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广西南宁市第二中学2024年中考数学二模考试试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（2024·南宁模拟）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：2024的相反数为-2024.
故答案为：B.
【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”即可求解.
2．（2024·南宁模拟）生活中充满了各式各样的立体图形．如图，一块底面是等边三角形的蛋糕，可以近似看作是一个直三棱柱，则其俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：其俯视图为：
.
故答案为：D.
【分析】根据俯视图为从上往下看观察到的平面图形，据此即可求解.
3．（2024·南宁模拟）小李计划本周末在“方特东盟神画”“青秀山”“园博园”三个地点中随机选择一个地点研学．其中选中“青秀山”的概率是（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：供选择的地点有3种等可能的情况，他们选中“青秀山”的情况有1种，
选中“青秀山”的概率为．
故答案为：D.
【分析】根据概率公式计算即可求解.
4．（2024·南宁模拟）2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功．在发射过程中，神舟十八号的飞行速度约为468000米/分，把“468000”用科学记数法表示应是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：A.
【分析】根据用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成的形式，其中1≤|a|<10 ， n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
5．（2024·南宁模拟）一元一次方程的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解：
∴
解得：
故答案为：A.
【分析】根据解一元一次方程的步骤逐步计算，进而即可求出原方程的解.
6．（2024·南宁模拟）下列式子是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解： A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故本选项符合题意；
C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据最简二次根式是满足下列两个条件的二次根式：1、被开方数的每一个因式的指数都小于根指数；2、被开方数不含分母，据此逐项分析即可.
7．（2024·南宁模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，则本项错误，不符合题意；
B、，则本项错误，不符合题意；
C、，则本项错误，不符合题意；
D、，则本项正确，符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据完全平方公式即可计算出A项；根据积的乘方和幂的乘方即可判断B项；根据同底数幂的除法即可判断C项；根据幂的乘方即可判断D项.
8．（2024·南宁模拟）中国古代建筑具有悠久的历史传统和光辉的成就，其建筑艺术也是美术鉴赏的重要对象．如图是中国古代建筑中的一个正八边形的窗户，则它的内角和是（　　）
A．1080° B．900° C．720° D．540°
【答案】A
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵多边形内角和为
∴正八边形的内角和是：
故答案为：A.
【分析】根据多边形内角和公式把代入计算即可.
9．（2024·南宁模拟）甲、乙两人每天骑自行车出行，甲匀速骑行40千米的时间与乙匀速骑行35千米的时间相同，已知甲每小时比乙每小时多骑行2千米，设甲每小时骑行千米，根据题意列出的方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设甲每小时骑行千米，则乙每小时骑行千米，
∴，
故答案为：C.
【分析】设甲每小时骑行千米，则乙每小时骑行千米，根据"甲匀速骑行40千米的时间与乙匀速骑行35千米的时间相同"，据此即可列出方程.
10．（2024·南宁模拟）数学活动课上，四位同学围绕作图问题“已知直线和直线外一点，用无刻度的直尺和圆规过点作的平行线”分别作出了下列图形，其中作法不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：A、由作图得：
∴则本项符合题意，
B、由作图无法判断所作直线与l平行，则本项符合题意，
C、由作图得：点P为AB的中点，Q为AC中点，
∴则本项符合题意，
D、由作图得：BA平分∠PBC，PB=PA，
∴
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据相应的作图得到信息，然后根据平行线的判定定理这项进行判断即可求解.
11．（2024·南宁模拟）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是（　　）
A．当液体密度时，浸在液体中的高度
B．当液体密度时，浸在液体中的高度
C．当浸在液体中的高度时，该液体的密度
D．当液体的密度时，浸在液体中的高度
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由题意得：反比例函数为：，
A、当液体密度时，浸在液体中的高度，则本项不符合题意，
B、当液体密度时，浸在液体中的高度，则本项不符合题意，
C、当浸在液体中的高度时，该液体的密度，则本项符合题意，
D、当液体的密度时，浸在液体中的高度，则本项不符合题意，
故答案为：C.
【分析】根据题意先得到反比例函数为：，进而结合函数图象逐项进行分析即可求解.
