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(共71张PPT)
9.1 随机抽样
9.1.2 分层随机抽样
探究点一 分层随机抽样的概念
探究点二 分层随机抽样的应用
探究点三 分层随机抽样中用样本平均数
估计总体平均数
【学习目标】
1.通过具体实际问题情境体会分层随机抽样的必要性及特点,了
解分层随机抽样的特点和使用范围,掌握各层样本量比例分配的方法.
2.经历分层随机抽样的样本平均数的推导过程,会求具体问题的
分层随机抽样的样本平均数,并能解释它在实际问题中的意义.
知识点一 分层随机抽样的概念
1.分层随机抽样
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体
属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行___________
___，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为________，这样的
抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为____．
简单随机抽样
总样本
层
2.比例分配
在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成______，那么
称这种样本量的分配方式为__________．
比例
比例分配
3.分层随机抽样的优点
（1）在个体之间差异较大的情形下，只要选取的分层变量合适，使
得各层间差异明显、层内差异不大，分层随机抽样的组织实施效果
一定好于简单随机抽样，也好于其他抽样方法.
（2）分层随机抽样除了能得到总体的估计外，还能得到每层的估计.
【诊断分析】 判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）在比例分配的分层随机抽样中，个体数量较少的层抽取的样本
数量较少，这是不公平的.( )
×
[解析] 比例分配的分层随机抽样是按比例抽取的，每个个体被抽到
的可能性相同，这是公平的.
（2）从全班50名同学中抽取5人调查作业完成情况，适合用比例分
配的分层随机抽样.( )
×
[解析] 没有明显的层，不适合用比例分配的分层随机抽样.
（3）某班有男生36人,女生18人,用比例分配的分层随机抽样的方法,
从该班全体学生中抽取一个样本量为9的样本,则抽取的女生人数为3.
( )
√
[解析] 抽取的女生人数为 .
（4）采用比例分配的分层随机抽样的方法对甲、乙、丙三种个体进
行抽样调查，若甲、乙、丙的个体数之比为 ，且抽取的甲的个
体数为9，则样本容量为30.( )
×
[解析] 依题意，样本容量为 .
知识点二 分层随机抽样的平均数
在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数
分别为和，抽取的样本量分别为和．用,, , 表示第1
层各个个体的变量值，用,, , 表示第1层样本的各个个体的
变量值；用,, ,表示第2层各个个体的变量值，用,, ,
表示第2层样本的各个个体的变量值.
1.第1层的总体平均数和样本平均数分别为
_ ______， _______．
2.第2层的总体平均数和样本平均数分别为 _ ______，
_ ______．
3.总体平均数和样本平均数分别为， ．
4.由于用第1层的样本平均数可以估计第1层的总体平均数 ，用第2
层的样本平均数可以估计第2层的总体平均数 ，因此我们可以用
估计总体平均数 .在比例分配的分层随机
抽样中，_____，可得 ．
【诊断分析】判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）在分层随机抽样中， ．( )
×
[解析] 在比例分配的分层随机抽样中，才有 ．
（2）在比例分配的分层随机抽样中，可以直接用样本平均数估计总
体平均数．( )
√
探究点一 分层随机抽样的概念
例1（1） 为了保证比例分配的分层随机抽样中每个个体等可能地被
抽取,必须要求( )
A.每层不等可能抽样
B.每层抽取的个体数相等
C.每层抽取的个体可以不一样多,但必须满足抽取
个个体（其中是层数,是抽取的样本量,
是第层中个体的个数, 是总体中个体的个数）
D.只要抽取的样本量一定,每层抽取的个体数没有限制
√
[解析] 易知A，D不正确；
对于B，由于每层中的个体数不一定相等,若每层抽取同样多的个体数,
则从整个总体来看,各层之间的个体被抽取的可能性就不一样了,故B
不正确；
对于C,符合比例分配的分层随机抽样的特点，能够保证每个个体等
可能地被抽取,故C正确.故选C.
（2）下列问题中，最适合用比例分配的分层随机抽样的方法抽样的
是( )
A.某报告厅有32排座位，每排有40个座位，座位号是 ，有一次
报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下32名听众
进行座谈
B.从10台冰箱中抽出3台进行质量检查
C.某乡农田有山地8000亩、丘陵12 000亩、平地24 000亩、洼地
4000亩，现抽取农田480亩，估计全乡农田平均产量
D.从50个零件中抽取5个进行质量检验
√
[解析] A中的个体没有呈现出较大差异，不适合用比例分配的分层
随机抽样的方法；
B和D中总体的个体数较小，用简单随机抽样的方法比较方便；
C中总体的个体数较大，且各类农田的差别很大，宜采用比例分配的
分层随机抽样的方法.
变式 （多选题）下列说法中正确的是( )
A.从10名同学中抽取3人参加座谈会，宜采用简单随机抽样的方法
B.某高速公路有300个太阳能标志灯，其中进口的有30个，联合研制的
有75个，国产的有195个，为了掌握每个标志灯的使用情况，要从中抽
取一个样本量为20的样本，宜采用比例分配的分层随机抽样的方法
√
√
C.某社区有500个家庭，其中高收入的家庭有125个，中等收入的家
庭有280个，低收入的家庭有95个，为了了解生活购买力的某项指标，
要从中抽取一个样本量为100的样本，宜采用比例分配的分层随机抽
样的方法
D.从甲厂生产的100个零件和乙厂生产的200个零件中抽取6个，宜采
用简单随机抽样的方法
√
[解析] A中总体的个体无明显差异且个体数较小，适合用简单随机
抽样的方法；
B,C,D中总体的个体差异明显，适合用比例分配的分层
随机抽样的方法.故A，B，C正确，D错误.故选 .
