在线段上时，
点为的中点，点为的中点，
；
②当点在线段的延长线上时，
点为的中点，点为的中点，
；
所以线段的长度不变，是5．
59．综合与探究
数轴可以将数与形完美结合．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题：
(1)平移运动
一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳完5次时，落在数轴上的点表示的数是 ；当它跳完2024次时，落在数轴上的点表示的数是 ．
(2)翻折变换
①若折叠数轴所在纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示5的点与表示 的点重合．
②若数轴上D、E两点经折叠后重合，两点之间的距离为2024（D在E的左侧，且折痕与①折痕相同），则D点表示 ，E点表示 ．
③一条数轴上有点M、N、P，其中点M、N表示的数分别是、8，现以点P为折点，将数轴向右对折，若点M对应的点落在点N的右边，并且线段的长度为3，请直接写出点P表示的数 ．
【答案】(1)；1012
(2)①；②；1013；③
【分析】本题考查图形变化的规律，熟知折叠后能重合的两个点到折点的距离相等是解题的关键．
（1）根据机器人的运动方式，依次求出每次跳完落在数轴上时所表示的数，发现规律即可解决问题．
（2）根据折叠后重合的点到折点的距离相等即可解决问题．
【详解】（1）解：根据机器人的运动方式可知，
它跳完第1次时，落在数轴上的点表示的数是：；
它跳完第2次时，落在数轴上的点表示的数是：1；
它跳完第3次时，落在数轴上的点表示的数是：；
它跳完第4次时，落在数轴上的点表示的数是：2；
它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是：；
它跳完第6次时，落在数轴上的点表示的数是：3；
…，
由此可见，它跳完第次时，落在数轴上的点表示的数是n，
它跳完第次时，落在数轴上的点表示的数是；
当，即 时，
，
所以它跳完第5次时，落在数轴上的点表示的数是；
当，即时，
可得它跳完第2024次时，落在数轴上的点表示的数是1012；
故答案为： ，1012．
（2）①由表示的点与表示3的点重合可知，
，
则折点所表示的数为1．
因为，
所以表示5的点与表示的点重合．
故答案为：．
②因为折痕与①的折痕相同，
所以这次折叠的折点所表示的数也为1．
又因为，
所以点D表示的数为，点E表示的数为1013．
故答案为：，1013．
③由折叠可知，
，
因为点M、N表示的数分别是、8，
所以 ．
又因为点落在点N的右边，并且线段的长度为3，
所以．
因为，，
所以点P表示的数为．
故答案为：．
60．观察数轴，充分利用数形结合的思想．若点A，在数轴上分别表示数，，则A，两点的距离可表示为．根据以上信息回答下列问题：已知多项式的次数是，且与互为相反数，在数轴上，点是数轴原点，点A表示数，点表示数．设点在数轴上对应的数为．
(1)由题可知：A，两点之间的距离是　 　．
(2)若满足，求．
(3)若动点从点A出发第一次向左运动1个单位长度，在此新位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度按照此规律不断地左右运动，当运动了1009次时，求出所对应的数．
【答案】(1)9
(2)或
(3)
【分析】（1）根据题意可得，，则AB=9；
（2）对点M的位置进行分类讨论，并用m表示出MA和MB的长度，利用“MA+MB=12”列出方程即可求解；
（3）根据题意得到点M每一次运动后所在的位置，然后由有理数的加法进行计算即可．
【详解】（1）由多项式的次数是6可知，又与互为相反数，故．
，两点之间的距离是，
故答案为：9；
（2）①当在A左侧时，
∵，
∴，
解得：
②在A和之间时，
∵，
点不存在；
③点在点右侧时，
∵，
∵
解得：
综上所述，m的值为或．
（3）依题意得：
点对应的有理数为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了数轴和一元一次方程的应用，解题关键是读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
压轴题型三：绝对值的几何意义
61．同学们都知道，表示5与的差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：
