资源简介

2.2.1 有理数的乘法
课程：初中数学
教材：初中数学人教版（2024）七年级上册
章节：2.2.1 有理数的乘法
教材分析
本节课内容为有理数的乘法法则及其运算律，主要包括有理数乘法的符号规则、绝对值运算规则以及乘法交换律、结合律和分配律的推广与应用，并进一步探讨了多个有理数相乘时积的符号确定方法。本节课通过观察数列变化规律、归纳乘法运算规则、验证运算律成立的过程引导学生理解有理数乘法的本质。本节内容是在学生已掌握有理数加法的基础上展开的，是后续学习有理数除法、乘方及实数运算的重要基础。本节课不仅帮助学生完善有理数运算体系，提升运算能力和符号意识，还为后续代数式化简、方程求解等内容的学习提供了支持，同时通过归纳推理过程培养学生的逻辑思维和数学抽象能力。
学情分析
七年级学生已经掌握了正数及0的乘法运算，并具备有理数加法的相关知识，为学习《有理数的乘法法则》奠定了基础，同时，学生具备一定的观察、归纳和逻辑推理能力，能够通过具体算式发现规律，但面对负数参与的乘法运算，尤其是符号的确定，可能会感到困惑，需要通过已有知识进行类比和推理，逐步理解乘法法则的本质，本节课要求学生通过观察、归纳得出有理数乘法的符号规律和绝对值运算规律，进而掌握有理数乘法法则及其运算律，理解多个有理数相乘时积的符号确定方法，通过本节课的学习，学生将进一步提升逻辑思维能力和抽象概括能力，为后续学习有理数的除法、幂运算以及代数运算打下坚实基础。
教学目标
理解有理数乘法法则的形成过程，掌握两数相乘时符号的确定方法及积的绝对值的计算，通过归纳推理提升逻辑思维能力和数学抽象核心素养，发展数感与运算能力。
能运用有理数乘法法则进行计算，理解负数乘负数结果为正的规律，提高数学运算的准确性与规范性，增强对数学规则的理解与应用能力。
理解多个有理数相乘时积的符号由负因数个数决定的规律，能结合具体例子进行分析判断，培养归纳思维与推理能力，提升数学建模与数学语言表达水平。
重点难点
重点：
理解并掌握有理数乘法法则，会运用运算律进行有理数乘法运算。
难点：
理解有理数乘法法则的归纳过程，准确确定多个有理数相乘时积的符号。
课堂导入
同学们，我们都知道在生活中买卖东西经常会涉及到数量和价格的计算。假设小明去商店买笔，每支笔元，他买了支，那一共花费多少钱？很简单，元。这是我们熟悉的正数乘法。但如果商店搞活动，每支笔优惠元，也就是每支笔变成了元，小明还是买支，该怎么计算总花费呢？这里就涉及到有理数的乘法了。数的范围从正数扩大到有理数后，乘法运算该如何进行呢？今天，就让我们一起探索有理数的乘法法则。
有理数的乘法法则
探究新知
（一）知识精讲
首先，我们通过观察一组乘法算式来探索有理数乘法的规律。请看下面两组算式：
第一组：
,
,
,
第二组：
,
,
,
通过观察可以发现，在第一组算式中，随着第二个乘数逐次递减1，积也逐次递减3。为了保持这个规律在负数范围内的一致性，我们可以推导出：
,
,
同样地，在第二组算式中，随着第一个乘数逐次递减1，积也逐次递减3。扩展到负数范围，可以得到：
,
,
从符号和绝对值两个角度分析这些算式，我们可以归纳出：正数乘正数积为正数；正数乘负数积为负数；负数乘正数积也为负数。积的绝对值等于乘数绝对值的乘积。
接下来，我们继续观察另一组算式：
,
,
,
这里出现了一个有趣的规律：随着第二个乘数逐次递减1，积反而逐次增加3。按照这个规律，我们可以推导出：
,
,
由此我们得出一个重要结论：负数乘负数，积为正数，且积的绝对值等于乘数绝对值的乘积。
综合以上发现，我们得到有理数乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负
积的绝对值等于乘数绝对值的乘积
任何数与0相乘都得0
用符号表示就是：
，
特别地，当两个有理数的乘积为1时，我们称这两个数互为倒数。例如和就是一对互为倒数的有理数。
（二）师生互动
