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3.2 函数的单调性与最值
【知识点1】单调性的概念 1
【知识点2】函数的单调区间 4
【知识点3】由单调性求参数 7
【知识点4】由单调性求解不等式 10
【知识点5】复合函数的单调性 13
【知识点6】单调性的证明 16
【知识点7】函数的最值 19
1.知道函数单调性的概念(重点)。
2.掌握函数单调的求解与证明(重难点)。
3.掌握复合函数的单调性(重点)。
【知识点1】单调性的概念
函数的单调性
(1)在上是增函数任取，，．
(2)在上是增函数任取，．
(3)在上是增函数任取，．
(4)在上是减函数任取，，．
(5)在上是减函数任取，．
(6)在上是减函数任取，．
【例1】（2025春 青山湖区校级期中）下列函数中，在（0，1）为减函数的是（　　）
A．y＝x﹣1 B． C．y＝x2 D．y＝x3
【答案】A
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝x﹣1，是反比例函数，在（0，1）为减函数，符合题意；
对于B，y，是幂函数，在（0，1）为增函数，不符合题意；
对于C，y＝x2，是二次函数，在（0，1）为增函数，不符合题意；
对于D，y＝x3，是幂函数，在（0，1）为增函数，不符合题意．
故选：A．
【例2】（2024秋 海淀区校级期末）设函数y＝f（x）的定义域为D，开区间I D，则“ x1∈I， x2∈I且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）”是“y＝f（x）在I上是增函数”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合增函数的定义判断得解．
【解答】解：根据题意，对于必要性，
若函数y＝f（x）在I上是增函数，则 x1∈I， x2∈I且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），必要性成立；
反之，取函数，
在区间I＝（﹣1，1），
显然 x1∈I， x2∈I且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），而函数f（x）在I上不单调，充分性不成立，
所以“ x1∈I， x2∈I且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）”是“y＝f（x）在I上是增函数”的必要不充分条件．
故选：B．
【例3】（多选）（2024秋 牡丹江期末）函数y＝f（x）在（0，+∞）是减函数，且0＜x1＜x2，则下列选项正确的是（　　）
A．f（x1）＞f（x2）
B．f（x1）﹣f（x2）＞0
C．（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0
D．
【答案】ABC
【分析】根据函数单调性及0＜x1＜x2，得到f（x1）＞f（x2），进而判断出A、B、C正确，D错误，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A、B选项，y＝f（x）在（0，+∞）是减函数，且0＜x1＜x2，故f（x1）＞f（x2），f（x1）﹣f（x2）＞0，AB正确；
对于C、D选项，因为x1﹣x2＜0，f（x1）﹣f（x2）＞0，所以（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0，，C正确，D错误．
故选：ABC．
【例4】（多选）（2024秋 吉林校级期末）下列说法中，正确的有（　　）
A．若任意x1、x2∈I，当x1＜x2时，，则y＝f（x）在I上是增函数
B．函数y＝x2在R上是增函数
C．函数在定义域上是减函数
D．函数的单调区间是（﹣∞，0）∪（0，+∞）
【答案】AC
【分析】根据题意，由函数单调性的定义依次分析选项，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，对任意x1、x2∈I，当x1＜x2时，，则f（x1）＜f（x2），
所以，函数y＝f（x）在I上是增函数，A正确；
对于B，二次函数y＝x2是二次函数，在R上不单调，B错误；
对于C，函数，其图象如下图所示：
由图象可知，函数在定义域上是减函数，C正确；
对于D，函数的单调递减区间为（﹣∞，0）和（0，+∞），但该函数在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上不单调，D错误．
故选：AC．
【知识点2】函数的单调区间
1．函数单调性的判断方法
(1)定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
