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素养提升课(一)　匀变速直线运动　平均速度公式及图像问题
[学习目标]
1．掌握匀变速直线运动的平均速度公式，并会进行有关计算。
2．掌握匀变速直线运动的x-t图像和v-t图像中坐标、斜率、截距、交点的含义。
3．能根据图像分析物体的运动规律。
探究1　匀变速直线运动的平均速度公式
1．三个平均速度公式及适用条件
(1)＝，适用于所有运动。
(2)＝，适用于匀变速直线运动。
(3)＝，即一段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度，适用于匀变速直线运动。
2．公式＝＝的推导
设物体做匀变速直线运动的初速度为v0，加速度为a，t时刻的速度为v
由x＝v0t＋at2得
平均速度＝＝v0＋at　①
由v＝v0＋at知，当t′＝时有＝v0＋a·　②
由①②得＝
又v＝＋a·　③
由②③解得＝
综上所述有＝＝。
【典例1】　一物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24 m和64 m，每一个时间间隔为4 s，求物体的初速度、末速度及加速度。
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[针对训练]
1．一辆汽车从车站由静止开始做匀加速直线运动，一段时间之后，司机发现一乘客未上车，便立即刹车做匀减速直线运动。已知汽车从启动到停止一共经历了10 s，在此过程中，汽车的最大速度为5 m/s，则这段时间内汽车前进的位移为(　　)
A．20 m B．25 m
C．30 m D．40 m
2．一物体做匀减速直线运动，相继经过两段距离为 24 m 的路程，第一段用时2 s，第二段用时4 s，则物体的加速度大小是(　　)
A．1 m/s2 B．2 m/s2
C．6 m/s2 D．12 m/s2
探究2　x-t图像与v-t图像
1．x-t图像与v-t图像的比较
比较内容 x-t图像 v-t图像
图像
物理意义 反映的是位移随时间的变化规律 反映的是速度随时间的变化规律
① 表示物体从位移为正处开始一直做反向匀速直线运动并过零位移处 表示物体先做正向匀减速直线运动，再做负向匀加速直线运动
② 表示物体静止不动 表示物体做正向匀速直线运动
③ 表示物体从位移为零处开始做正向匀速运动 表示物体从静止开始做正向匀加速直线运动
④ 表示物体做加速直线运动 表示物体做加速度逐渐增大的加速运动
图像与时 间轴围成 的“面积”的意义 无实际意义 表示相应时间内的位移
2．图像问题的三点注意
(1)x-t图像：图像上某点切线的斜率表示该时刻物体的速度，图像上一个点对应物体某一时刻的位置。
(2)v-t图像：图像上某点切线的斜率表示该时刻物体的加速度，图像上一个点对应物体某一时刻的速度。
(3)形状一样的图线，在不同图像中所表示的物理意义不同，因此在应用时要特别注意看清楚图像的纵、横轴所描述的是什么物理量。
【典例2】　如图所示的x-t图像和v-t图像中，给出四条曲线1、2、3、4代表四个不同物体的运动情况，关于它们的物理意义，下列描述正确的是(　　)
A．图线1表示物体做曲线运动
B．x-t图像中t1时刻v1＞v2
C．v-t图像中0至t3时间内3和4的平均速度大小相等
D．两图像中，t2、t4时刻2、4开始反向运动
[针对训练]
3．(多选)蹦极是一项非常刺激的户外休闲活动。如图甲所示，为了研究游客下落速度与下落时间的关系，在游客身上安装传感器，让其从静止开始竖直下落，得到如图乙所示的v-t图像，图中0～t1时间内图线为直线，t1～t3时间内图线为曲线。以下说法正确的是(　　)
A．0～t1时间内，游客的位移大小为v1t1
B．t1～t2时间内，游客的平均速度大于
C．t2时刻，游客的加速度等于零
D．t2～t3时间内，游客做加速度减小的减速运动
4．(多选)甲、乙两质点均做直线运动，其中甲的位移—时间图像如图(a)所示，乙的速度—时间图像如图(b)所示，根据图像可判断(　　)
A．0～2 s内，甲质点做加速直线运动，乙质点做匀速直线运动
B．2～3 s内，甲质点静止不动，乙质点做匀速直线运动
C．3～5 s内，甲质点和乙质点均做减速直线运动
D．0～5 s内，甲质点的位移为－10 m，乙质点的位移为100 m
4/4素养提升课(一)　匀变速直线运动　平均速度公式及图像问题
[学习目标]
1．掌握匀变速直线运动的平均速度公式，并会进行有关计算。