教师提问：同学们，根据我们刚才发现的规律，如果计算，结果应该是多少呢？为什么？
学生回答：结果是20。因为根据有理数乘法法则，两个负数相乘得正数，且4×5=20。
教师追问：很好！那如果计算，应该怎么计算呢？结果是多少？
学生思考后回答：可以先计算，再用-6乘以-4得到24。或者先计算3×(-4)=-12，再用-2乘以-12得到24。两种方法结果相同。
教师继续提问：非常棒！那谁能解释一下为什么负数乘以负数会得到正数呢？
学生思考后回答：从我们观察的规律来看，当第一个乘数固定为负数时，随着第二个乘数递减（即向负方向移动），积反而增加，所以负数乘负数得到正数。
（三）设计意图
通过引导学生观察具体的乘法算式，发现其中的变化规律，培养学生的观察能力和归纳推理能力。从特殊到一般的推导过程，帮助学生理解有理数乘法法则的合理性，体现了数学知识的连贯性和一致性。通过师生互动中的层层提问，加深学生对法则的理解，特别是对"负负得正"这一关键点的认识。整个探究过程注重培养学生的逻辑思维能力和数学表达能力，让学生体会数学规律的发现过程，增强学习数学的信心和兴趣。
新知应用
例1题目：
计算：
(1) ;
(2) ;
(3)
解答：
(1)
我们先确定两个数的符号：
一个是正数（8），一个是负数（-1），属于异号相乘，根据有理数乘法法则，异号得负。
再计算它们的绝对值相乘：。
所以结果为负数：
(2)
两个负数相乘： 和 ，属于同号相乘，根据法则，同号得正。
再计算它们的绝对值相乘：
所以结果为正数：
(3)
两个负数相乘： 和 ，属于同号相乘，结果为正数。
再计算它们的绝对值相乘：
所以结果为正数：
总结：
1.题目考查内容
① 有理数乘法法则的应用；
② 正负号的判断与分数乘法的运算。
2.题目求解要点
① 判断两个乘数的符号关系（同号或异号），确定积的符号；
② 计算两个数的绝对值的乘积；
③ 对于分数相乘，注意分子乘分子、分母乘分母，并化简结果。
例2题目：
用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负。登山队攀登一座山峰，每登高1 km气温的变化量为 ℃，登高3 km后，气温有什么变化？
解答：
题目中给出：
每登高1 km，气温下降6 ℃，即变化量为 ℃；
登高了3 km，所以总变化量为：
说明气温下降了18 ℃。
总结：
1.题目考查内容
① 有理数乘法在实际问题中的应用；
② 正负数表示方向或变化趋势（气温下降用负数表示）。
2.题目求解要点
① 理解题意，将“每千米气温下降”转化为负数；
② 进行有理数乘法运算，注意符号的处理；
③ 结果的单位要写清楚（℃），并解释其实际意义。
有理数乘法运算律
探究新知
（一）知识精讲
让我们通过具体计算来探究有理数乘法的运算律。首先计算和，通过计算我们发现：
可以看到，交换乘数的位置，积保持不变。这就是有理数乘法的交换律，用字母表示为：。
接下来我们观察三个数相乘的情况。计算和，结果都是24。这说明在有理数乘法中，三个数相乘时，无论先乘前两个还是先乘后两个，积都不变。这就是乘法结合律，表示为：。
再来看分配律的计算。计算和：
这说明一个数与两个数的和相乘，等于这个数分别与两个数相乘再相加。这就是分配律：。
最后我们研究多个有理数相乘时积的符号规律。观察以下例子：
可以发现：当负乘数的个数为偶数时，积为正；为奇数时，积为负。如果其中有0，则积为0。
（二）师生互动
教师提问：同学们，如果计算，积的符号会是怎样的呢？
学生回答：因为有三个负数相乘，负数的个数是奇数，所以积应该是负数。
教师追问：很好！那如果计算呢？
学生思考后回答：因为有一个乘数是0，所以不管其他数是多少，积都是0。
教师继续提问：那么谁能解释一下为什么负数的个数会影响积的符号呢？
学生讨论后回答：因为每两个负数相乘会得到一个正数，所以当负数个数是偶数时，最终积为正；当负数个数是奇数时，会剩下一个负数与其他正数相乘，所以积为负。