［素养小结］
用比例分配的分层随机抽样的方法应遵循的原则
（1）将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体
互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；
（2）为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽
样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比.
探究点二 分层随机抽样的应用
例2 一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁
的有280人，50岁及50岁以上的有95人.为了了解这个单位职工与年龄
有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，应该怎样抽取？
解：用比例分配的分层随机抽样的方法来抽取样本，步骤如下：
（1）分层，按年龄将500名职工分成三层：不到35岁的职工；35岁
至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工.
（2）确定每层抽取个体的个数，抽样比为 ，则在不到35岁的
职工中抽取 （人）；在35岁至49岁的职工中抽取
（人）；在50岁及50岁以上的职工中抽取 （人）.
（3）在各层中分别按简单随机抽样的方法抽取样本.
（4）汇总每层抽取的样本，组成总体的样本.
变式（1） 某市教育局想了解全市所有学生对某电影的评价，决定
从全市所有学校中选取3所学校按学生人数用比例分配的分层随机抽
样的方法抽取一个样本，若3所学校的学生人数之比为 ，且从
学生人数最少的一个学校抽出120人，则样本量为( )
A.560 B.540 C.450 D.400
[解析] 设样本量为，依题意得，解得 ，即样本
量为540.故选B.
√
（2）从某景区某日的游客中随机抽取100人，对他们的出行方式进
行统计，统计结果如下表：
出行方式 高铁 自驾 飞机 其他
人数 27 16 28 29
若采用比例分配的分层随机抽样的方法再从这100人中抽取25人，则
应从选择飞机出行的人中抽取___人.
7
[解析] 由题意，应从选择飞机出行的人中抽取 （人）.
［素养小结］
用比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本的一般步骤：
探究点三 分层随机抽样中用样本平均数估计总体平均数
例3 某学校高一年级有男生610人，高二年级有男生590人，李梅按
照高一、高二年级进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到高一
年级男生、高二年级男生的平均身高分别为和 .
（1）如果李梅是按比例分配的方式抽取的样本，总样本量为120，
那么在高一、高二年级中分别抽取了多少名男生？
解：根据题意，在高一年级中抽取了 （名）男生，
在高二年级中抽取了 （名）男生.
（2）在（1）的情况下，请估计高一年级与高二年级全体男生的平
均身高（结果保留两位小数）.
解：估计高一年级与高二年级全体男生的平均身高为
.
变式1 （多选题）某校高二年级有男生490人、女生510人，按性别
进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男、女生的平均身高分
别为和 ，则下列说法正确的是( )
A.若采用比例分配的分层随机抽样的方法共抽取100人，则可用
来估计总体均值
B.若从男、女生中分别抽取30人和70人，则可用
来估计总体均值
C.若从男、女生中分别抽取30人和70人，则可用
来估计总体均值
D.仅根据男、女生的样本均值，无法计算出总体均值
√
√
√
[解析] 对于A，由题意得样本均值为
，由此可以估计总体均值约为 ，故A正确；
对于B，C，可用 来估计总
体均值，故B正确，C错误；
对于D，仅根据男、女生的样本均值，可以估计出总体均值，
但不能计算出准确的总体均值，故D正确.故选 .
变式2 在例3中，如果李梅从高一、高二年级男生中抽取的样本量分
别为40和80，那么在这种情况下，如何估计高一年级与高二年级全
体男生的平均身高？
解：因为高一年级和高二年级的男生人数分别是610与590，而抽取
的样本量分别为40和80，所以没有按照比例分配的方式进行抽样，
不能直接用样本平均数估计总体平均数，需要使用样本平均数以及
总体中各层的人数估计总体平均数，可估计高一年级与高二年级全
体男生的平均身高为 .
［素养小结］
进行比例分配的分层随机抽样的相关计算时，常用到的三个关系如下：
（1） ；
（2）总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比；
（3）样本的平均数和各层的样本平均数的关系为
.
1.简单随机抽样与分层随机抽样的区别和联系.
区别：简单随机抽样是从总体中逐个抽取样本；分层随机抽样则首
先将总体分成几层，然后在各层中抽取样本.
联系：（1）抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等；
（2）每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样.
2.按比例分配的分层随机抽样的一般步骤：
第一步,按某种特征将总体分成若干部分（层）.
第二步,计算抽样比，抽样比 .
第三步,计算各层抽取的个体数，各层抽取的个体数 各层总的个体
数×抽样比.
第四步,依各层抽取的个体数,按简单随机抽样从各层抽取样本.
第五步,综合每层抽样,组成样本.
1.抽样方法的考查
（1）简单随机抽样和分层随机抽样是常用的抽样方法,在实际生活中
有着广泛的应用.
（2）两种抽样方法的适用范围不同,各自的特点也不同,但两种方法
间又有密切联系,在应用时要根据实际情况选取合适的方法.
（3）两种抽样方法中每个个体被抽到的可能性都是相同的.
解:总体容量较小,且无明显差异，可用抽签法.
①将30个篮球编号,号码为00,01, ,29;
②将以上30个号码分别写在完全一样的一张小纸条上,揉成小球,制成
号签;
③把号签放入一个不透明的袋子中,充分搅拌;
④从袋子中逐个不放回地抽取10个号签,并记录上面的号码;
⑤找出与所得号码对应的篮球即可得到样本.
例1 选择合适的抽样方法抽样,写出抽样过程.
（1）有甲厂生产的30个篮球,其中一箱21个,另一箱9个,抽取10个入样；
（2）有30个篮球,其中甲厂生产的有21个,乙厂生产的有9个,抽取10个
入样.