2．掌握匀变速直线运动的x-t图像和v-t图像中坐标、斜率、截距、交点的含义。
3．能根据图像分析物体的运动规律。
探究1　匀变速直线运动的平均速度公式
1．三个平均速度公式及适用条件
(1)＝，适用于所有运动。
(2)＝，适用于匀变速直线运动。
(3)＝，即一段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度，适用于匀变速直线运动。
2．公式＝＝的推导
设物体做匀变速直线运动的初速度为v0，加速度为a，t时刻的速度为v
由x＝v0t＋at2得
平均速度＝＝v0＋at　①
由v＝v0＋at知，当t′＝时有＝v0＋a·　②
由①②得＝
又v＝＋a·　③
由②③解得＝
综上所述有＝＝。
【典例1】　一物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内，通过的位移分别是24 m和64 m，每一个时间间隔为4 s，求物体的初速度、末速度及加速度。
[解析]　如图所示，连续两段相等时间T内的平均速度分别为
＝＝ m/s＝6 m/s
＝＝ m/s＝16 m/s
且＝＝
由于B是A、C的中间时刻，则vB＝＝＝ m/s＝11 m/s
解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s
加速度a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2。
[答案]　1 m/s　21 m/s　2.5 m/s2
[针对训练]
1．一辆汽车从车站由静止开始做匀加速直线运动，一段时间之后，司机发现一乘客未上车，便立即刹车做匀减速直线运动。已知汽车从启动到停止一共经历了10 s，在此过程中，汽车的最大速度为5 m/s，则这段时间内汽车前进的位移为(　　)
A．20 m B．25 m
C．30 m D．40 m
B　[设汽车的最大速度为vm，加速时间为t1，减速时间为t2，加速阶段的平均速度＝＝，减速阶段的平均速度＝＝，x＝t1＋t2＝(t1＋t2)＝vmt，解得x＝25 m，故选B。]
2．一物体做匀减速直线运动，相继经过两段距离为 24 m 的路程，第一段用时2 s，第二段用时4 s，则物体的加速度大小是(　　)
A．1 m/s2 B．2 m/s2
C．6 m/s2 D．12 m/s2
B　[第一段平均速度为v1＝＝ m/s＝12 m/s，第二段平均速度为v2＝＝ m/s＝6 m/s，根据某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度知，两个中间时刻的时间间隔为Δt＝1 s＋2 s＝3 s，加速度为a＝＝ m/s2＝－2 m/s2，故选B。]
探究2　x-t图像与v-t图像
1．x-t图像与v-t图像的比较
比较内容 x-t图像 v-t图像
图像
物理意义 反映的是位移随时间的变化规律 反映的是速度随时间的变化规律
① 表示物体从位移为正处开始一直做反向匀速直线运动并过零位移处 表示物体先做正向匀减速直线运动，再做负向匀加速直线运动
② 表示物体静止不动 表示物体做正向匀速直线运动
③ 表示物体从位移为零处开始做正向匀速运动 表示物体从静止开始做正向匀加速直线运动
④ 表示物体做加速直线运动 表示物体做加速度逐渐增大的加速运动
图像与时 间轴围成 的“面积”的意义 无实际意义 表示相应时间内的位移
2．图像问题的三点注意
(1)x-t图像：图像上某点切线的斜率表示该时刻物体的速度，图像上一个点对应物体某一时刻的位置。
(2)v-t图像：图像上某点切线的斜率表示该时刻物体的加速度，图像上一个点对应物体某一时刻的速度。
(3)形状一样的图线，在不同图像中所表示的物理意义不同，因此在应用时要特别注意看清楚图像的纵、横轴所描述的是什么物理量。
【典例2】　如图所示的x-t图像和v-t图像中，给出四条曲线1、2、3、4代表四个不同物体的运动情况，关于它们的物理意义，下列描述正确的是(　　)
A．图线1表示物体做曲线运动
B．x-t图像中t1时刻v1＞v2
C．v-t图像中0至t3时间内3和4的平均速度大小相等
D．两图像中，t2、t4时刻2、4开始反向运动
B　[图线1表示的是变速直线运动，选项A错误；x-t图像中t1时刻物体1的速度v1大于物体2的速度v2，选项B正确；在v-t图像中图线与时间轴围成图形的面积表示位移，0至t3时间内，x4＞x3，则＞，选项C错误；x-t图像中t2时刻物体2开始反向运动，v-t图像中t4时刻物体4开始减速，但运动方向不变，选项D错误。]