(2)图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
(3)图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
2．函数单调性的常用结论
(1)若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数．
(2)若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数．
(3)若且为增函数，则函数为增函数，为减函数．
(4)若且为减函数，则函数为减函数，为增函数
例1：
【例5】（2025 深圳校级开学）下列函数中在区间（1，+∞）单调递增的是（　　）
A．y＝（x﹣2）2 B． C． D．y＝|x+4|
【答案】D
【分析】利用函数的单调性逐一判断即可．
【解答】解：对于选项A：根据二次函数的性质可得，y＝（x﹣2）2在（﹣∞，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，故选项A错误；
对于选项B：在区间[1，+∞）上单调递减，故选项B错误；
对于选项C：在（﹣∞，3）上单调递增，在（3，+∞）上单调递增，故C错误；
对于选项D：y＝|x+4|在（﹣∞，﹣4）上单调递减，在（﹣4，+∞）上单调递增，故选项D正确．
故选：D．
【例6】（2025春 淇滨区校级月考）给出下列命题，其中是正确命题的是（　　）
A．两个函数，表示的是同一函数
B．函数的单调递减区间是（﹣∞，0）∪（0，+∞）
C．若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，1]
D．命题“ x∈[0，+∞），x2+1＞0”的否定是“ x∈（﹣∞，0），x2+1≤0”
【答案】C
【分析】对于A，结合同一函数的定义，即可求解；对于B，结合幂函数的单调性，即可求解；对于C，结合抽象函数定义域的求法，即可求解；对于D，结合命题否定的定义，即可求解．
【解答】解：函数f（x）的定义域为{x|x≥1}，g（x）的定义域为{x|x≥1或x≤﹣1}，二者不为同一函数，故A错误；
函数的单调递减区间是（﹣∞，0），（0，+∞），故B错误；
函数f（x）的定义域为[0，2]，令0≤2x≤2，解得0≤x≤1，故函数f（2x）的定义域为[0，1]，故C正确；
命题“ x∈[0，+∞），x2+1＞0”的否定是“ x∈[0，+∞），x2+1≤0”，故D错误．
故选：C．
【例7】（多选）（2024秋 重庆期中）下列说法正确的是（　　）
A．若a＞b，则
B．函数与函数是相同函数
C．函数的单调减区间是（﹣∞，0）∪（0，+∞）
D．若x+y＝4，则x2+y2的最小值是8
【答案】BD
【分析】举反例说明选项A错误；
求两个函数的定义域，判断选项B正确；
辨析函数单调区间的写法说明选项C错误；
利用基本不等式求x2+y2的最小值，判断选项D正确．
【解答】解：对于A，令a＝﹣2，b＝﹣3，则满足a＞b，但不满足，选项A错误；
对于B，由1﹣x2≥0，解得﹣1≤x≤1，f（x）的定义域为[﹣1，1]，
由，解得﹣1≤x≤1，g（x） 的定义域为[﹣1，1]，两函数的定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，选项B正确；
对于C，函数的单调减区间是（﹣∞，0），（0，+∞），两个单调区间不能用“∪”连接，选项C错误；
对于D，由x+y＝4，得（x+y）2＝16，所以x2+y2+2xy＝16，所以2xy＝16﹣（x2+y2），
又因为x2+y2≥2xy（当且仅当x＝y时取“＝”），
所以2xy＝16﹣（x2+y2）≤x2+y2，所以x2+y2≥8（当且仅当x＝y＝2时取“＝”），选项D正确．
故选：BD．
【例8】（2024秋 忻城县校级期中）函数y＝|x﹣1|的单调递减区间是　　　　．
【答案】（﹣∞，1）．
【分析】绝对值函数转化为分段函数即可求得递减区间．
【解答】解：，
当x＜1时，y＝1﹣x单调递减，当x≥1时，y＝x﹣1单调递增，
所以函数y＝|x﹣1|的单调递减区间是（﹣∞，1）．
故答案为：（﹣∞，1）．
【知识点3】由单调性求参数
由单调性求参数
(1)解答分类问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及讨论对象的范围；其次要确定分类标准，即标准统一、不重不漏；再对所分类逐步进行讨论，分级进行；最后进行归纳小结，综合得出结论．
(2)分离参数法，即把分离出来放到不等式的左边，不等式的右边是关于的函数，然后转化成求函数的最值问题
例1：
【例9】（多选）（2024秋 银海区校级月考）下列判断不正确的是（　　）
A．若f（﹣2）＞f（2），则函数f（x）是R上的减函数
B．函数在定义域内是减函数