解:总体由差异明显的两层组成,需选用比例分配的分层随机抽样.
①确定各层抽取的个数.因为 ,所以应从甲厂生产的篮球中抽取
（个）,从乙厂生产的篮球中抽取 （个）.
②用抽签法从甲厂生产的篮球中抽取7个,从乙厂生产的篮球中抽取3
个，这些篮球便组成了我们要抽取的样本.
2.按比例分配的分层随机抽样的样本平均数的计算
例2（1） [2024·甘肃天水一中高一月考]在某学校的期中考试中，高
一、高二、高三年级的参考人数分别为600,800,600.现用比例分配的
分层随机抽样的方法从三个年级中抽取样本，经计算得高一、高二、
高三年级数学成绩的样本平均数分别为93,81,99，则全校学生数学成
绩的总样本平均数为( )
A.92 B.91 C.90 D.89
[解析] 由题意，总样本平均数为
.故选C.
√
（2）某校有男教师160人，女教师140人，为了调查教师运动量的平
均值，按性别采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本，通过
对样本的计算，得出样本中男教师的平均日步数为 ，女教师
的平均日步数为8600，估计该校教师的平均日步数为________.
10 680
[解析] 估计该校教师的平均日步数为
.
练习册
一、选择题
1.简单随机抽样和分层随机抽样的共同点是( )
A.都是从总体中逐个抽取
B.都包含抽签法和随机数法
C.抽样过程中每个个体被抽到的机会相同
D.都是将总体分成几层，分层进行抽取
[解析] 简单随机抽样和分层随机抽样的共同点是抽样过程中每个个
体被抽到的机会相同．故选C．
√
2.下列情境中,适合用比例分配的分层随机抽样的方法抽样的是
( )
A.某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干
部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意
见，要从中抽取20人
B.从20台彩色电视机中抽取6台进行质量检验
C.从某生产线生产的1000个零件中抽取10个，对某种指标是否合格
进行检验
D.从某校高一年级1班的30名学生中抽取3名参加演讲比赛
√
[解析] A中，总体由差异明显的三部分构成，适合用比例分配的分
层随机抽样的方法；
B，D中总体中的个体数较小,适合用简单随机抽样的方法;
C中总体中的个体无明显差异,故不适合用比例分配的分层随机抽样
的方法.故选A.
3.某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产量分别为200件、3
00件、400件.为检验产品的质量，现按比例分配的分层随机抽样的方
法，从以上所有的产品中抽取45件进行检验，则抽取的甲、乙两种
型号产品的件数之和为( )
A.30 B.15 C.20 D.25
[解析] 根据题意，抽取的甲种型号产品的件数为
，
抽取的乙种型号产品的件数为 ，
所以抽取的甲、乙两种型号产品的件数之和为 .故选D.
√
4.已知某地区中小学生的人数和近视情况如图所示，为了解该地区中
小学生的近视形成原因，用比例分配的分层随机抽样的方法抽取
的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为
( )
A.400，40 B.200，10 C.400，80 D.200，20
√
[解析] 用比例分配的分层随机抽样的方法抽取 的学生进行调查，
则样本容量为 ，抽取的高中生近
视人数为 .故选A.
5.高一某班有男生35人、女生15人，用比例分配的分层随机抽样的方
法从全班学生中抽取一个样本量为10的样本，抽出的男生的平均体
重为，抽出的女生的平均体重为 ，则估计该班学生的平均
体重是( )
A. B. C. D.
[解析] 根据题意可知应抽取男生7人、女生3人，
又抽出的男生的平均体重为，抽出的女生的平均体重为 ，
所以估计该班学生的平均体重是 .故选C.
√
6.在100个零件中，有一级品20个、二级品30个、三级品50个，从中
抽取20个作为样本.
方法一：采用简单随机抽样的方法，将零件编号为00,01,02， ，
99，用抽签法抽取20个.
方法二：采用比例分配的分层随机抽样的方法，从一级品中随机抽
取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个.
对于上述问题，下列说法正确的是( )
①不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每1个零件被抽到的可能
性都是 ；
②采用不同的方法，这100个零件中每1个零件被抽到的可能性各不
相同；
③在上述两种抽样方法中，方法二抽到的样本比方法一抽到的样本
更能反映总体的特征；
④在上述两种抽样方法中，方法一抽到的样本比方法二抽到的样本
更能反映总体的特征.
A.①② B.①③ C.①④ D.②③
√
[解析] 根据两种抽样方法的特点知，不论采用哪种抽样方法，总体
中每个个体入样的可能性都相等，都是 ，故①正确，②错误；
因为总体中有差异较明显的三个层（一级品、二级品和三级品），
所以方法二抽到的样本更有代表性，故③正确，④错误.故选B.
7.某高中在校学生有2000人，为了响应“阳光体育运动”的号召，学校
开展了跑步和登山比赛活动.每人都参与而且只参与其中一项比赛，
各年级参与比赛的人数情况如下表：
高一年级 高二年级 高三年级
跑步
登山
其中，全校参与登山的人数占总人数的 .为了了解学
生对本次活动的满意程度，用比例分配的分层随机抽样的方法从中
抽取一个样本量为200的样本进行调查，则从高二年级参与跑步的学
生中应抽取( )
A.36人 B.60人 C.24人 D.30人
√
[解析] 根据题意可知，样本中参与跑步的人数为 ，所
以从高二年级参与跑步的学生中应抽取 （人）.