12．（2024·南宁模拟）我们古代数学家擅长通过计算来研究图形的性质．例如《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．或问甲、乙二人同立于巽地，乙西行四十八步而立，甲北行九十步，望乙与城参相直，问径几何？”意思是：如图，是直角三角形，，已知步，步，与相切于点分别与相切于为点，求的半径．根据题意，的半径是（　　）
A．100步 B．120步 C．140步 D．160步
【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OD、OE、OF，如图，
∵CF、CE为的切线，
∴
∴
∵，
∴四边形OECF为矩形，
∵
∴四边形OECF为正方形，
设则
∵AB、AE、BF是的切线，
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：B.
【分析】连接OD、OE、OF，证明四边形OECF为正方形，设则利用勾股定理求出AB的长，最后根据列出方程解此方程即可求解.
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．（2024·南宁模拟）在函数中，自变量的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵当分式分母不为0时，分式有意义，
∴，
解得，
故答案为：.
【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0，列出不等式，解此不等式即可求解.
14．（2024·南宁模拟） 单项式的次数是　 　．
【答案】3
【知识点】单项式的概念；单项式的次数与系数
【解析】【解答】解： 单项式的次数是 3，
故答案为：3.
【分析】根据单项式次数的定义：单项式中所有字母的指数之和，x的指数为2，y的指数为1，即可得单项式得次数，解答即可.
15．（2024·南宁模拟）在平面直角坐标系中，点的坐标是，则点到轴的距离是　 　．
【答案】5
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点M的坐标是，
∴点M到x轴的距离是，
故答案为：5.
【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，据此即可求解.
16．（2024·南宁模拟）如表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果．
种子个数 100 400 900 1500 2500 4000
发芽种子个数 92 352 818 1336 2251 3601
发芽种子频率 0.92 0.88 0.91 0.89 0.90 0.90
根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为　 　．（精确到0.1）
【答案】0.9
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵观察表格得到：发芽的频率逐渐稳定在0.9，
∴该植物的种子发芽的概率为0.9，
故答案为：0.9.
【分析】观察表格得到：发芽的频率逐渐稳定在0.9，进而用频率估计概率即可.
17．（2024·南宁模拟）如图，是一个圆锥形状的生日帽，若该圆锥形状帽子的母线长为，底面半径为，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角为　 　°．
【答案】120
【知识点】扇形面积的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：设侧面展开扇形的圆心角为n°，
∴
故答案为：120.
【分析】设侧面展开扇形的圆心角为n°，根据扇形的面积计算公式列出方程进而得到，最后代入数据计算即可.
18．（2024·南宁模拟）如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形是该型号千斤顶的示意图，保持菱形边长不变，可通过改变的长来调节的长．已知的初始长为，如果要使的长达到，那么的长需要缩短　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：设AC与BD交于O，A'C'与BD'交于O'，如图，
由题意得：四边形ABCD和四边形A'BC'D'为菱形，
∴
∵
∴
∴
∴
∴的长需要缩短
故答案为：.
【分析】设AC与BD交于O，A'C'与BD'交于O'，根据菱形的性质得到：然后利用勾股定理求出AO的长度，进而得到AC的长度，在中利用勾股定理求出A'O'的长度，进而得到A'C'的长度，即可求解.
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（2024·南宁模拟）计算：.
【答案】解：原式.
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】加号坐边，负数×负数=正数，因此（-1）×（-6）=6；加号右边，先算乘方，后算除法. 最后两数相加.
20．（2024·南宁模拟）解不等式组：
【答案】解：
解①，得；
解②，得．
原不等式组的解集为
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别解两个一元一次不等式，最后根据"同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了"，即可得到不等式组的解集.
21．（2024·南宁模拟）已知是坐标原点，的坐标分别为，．
（1）画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出的坐标为 ；
（2）在轴的左侧以为位似中心作的位似图形，使新图与原图相似比为；
（3）若点在线段上，直接写出变化（2）后点的对应点的坐标为　 　．
【答案】（1）解：如图所示：即为所求；故答案为：.
（2）解：如图所示：即为所求；
（3）.