[针对训练]
3．(多选)蹦极是一项非常刺激的户外休闲活动。如图甲所示，为了研究游客下落速度与下落时间的关系，在游客身上安装传感器，让其从静止开始竖直下落，得到如图乙所示的v-t图像，图中0～t1时间内图线为直线，t1～t3时间内图线为曲线。以下说法正确的是(　　)
A．0～t1时间内，游客的位移大小为v1t1
B．t1～t2时间内，游客的平均速度大于
C．t2时刻，游客的加速度等于零
D．t2～t3时间内，游客做加速度减小的减速运动
BC　[根据v-t图线与横轴围成的面积表示位移，可知0～t1时间内，游客的位移大小为x1＝v1t1，故A错误；t1～t2时间内，游客做加速度减小的加速运动，若游客做匀变速直线运动，则游客的平均速度为
，故B正确；根据v-t图线的斜率表示加速度，可知t2时刻，游客的加速度等于零，故C正确；t2～t3时间内，v-t 图线的斜率为负，绝对值增大，故游客做加速度增大的减速运动，故D错误。]
4．(多选)甲、乙两质点均做直线运动，其中甲的位移—时间图像如图(a)所示，乙的速度—时间图像如图(b)所示，根据图像可判断(　　)
A．0～2 s内，甲质点做加速直线运动，乙质点做匀速直线运动
B．2～3 s内，甲质点静止不动，乙质点做匀速直线运动
C．3～5 s内，甲质点和乙质点均做减速直线运动
D．0～5 s内，甲质点的位移为－10 m，乙质点的位移为100 m
BD　[x-t图像的斜率表示速度，v-t图像的斜率表示加速度，则0～2 s内甲质点的速度不变，做匀速直线运动，乙质点的加速度方向与初速度方向相同，做加速直线运动，A错误；2～3 s内，甲质点静止不动，乙质点做匀速直线运动，B正确；3～5 s内，甲质点的速度不变，做匀速直线运动，乙质点的速度减小，做减速直线运动，C错误；0～5 s内，甲质点的位移为x甲＝(0－10) m＝－10 m，乙质点的位移等于v-t图像与t轴所围成的面积，为100 m，D正确。]
素养提升练(一)
1．某战机起飞前由静止开始做匀加速直线运动，达到起飞速度v所需的时间为t，则起飞前的运动距离为(　　)
A．vt B．
C．2vt D．不能确定
B　[因为战机在起飞前由静止开始做匀加速直线运动，则x＝ t＝t＝t，B正确。]
2．一辆汽车做匀加速直线运动，初速度为2 m/s，经过4 s速度为10 m/s，在这段时间内，下列说法正确的是(　　)
A．汽车的加速度为4 m/s2
B．汽车的加速度为3 m/s2
C．汽车的位移为24 m
D．汽车的平均速度为3 m/s
C　[汽车的加速度a＝＝2 m/s2，故A、B错误；平均速度t＝24 m，故C正确。]
3．一物体先做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a1＝2 m/s2，加速一段时间t1，然后接着做匀减速直线运动，直到速度减为零，已知整个运动过程所用的时间t＝20 s，总位移为300 m，则物体运动的最大速度为(　　)
A．15 m/s B．30 m/s
C．7.5 m/s D．无法求解
B　[设最大速度为vm，匀加速直线运动过程＝(0＋vm)＝vm，匀减速直线运动过程＝＝＝ m/s，解得vm＝30 m/s，故选B。]
4．(多选)一个物体自t＝0时开始做直线运动，其速度—时间图像如图所示。下列说法正确的是(　　)
A．第5 s内的加速度方向与第6 s内的加速度方向相反
B．在第5 s末，物体离出发点最远
C．在0～4 s内，物体的平均速度为7.5 m/s
D．在0～6 s内，物体的平均速率为7.5 m/s
BC　[v-t图像的斜率表示加速度，可知第5 s内的加速度方向与第6 s内的加速度方向相同，选项A错误；在0～5 s内物体的速度一直为正值，可知在第5 s末，物体离出发点最远，选项B正确；在0～4 s 内，物体的位移x4＝×10 m＝30 m，平均速度为＝＝ m/s＝7.5 m/s，选项C正确；在0～6 s内，物体的路程x6＝×10 m＋×1×10 m＝40 m，平均速率为＝＝ m/s≈6.67 m/s，选项D错误。]
5．(多选)如图为一质点做直线运动的速度—时间图像，如图中实线所示，其初速度为v0，末速度为v，则它在t0时间内的平均速度和加速度应是(　　)
A．平均速度小于 B．平均速度大于
C．加速度逐渐减小 D．加速度逐渐增大
AD　[如图所示，若质点运动的v-t 图线为②，则