(1)是所有符合成立条件的整数，则___________；
(2)由以上探索猜想，对于任何有理数，的最小值为___________；
(3)当为整数时，的最小值为___________；
(4)求的最小值．
【答案】(1)
(2)3
(3)2
(4)
【分析】本题考查了数轴和绝对值，理解题绝对值的几何意义是解题的关键．
（1）当在和2之间时，；
（2）当在3和6之间时，的值最小；
（3）当时，的值最小；
（4）当时，取最小值．
【详解】（1）解：表示的是在数轴上x所对应的点到表示，2两点之间的距离之和等于7，
∴当时，，
∵x是整数，
∴．
故答案为：；
（2）解：表示的是在数轴上x所对应的点到表示3，6两点之间的距离之和，
当时，的值最小，
最小值为：，
故答案为：3；
（3）解：表示的是在数轴上x所对应的点到表示1，2，3三点之间的距离之和，
∵x为整数，
∴当时，的值最小，
∴最小值为，
故答案为：2；
（4）解：表示的是在数轴上x所对应的点到表示数1，2，3，…，1997的点之间的距离之和，
∴当时，的值最小，
∴最小值为
．
62．完成下列题目：
(1)分别为数轴上两点，点对应的数为，点对应的数为．
①两点之间的距离为_______；
②折数轴，使点与点重合，则表示的点与表示_______的点重合；
③若在数轴上存在一点到的距离是点到的距离的倍，则点所表示的数是_______；
绝对值拓展材料：表示数在数轴上的对应点与原点的距离，如：表示在数轴上的对应点到原点的距离而，即表示在数轴上对应的两点之间的距离类似的，有：列表示、在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点在数轴上分别表示有理数，那么之间的距离可表示为．
(2)数轴上表示和两点之间的距离为_______，若表示一个有理数，且，则_______．
(3)若满足时，则的值是_______．
【答案】(1)①；②；③或
(2)，
(3)或
【分析】（）①根据两点的距离公式求解即可；②先根据折叠的性质找出折痕点对应的数，再根据两点的距离公式求解即可；③分点在之间和在点右侧两种情况，根据两点的距离公式列出等式求解即可；
（）由可知式子表示到与到的距离之和，再根据利用两点间距离公式计算即可求解；
（）由可知式子表示到与到的距离之和，再根据、和三种情况解答即可求解；
本题考查了数轴与有理数，数轴上两点间距离，绝对值的几何意义，掌握绝对值的几何意义是解题的关键
【详解】（1）解：①两点之间的距离为，
故答案为：；
②折叠数轴，使点与点重合，则折痕点对应的数为，
设与表示的点重合的点对应的数为，
则，
∴，
即表示的点与表示的点重合，
故答案为：；
③设点所表示的数为，分以下两种情况：
当点在之间时，则，
解得；
当点在点右侧时，则，
解得；
综上，点所表示的数是或，
故答案为：或；
（2）解：数轴上表示和两点之间的距离为，
∵，
∴式子表示到与到的距离之和，
∵，
∴，
故答案为：，；
（3）解：∵，
∴式子表示到与到的距离之和，
当时，，
∴只能在的左边或右边，
当时，，
解得；
当时，，
解得；
综上，的值是或，
故答案为：或．
63．观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题：
（1）探究：
你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空．
①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ．
②数轴上表示和的两点之间的距离是 ．
③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ．
（2）归纳：
一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于．
（3）应用：
①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值．
②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值．
③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由．
【答案】（1）①；②；③；（3）①；②；③当时，的值最小，最小值为．
【分析】本题考查了绝对值，数轴上两点间的距离，掌握相关知识是解题的关键．
（1）①根据两点间的距离公式即可求解；