【知识点】作图﹣位似变换；旋转的性质；作图﹣旋转；位似图形的性质
【解析】【解答】解：（3）解：∵与为位似图形，且相似比为；∴点的对应点的坐标为，故答案为：.
【分析】（1）根据旋转的性质得出点O、A、B的对应点的坐标，然后顺次将它们连起来即可；
（2）利用位似图形的性质得出对应点的坐标，然后顺次将它们连起来即可；
（3）根据位似图形的性质：对应线段成比例且比例为位似比，进而即可求出点D2的坐标.
22．（2024·南宁模拟）体质健康管理工作已经纳入地方教育行政部门和学校的评价考核体系，全国中小学生的体育锻炼时间得到有效保证，体育课和课外锻炼的质量得到提高．我市教体局为了解辖区内两所学校九年级学生的体质健康情况，从两所学校九年级学生中分别随机抽取部分学生进行项目测试，两校抽取的人数相等，测试后统计学生的成绩分别为：7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据测试成绩绘制了如图所示尚不完整的统计图表：A校成绩统计表
成绩 7分 8分 9分 10分
人数 0 1 7
请根据图表信息解答下列问题：
（1）填空：　 　°　 　．
（2）补齐B学校成绩条形统计图；
（3）①学校成绩的中位数为　 　；校成绩的中位数为　 　
②分别计算、两所学校成绩的平均数，并从中位数和平均数的角度分析两个学校九年级学生体质测试成绩情况．
【答案】（1）126；12
（2）解：B校7分的人数：
补齐校成绩条形统计图如下：

（3）9；8
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：（1）
B校人数为：
∵AB两校抽取学生人数相同，
∴
故答案为：126；12.
（3）①A校成绩从大到小排序，第10、11个数为9，9，
∴A校的中位数为：
B校成绩从大到小排序，第10、11个数为8，8，
∴B校的中位数为：
故答案为：9；8.
②校成绩的平均数为：（分），
校成绩的平均数为：（分）
∵，
∴从中位数、平均数角度看，校成绩较好．
【分析】（1）用360°分别减去其他三部分的度数即可得到的值；根据B校9分的人数和它所占的比例即可求出B校的人数，最后根据两校抽取的人数相等即可得到m的值；
（2）先求出B校7分的人数，进而即可补全条形统计图；
（3）①根据中位数的定义即可求解；
②根据平均数的计算法则计算即可.
23．（2024·南宁模拟）1号探测气球从海拔处出发，以的速度上升，与此同时，2号探测气球从海拔处出发，以的速度上升，两个气球都上升了后停止．
（1）分别表示两个气球所在位置的海拔关于上升时间的函数解析式，并直接写出的取值范围．
（2）在某个时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？
【答案】（1）解：根据题意得：
1号探测气球所在位置的海拔：，
2号探测气球所在位置的海拔：；
的取值范围为：
（2）解：根据题意得：，
解得：，
答：此时，气球上升了20分钟，都位于海拔25米的高度．
【知识点】解二元一次方程组；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据1号探测气球从海拔处出发，以的速度上升，与此同时，2号探测气球从海拔处出发，以的速度上升，据此即可得到两个气球的函数关系式，最后根据"两个气球都上升了后停止"，据此即可求出x的取值范围；
（2）结合（1）联立两个函数解析式得到方程组，解此方程组即可求解.
24．（2024·南宁模拟）九年级某班数学学习小组开展了测量南宁二中八大景之一“仰止亭”的高度实践活动．他们制订了测量方案，并完成了实地测量．他们在“仰止亭”底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了仰止亭顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）．
测量“仰止亭”的高度
工具 测量角度的仪器，皮尺等
测量方案 线段表示仰止亭的高度，测量角度的仪器的高度，点，与在同一条水平直线上，之间的距离可以直接测得，且点，都在同一竖直平面内，点在同一条直线上，点在上（其中：，测量示意图如右图所示：
测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值
的度数
的度数
之间的距离
（1）任务一：　 　°，　 　
（2）任务二：根据以上测量结果，请你帮助该小组求出学校仰止亭的高度．（结果精确到，参考数据：）
【答案】（1）；0.9
（2）解：如图：
四边形与四边形都为矩形
，
设，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
解得：
，
仰止亭的高度约为．
【知识点】矩形的判定与性质；平均数及其计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：45，0.9.