（三）设计意图
通过具体的计算实例和直观的图片展示，帮助学生理解有理数乘法的运算律和符号规律。从特殊到一般，引导学生发现数学规律，培养他们的观察能力和归纳推理能力。通过师生互动，检验学生对知识的理解程度，并引导他们深入思考运算律背后的数学原理。这样的设计既注重知识的传授，又关注学生思维能力的培养，体现了数学学习的探究性和严谨性。
新知应用
例3题目：
(1) 计算 ；
(2) 用两种方法计算
解答：
(1)
我们来逐步计算这个乘法表达式：
根据乘法交换律和结合律，我们可以任意调整乘数的顺序和结合方式。
观察发现：
，这是一个简化点；
所以我们可以先将这两个部分分别计算，再相乘：
(2)
我们来用两种方法计算这个表达式：
解法1：先合并括号内的分数，再乘以12
先通分，找到公分母为12：
所以括号内变为：
再乘以12：
解法2：利用乘法分配律分别乘以12
分别计算每一项：
所以结果为：
总结：
1.题目考查内容
① 有理数乘法的交换律、结合律与分配律的应用；
② 多个有理数相乘时的符号判断与绝对值运算；
③ 分数的加减与乘法运算；
④ 利用不同方法解决同一问题，验证结果的一致性。
2.题目求解要点
① 灵活运用乘法交换律和结合律，简化计算过程；
② 对于多个负数相乘，注意负号个数决定积的符号；
③ 分数加减时要通分，乘法分配律要逐项乘开；
④ 两种解法分别体现“先加后乘”与“先乘后加”的策略，体现运算律的灵活性。
新知巩固
题目：
为了简化计算，算式可以化为（ ）
选项：
A.
B.
C.
D.
解答：
首先，我们来理解题目的意思。题目给出的是一个带分数与整数相乘的表达式：。
第一步：将带分数转化为假分数。
所以原式可以写成：
第二步：利用乘法对加法的分配律进行展开：
第三步：分别计算：
所以整个表达式的结果是：
但题目不是让我们计算结果，而是让我们选择等价的表达式。从上面的推导过程可以看出：
因此，正确答案是：
A.
总结：
1. 题目考查内容：
带分数与整数的乘法运算；
乘法分配律的应用；
有理数乘法中符号的处理；
表达式等价变形的理解。
2. 题目求解要点：
将带负数带分数拆分为整数部分与分数部分的和（或差）；
利用乘法分配律展开运算；
注意负号的处理，尤其是负号在括号外时的分配；
不直接计算数值，而是判断等价表达式。
3. 同类型题目解题步骤：
将带分数转化为整数与分数的和（注意符号）；
利用乘法分配律展开乘法运算；
分别计算每一项；
对比选项，找出与原式等价的表达式；
注意不要遗漏负号，确保每一步的符号处理正确。
板书设计
有理数的乘法
├─乘法法则
│ ├─同号得正
│ │ ├─正数×正数 = 正数
│ │ └─负数×负数 = 正数
│ ├─异号得负
│ │ ├─正数×负数 = 负数
│ │ └─负数×正数 = 负数
│ ├─积的绝对值：等于乘数绝对值的积
│ └─特殊：任何数×0 = 0
├─倒数
│ └─定义：乘积是1的两个数互为倒数
├─运算律
│ ├─交换律：
│ ├─结合律：
│ └─分配律：
└─多个数相乘
├─有乘数为0：积为0
└─不为0的数相乘
│ ├─负乘数个数为偶数：积为正数
│ └─负乘数个数为奇数：积为负数
教学反思
本节课围绕有理数乘法法则的归纳与应用展开，通过观察算式规律引导学生自主探究，逐步归纳出有理数乘法的符号法则和绝对值运算规则，并拓展到多个有理数相乘的情形。教学过程中注重学生思维的引导与逻辑推理能力的培养，学生基本掌握了乘法法则及其运算律的应用。成功之处在于通过层层递进的问题引导学生主动思考，增强了探究意识；不足之处在于部分学生对负负得正的理解仍较表面，需进一步通过具体实例加深认知。今后教学中应加强直观模型辅助理解，并增加变式训练以提升学生的灵活运用能力。

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