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1.3 集合的基本运算
【知识点1】命题 1
【知识点2】量词命题的判断 4
【知识点3】量词命题的真假 6
【知识点4】量词命题的否定 8
【知识点5】由量词命题的真假求参数 10
1.理解全称量词命题与存在量词命题(重点)。
2.掌握量词命题的否定(重难点)。
3.掌握由命题真假求参数(重点)。
【知识点1】命题
1．判断一个语句是否是命题的关键点
(1)陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．
(2)该语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题．
(3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题．
2．判断命题真假的方法
(1)真命题的判定方法：要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证．
(2)假命题的判定方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．
例1：
【例1】（2024秋 巴楚县校级月考）下列语句中，命题的个数是（　　）
①空集是任何集合的真子集
②请起立
③﹣1的绝对值为1
④你是高一的学生吗？
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据命题的概念逐一判断．
【解答】解：对于①，“空集是任何集合的真子集”，是能判断真假的陈述句，是命题；对于②，“请起立”，是祈使句，不是命题；对于③，“﹣1的绝对值为1”，是能判断真假的陈述句，是命题；对于④，“你是高一的学生吗？”，是疑问句，不是命题；
所以，①③是命题，②④不是命题．
故选：C．
【例2】（多选）（2025 泰安校级模拟）下列四个结论中正确的是（　　）
A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
B．若ab≠0且a＜b，则
C．命题“任意x＜1，则x2＜1”的否定是“存在x＜1，则x2≥1”
D．“a＞b”是“a＞b+1”的必要不充分条件
【答案】CD
【分析】依据不等式性质和命题的判断等相关定义即可．
【解答】解：取a＝1，b＝0，c＝﹣1，d＝﹣2，满足a＞b，c＞d，但不满足ac＞bd，故A错误；
取a＝﹣1，b＝1，满足ab≠0且a＜b，但，故B错误；
全称命题的否定：任意改存在，则后改否定，故C正确；
若 a＞b，则a＞b+1不一定成立，例如a＝2，b＝1；
若a＞b+1，则a＞b成立，故D正确．
故选：CD．
【例3】（多选）（2024秋 无锡期末）下列命题是真命题的是（　　）
A． a≥3，a2＝3a﹣2 B． x0∈N，2x0＞0
C． x0∈ RQ， D． x∈N*，
【答案】BD
【分析】A：解方程即可判断；BC：举特例即可判断；D：利用正整数的性质以及分式的性质即可判断．
【解答】解：A：解方程a2＝3a﹣2可得：a＝1或a＝2，故不存在a≥3满足方程，故A错误；
B：当x0＝1时，2＞0，故B正确；
C：当x0＝π时，π2 Q，故C错误；
D：，当x∈N*时，x+1＞1恒成立，则，所以，故D正确．
故选：BD．
【例4】（多选）（2024秋 平果市校级期末）下列命题中的假命题是（　　）
A． x∈R，x2+|x|＞0 B． x∈N*，（x﹣1）2＞0
C． x∈R，x2+x＝1 D． x∈R，
【答案】AB
【分析】结合全称量词及存在量词的命题真假关系检验各选项即可判断．
【解答】解：对于A，x＝0时，x2+|x|＝0，所以A为假命题；
对于B，因为 x＝1∈N*，但（x﹣1）2＝0，所以B是假命题，
对于C，显然对于二次方程x2+x﹣1＝0，Δ＝1+4＞0，所以有实根，故C是真命题；
对于D，当x＝﹣1时，成立，故D为真命题．
故选：AB．
【知识点2】量词命题的判断
全称量词命题及存在量词命题
(1)全称量词命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题，常见的全称量词还有“一切”“每一个”等，相应的词语是“都”．
(2)全称量词命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题，常见的全称量词还有“一切”“每一个”等，相应的词语是“都”．
(3)存在命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题，常见的存在量词还有“存在”等．
例1：