C．函数f（x），对任意x1，x2∈R，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]≥0成立
D．已知在（﹣∞，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（﹣∞，2]
【答案】ABD
【分析】由已知根据单调性的定义判断各选项即可．
【解答】解：f（x）＝（x﹣1）2，满足f（﹣2）＞f（2），但它在R上不是减函数，A错；
在定义域内不是减函数，例如f（﹣2），f（1）＝1，B错；
C中函数x≥0时f（x）＝（x+1）2≥1是增函数，x＜0时，f（x）＝1是常数函数，
因此f（x）定义域内不递减，即x1≤x2时，一定有f（x1）≤f（x2），
所以（x1﹣x2）[（f（x1）﹣f（x2）]≤0恒成立，x1＞x2时，也一样，C正确；
D中函数在R上是增函数，则，解得﹣3≤a≤﹣2，D错．
故选：ABD．
【例10】（2025 深圳校级开学）若二次函数f（x）＝x2﹣（a﹣1）x+5在区间上递减，则f（a）的取值范围是　　　　．
【答案】[8，+∞）．
【分析】由题意结合二次函数的性质得到关于a的不等式，确定实数a的取值范围，然后求得f（a）的解析式即可确定其取值范围．
【解答】解：因为f（x）＝x2﹣（a﹣1）x+5的开口向上，对称轴为x，
又因为函数在区间上单调递减，所以，解得a≥3，
又因为f（a）＝a2﹣（a﹣1）a+5＝a+5，
由一次函数的性质可知f（a）≥3+5＝8，
即f（a）的取值范围是[8，+∞）．
故答案为[8，+∞）．
【例11】（2025 岳阳校级开学）已知函数在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是　　　　．
【答案】．
【分析】为使函数在R上单调递增，则函数分别在（﹣∞，a]，（a，+∞）上递增，且满足在x＝a函数值的大小比较即可求解．
【解答】解：由函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，
可得：，即，
解得：，
所以实数a的取值范围是．
故答案为：．
【例12】（2025春 黑龙江月考）已知函数f（x）＝﹣2x2+ax+1，设p：f（x）在（﹣∞，1]上单调递增，在[2，+∞）上单调递减；q：m﹣3≤a≤2m．
（1）若p成立，求a的取值范围；
（2）若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围．
【答案】（1）[4，8]；
（2）[4，7]．
【分析】（1）根据二次函数的性质得到，解得即可；
（2）依题意可得[4，8]真包含于[m﹣3，2m]，即可得到不等式组，解得即可．
【解答】解：（1）函数f（x）＝﹣2x2+ax+1的图象开口向下，对称轴为，
若p成立，则，解得4≤a≤8，
即a的取值范围为[4，8]；
（2）因为p：4≤a≤8，q：m﹣3≤a≤2m，
又p是q的充分不必要条件，所以[4，8] [m﹣3，2m]，
所以（等号不同时成立），解得4≤m≤7，
经检验，当m＝4或m＝7时，符合题意，
所以m的取值范围为[4，7]．
【知识点4】由单调性求解不等式
由单调性求解不等式
(1)求字母取值范围的题目，最终一定要变形成的形式．
(2)再依据的单调性把符号脱掉得到关于字母的不等式再求解．
例1：
【例13】（2025 河南模拟）已知定义在R上的函数f（x）的图象是一条连续不断的曲线，且f（x）满足f（x）＝f（4﹣x），f（x）在区间（﹣∞，2）上单调递减，f（4）+f（0）＝0，则关于x的不等式的解集为（　　）
A．（0，2） B．（0，2）∪（2，4）
C．（2，4） D．（0，2）∪（4，+∞）
【答案】D
【分析】根据已知可确定函数的对称性，由f（4）+f（0）＝0可得f（4）＝f（0）＝0，再结合函数的单调性与对称性可得函数的大致图象，从而得不等式解集．
【解答】解：根据题意，定义在R上的函数f（x）的图象是一条连续不断的曲线，且f（x）满足f（x）＝f（4﹣x），
则f（x）的图象关于直线x＝2对称，
则有f（0）＝f（4），而f（4）+f（0）＝0，则有f（4）＝f（0）＝0，
由f（x）在（﹣∞，2）上单调递减，可知f（x）在（2，+∞）上单调递增，
画出f（x）的大致图象如下所示，
结合图象及可得或，
解得0＜x＜2或x＞4，
不等式的解集为（0，2）∪（4，+∞）．
故选：D．
【例14】（2025 河南模拟）已知定义在R上的函数f（x）的图象是一条连续不断的曲线，且f（x）满足f（x）＝f（4﹣x），f（x）在区间（﹣∞，2）上单调递减，f（4）+f（0）＝0，则关于x的不等式的解集为（　　）
A．（0，2） B．（0，2）∪（2，4）
C．（2，4） D．（0，2）∪（4，+∞）
【答案】D