【分析】（1）根据平均数的计算法则计算即可求出a和b的值；
（2）由题意得到：设，分别在中和中，利用锐角三角函数的定义表示出EG的长，进而列出关于x的方程：，进而即可求解.
25．（2024·南宁模拟）如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，且自变量的部分取值与对应函数值如下表：
0 1 2 3
0 3 4 3 0
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图，连接，在直线上方抛物线上是否存在一点，当点运动到什么位置时，的面积最大？求出此时点的坐标和的最大面积．
（3）将线段AB先向右平移1个单位，再向上平移6个单位，得到线段EF，若抛物线y=n（ax2+bx+c）与线段EF只有一个公共点，请直接写出n的取值范围．
【答案】（1）解：设二次函数表达式为：．
将代入得：
解得
二次函数解析式为
（2）解：存在，理由如下：
设解析式为：，将两点坐标代入得：
，解得：
的解析式为
作轴交于点，如图：
设．
当时，，
，
此时；
（3）解：或或时，抛物线与线段EF只有一个公共交点.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（3）由表格得：
∵将线段先向右平移1个单位，再向上平移6个单位，得到线段，
∴
∵
∴抛物线顶点为，
当时，抛物线开口向上，如图，
∴时，时，
∴
解得，
当时，抛物线开口向下，
若顶点在直线上，则抛物线与线段EF只有一个公共交点.
∴
解得，
若顶点在直线上方，如图，
∴时，时，
∴
解得：，
综上所述，或或时，抛物线与线段EF只有一个公共交点.
【分析】（1）设二次函数表达式为：，把点代入求出a的值，进而即可得到二次函数的解析式；
（2）设解析式为：，将两点坐标代入得到的解析式为，作轴交于点，设，利用割补法得到最后根据二次函数的性质求出当m为何值时，存在最大值，进而即可求解；
（3）根据题意求出抛物线顶点为，进而分两种情况讨论，①当时，抛物线开口向上，，解此不等式组，②当时，抛物线开口向下，或，进而即可求解.
26．（2024·南宁模拟）几何探究
【课本再现】
如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点．在实验与探究中，小新发现无论正方形绕点怎样转动，之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明即可推导出来．请帮助小新完成下列问题：
（1）求证；
（2）连接，则之间的数量关系是　 　
（3）【类比迁移】
如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明；
（4）【拓展应用】
如图3，在中，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度．
【答案】（1）证明：四边形和四边形都为正方形
，
，
在和中
，
（2）解：连接EF，如图，由（1）得：∵∴即∵∴∴.
（3）解：成立，理由如下：
延长交于点，连接，
矩形的对角线相交于点，
点是的中点，
，
在矩形中，，
，
在和中
，
，
在矩形中，，
垂直平分
，
在中，，
．
（4）解：设
①当点E在线段CA的上时，如图，
∵
∴
在中，
结合（2）知：，
∴
∴
∴
②当点E在线段CA的延长线上时，
同理得：
∴
在中，
∴
∴
综上所述，的长为或.
【知识点】正方形的性质；解直角三角形；三角形全等的判定-ASA；四边形的综合
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到：，进而利用"ASA"即可求证；
（2）结合（1）得到：进而根据线段间的数量关系和等量代换得到：进而利用勾股定理即可求出之间的数量关系；
（3）延长交于点，连接，根据矩形的性质得到点是的中点，然后利用"ASA"证明，则，再根据线段垂直平分线的性质得到：，最后在中，利用勾股定理即可求解；
（4）设分两种情况讨论，①当点E在线段CA的上时，在中利用勾股定理列出方程解此方程即可；②当点E在线段CA的延长线上时，在中利用勾股定理列出方程解此方程即可求解.