【例5】（2024 黑龙江学业考试）下列命题为全称量词命题的是（　　）
A．存在实数x，使得x2+2＜0
B．有的有理数的立方是无理数
C．有一个实数的绝对值是负数
D．任间三角形的内角和都是180°
【答案】D
【分析】根据全称，特称命题的概念依次判断选项即可．
【解答】解：对选项A，为存在量词命题，A错误；
对选项B，为存在量词命题，B错误；
对选项C，为存在量词命题，C错误；
对选项D，为全称量词命题，D正确．
故选：D．
【例6】（2024秋 五通桥区校级月考）下列四个命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（　　）
A．任一无理数的平方是无理数
B．至少有一个实数x，使x3＞0
C． x∈R，x2+x+1＞0
D． x＜0，使
【答案】C
【分析】根据含有量词的命题的定义进行判断即可．
【解答】解：由全称命题的定义得，A，C为全称命题，
因为（）2＝2为有理数，所以A错误，
因为x2+x+10恒成立，所以正确．
故选：C．
【例7】（2024秋 斗门区月考）下列命题中，存在量词命题的个数是（　　）
①实数的绝对值是非负数；
②正方形的四条边相等；
③存在整数n，使n能被11整除．
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】A
【分析】利用全称量词命题和存在量词命题的定义依次判断即可．
【解答】解：对于①，命题中的“实数”是指所有实数，故该命题是全称量词命题；
对于②，命题中的“正方形”是指所有的正方形，故该命题是全称量词命题；
对于③，命题中的“存在”是存在量词，故该命题是存在量词命题．
所以存在量词命题的个数是1个．
故选：A．
【例8】（2024秋 临潼区期末）下列命题既是存在量词命题，又是真命题的是（　　）
A． x∈R，x2﹣3x+5＞0
B．任意两个无理数之和仍是无理数
C．
D．至少存在两个质数的平方是偶数
【答案】C
【分析】根据全称量词命题、存在量词命题以及真假命题的定义即可求解．
【解答】解：对于A， x∈R，x2﹣3x+5＞0，是全称量词命题；
对于B，任意两个无理数之和仍是无理数，是全称量词命题；
对于C， x∈R，x2﹣3x0，是存在量词命题，且x＝0时，
，是真命题；
对于D，至少存在两个质数的平方是偶数，是存在量词命题，
在所有质数中，只有2的平方是偶数，D是假命题．
故选：C．
【知识点3】量词命题的真假
全称量词命题与存在量词命题的真假
(1)要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立．
(2)要判断全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可．
(3)要判断一个存在量词命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个存在量词命题就是真命题，否则就是假命题．
例1：
【例9】（2025春 秦淮区校级月考）已知p： x∈R，|x+2024|＞0，q： x＜﹣3，（x+3）2＝1，则（　　）
A．p和q都是真命题 B．p和￢q都是真命题
C．￢p和q都是真命题 D．￢p和￢q都是真命题
【答案】C
【分析】利用特殊值法，结合反例，可得答案．
【解答】解：对于p，当x＝﹣2024时，|2024﹣2024|＝0，p是假命题，￢p是真命题．
对于q，由，（x+3）2＝1可得x＝﹣2或x＝﹣4，故q是真命题，￢q是假命题．
故选：C．
【例10】（2024秋 肇东市校级期末）下列命题中为真命题的是（　　）
A．p1： x∈R，x2+1＜0 B．p2： x∈R，x+|x|＞0
C．p3： x∈Z，|x|∈N D．p4： x∈R，x2﹣7x+15＝0
【答案】C
【分析】对A：由x2+1≥1＞0判断命题为假；对B：当x＝0时命题不成立；对C：由Z及N关系判断命题为真；对D：由Δ＝72﹣4×15＜0判断命题为假．
【解答】解： x∈R，x2+1≥1＞0，故p1是假命题；
当x＝0时，x+|x|＝0，故p2是假命题；
x∈Z，|x|∈N，故p3是真命题；
方程x2﹣7x+15＝0中Δ＝72﹣4×15＜0，此方程无解，故p4是假命题．
故选：C．
【例11】（2024秋 湖北期中）下列含有量词的命题中为真命题的是（　　）
A．任意实数的平方都大于0
B． m∈N，
C．存在整数x，y，使得2x+4y＝3
D． a∈R，一元二次方程x2﹣ax+1＝0有实根
【答案】B
【分析】AB选项可举出反例；C选项，x，y均为整数，则x+2y为整数，故不存在整数x，y，使得2x+4y＝3，C错误；D选项，由根的判别式进行判断．
【解答】解：0的平方等于0，A错误；