8.（多选题）[2024·江西上饶高一期末] 某高中在有120名同学的社
团中随机抽取30名参加一个交流会.若按社团中高一、高二、高三年
级的成员人数采用比例分配的分层随机抽样的方法，则应从高一年
级抽取10人；若按性别采用比例分配的分层随机抽样的方法，则应
从男生中抽取18人.给出下列说法，其中正确的有( )
A.样本容量为30
B.120名社团成员中的男生有72人
C.高二与高三年级的社团成员共有80人
D.高一年级社团成员中的女生最多有48人
√
√
√
[解析] 对于A，从中随机抽取30名同学，则样本容量为30，故A正确；
对于B，设120名社团成员中的男生有 人，因为按性别采用比例分
配的分层随机抽样的方法时应从男生中抽取18人，所以 ，解
得 ，所以120名社团成员中的男生有72人，故B正确；
对于C，设高二与高三年级的社团成员共有 人，因为按社团中高一、
高二、高三年级的成员人数采用比例分配的分层随机抽样的方法时
应从高一年级抽取10人，所以，解得 ，所以高二
与高三年级的社团成员共有80人，故C正确；
对于D，由C可知高一年级的社团成员有 （人），由B
可知120名社团成员中的女生有 （人），故高一年级
社团成员中的女生最多有40人，故D错误.故选 .
9.（多选题）已知某公司共有员工20 000人，30岁以下的员工有8000
人，30岁到50岁的员工有10 000人，为了了解公司员工的身体情况，
采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个样本量为2000的样本，
得到身体健康状况良好的人数占所在年龄段人数的比例如下：30岁
以下的为，30岁到50岁的为，50岁以上的为 ．下列说
法正确的是( )
A.从50岁以上的员工中抽取了200人
B.每名员工被抽到的概率均为
C.估计该公司员工身体健康状况的良好率为
D.估计该公司员工身体健康状况不良好的人数最多的年龄段是30岁
到50岁
√
√
√
[解析] 对于A，由题可知，从50岁以上的员工中抽取了
（人），故A正确；
对于B，每名员工被抽到的概率均为 ，故B正确；
对于C，估计该公司员工身体健康状况的良好率为
，
故C错误；
对于D，估计该公司30岁以下员工中身体健康状况不良好的人数为
，30岁到50岁员工中身体健康状况不良好的
人数为 ，50岁以上员工中身体健康状况
不良好的人数为 ，
故估计该公司员工身体健康状况不良好的人数最多的年龄段是30岁
到50岁，故D正确．故选 .
二、填空题
10.某校高二年级选择“理化生”“理化地”“史政地”和“史政生”组合的
学生人数分别为480，40，120和80，现采用比例分配的分层随机抽
样的方法从这些学生中选出72人参加一项活动，则从“史政生”组合
中选出的学生人数为___.
8
[解析] 根据题意，从“史政生”组合中选出的学生人数为
.
11.高一和高二两个年级的同学参加数学竞赛，高一年级有450人，高
二年级有350人，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个样本
量为160的样本，得到高一和高二两个年级的平均成绩分别为80分和
90分，则从高一、高二两个年级分别抽取的学生人数为______，据
此估计此次数学竞赛的平均成绩为_______分.
90,70
84.375
[解析] 由题意可得从高一年级抽取的学生人数为 ，
从高二年级抽取的学生人数为 ，据此估计此次数
学竞赛的平均成绩为 （分）.
12.某高中针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”
两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有400人，按照要求每
人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：
高一年级 高二年级 高三年级
泥塑
剪纸
其中，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的 .为
了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个样本量为50
的样本进行调查，则应从高二年级“剪纸”社团的学生中抽取___人.
6
[解析] 因为“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的 ，所以“剪纸”社
团的人数占两个社团总人数的 ，则“剪纸”社团的人数为
.
因为 ，所以“剪纸”社团中高二年级学生的人数为
，
所以应从高二年级“剪纸”社团的学生中抽取 （人）.
三、解答题
13.某单位有2000名职工，老年人、中年人、青年人分布在管理、技
术开发、营销、生产各岗位中的人数情况如下表所示：
管理 技术开发 营销 生产 合计
老年人 40 40 40 80 200
中年人 80 120 160 240 600
青年人 40 160 280 720 1200
合计 160 320 480 1040 2000
（1）若要抽取40人调查身体状况，应怎样抽取？
解：按年龄段采用比例分配的分层随机抽样的方法，从老年人中抽
取4人，从中年人中抽取12人，从青年人中抽取24人.
（2）若要开一个有25人参与的讨论单位发展与薪资调整方案的座谈
会，应怎样抽取出席人？
解：按岗位采用比例分配的分层随机抽样的方法，从管理岗位抽取2
人，从技术开发岗位抽取4人，从营销岗位抽取6人，从生产岗位抽
取13人.
14.某武警大队共有甲、乙、丙三支中队，人数分别为30，30，4
0．为了检测该大队的射击水平，从整个大队中用比例分配的分层随
机抽样的方法抽取了30人进行射击考核，统计得到三支中队参加射
击比赛的平均环数分别为，， ，估计该武警大队队员的平
均射击水平.
解:该武警大队共有 （人），
则甲中队参加考核的人数为 ，乙中队参加考核的人数为
，丙中队参加考核的人数为 ，
所以参加考核的30人的平均射击环数为
，
故估计该武警大队队员的平均射击水平为8.43环.
15.现有如下问题：“今有甲持钱三百六十，乙持钱二百八十，丙持钱
二百，凡三人俱出关，关税六十五钱．欲以钱数多少衰出之，问各
几何？”其译文为：今有甲持360钱，乙持280钱，丙持200钱，甲、
乙、丙三人一起出关，关税共65钱，要按照各人带钱多少的比例进
行交税，问三人各应付多少税？下列说法错误的是( )
A.甲应付 钱
B.乙应付 钱
C.丙应付 钱
D.三人中甲付的钱最多，丙付的钱最少
√
[解析] , 甲应付 （钱），
乙应付（钱），丙应付 （钱），C中
说法错误.故选C.