②根据两点间的距离公式即可求解；
③根据两点间的距离公式即可求解；
（3）①根据两点间的距离公式和绝对值的意义即可求解；
②根据两点间的距离公式和绝对值的意义即可求解；
③根据线段上的点到线段两端点的距离和最小即可求解．
【详解】解：（1）①数轴上表示6和3的两点之间的距离是，
故答案为：；
②数轴上表示和的两点之间的距离是，
故答案为：；
③数轴上表示和2的两点之间的距离是，
故答案为：；
（3）①，
解得：；
②∵数轴上表示数m的点位于与4之间，
∴，
∴ ；
③，表示点到三点的距离和，
∴当时，点到三点的距离和最小，即的值最小，
∴，
∴当时，的值最小，最小值为．
压轴题型四：绝对值的化简（分类讨论）
64．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题：
(1)当时，求的值．
(2)当时，求的值．
(3)已知，是有理数，当时，试求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了化简绝对值，代数式求值等知识点，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．
（1）由可得，将代入原式即可得解；
（2）由可得，将代入原式即可得解；
（3）当时，可分为，同为正数或，同为负数两种情况，即可得解．
【详解】（1）解：当时，；
（2）解：当时，；
（3）解：，
，同为正数或，同为负数，
当，同为正数，即，时，
，，
；
当，同为负数，即，时，
，，
；
当时，的值为或．
65．在七年级数学学习中，常用到分类讨论的数学方法，以化简为例．当时，；当时，；当时，．求解下列问题：
(1)当时，值为 ，当时，的值为 ，当x为不等于0的有理数时，的值为 ；
(2)已知，，求的值；
(3)已知：，，…，，，这2024个数都是不等于0的有理数，若这2024个数中有n个正数，，则m的值为 （请用含n的式子表示）．
【答案】(1)1，，1或
(2)或3
(3)
【分析】本题主要考查了绝对值的性质、代数式求值等知识，理解题意，熟练运用分类讨论的数学方法分析问题是解题关键．
（1）结合题意，根据绝对值的性质化简求值即可；
（2）首先将原式化简，然后结合题意，分“为正数，，为负数”，“为正数，，为负数”， “为正数，，为负数”三种情况逐一分析计算即可；
（3）根据题意，这2024个数中有个正数，有个负数，然后整理化简即可获得答案．
【详解】（1）解：当时，，
当时，，
当为不等于0的有理数时，
若，则，若，则，
即的值为1或．
故答案为：1，，1或；
（2）解：∵，
∴，，，
，
又∵
∴，，的正负性可能为：
①当为正数，，为负数时，原式；
②当为正数，，为负数时，原式；
③当为正数，，为负数时，原式．
综上所示，原式或3；
（3）根据题意，这2024个数中有个正数，则有个负数，
即中有个1，个，
∴．
故答案为：．
66．在学习一个数的绝对值过程中，化简时，可以这样分类：
当时，；当时，；当时，．请用这种方法解决下列问题．
(1)当时，则_____；当时，则_____．
(2)当时，则_____；当时，则_____．
(3)你可以再找些数字代入，通过计算找到规律(不用写出规律)，并解决下列问题：已知，是有理数，当时，试求值．
【答案】(1)1，
(2)1，
(3)2或
【分析】本题主要考查了绝对值、有理数的四则混合运算等知识点，掌握分类讨论并正确求解是解答的关键．
（1）直接将、代入求出答案；
（2）直接将、代入求出答案；
（3）分a、b同为正和同为负两种情况，分别化简绝对值求解即可．
【详解】（1）解：当时，则；当时，则．
故答案为1，．
（2）解：当时，则；当时，则．
故答案为1，．
（3）解：由知，分两种情况：
当时，；
当时，．
∴当时，的值为2或．
压轴题型五：有理数的规律运算
67．观察下面三行数：
，，，，，，…；①
，，，，，，…；②
，，，，，，…．③
(1)第①行数的第个数是______；
(2)请将第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数，并找出规律，根据你得到的结论，直接写出第②行数的第n个数是______；同理直接写出第③行数的第n个数是______．
(3)取每行的第个数，这三个数的和能否等于？如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】本题是对数字变化规律的考查，有理数乘方的应用；