当m＝0时，，满足要求，B正确；
，
x，y均为整数，则x+2y为整数，故不存在整数x，y，使得2x+4y＝3，C错误；
当﹣2＜a＜2时，Δ＝（﹣a）2﹣4＝a2﹣4＜0，
此时一元二次方程x2﹣ax+1＝0无实根，D错误．
故选：B．
【例12】（多选）（2024秋 仁寿县校级期末）下列四个命题中是真命题的是（　　）
A．一切实数均有相反数
B． x∈N，使得方程ax+1＝0无实数根
C．梯形的对角线相等
D．有些三角形不是等腰三角形
【答案】ABD
【分析】根据全称量词、存在量词命题真假判断方法可逐一判断．
【解答】解：对于A，一切实数均有相反数，故A正确；
对于B，当x＝0时，方程ax+1＝0无实数根，故B正确；
对于C，只有等腰梯形的对角线相等，故C错误；
对于D，至少有两条边相等的三角形才是等腰三角形，故D正确．
故选：ABD．
【知识点4】量词命题的否定
量词命题的否定
(1)全称量词命题“ ”的否定是存在量词命题：．
(2)存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题：．
(3)一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假．
例1：
【例13】（2025 云南模拟）命题“ x∈R，x2+x﹣5≥0”的否定是（　　）
A． x∈R，x2+x﹣5＜0
B． x0∈R，
C． x R，x2+x﹣5＜0
D． x0 R，
【答案】B
【分析】根据题意，由全称命题的否定是特称命题即可得到结果．
【解答】解：由命题否定的定义可知，命题“ x∈R，x2+x﹣5≥0”的否定是“ x0∈R，”．
故选：B．
【例14】（2025春 昆明校级期中）已知命题p： x＞0，，则命题￢p为（　　）
A． x＞0， B． x≤0，
C． x＞0， D． x≤0，
【答案】A
【分析】由特称命题的否定定义可得答案．
【解答】解：由命题否定的定义可知， x＞0，的否定是 x＞0，．
故选：A．
【例15】（多选）（2024秋 莆田校级期末）下列叙述正确的是（　　）
A． x∈R，x2﹣2x﹣3＞0
B．命题“ x∈R，1＜y≤2”的否定是“ x∈R，y≤1或y＞2”
C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要不充分条件
D．命题“ x∈R，x2＞0”的否定是真命题
【答案】ABD
【分析】利用特殊值判断A，根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断B，根据充分条件、必要条件的定义判断C，写出命题的否定，即可判断D．
【解答】解：对于A：当x＝10时，A显然正确；
对于B：命题“ x∈R，1＜y≤2”的否定是“ x∈R，y≤1或y＞2”，故B正确；
对于C：由x≥2且y≥2，可以推得出x2+y2≥4，故“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分条件，故C错误；
对于D：命题“ x∈R，x2＞0”的否定为： x∈R，x2≤0，显然02＝0，所以命题 x∈R，x2≤0为真命题，故D正确．
故选：ABD．
【例16】（2024秋 东莞市期末）命题p： x∈[﹣1，1]，x2﹣1＜0的否定是　　　　．
【答案】 x∈[﹣1，1]，x2﹣1≥0．
【分析】根据全称量词命题的否定即可求解．
【解答】解：因为命题p： x∈[﹣1，1]，x2﹣1＜0，
所以由全称量词命题的否定的知识知，
命题P的否定为： x∈[﹣1，1]，x2﹣1≥0．
故答案为： x∈[﹣1，1]，x2﹣1≥0．
【知识点5】由量词命题的真假求参数
量词命题的否定
(1)全称量词命题“ ”的否定是存在量词命题：．
(2)存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题：．
(3)一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假．
例1：
【例17】（2025春 湖北月考）若命题“ x∈[0，2]，x2≥m”是真命题，则（　　）
A．m≤0 B．m≤4 C．m＞0 D．m＞4
【答案】B
【分析】根据命题为真命题得出m≤（x2）max即可求解．
【解答】解：命题“ x∈[0，2]，x2≥m”是真命题，
故x∈[0，2]时，m≤[x2]max＝4．
故选：B．
【例18】（2024秋 鄄城县校级月考）若命题“ x∈R，使得ax+2＝0”的否定是真命题，则实数a的取值范围为（　　）
A．{a|a＞0} B．{a|a＞2} C．{0} D．{a|a＝0或a＞2}
【答案】C