16.已知，， ，的平均数为，，， ， 的平均数为
.若，， ，，，， ， 的平均数为
，其中，试判断与 的大小
关系．
解：由题意得 ，
， .
， ，
， ．9.1.2　分层随机抽样
1.C　[解析] 简单随机抽样和分层随机抽样的共同点是抽样过程中每个个体被抽到的机会相同.故选C.
2.A　[解析] A中,总体由差异明显的三部分构成,适合用比例分配的分层随机抽样的方法;B,D中总体中的个体数较小,适合用简单随机抽样的方法;C中总体中的个体无明显差异,故不适合用比例分配的分层随机抽样的方法.故选A.
3.D　[解析] 根据题意,抽取的甲种型号产品的件数为×45=10,抽取的乙种型号产品的件数为×45=15,所以抽取的甲、乙两种型号产品的件数之和为10+15=25.故选D.
4.A　[解析] 用比例分配的分层随机抽样的方法抽取4%的学生进行调查,则样本容量为(3500+4500+2000)×4%=400,抽取的高中生近视人数为2000×4%×50%=40.故选A.
5.C　[解析] 根据题意可知应抽取男生7人、女生3人,又抽出的男生的平均体重为70 kg,抽出的女生的平均体重为50 kg,所以估计该班学生的平均体重是=64(kg).故选C.
6.B　[解析] 根据两种抽样方法的特点知,不论采用哪种抽样方法,总体中每个个体入样的可能性都相等,都是,故①正确,②错误;因为总体中有差异较明显的三个层(一级品、二级品和三级品),所以方法二抽到的样本更有代表性,故③正确,④错误.故选B.
7.A　[解析] 根据题意可知,样本中参与跑步的人数为200×=120,所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取120×=36(人).
8.ABC　[解析] 对于A,从中随机抽取30名同学,则样本容量为30,故A正确;对于B,设120名社团成员中的男生有n人,因为按性别采用比例分配的分层随机抽样的方法时应从男生中抽取18人,所以=,解得n=72,所以120名社团成员中的男生有72人,故B正确;对于C,设高二与高三年级的社团成员共有m人,因为按社团中高一、高二、高三年级的成员人数采用比例分配的分层随机抽样的方法时应从高一年级抽取10人,所以=,解得m=80,所以高二与高三年级的社团成员共有80人,故C正确;对于D,由C可知高一年级的社团成员有120-80=40(人),由B可知120名社团成员中的女生有120-72=48(人),故高一年级社团成员中的女生最多有40人,故D错误.故选ABC.
9.ABD　[解析] 对于A,由题可知,从50岁以上的员工中抽取了2000×=200(人),故A正确;对于B,每名员工被抽到的概率均为=,故B正确;对于C,估计该公司员工身体健康状况的良好率为×99%+×98%+×96%=98.2%,故C错误;对于D,估计该公司30岁以下员工中身体健康状况不良好的人数为8000×(1-99%)=80,30岁到50岁员工中身体健康状况不良好的人数为10 000×(1-98%)=200,50岁以上员工中身体健康状况不良好的人数为(20 000-8000-10 000)×(1-96%)=80,故估计该公司员工身体健康状况不良好的人数最多的年龄段是30岁到50岁,故D正确.故选ABD.
10.8　[解析] 根据题意,从“史政生”组合中选出的学生人数为72×=8.
11.90,70　84.375　[解析] 由题意可得从高一年级抽取的学生人数为×160=90,从高二年级抽取的学生人数为×160=70,据此估计此次数学竞赛的平均成绩为×80+×90=84.375(分).
12.6　[解析] 因为“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的,所以“剪纸”社团的人数占两个社团总人数的,则“剪纸”社团的人数为400×=160.因为x∶y∶z=5∶3∶2,所以“剪纸”社团中高二年级学生的人数为160×=48,所以应从高二年级“剪纸”社团的学生中抽取48×=6(人).
13.解:(1)按年龄段采用比例分配的分层随机抽样的方法,从老年人中抽取4人,从中年人中抽取12人,从青年人中抽取24人.
(2)按岗位采用比例分配的分层随机抽样的方法,从管理岗位抽取2人,从技术开发岗位抽取4人,从营销岗位抽取6人,从生产岗位抽取13人.
14.解:该武警大队共有30+30+40=100(人),
则甲中队参加考核的人数为×30=9,乙中队参加考核的人数为×30=9,丙中队参加考核的人数为×30=12,
所以参加考核的30人的平均射击环数为×8.8+×8.5+×8.1=8.43,故估计该武警大队队员的平均射击水平为8.43环.
15.C　[解析] ∵360∶280∶200=9∶7∶5,∴甲应付×65=(钱),乙应付×65=(钱),丙应付×65=(钱),C中说法错误.故选C.
16.解:由题意得=x+y=ax+(1-a)y,
∴a=,1-a=.