（1）观察可得，后一个数是前一个数字的倍解答即可；
（2）观察可得，第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数的差都是，第③行数中的每一个数分别加上第①行数中对应位置的数的和都是，即可求解；
（3）根据各行的第个数的表达式列出方程，然后解方程即可．
【详解】（1）第①行数的第个数是：，
故答案为；
（2）由图中的数据可得，
第②行数中的每一个数分别减去第①行数中对应位置的数的差都是，则第②行数的第个数是，
第③行数中的每一个数分别加上第①行数中对应位置的数的和都是，则第③行数的第个数是，
故答案为：，；
（3）解：取每行的第个数，这三个数的和能等于，
令，
∴
解得，，
即取每行的第个数，这三个数的和能等于．
68．观察以下等式：
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
第4个等式：．
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：________；
(2)写出第（取正整数）个等式：________（用含的等式表示）；
(3)利用以上规律计算的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了数字的变化类、有理数的混合运算等知识点，明确题意、发现数字的变化规律是解答本题的关键．
（1）根据题目中给出的等式的规律，即可写出第6个等式；
（2）根据题目中给出的等式的规律，即可写出第n个等式；
（3）先根据（1）得到的等式规律，然后运用乘法分配律解答即可．
【详解】（1）解：第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．
第4个等式：．
第5个等式：．
第6个等式：，
故答案为：．
（2）解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
第n个等式：，
故答案为：．
（3）解：由（1）的规律化解原式：
．
69．观察下列等式：
，
将以上三个等式两边分别相加得：．
用你发现的规律解决下列问题：
(1)猜想并写出：______；
(2)直接写出下列各式的计算结果：
①______；
②______；
(3)探究并计算：．
【答案】(1)
(2)① ②
(3)
【分析】本题考查了规律型-数字变化类，掌握数字变化中的恒等变形和裂项相消法是解题的关键．
（1）由已知等式中归纳规律即可解答；
（2）①②根据（1）所得的规律把一项变成两项，两个互为相反的数和为0，最后所求加数的和等于首项、尾项的和即可；
（3）每个分数提后，根据（2）的方法解答即可．
【详解】（1）解：∵，……，
∴．
故答案为：．
（2）解：①
．
②
．
故答案为：①；②．
（3）解：
．
故答案为：．
压轴题型六：有理数的新定义运算
70．阅读下列内容，并完成相关问题：
嘉嘉说：“我定义了一种新的运算，叫（加乘）运算”然后他写出了一些按照（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：
；；
；；
；．
琪琪看了这些算式后说：“我知道你定义的（加乘）运算的运算法则了”．
聪明的你也明白了吗？
(1)归纳（加乘）运算的运算法则：同号得________、异号得_________、并把_________相加．
特别地，0和任何数进行（加乘)运算，或任何数和0进行（加乘）运算，都得这个数的__________；
(2)计算：．
【答案】(1)正；负；绝对值；绝对值
(2)
【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
（1）根据所给的算式进行分析即可；
（2）根据所给的运算法则进行运算即可．
【详解】（1）解：由题意可得：（加乘）运算的运算法则：同号得正，异号得负，并把绝对值相加．
特别地，0和任何数进行（加乘）运算，或任何数和0进行（加乘）运算，都得这个数的绝对值；
故答案为：正；负；绝对值；绝对值．
（2）解：
．
71．探究2个“新定义运算”问题．
(1)定义一种新运算“”，运算规则为：，则______．
(2)定义另一种新运算“”，运算规则未知，其运算符合下述规律：
，且，．
请先阅读范例，然后回答问题．
范例学习
若，
则，
；
或．
①若，
填空：______，______，______，______
②若，
计算：．