【分析】先得到特称命题的否定，再根据一元一次方程的解的性质得到结果．
【解答】解：若命题“ x∈R，使得ax+2＝0”的否定是真命题，
而命题“ x∈R，使得ax+2＝0”的否定是“ x∈R，ax+2≠0”，
则a＝0．
故选：C．
【例19】（2025 安源区模拟）命题“ x0∈R，使（m+3）x0+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围为（　　）
A．m＜0 B．m＜﹣1 C．m＞3 D．m≥3
【答案】C
【分析】根据题意可写出原命题的否定，再根据全称量词命题与恒成立问题的关系可解．
【解答】解：命题“ x0∈R，使（m+3）x0+m≤0”是假命题，
则命题的否定为 x∈R，使（m+3）x0+m＞0为真命题，
当m＝0时，不满足题意，
当m≠0时，则，则m＞3．
故选：C．
【例20】（2025 西安校级学业考试）若命题：“ x∈R，4x2﹣2x+m＝0”为假命题，则实数m的取值范围为　　　　．
【答案】．
【分析】由条件可得 x∈R，4x2﹣2x+m≠0，列不等式求m的取值范围．
【解答】解：由题可得：“ x∈R，4x2﹣2x+m≠0”为真命题，
即方程4x2﹣2x+m≠0没有实数根，
所以4﹣16m＜0，故．
故答案为：．
第1页 共1页1.3 集合的基本运算
【知识点1】命题 1
【知识点2】量词命题的判断 3
【知识点3】量词命题的真假 4
【知识点4】量词命题的否定 5
【知识点5】由量词命题的真假求参数 6
1.理解全称量词命题与存在量词命题(重点)。
2.掌握量词命题的否定(重难点)。
3.掌握由命题真假求参数(重点)。
【知识点1】命题
1．判断一个语句是否是命题的关键点
(1)陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．
(2)该语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题．
(3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题．
2．判断命题真假的方法
(1)真命题的判定方法：要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证．
(2)假命题的判定方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．
例1：
【例1】（2024秋 巴楚县校级月考）下列语句中，命题的个数是（　　）
①空集是任何集合的真子集
②请起立
③﹣1的绝对值为1
④你是高一的学生吗？
A．0 B．1 C．2 D．3
【例2】（多选）（2025 泰安校级模拟）下列四个结论中正确的是（　　）
A．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
B．若ab≠0且a＜b，则
C．命题“任意x＜1，则x2＜1”的否定是“存在x＜1，则x2≥1”
D．“a＞b”是“a＞b+1”的必要不充分条件
【例3】（多选）（2024秋 无锡期末）下列命题是真命题的是（　　）
A． a≥3，a2＝3a﹣2 B． x0∈N，2x0＞0
C． x0∈ RQ， D． x∈N*，
【例4】（多选）（2024秋 平果市校级期末）下列命题中的假命题是（　　）
A． x∈R，x2+|x|＞0 B． x∈N*，（x﹣1）2＞0
C． x∈R，x2+x＝1 D． x∈R，
【知识点2】量词命题的判断
全称量词命题及存在量词命题
(1)全称量词命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题，常见的全称量词还有“一切”“每一个”等，相应的词语是“都”．
(2)全称量词命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题，常见的全称量词还有“一切”“每一个”等，相应的词语是“都”．
(3)存在命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题，常见的存在量词还有“存在”等．
例1：
【例5】（2024 黑龙江学业考试）下列命题为全称量词命题的是（　　）
A．存在实数x，使得x2+2＜0
B．有的有理数的立方是无理数
C．有一个实数的绝对值是负数
D．任间三角形的内角和都是180°
【例6】（2024秋 五通桥区校级月考）下列四个命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（　　）
A．任一无理数的平方是无理数
B．至少有一个实数x，使x3＞0
C． x∈R，x2+x+1＞0
D． x＜0，使