1 / 1广西南宁市第二中学2024年中考数学二模考试试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1．（2024·南宁模拟）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024·南宁模拟）生活中充满了各式各样的立体图形．如图，一块底面是等边三角形的蛋糕，可以近似看作是一个直三棱柱，则其俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024·南宁模拟）小李计划本周末在“方特东盟神画”“青秀山”“园博园”三个地点中随机选择一个地点研学．其中选中“青秀山”的概率是（　　）
A． B． C．1 D．
4．（2024·南宁模拟）2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功．在发射过程中，神舟十八号的飞行速度约为468000米/分，把“468000”用科学记数法表示应是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024·南宁模拟）一元一次方程的解是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024·南宁模拟）下列式子是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024·南宁模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024·南宁模拟）中国古代建筑具有悠久的历史传统和光辉的成就，其建筑艺术也是美术鉴赏的重要对象．如图是中国古代建筑中的一个正八边形的窗户，则它的内角和是（　　）
A．1080° B．900° C．720° D．540°
9．（2024·南宁模拟）甲、乙两人每天骑自行车出行，甲匀速骑行40千米的时间与乙匀速骑行35千米的时间相同，已知甲每小时比乙每小时多骑行2千米，设甲每小时骑行千米，根据题意列出的方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024·南宁模拟）数学活动课上，四位同学围绕作图问题“已知直线和直线外一点，用无刻度的直尺和圆规过点作的平行线”分别作出了下列图形，其中作法不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2024·南宁模拟）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其图象如图所示．下列说法正确的是（　　）
A．当液体密度时，浸在液体中的高度
B．当液体密度时，浸在液体中的高度
C．当浸在液体中的高度时，该液体的密度
D．当液体的密度时，浸在液体中的高度
12．（2024·南宁模拟）我们古代数学家擅长通过计算来研究图形的性质．例如《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．或问甲、乙二人同立于巽地，乙西行四十八步而立，甲北行九十步，望乙与城参相直，问径几何？”意思是：如图，是直角三角形，，已知步，步，与相切于点分别与相切于为点，求的半径．根据题意，的半径是（　　）
A．100步 B．120步 C．140步 D．160步
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．（2024·南宁模拟）在函数中，自变量的取值范围是　 　．
14．（2024·南宁模拟） 单项式的次数是　 　．
15．（2024·南宁模拟）在平面直角坐标系中，点的坐标是，则点到轴的距离是　 　．
16．（2024·南宁模拟）如表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果．
种子个数 100 400 900 1500 2500 4000
发芽种子个数 92 352 818 1336 2251 3601
发芽种子频率 0.92 0.88 0.91 0.89 0.90 0.90
根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为　 　．（精确到0.1）
17．（2024·南宁模拟）如图，是一个圆锥形状的生日帽，若该圆锥形状帽子的母线长为，底面半径为，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角为　 　°．
18．（2024·南宁模拟）如图，某型号千斤顶的工作原理是利用四边形的不稳定性，图中的菱形是该型号千斤顶的示意图，保持菱形边长不变，可通过改变的长来调节的长．已知的初始长为，如果要使的长达到，那么的长需要缩短　 　．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（2024·南宁模拟）计算：.
20．（2024·南宁模拟）解不等式组：
21．（2024·南宁模拟）已知是坐标原点，的坐标分别为，．
（1）画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出的坐标为 ；
（2）在轴的左侧以为位似中心作的位似图形，使新图与原图相似比为；
（3）若点在线段上，直接写出变化（2）后点的对应点的坐标为　 　．
22．（2024·南宁模拟）体质健康管理工作已经纳入地方教育行政部门和学校的评价考核体系，全国中小学生的体育锻炼时间得到有效保证，体育课和课外锻炼的质量得到提高．我市教体局为了解辖区内两所学校九年级学生的体质健康情况，从两所学校九年级学生中分别随机抽取部分学生进行项目测试，两校抽取的人数相等，测试后统计学生的成绩分别为：7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据测试成绩绘制了如图所示尚不完整的统计图表：A校成绩统计表
成绩 7分 8分 9分 10分
人数 0 1 7
请根据图表信息解答下列问题：
（1）填空：　 　°　 　．
（2）补齐B学校成绩条形统计图；
（3）①学校成绩的中位数为　 　；校成绩的中位数为　 　
②分别计算、两所学校成绩的平均数，并从中位数和平均数的角度分析两个学校九年级学生体质测试成绩情况．
23．（2024·南宁模拟）1号探测气球从海拔处出发，以的速度上升，与此同时，2号探测气球从海拔处出发，以的速度上升，两个气球都上升了后停止．
（1）分别表示两个气球所在位置的海拔关于上升时间的函数解析式，并直接写出的取值范围．