∵0a,
∴>,∴m>n.9.1.2　分层随机抽样
一、选择题
1.简单随机抽样和分层随机抽样的共同点是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.都是从总体中逐个抽取
B.都包含抽签法和随机数法
C.抽样过程中每个个体被抽到的机会相同
D.都是将总体分成几层,分层进行抽取
2.下列情境中,适合用比例分配的分层随机抽样的方法抽样的是 (　 )
A.某政府机关在编人员共100人,其中副处级以上干部10人,一般干部70人,工人20人,上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见,要从中抽取20人
B.从20台彩色电视机中抽取6台进行质量检验
C.从某生产线生产的1000个零件中抽取10个,对某种指标是否合格进行检验
D.从某校高一年级1班的30名学生中抽取3名参加演讲比赛
3.某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品,产量分别为200件、300件、400件.为检验产品的质量,现按比例分配的分层随机抽样的方法,从以上所有的产品中抽取45件进行检验,则抽取的甲、乙两种型号产品的件数之和为 (　 )
A.30 B.15 C.20 D.25
4.已知某地区中小学生的人数和近视情况如图所示,为了解该地区中小学生的近视形成原因,用比例分配的分层随机抽样的方法抽取4%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 (　 )
A.400,40 B.200,10
C.400,80 D.200,20
5. 高一某班有男生35人、女生15人,用比例分配的分层随机抽样的方法从全班学生中抽取一个样本量为10的样本,抽出的男生的平均体重为70 kg,抽出的女生的平均体重为50 kg,则估计该班学生的平均体重是 (　 )
A.54 kg B.60 kg C.64 kg D.65 kg
6.在100个零件中,有一级品20个、二级品30个、三级品50个,从中抽取20个作为样本.
方法一:采用简单随机抽样的方法,将零件编号为00,01,02,…,99,用抽签法抽取20个.
方法二:采用比例分配的分层随机抽样的方法,从一级品中随机抽取4个,从二级品中随机抽取6个,从三级品中随机抽取10个.
对于上述问题,下列说法正确的是 (　 )
①不论采用哪种抽样方法,这100个零件中每1个零件被抽到的可能性都是;
②采用不同的方法,这100个零件中每1个零件被抽到的可能性各不相同;
③在上述两种抽样方法中,方法二抽到的样本比方法一抽到的样本更能反映总体的特征;
④在上述两种抽样方法中,方法一抽到的样本比方法二抽到的样本更能反映总体的特征.
A.①② B.①③ C.①④ D.②③
7.某高中在校学生有2000人,为了响应“阳光体育运动”的号召,学校开展了跑步和登山比赛活动.每人都参与而且只参与其中一项比赛,各年级参与比赛的人数情况如下表:
高一年级 高二年级 高三年级
跑步 a b c
登山 x y z
其中a∶b∶c=2∶3∶5,全校参与登山的人数占总人数的.为了了解学生对本次活动的满意程度,用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取一个样本量为200的样本进行调查,则从高二年级参与跑步的学生中应抽取 (　 )
A.36人 B.60人 C.24人 D.30人
8.(多选题)[2024·江西上饶高一期末] 某高中在有120名同学的社团中随机抽取30名参加一个交流会.若按社团中高一、高二、高三年级的成员人数采用比例分配的分层随机抽样的方法,则应从高一年级抽取10人;若按性别采用比例分配的分层随机抽样的方法,则应从男生中抽取18人.给出下列说法,其中正确的有 (　 )
A.样本容量为30
B.120名社团成员中的男生有72人
C.高二与高三年级的社团成员共有80人
D.高一年级社团成员中的女生最多有48人
9.(多选题)已知某公司共有员工20 000人,30岁以下的员工有8000人,30岁到50岁的员工有10 000人,为了了解公司员工的身体情况,采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个样本量为2000的样本,得到身体健康状况良好的人数占所在年龄段人数的比例如下:30岁以下的为99%,30岁到50岁的为98%,50岁以上的为96%.下列说法正确的是 (　 )
A.从50岁以上的员工中抽取了200人
B.每名员工被抽到的概率均为
C.估计该公司员工身体健康状况的良好率为97.7%
D.估计该公司员工身体健康状况不良好的人数最多的年龄段是30岁到50岁
二、填空题
10.某校高二年级选择“理化生”“理化地”“史政地”和“史政生”组合的学生人数分别为480,40,120和80,现采用比例分配的分层随机抽样的方法从这些学生中选出72人参加一项活动,则从“史政生”组合中选出的学生人数为　　　　.
11.高一和高二两个年级的同学参加数学竞赛,高一年级有450人,高二年级有350人,采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个样本量为160的样本,得到高一和高二两个年级的平均成绩分别为80分和90分,则从高一、高二两个年级分别抽取的学生人数为　　　　,据此估计此次数学竞赛的平均成绩为　　　　分.
12.某高中针对学生发展要求,开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团,已知报名参加这两个社团的学生共有400人,按照要求每人只能参加一个社团,各年级参加社团的人数情况如下表:
高一年级 高二年级 高三年级
泥塑 a b c
剪纸 x y z
其中x∶y∶z=5∶3∶2,且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的.为了了解学生对两个社团活动的满意程度,从中抽取一个样本量为50的样本进行调查,则应从高二年级“剪纸”社团的学生中抽取　　　　人.
三、解答题
13.某单位有2000名职工,老年人、中年人、青年人分布在管理、技术开发、营销、生产各岗位中的人数情况如下表所示:
管理 技术开发 营销 生产 合计
老年人 40 40 40 80 200
中年人 80 120 160 240 600
青年人 40 160 280 720 1200
合计 160 320 480 1040 2000
(1)若要抽取40人调查身体状况,应怎样抽取
(2)若要开一个有25人参与的讨论单位发展与薪资调整方案的座谈会,应怎样抽取出席人
14.某武警大队共有甲、乙、丙三支中队,人数分别为30,30,40.为了检测该大队的射击水平,从整个大队中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取了30人进行射击考核,统计得到三支中队参加射击比赛的平均环数分别为8.8,8.5,8.1,估计该武警大队队员的平均射击水平.