【分析】根据已知可确定函数的对称性，由f（4）+f（0）＝0可得f（4）＝f（0）＝0，再结合函数的单调性与对称性可得函数的大致图象，从而得不等式解集．
【解答】解：根据题意，定义在R上的函数f（x）的图象是一条连续不断的曲线，且f（x）满足f（x）＝f（4﹣x），
则f（x）的图象关于直线x＝2对称，
则有f（0）＝f（4），而f（4）+f（0）＝0，则有f（4）＝f（0）＝0，
由f（x）在（﹣∞，2）上单调递减，可知f（x）在（2，+∞）上单调递增，
画出f（x）的大致图象如下所示，
结合图象及可得或，解得0＜x＜2或x＞4，
不等式的解集为（0，2）∪（4，+∞）．
故选：D．
【例15】（多选）（2025 山西模拟）已知f（x）是定义在R上的非常值函数，当x＞2时，0＜f（x）＜1，对任意的x，y∈R，都有f（x）f（y）＝f（x+y﹣2），若f（0）＝2，则（　　）
A．f（2）＝0
B．
C．f（x）在R上单调递减
D．不等式的解集为（﹣∞，﹣5）∪（2，+∞）
【答案】BC
【分析】利用赋值法求解判断AB；根据单调性的定义判断C；根据函数的单调性解不等式判断D
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，对任意的x，y∈R，都有f（x）f（y）＝f（x+y﹣2），令y＝2，有f（x）f（2）＝f（x），而f（x）是非常值函数，则有f（2）＝1，故A错误；
对于B，令y＝4﹣x，有x+y﹣2＝2，则有f（4﹣x）f（x）＝f（2）＝1，令x＝0，则有f（4）f（0）＝1，变形可得f（4），故B正确；
对于C，由B的结论，f（4﹣x）f（x）＝1，当x＜2时，4﹣x＞2，则有0＜f（4﹣x）＜1，同理，当x＜2，，故对任意x∈R，f（x）＞0恒成立，任取x1＞x2，则，即f（x1）＜f（x2），故f（x）在R上单调递减，故C正确；
对于D，令x＝y＝0，得f（﹣2）＝f（0）f（0）＝4，令x＝﹣2，y＝0，得f（﹣4）＝f（﹣2）f（0）＝8，再由f（4﹣x）f（x）＝1可知，又由f（x）在R上单调递减，则不等式等价于x2+3x+4＞8，解得x＜﹣4或x＞1，即不等式的解集为（﹣∞，﹣5）∪（2，+∞），故D错误．
故选：BC．
【例16】（2024秋 北京校级期末）已知函数，若f（t2）﹣f（t+1）＜0，则实数t的取值范围　　　　．
【答案】{t|或}．
【分析】根据题意，分析函数f（x）的单调性，再利用单调性解不等式，即可得答案．
【解答】解：，有，解得x＞0，
即函数的定义域为（0，+∞），
又由在（0，+∞）上都递增，
因此函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
则有f（t2）﹣f（t+1）＜0 f（t2）＜f（t+1） 0＜t2＜t+1，
解得或，
所以实数t的取值范围是{t|或}．
故答案为：{t|或}．
【知识点5】复合函数的单调性
1．复合函数的单调性
(1)若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数．
(2)若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．
(3)复合函数单调性可简记为“同增异减”．
2．复合函数单调性的求解
(1)先求函数的定义域．
(2)再将复合函数分解为内、外层函数．
(3)利用已知函数的单调性解决．
(4)内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数．
例1：
【例17】（2024秋 苏州期末）函数的单调递减区间为（　　）
A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，0] C．[0，+∞） D．[1，+∞）
【答案】A
【分析】利用复合函数的单调性可求得函数f（x）的减区间．
【解答】解：对于，根据x2﹣1≥0，可得x≤﹣1或x≥1，
因此的定义域为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），
由于内层函数u＝x2﹣1在[1，+∞）上为增函数，在（﹣∞，﹣1]上为减函数，
外层函数在[0，+∞）上为增函数，
由复合函数的单调性可知，函数的减区间为（﹣∞，﹣1]．
故选：A．
【例18】（2024秋 兴庆区校级期中）函数的单调增区间为（　　）
A． B．
C．和（4，+∞） D．
【答案】C
【分析】令t＝﹣x2+3x+4，根据二次函数的性质求出t的单调区间，再由复合函数的单调性即可得函数的单调增区间．
【解答】解：设t＝﹣x2+3x+4，则有x≠﹣1且x≠4；t∈（﹣∞，0）∪（0，]，
所以函数的定义域为：{x|x≠﹣1且x≠4}，
由二次函数的性质可知t的单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（﹣1，]；单调递减区间为：[，4），（4，+∞）；