（2）在某个时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？
24．（2024·南宁模拟）九年级某班数学学习小组开展了测量南宁二中八大景之一“仰止亭”的高度实践活动．他们制订了测量方案，并完成了实地测量．他们在“仰止亭”底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了仰止亭顶端的仰角以及这两个测点之间的距离．为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）．
测量“仰止亭”的高度
工具 测量角度的仪器，皮尺等
测量方案 线段表示仰止亭的高度，测量角度的仪器的高度，点，与在同一条水平直线上，之间的距离可以直接测得，且点，都在同一竖直平面内，点在同一条直线上，点在上（其中：，测量示意图如右图所示：
测量数据 测量项目 第一次 第二次 平均值
的度数
的度数
之间的距离
（1）任务一：　 　°，　 　
（2）任务二：根据以上测量结果，请你帮助该小组求出学校仰止亭的高度．（结果精确到，参考数据：）
25．（2024·南宁模拟）如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，且自变量的部分取值与对应函数值如下表：
0 1 2 3
0 3 4 3 0
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图，连接，在直线上方抛物线上是否存在一点，当点运动到什么位置时，的面积最大？求出此时点的坐标和的最大面积．
（3）将线段AB先向右平移1个单位，再向上平移6个单位，得到线段EF，若抛物线y=n（ax2+bx+c）与线段EF只有一个公共点，请直接写出n的取值范围．
26．（2024·南宁模拟）几何探究
【课本再现】
如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，边与边相交于点，边与边相交于点．在实验与探究中，小新发现无论正方形绕点怎样转动，之间一直存在某种数量关系，小新发现通过证明即可推导出来．请帮助小新完成下列问题：
（1）求证；
（2）连接，则之间的数量关系是　 　
（3）【类比迁移】
如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交于点与边相交于点，连接，矩形可绕着点旋转，猜想之间的数量关系，并进行证明；
（4）【拓展应用】
如图3，在中，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线相交于点可绕着点旋转，当时，请直接写出线段的长度．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：2024的相反数为-2024.
故答案为：B.
【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”即可求解.
2．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：其俯视图为：
.
故答案为：D.
【分析】根据俯视图为从上往下看观察到的平面图形，据此即可求解.
3．【答案】D
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：供选择的地点有3种等可能的情况，他们选中“青秀山”的情况有1种，
选中“青秀山”的概率为．
故答案为：D.
【分析】根据概率公式计算即可求解.
4．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：A.
【分析】根据用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成的形式，其中1≤|a|<10 ， n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
5．【答案】A
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解：
∴
解得：
故答案为：A.
【分析】根据解一元一次方程的步骤逐步计算，进而即可求出原方程的解.
6．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解： A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故本选项符合题意；
C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据最简二次根式是满足下列两个条件的二次根式：1、被开方数的每一个因式的指数都小于根指数；2、被开方数不含分母，据此逐项分析即可.
7．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，则本项错误，不符合题意；
B、，则本项错误，不符合题意；
C、，则本项错误，不符合题意；
D、，则本项正确，符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据完全平方公式即可计算出A项；根据积的乘方和幂的乘方即可判断B项；根据同底数幂的除法即可判断C项；根据幂的乘方即可判断D项.
8．【答案】A
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵多边形内角和为
∴正八边形的内角和是：
故答案为：A.
【分析】根据多边形内角和公式把代入计算即可.
9．【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设甲每小时骑行千米，则乙每小时骑行千米，
∴，
故答案为：C.
【分析】设甲每小时骑行千米，则乙每小时骑行千米，根据"甲匀速骑行40千米的时间与乙匀速骑行35千米的时间相同"，据此即可列出方程.
10．【答案】B
【知识点】平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】解：A、由作图得：
∴则本项符合题意，
B、由作图无法判断所作直线与l平行，则本项符合题意，
C、由作图得：点P为AB的中点，Q为AC中点，
∴则本项符合题意，
D、由作图得：BA平分∠PBC，PB=PA，
∴
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据相应的作图得到信息，然后根据平行线的判定定理这项进行判断即可求解.