【例7】（2024秋 斗门区月考）下列命题中，存在量词命题的个数是（　　）
①实数的绝对值是非负数；
②正方形的四条边相等；
③存在整数n，使n能被11整除．
A．1 B．2 C．3 D．0
【例8】（2024秋 临潼区期末）下列命题既是存在量词命题，又是真命题的是（　　）
A． x∈R，x2﹣3x+5＞0
B．任意两个无理数之和仍是无理数
C．
D．至少存在两个质数的平方是偶数
【知识点3】量词命题的真假
全称量词命题与存在量词命题的真假
(1)要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立．
(2)要判断全称量词命题是假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可．
(3)要判断一个存在量词命题的真假，依据：只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立，则这个存在量词命题就是真命题，否则就是假命题．
例1：
【例9】（2025春 秦淮区校级月考）已知p： x∈R，|x+2024|＞0，q： x＜﹣3，（x+3）2＝1，则（　　）
A．p和q都是真命题 B．p和￢q都是真命题
C．￢p和q都是真命题 D．￢p和￢q都是真命题
【例10】（2024秋 肇东市校级期末）下列命题中为真命题的是（　　）
A．p1： x∈R，x2+1＜0 B．p2： x∈R，x+|x|＞0
C．p3： x∈Z，|x|∈N D．p4： x∈R，x2﹣7x+15＝0
【例11】（2024秋 湖北期中）下列含有量词的命题中为真命题的是（　　）
A．任意实数的平方都大于0
B． m∈N，
C．存在整数x，y，使得2x+4y＝3
D． a∈R，一元二次方程x2﹣ax+1＝0有实根
【例12】（多选）（2024秋 仁寿县校级期末）下列四个命题中是真命题的是（　　）
A．一切实数均有相反数
B． x∈N，使得方程ax+1＝0无实数根
C．梯形的对角线相等
D．有些三角形不是等腰三角形
【知识点4】量词命题的否定
量词命题的否定
(1)全称量词命题“ ”的否定是存在量词命题：．
(2)存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题：．
(3)一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假．
例1：
【例13】（2025 云南模拟）命题“ x∈R，x2+x﹣5≥0”的否定是（　　）
A． x∈R，x2+x﹣5＜0
B． x0∈R，
C． x R，x2+x﹣5＜0
D． x0 R，
【例14】（2025春 昆明校级期中）已知命题p： x＞0，，则命题￢p为（　　）
A． x＞0， B． x≤0，
C． x＞0， D． x≤0，
【例15】（多选）（2024秋 莆田校级期末）下列叙述正确的是（　　）
A． x∈R，x2﹣2x﹣3＞0
B．命题“ x∈R，1＜y≤2”的否定是“ x∈R，y≤1或y＞2”
C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的必要不充分条件
D．命题“ x∈R，x2＞0”的否定是真命题
【例16】（2024秋 东莞市期末）命题p： x∈[﹣1，1]，x2﹣1＜0的否定是　　　　．
【知识点5】由量词命题的真假求参数
量词命题的否定
(1)全称量词命题“ ”的否定是存在量词命题：．
(2)存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题：．
(3)一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假．
例1：
【例17】（2025春 湖北月考）若命题“ x∈[0，2]，x2≥m”是真命题，则（　　）
A．m≤0 B．m≤4 C．m＞0 D．m＞4
【例18】（2024秋 鄄城县校级月考）若命题“ x∈R，使得ax+2＝0”的否定是真命题，则实数a的取值范围为（　　）
A．{a|a＞0} B．{a|a＞2} C．{0} D．{a|a＝0或a＞2}
【例19】（2025 安源区模拟）命题“ x0∈R，使（m+3）x0+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围为（　　）
A．m＜0 B．m＜﹣1 C．m＞3 D．m≥3
【例20】（2025 西安校级学业考试）若命题：“ x∈R，4x2﹣2x+m＝0”为假命题，则实数m的取值范围为　　　　．
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