15.现有如下问题:“今有甲持钱三百六十,乙持钱二百八十,丙持钱二百,凡三人俱出关,关税六十五钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何 ”其译文为:今有甲持360钱,乙持280钱,丙持200钱,甲、乙、丙三人一起出关,关税共65钱,要按照各人带钱多少的比例进行交税,问三人各应付多少税 下列说法错误的是 (　 )
A.甲应付钱
B.乙应付钱
C.丙应付钱
D.三人中甲付的钱最多,丙付的钱最少
16.已知x1,x2,…,xn的平均数为x,y1,y2,…,ym的平均数为y(x≠y).若x1,x2,…,xn,y1,y2,…,ym的平均数为z=ax+(1-a)y,其中0【学习目标】
　　1.通过具体实际问题情境体会分层随机抽样的必要性及特点,了解分层随机抽样的特点和使用范围,掌握各层样本量比例分配的方法.
　　2.经历分层随机抽样的样本平均数的推导过程,会求具体问题的分层随机抽样的样本平均数,并能解释它在实际问题中的意义.
◆ 知识点一　分层随机抽样的概念
1.分层随机抽样
一般地,按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行　　　　　　　,再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为　　　　,这样的抽样方法称为分层随机抽样,每一个子总体称为　　　　.
2.比例分配
在分层随机抽样中,如果每层样本量都与层的大小成　　　　,那么称这种样本量的分配方式为　　　　　.
3.分层随机抽样的优点
(1)在个体之间差异较大的情形下,只要选取的分层变量合适,使得各层间差异明显、层内差异不大,分层随机抽样的组织实施效果一定好于简单随机抽样,也好于其他抽样方法.
(2)分层随机抽样除了能得到总体的估计外,还能得到每层的估计.
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在比例分配的分层随机抽样中,个体数量较少的层抽取的样本数量较少,这是不公平的. (　 )
(2)从全班50名同学中抽取5人调查作业完成情况,适合用比例分配的分层随机抽样. (　 )
(3)某班有男生36人,女生18人,用比例分配的分层随机抽样的方法,从该班全体学生中抽取一个样本量为9的样本,则抽取的女生人数为3. (　 )
(4)采用比例分配的分层随机抽样的方法对甲、乙、丙三种个体进行抽样调查,若甲、乙、丙的个体数之比为3∶1∶2,且抽取的甲的个体数为9,则样本容量为30. (　 )
　　　　　 　　　　　 　　　　　
◆ 知识点二　分层随机抽样的平均数
在分层随机抽样中,如果层数分为2层,第1层和第2层包含的个体数分别为M和N,抽取的样本量分别为m和n.用X1,X2,…,XM表示第1层各个个体的变量值,用x1,x2,…,xm表示第1层样本的各个个体的变量值;用Y1,Y2,…,YN表示第2层各个个体的变量值,用y1,y2,…,yn表示第2层样本的各个个体的变量值.
1.第1层的总体平均数和样本平均数分别为==　　　　,==　　　　.
2.第2层的总体平均数和样本平均数分别为==　　　,==　　　　.
3.总体平均数和样本平均数分别为=,=.
4.由于用第1层的样本平均数可以估计第1层的总体平均数,用第2层的样本平均数可以估计第2层的总体平均数,因此我们可以用=+估计总体平均数.在比例分配的分层随机抽样中,==　　　　,可得+=+=.
【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)在分层随机抽样中,==. (　 )
(2)在比例分配的分层随机抽样中,可以直接用样本平均数估计总体平均数. (　 )
◆ 探究点一　分层随机抽样的概念
例1 (1)为了保证比例分配的分层随机抽样中每个个体等可能地被抽取,必须要求 (　 )
A.每层不等可能抽样
B.每层抽取的个体数相等
C.每层抽取的个体可以不一样多,但必须满足抽取ni=n·(i=1,2,…,k)个个体(其中k是层数,n是抽取的样本量,Ni是第i层中个体的个数,N是总体中个体的个数)
D.只要抽取的样本量一定,每层抽取的个体数没有限制
(2)下列问题中,最适合用比例分配的分层随机抽样的方法抽样的是 (　 )
A.某报告厅有32排座位,每排有40个座位,座位号是1~40,有一次报告会坐满了听众,报告会结束以后为听取意见,要留下32名听众进行座谈
B.从10台冰箱中抽出3台进行质量检查
C.某乡农田有山地8000亩、丘陵12 000亩、平地24 000亩、洼地4000亩,现抽取农田480亩,估计全乡农田平均产量
D.从50个零件中抽取5个进行质量检验
变式 (多选题)下列说法中正确的是 (　 )
A.从10名同学中抽取3人参加座谈会,宜采用简单随机抽样的方法
B.某高速公路有300个太阳能标志灯,其中进口的有30个,联合研制的有75个,国产的有195个,为了掌握每个标志灯的使用情况,要从中抽取一个样本量为20的样本,宜采用比例分配的分层随机抽样的方法
C.某社区有500个家庭,其中高收入的家庭有125个,中等收入的家庭有280个,低收入的家庭有95个,为了了解生活购买力的某项指标,要从中抽取一个样本量为100的样本,宜采用比例分配的分层随机抽样的方法
D.从甲厂生产的100个零件和乙厂生产的200个零件中抽取6个,宜采用简单随机抽样的方法
[素养小结]
用比例分配的分层随机抽样的方法应遵循的原则
(1)将相似的个体归入一类,即为一层,分层要求每层的各个个体互不交叉,即遵循不重复、不遗漏的原则;
(2)为保证每个个体等可能入样,需遵循在各层中进行简单随机抽样,每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比.
