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综合与实践2猜想、证明与拓广
1.用锯锯木，锯会发热；用锉锉物，锉会发热；在石头上磨刀，刀会发热，所以物体摩擦会发热.此结论的得出运用的方法是（　　）
A.观察 B.实验 C.归纳 D.类比
2.十八世纪俄国的哥尼斯堡城，一直困扰人们的七色桥问题引起了一个著名的数学家的注意，经过他的猜想、研究证明，得出了一笔画的几何规律.这位数学家是（　　）
A.欧拉 B.高斯 C.牛顿 D.佩雷尔曼
3.设一列数中相邻的三个数依次为m，n，p，且满足p＝m2－n，若这列数为－1，3，－2，a，b，128，…，则b的值为（　　）
A.11 B.7 C.－4 D.－7
4.下列说法正确的是（　　）
A.任意给定一个正方形，一定存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的一半
B.任意给定一个正方形，一定存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍
C.任意给定一个矩形，一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半
D.任意给定一个矩形，一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍
5.美妙的音乐能陶冶情操，催人奋进，根据下面五线乐谱中的信息，确定最后一个音符（即“？”处）的时值长应为（　　）
A. B. C. D.
第5题图　　
6.烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，它的前四种化合物的分子结构模型如图所示，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子.按照这一规律，第100种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（　　）
第6题图
A.198 B.200 C.202 D.204
7.一组按规律排列的单项式a，2a2，3a3，4a4，…，依这个规律用含字母n（n为正整数，且n≥1）的式子表示第n个单项式为　　.
8.已知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个实数根为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1·x2＝，这个结论是法国数学家韦达最先发现并证明的，故把它称为“韦达定理”，请利用此定理解决问题：对于一切正整数n，关于x的一元二次方程x2－（n＋2）x－2n2＝0的两个根记作an，bn，则＋＋…＋的值是　－　.
9.综合与实践：任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，使它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的？
（1）当已知矩形A的两边长分别为7和1时，小颖同学是这样研究的：
设所求矩形B的两边长分别是x和y，
由题意可得方程组消去y，得2x2－8x＋7＝0，
因为Δ＝64－56＝8＞0，所以x1＝　　，x2＝　　.所以满足要求的矩形B存在.
（2）如果已知矩形A的两边长分别为4和1，那么请你仿照小颖的方法研究是否存在满足要求的矩形B.
（3）探究：任意给定一个矩形，是否存在另一矩形，使它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的3倍，说明理由.
10.综合与探究
【定义】我们把关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0与cx2＋bx＋a＝0（ac≠0，a≠c）称为一对“友好方程”.
【示例】如2x2＋7x－3＝0的“友好方程”是－3x2＋7x＋2＝0.
（1）写出一元二次方程12x2－7x＋1＝0的“友好方程”是　　　　　　.
【探究】（2）已知一元二次方程12x2－7x＋1＝0的两根为x1＝，x2＝，请求出它的“友好方程”的两个根.
【猜想】（3）当Δ＝b2－4ac≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0的两根x1，x2与其“友好方程”cx2＋bx＋a＝0的两根x3，x4之间存在的一种特殊关系为　　　　.（ac≠0，a≠c）
【证明】∵方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1＝，x2＝；
方程cx2＋bx＋a＝0的两根为x3＝，①　　　　；…
（4）请完成上述填空①，并补全证明过程.（备注：证明一组关系即可）
【拓展】
（5）已知关于x的方程2 024x2＋bx－c＝0的两根是x1＝－1，x2＝，请利用上述结论，直接写出关于x的方程c（x－1）2－bx＋b＝2 024的两根.
答案：
1.C　2.A　3.D　4.D　5.C　6.C　7.n·an
8.－　解析：∵关于x的一元二次方程x2－（n＋2）x－2n2＝0的两个根记作an，bn，
∴an＋bn＝n＋2，an·bn＝－2n2，
∴（an－2）（bn－2）＝anbn－2（an＋bn）＋4＝－2n2－2（n＋2）＋4＝－2n（n＋1），
∴＝－（－），
∴＋＋…＋
＝－×［（－）＋（－）＋…＋（－）］
＝－×（1－）
＝－.
9.解：（1）2＋　2－
（2）设所求矩形的两边长分别是x和y，
由题意可得方程组
消去y，得2x2－5x＋4＝0.
∵Δ＝25－32＝－7＜0，
∴满足要求的矩形B不存在.
（3）设已知矩形的两边长分别为m和n，所求矩形的两边长分别是x和y，
由题意可得方程组
消去y，得x2－3（m＋n）x＋3mn＝0.
∵Δ＝9（m＋n）2－12mn＝（3m＋n）2＋8n2＞0，
∴满足要求的矩形一定存在.
10.解：（1）一元二次方程12x2－7x＋1＝0的“友好方程”为x2－7x＋12＝0.
故答案为x2－7x＋12＝0.
（2）x2－7x＋12＝0，（x－3）（x－4）＝0，
解得x1＝3，x2＝4.
（3）根据（2）的结论，猜想当Δ＝b2－4ac≥0时，ax2＋bx＋c＝0的两根x1，x2与其“友好方程”cx2＋bx＋a＝0的两根x3，x4之间存在的一种特殊关系为互为倒数（ac≠0，a≠c），
故答案为互为倒数.
（4）证明如下：
∵方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1＝，x2＝；
“友好方程”cx2＋bx＋a＝0的两根为x3＝，x4＝，
∴x1·x4＝·＝＝＝1，
x2·x3＝·＝＝＝1，
即原方程的两根与“友好方程”的两根互为倒数，
故答案为x4＝.
（5）关于x的方程2 024x2＋bx－c＝0的两根是x1＝－1，x2＝，
∴该方程的“友好方程”－cx2＋bx＋2 024＝0，
即cx2－bx－2 024＝0的两根为x1＝－1，x2＝2 024，
则c（x－1）2－bx＋b＝2 024，即c（x－1）2－b（x－1）－2 024＝0中x－1＝－1或x－1＝2 024，
∴该方程的解为x1＝0，x2＝2 025.

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