11．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由题意得：反比例函数为：，
A、当液体密度时，浸在液体中的高度，则本项不符合题意，
B、当液体密度时，浸在液体中的高度，则本项不符合题意，
C、当浸在液体中的高度时，该液体的密度，则本项符合题意，
D、当液体的密度时，浸在液体中的高度，则本项不符合题意，
故答案为：C.
【分析】根据题意先得到反比例函数为：，进而结合函数图象逐项进行分析即可求解.
12．【答案】B
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OD、OE、OF，如图，
∵CF、CE为的切线，
∴
∴
∵，
∴四边形OECF为矩形，
∵
∴四边形OECF为正方形，
设则
∵AB、AE、BF是的切线，
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：B.
【分析】连接OD、OE、OF，证明四边形OECF为正方形，设则利用勾股定理求出AB的长，最后根据列出方程解此方程即可求解.
13．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵当分式分母不为0时，分式有意义，
∴，
解得，
故答案为：.
【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0，列出不等式，解此不等式即可求解.
14．【答案】3
【知识点】单项式的概念；单项式的次数与系数
【解析】【解答】解： 单项式的次数是 3，
故答案为：3.
【分析】根据单项式次数的定义：单项式中所有字母的指数之和，x的指数为2，y的指数为1，即可得单项式得次数，解答即可.
15．【答案】5
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点M的坐标是，
∴点M到x轴的距离是，
故答案为：5.
【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，据此即可求解.
16．【答案】0.9
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵观察表格得到：发芽的频率逐渐稳定在0.9，
∴该植物的种子发芽的概率为0.9，
故答案为：0.9.
【分析】观察表格得到：发芽的频率逐渐稳定在0.9，进而用频率估计概率即可.
17．【答案】120
【知识点】扇形面积的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：设侧面展开扇形的圆心角为n°，
∴
故答案为：120.
【分析】设侧面展开扇形的圆心角为n°，根据扇形的面积计算公式列出方程进而得到，最后代入数据计算即可.
18．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：设AC与BD交于O，A'C'与BD'交于O'，如图，
由题意得：四边形ABCD和四边形A'BC'D'为菱形，
∴
∵
∴
∴
∴
∴的长需要缩短
故答案为：.
【分析】设AC与BD交于O，A'C'与BD'交于O'，根据菱形的性质得到：然后利用勾股定理求出AO的长度，进而得到AC的长度，在中利用勾股定理求出A'O'的长度，进而得到A'C'的长度，即可求解.
19．【答案】解：原式.
【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】加号坐边，负数×负数=正数，因此（-1）×（-6）=6；加号右边，先算乘方，后算除法. 最后两数相加.
20．【答案】解：
解①，得；
解②，得．
原不等式组的解集为
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别解两个一元一次不等式，最后根据"同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了"，即可得到不等式组的解集.
21．【答案】（1）解：如图所示：即为所求；故答案为：.
（2）解：如图所示：即为所求；
（3）.
【知识点】作图﹣位似变换；旋转的性质；作图﹣旋转；位似图形的性质
【解析】【解答】解：（3）解：∵与为位似图形，且相似比为；∴点的对应点的坐标为，故答案为：.
【分析】（1）根据旋转的性质得出点O、A、B的对应点的坐标，然后顺次将它们连起来即可；
（2）利用位似图形的性质得出对应点的坐标，然后顺次将它们连起来即可；
（3）根据位似图形的性质：对应线段成比例且比例为位似比，进而即可求出点D2的坐标.
22．【答案】（1）126；12
（2）解：B校7分的人数：
补齐校成绩条形统计图如下：

（3）9；8
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：（1）
B校人数为：
∵AB两校抽取学生人数相同，
∴
故答案为：126；12.
（3）①A校成绩从大到小排序，第10、11个数为9，9，
∴A校的中位数为：
B校成绩从大到小排序，第10、11个数为8，8，
∴B校的中位数为：
故答案为：9；8.