【答案】(1)1
(2)①4 0 ；②
【分析】本题考查了有理数的新定义运算，理解新定义运算是解题的关键．
（1）根据新定义运算计算即可求解；
（2）①根据新定义运算即可求解；②根据新定义计算即可求解．
【详解】（1）解：根据题意：；
（2）解：①根据题意：，
，
，
，
；
②，
，
，
同理：，，；
．
72．【阅读理解】
材料一：类比“有理数的乘方”的定义，我们规定：求若干个相同的非零有理数的商的运算，叫作除方，如，等．把（记作读作“的括号3次方”；把记作，读作“3的括号4次方”．
材料二：我们知道除法运算可以转化为乘法运算，例如：．
(1)仿照上例，将下列除方运算的结果写成幂的形式：
①；
②；
(2)求的值．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】本题考查有理数乘除运算法则及对有理数乘方运算的理解，理解新定义内容，掌握有理数乘除法和有理数乘方的运算法则是解题关键．
（1）根据除方的概念的运算法则进行计算；
（2）根据除方内容结合有理数的乘除法运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：①
；
②
．
（2）解：
．
压轴题型七：有理数的实际应用综合
73．某风景名胜区内停车场和道路机动车停车收费标准如下：
某风景名胜区内停车场和道路机动车停车收费标准
机动车车型类别 收费标准
8时~20时（元/辆 小时） 20时~次日8时（元/辆 小时）
双休日 其他时间
小型车 20 10 5
大型车 10 10 5
备注 按时计费的停车费，不足1小时按1小时计．
2025年6月14日（星期六），张叔叔驾驶小型车进入该风景名胜区停车场，当天离开．根据收费标准，他需支付多少停车费？
【答案】135
【分析】本题考查的分段计费知识的运用，准确理解题意是解答本题的关键．
根据题意可知，张叔叔的停车时长是23时时30分=8时30分，分成两段收费：第一段，20时时30分=5时30分≈6小时，单价20元/小时，根据“单价×数量=总价”，求出这一段停车的费用；第二段，23时时=3小时，单价5元/小时，根据“单价×数量=总价”，求出这一段停车的费用；最后把这两段的停车费用相加，即可得到实际费用．
【详解】解：20时时30分=5时30分小时
23时时小时
（元）
答：他需支付135元．
74．（1）王叔叔从A地出发开车到B地，已经行驶了3小时，每小时行驶80千米，再行全程的就能到达B地，A地到B地一共多少千米？（根据题意把线段图补充完整，标明信息与问题，并解答）
（2）王叔叔到B地之后，在一个停车场停车5小时20分钟，根据下面停车收费标准，他需要付多少钱？
B地车辆停放服务收费标价公示牌
计费方式：计时收费 计费单位：元/辆
收费类型 第一小时内 第一小时后
小型车 8元 3元/半小时
第一小时后不足半小时按半小时计算，连续停车24小时内最高收费不超过60元，超过24小时重新计算．
【答案】（1）见解析；400千米；（2）35元
【分析】（1）先根据“路程=速度×时间”求出3小时行驶的路程；把全程看作单位“1”，再行全程的就能到达B地，则已行的路程占全程的，单位“1”未知，用已行的路程除以，求出全程．
（2）已知王叔叔停车5小时20分钟，根据停车的收费标准，第一小时内收费8元，还剩下4小时20分，按4小时30分计，有9个半小时，乘每半小时的收费3元，求出第一小时后的收费，再加上第一小时内的收费，即是王叔叔停车需要付的钱数．
【详解】（1）解：如图：
（千米）
（千米）
答：A地到B地一共千米．
（2）解：5小时20分钟小时小时20分
4小时20分按4小时30分计，
4小时30分小时，
（个），
（元）．
答：他需要付35元．
【点睛】本题考查分数除法的应用、行程问题、分段计费问题，掌握速度、时间、路程之间的关系，找出单位“1”，单位“1”未知，用具体的数量除以它对应的分率，求出单位“1”的量．
75．综合实践
问题背景 某校编程社团为每位考生的准考证号设计二维码．二维码的图案由一系列黑白相间的方块（黑色代表1，白色代表0）组成，形成一串二进制序列，用于存储各种类型的数据．
查阅资料一 十进制，即“逢十进一”，使用十个数字记数，基数为10（基数10常省略不写）．例如，十进制数3925表示3个千，9个百，2个十，5个一的和，可得式子：（规定：当时，），可见，一个数可以表示成

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