◆ 探究点二　分层随机抽样的应用
例2 一个单位有职工500人,其中不到35岁的有125人,35岁至49岁的有280人,50岁及50岁以上的有95人.为了了解这个单位职工与年龄有关的某项指标,要从中抽取100名职工作为样本,应该怎样抽取
变式 (1)某市教育局想了解全市所有学生对某电影的评价,决定从全市所有学校中选取3所学校按学生人数用比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个样本,若3所学校的学生人数之比为2∶3∶4,且从学生人数最少的一个学校抽出120人,则样本量为 (　 )
A.560 B.540
C.450 D.400
(2)从某景区某日的游客中随机抽取100人,对他们的出行方式进行统计,统计结果如下表:
出行方式 高铁 自驾 飞机 其他
人数 27 16 28 29
若采用比例分配的分层随机抽样的方法再从这100人中抽取25人,则应从选择飞机出行的人中抽取　　　　人.
[素养小结]
用比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本的一般步骤:
◆ 探究点三　分层随机抽样中用样本平均数估计总体平均数
例3 某学校高一年级有男生610人,高二年级有男生590人,李梅按照高一、高二年级进行分层,通过分层随机抽样的方法,得到高一年级男生、高二年级男生的平均身高分别为169 cm和171 cm.
(1)如果李梅是按比例分配的方式抽取的样本,总样本量为120,那么在高一、高二年级中分别抽取了多少名男生
(2)在(1)的情况下,请估计高一年级与高二年级全体男生的平均身高(结果保留两位小数).
变式1 (多选题)某校高二年级有男生490人、女生510人,按性别进行分层,通过分层随机抽样的方法,得到男、女生的平均身高分别为170.2 cm和160.8 cm,则下列说法正确的是 (　 )
A.若采用比例分配的分层随机抽样的方法共抽取100人,则可用×170.2+×160.8≈165.4(cm)来估计总体均值
B.若从男、女生中分别抽取30人和70人,则可用×170.2+×160.8≈165.4(cm)来估计总体均值
C.若从男、女生中分别抽取30人和70人,则可用×170.2+×160.8≈163.6(cm)来估计总体均值
D.仅根据男、女生的样本均值,无法计算出总体均值
变式2 在例3中,如果李梅从高一、高二年级男生中抽取的样本量分别为40和80,那么在这种情况下,如何估计高一年级与高二年级全体男生的平均身高
[素养小结]
进行比例分配的分层随机抽样的相关计算时,常用到的三个关系如下:
(1)=;
(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比;
(3)样本的平均数和各层的样本平均数的关系为
=+=+.9.1.2　分层随机抽样
【课前预习】
知识点一
1.简单随机抽样　总样本　层
2.比例　比例分配
诊断分析
(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　[解析] (1)比例分配的分层随机抽样是按比例抽取的,每个个体被抽到的可能性相同,这是公平的.
(2)没有明显的层,不适合用比例分配的分层随机抽样.
(3)抽取的女生人数为18×=3.
(4)依题意,样本容量为=18.
知识点二
1.Xi　xi
2.Yi　yi　4.
诊断分析
(1)×　(2)√　[解析] (1)在比例分配的分层随机抽样中,才有==.
【课中探究】
探究点一
例1　(1)C　(2)C　[解析] (1)易知A,D不正确;对于B,由于每层中的个体数不一定相等,若每层抽取同样多的个体数,则从整个总体来看,各层之间的个体被抽取的可能性就不一样了,故B不正确;对于C,符合比例分配的分层随机抽样的特点,能够保证每个个体等可能地被抽取,故C正确.故选C.
(2)A中的个体没有呈现出较大差异,不适合用比例分配的分层随机抽样的方法;B和D中总体的个体数较小,用简单随机抽样的方法比较方便;C中总体的个体数较大,且各类农田的差别很大,宜采用比例分配的分层随机抽样的方法.
变式　ABC　[解析] A中总体的个体无明显差异且个体数较小,适合用简单随机抽样的方法;B,C,D中总体的个体差异明显,适合用比例分配的分层随机抽样的方法.故A,B,C正确,D错误.故选ABC.
探究点二
例2　解:用比例分配的分层随机抽样的方法来抽取样本,步骤如下:
(1)分层,按年龄将500名职工分成三层:不到35岁的职工;35岁至49岁的职工;50岁及50岁以上的职工.
(2)确定每层抽取个体的个数,抽样比为=,则在不到35岁的职工中抽取125×=25(人);在35岁至49岁的职工中抽取280×=56(人);在50岁及50岁以上的职工中抽取95×=19(人).
(3)在各层中分别按简单随机抽样的方法抽取样本.
(4)汇总每层抽取的样本,组成总体的样本.
变式　(1)B　(2)7　[解析] (1)设样本量为n,依题意得=,解得n=540,即样本量为540.故选B.
(2)由题意,应从选择飞机出行的人中抽取25×=7(人).
探究点三
例3　解:(1)根据题意,在高一年级中抽取了×120=61(名)男生,在高二年级中抽取了×120=59(名)男生.
(2)估计高一年级与高二年级全体男生的平均身高为×169+×171=≈169.98(cm).
变式1　ABD　[解析] 对于A,由题意得样本均值为×170.2+×160.8≈165.4(cm),由此可以估计总体均值约为165.4 cm,故A正确;对于B,C,可用×170.2+×160.8≈165.4(cm)来估计总体均值,故B正确,C错误;对于D,仅根据男、女生的样本均值,可以估计出总体均值,但不能计算出准确的总体均值,故D正确.故选ABD.
变式2　解:因为高一年级和高二年级的男生人数分别是610与590,而抽取的样本量分别为40和80,所以没有按照比例分配的方式进行抽样,不能直接用样本平均数估计总体平均数,需要使用样本平均数以及总体中各层的人数估计总体平均数,可估计高一年级与高二年级全体男生的平均身高为×169+×171=≈169.98(cm).

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