＜，故A正确，B错误；由a＝知，某一时刻图线上对应点的切线的斜率可表示该时刻的加速度的大小，由题图可看出图线的斜率在不断变大，也就表示加速度在不断变大，故C错误，D正确。
]
6．一物体做直线运动，其加速度随时间变化的a-t图像如图所示，下列v-t图像中，可能正确描述此物体运动的是(　　)
A　　　　　　　　　　　B
C　　　　　　　　　　　D
D　[0～时间内物体向正方向加速运动，时刻的速度为；～T时间内物体向正方向以速度做匀速运动；T～时间内加速度大小不变，方向相反，则向正方向减速运动，时刻的速度减为零；～2T时间内向负方向做加速运动，2T时刻的速度为－。故选D。]
7．(多选)若AB＝3 m、BC＝12 m，如图所示。已知质点在A、B间的速度增加量为Δv＝2 m/s，在B、C间的速度增加量为Δv′ ＝4 m/s，则下列说法正确的是(　　)
A．质点在A、B间的平均速度大小为3 m/s
B．质点从B点运动到C点的时间为3 s
C．质点经过A点时的速度大小为3 m/s
D．质点的加速度大小为2 m/s2
AD　[设质点经过A时速度为v，又由于质点在AB段速度增加量为Δv＝2 m/s，故通过B时速度为v＋2 m/s，同理通过C时速度为v＋6 m/s，根据匀变速直线运动的速度与位移的关系，有(v＋2 m/s)2－v2＝2a·AB，(v＋6 m/s)2－(v＋2 m/s)2＝2a·BC，联立解得v＝2 m/s，a＝2 m/s2，故C错误，D正确；质点在AB段的平均速度大小
′＝ m/s＝6 m/s，质点从B处运动到C处的时间为t＝＝2 s，故B错误。]
8．甲、乙两辆小车在同一平直公路上同向做直线运动，甲做匀加速直线运动，乙做匀速直线运动。其x-t图像如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．在t2时刻两车速度相等
B．在0～t2时间内，甲车的平均速度等于乙车的平均速度
C．在t2时刻，甲车速度大于乙车速度
D．在t1～t2之间的某一时刻，两车加速度相等
C　[x-t图像斜率表示速度，由题图可知，在t2时刻甲车图线斜率大于乙车图线斜率，则在t2时刻甲车速度大于乙车速度，故A错误，C正确；根据＝可知，由于0～t2时间内两车的位移不相等，则平均速度不相等，故B错误；由题意可知，甲车做匀加速直线运动，乙车做匀速直线运动，则两车的加速度不可能相等，故D错误。]
9．一质点做匀变速直线运动，初速度v0＝2 m/s，前4 s内位移为20 m，求：
(1)质点前4 s内的平均速度大小；
(2)质点第4 s末的速度大小；
(3)质点第2 s末的速度大小。
[解析]　(1)利用平均速度公式，前4 s内的平均速度大小
＝＝ m/s＝5 m/s。
(2)根据＝
代入数据解得，第4 s末的速度大小v4＝8 m/s。
(3)第2 s末为这段时间的中间时刻，故v2＝＝5 m/s。
[答案]　(1)5 m/s　(2)8 m/s　(3)5 m/s
10．公交车是学生上学的重要交通工具之一，当公交车快到校门口时，司机往往关闭公交车发动机，让公交车做匀减速直线运动进站，已知行驶120 m时速度减小为原来的一半，再行驶8 s静止，求公交车关闭发动机时的速度大小和行驶的距离。
[解析]　以公交车初速度方向为正方向，公交车进入站台前做匀减速直线运动，设公交车关闭发动机时的速度为v0，加速度大小为a，则at2＝
而前半段时间t1＝＝t2＝8 s
由s1＝t1＝120 m
解得v0＝20 m/s
行驶的距离s＝(t1＋t2)＝160 m。
[答案]　20 m/s　160 m
11．空间探测器从某一星球表面竖直升空，发动机推力为恒力。探测器升空后发动机因故障突然关闭，探测器从升空到落回星球表面的速度随时间变化的图像如图所示，根据图像，求：
(1)该探测器在加速上升时的加速度大小及上升的最大高度Hm；
(2)探测器落回星球表面时的速度大小v；
(3)探测器从最大高度到落回星球表面所用的时间t。
[解析]　(1)在0～10 s内探测器在加速上升，其加速度大小为
a1＝＝6 m/s2
由题图得，探测器上升的最大高度为
Hm＝ m＝900 m。
(2)在10 s后，探测器关闭发动机，其运动过程中的加速度大小为a2＝＝3 m/s2
由v2＝2a2Hm
得v＝＝30 m/s。
(3)由Hm＝a2t2得探测器从最高点下落到星球表面的时间为t＝＝10 s。
[答案]　(1)6 m/s2　900 m　(2)30 m/s　(3)10 s
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