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高中数学人教A版（2019）必修第一册
第一章1.4充分条件与必要条件
一、单项选择题
1.已知，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
2.荀子曾说过：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。”这里的“积跬步”是“至千里”的（ ）
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
3.我们用表示不超过的最大整数，如，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4.“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
5.“”是“方程有实数解”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
6.使“”成立的一个必要不充分条件是（ ）
A.
B.
C.
D.
二、多项选择题
7.若不等式“”成立的必要条件是“”，则实数的取值可以是（ ）
A.
B.
C.
D.
8.下列四个条件中，能成为“”的充分条件的有（ ）
A.
B.
C.
D.
9.若“”是“”的必要不充分条件，则实数的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
三、填空题
10.若“”是“”的充要条件，则实数的值是______
11.对于实数，，“”是“且”的______条件（从“充分不必要” “必要不充分” “充要” “既不充分也不必要”中选择一个作答）
12.若，都是实数，从①；②；③；④中，选出“使，至少有一个为0”的充要条件的式子，其序号为______
四、解答题
13.求证：“”是“”的充要条件。
14.已知，求证：的充要条件是。
15.已知集合，，。请补充条件：“是成立的①充分不必要条件”，若实数存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。
一、单项选择题
1.A
解析：若，则（充分性成立）；若，则或（必要性不成立），故为充分不必要条件。
2.C
解析：“不积跬步则无以至千里”，即“至千里”必须“积跬步”（必要性成立）；但“积跬步”未必能“至千里”（充分性不成立），故为必要不充分条件。
3.A
解析：设（），则，，故（的小数部分）与相等（充分性成立）；若，，则，但（必要性不成立），故为充分不必要条件。
4.B
解析：即，显然（必要性成立）；但无法推出（如，充分性不成立），故为必要不充分条件。
5.A
解析：方程有实根：当时，（有实根）；当时，且。若，方程有实根（充分性成立）；但方程有实根未必（如，必要性不成立），故为充分不必要条件。
6.C
解析：即。选项C中包含（必要性成立），但无法推出（如，充分性不成立），故为必要不充分条件。
二、多项选择题
7.ABC
解析：“”即，其必要条件是“”，说明，故。选项A（）、B（）、C（）满足，D（）不满足，故选ABC。
8.BD
解析：
A选项：，如，，满足但，无法推出；
B选项：，因（，若则等式不成立），故，可推出；
C选项：，如，，满足但，无法推出；
D选项：，因立方函数单调递增，故，可推出。故选BD。
9.AB
解析：：或；：（）。
由“是的必要不充分条件”知且，故或，解得或，故选AB。
三、填空题
10.3
解析：化简得。因“”是其充要条件，故，解得。
11.充分不必要
解析：若，则且（充分性成立）；若且，如，，则（必要性不成立），故为充分不必要条件。
12.①
解析：
①或（“至少一个为0”，充要条件）；
②，如，（无0，非充要）；
③，但“至少一个为0”如，时，（非充要）；
④（均不为0，非充要）。故选①。
四、解答题
13.证明：
（1）充分性（R）：
根据补集定义，空集是不含任何元素的集合，其在实数集R中的补集为所有实数，即，充分性成立。
（2）必要性（）：
若，说明R中所有元素均不属于，即不含任何元素，故，必要性成立。
综上，“”是“”的充要条件。
14.证明：
（1）充分性（）：
由立方和公式，代入左边得：
。
因，故（平方项非负且不同时为0），因此，充分性成立。
（2）必要性（）：
若，则，代入左边得：
，必要性成立。
综上，的充要条件是。
15.解：“是的充分不必要条件”等价于“”。
已知，，，需满足：
两个等号不同时成立（真子集要求边界不重合）。
解得；
解得；
结合，取交集得（此时等号不同时成立，满足真子集）。
故实数存在，取值范围为。

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