②校成绩的平均数为：（分），
校成绩的平均数为：（分）
∵，
∴从中位数、平均数角度看，校成绩较好．
【分析】（1）用360°分别减去其他三部分的度数即可得到的值；根据B校9分的人数和它所占的比例即可求出B校的人数，最后根据两校抽取的人数相等即可得到m的值；
（2）先求出B校7分的人数，进而即可补全条形统计图；
（3）①根据中位数的定义即可求解；
②根据平均数的计算法则计算即可.
23．【答案】（1）解：根据题意得：
1号探测气球所在位置的海拔：，
2号探测气球所在位置的海拔：；
的取值范围为：
（2）解：根据题意得：，
解得：，
答：此时，气球上升了20分钟，都位于海拔25米的高度．
【知识点】解二元一次方程组；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据1号探测气球从海拔处出发，以的速度上升，与此同时，2号探测气球从海拔处出发，以的速度上升，据此即可得到两个气球的函数关系式，最后根据"两个气球都上升了后停止"，据此即可求出x的取值范围；
（2）结合（1）联立两个函数解析式得到方程组，解此方程组即可求解.
24．【答案】（1）；0.9
（2）解：如图：
四边形与四边形都为矩形
，
设，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
解得：
，
仰止亭的高度约为．
【知识点】矩形的判定与性质；平均数及其计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：（1）
故答案为：45，0.9.
【分析】（1）根据平均数的计算法则计算即可求出a和b的值；
（2）由题意得到：设，分别在中和中，利用锐角三角函数的定义表示出EG的长，进而列出关于x的方程：，进而即可求解.
25．【答案】（1）解：设二次函数表达式为：．
将代入得：
解得
二次函数解析式为
（2）解：存在，理由如下：
设解析式为：，将两点坐标代入得：
，解得：
的解析式为
作轴交于点，如图：
设．
当时，，
，
此时；
（3）解：或或时，抛物线与线段EF只有一个公共交点.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（3）由表格得：
∵将线段先向右平移1个单位，再向上平移6个单位，得到线段，
∴
∵
∴抛物线顶点为，
当时，抛物线开口向上，如图，
∴时，时，
∴
解得，
当时，抛物线开口向下，
若顶点在直线上，则抛物线与线段EF只有一个公共交点.
∴
解得，
若顶点在直线上方，如图，
∴时，时，
∴
解得：，
综上所述，或或时，抛物线与线段EF只有一个公共交点.
【分析】（1）设二次函数表达式为：，把点代入求出a的值，进而即可得到二次函数的解析式；
（2）设解析式为：，将两点坐标代入得到的解析式为，作轴交于点，设，利用割补法得到最后根据二次函数的性质求出当m为何值时，存在最大值，进而即可求解；
（3）根据题意求出抛物线顶点为，进而分两种情况讨论，①当时，抛物线开口向上，，解此不等式组，②当时，抛物线开口向下，或，进而即可求解.
26．【答案】（1）证明：四边形和四边形都为正方形
，
，
在和中
，
（2）解：连接EF，如图，由（1）得：∵∴即∵∴∴.
（3）解：成立，理由如下：
延长交于点，连接，
矩形的对角线相交于点，
点是的中点，
，
在矩形中，，
，
在和中
，
，
在矩形中，，
垂直平分
，
在中，，
．
（4）解：设
①当点E在线段CA的上时，如图，
∵
∴
在中，
结合（2）知：，
∴
∴
∴
②当点E在线段CA的延长线上时，
同理得：
∴
在中，
∴
∴
综上所述，的长为或.
【知识点】正方形的性质；解直角三角形；三角形全等的判定-ASA；四边形的综合
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到：，进而利用"ASA"即可求证；
（2）结合（1）得到：进而根据线段间的数量关系和等量代换得到：进而利用勾股定理即可求出之间的数量关系；
（3）延长交于点，连接，根据矩形的性质得到点是的中点，然后利用"ASA"证明，则，再根据线段垂直平分线的性质得到：，最后在中，利用勾股定理即可求解；
（4）设分两种情况讨论，①当点E在线段CA的上时，在中利用勾股定理列出方程解此方程即可；②当点E在线段CA的延长线上时，在中利用勾股定理列出方程解此方程即可求解.
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