又因为y在t∈（﹣∞，0）和（0，]上单调递减，
由复合函数的单调性知：的单调增区间为：[，4）和（4，+∞）．
故选：C．
【例19】（2024秋 福建期中）函数的单调减区间为　　　　．
【答案】（﹣∞，﹣5]．
【分析】令t＝x2+4x﹣5，求得t≥0时的单调递减区间，又y为增函数，利用复合函数的单调性可求得答案．
【解答】解：由x2+4x﹣5≥0，得x≤﹣5或x≥1，
∵y为增函数，t＝x2+4x﹣5在区间（﹣∞，﹣5]上是减函数，
∴由复合函数的单调性得：函数的单调减区间为（﹣∞，﹣5]，
故答案为：（﹣∞，﹣5]．
【例20】（2025春 上海校级期中）已知函数，若f（x）在区间（0，1]上是严格减函数，则实数a的取值范围是　　　　．
【答案】（1，3]
【分析】分a＞1和0＜a＜1两种情况，结合一次函数的单调性进行分类讨论，即可得解．
【解答】解：当a＞1时，因为f（x）在区间（0，1]上是严格减函数，
所以3﹣ax≥0在区间（0，1]上恒成立，即a，
当x＝1时，y取得最大值，为3，所以1＜a≤3；
当0＜a＜1时，a﹣1＜0，
因为y＝3﹣ax在定义域内单调递减，所以f（x）在区间（0，1]上是严格增函数，与题意不符，舍去，
综上，实数a的取值范围是1＜a≤3，即（1，3]．
故答案为：（1，3]．
【知识点6】单调性的证明
函数单调性的证明步骤
(1)取值：设是定义域内一个区间上的任意两个量，且．
(2)变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形．
(3)定号：判断差的正负或商与1的大小关系．
(4)得出结论．
例1：
【例21】（2024秋 西宁期末）已知函数，满足f（﹣2）＝0．
（1）求实数a的值；
（2）试判断此函数f（x）在（0，+∞）上的单调性并利用定义给予证明．
【答案】（1）2；（2）f（x）在（0，+∞）上单调递减；证明过程见详解．
【分析】（1）根据f（﹣2）＝0求解即可．
（2）判断单调性；根据单调性的定义证明即可．
【解答】解：（1）因为f（﹣2）＝0，所以，解得a＝2．
（2）f（x）在（0，+∞）上单调递减．
证明：由第一问知f（x），
取 x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
f（x1）﹣f（x2）1﹣（1），
∵x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
∴x1x2＞0，x2﹣x1＜0，即0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递减．
【例22】（2024秋 绍兴期末）已知函数．
（1）求f（x）的定义域；
（2）证明：f（x）在（1，+∞）上单调递减．
【答案】（1）{x|x≠±1}，
（2）证明见解析．
【分析】（1）根据题意，由函数的解析式可得x2﹣1≠0，解可得答案；
（2）根据题意，利用作差法分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，函数，有x2﹣1≠0，解可得x≠±1，
即函数的定义域{x|x≠±1}，
（2）证明：根据题意，设 x1、x2∈（1，+∞），且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2），
又由x1、x2∈（1，+∞），且x1＜x2，
则1＞0，0，x1x2+1＞0，x2﹣x1＞0，故f（x1）﹣f（x2）＞0，
则f（x）在（1，+∞）上单调递减．
【例23】（2024秋 龙岩期末）已知函数．
（1）用定义法证明函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增；
（2）对任意的x∈[1，5]都有成立，求实数t的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）（﹣∞，0]∪[2，+∞）
【分析】（1）利用单调性的定义按照步骤证明即可；
（2）结合函数的单调性求出f（x）∈[3，10.2]，然后利用基本不等式求得，最后解一元二次不等式即可得解．
【解答】解：（1）证明：取任意x1，x2∈[1，+∞），且x1＞x2，
有，
由x1＞x2≥1，可得2x1x2＞2＞1，x1﹣x2＞0，
所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以f（x）在区间[1，+∞）上单调递增．
（2）依题意得，，
由（1）知在[1，+∞）上单调递增，
可得在[1，5]上，f（x）∈[3，10.2]，
又，当且仅当，
即f（x）＝3，即x＝1时取等号，
所以﹣t2+2t+6≤6，即t2﹣2t≥0，解得t∈（﹣∞，0]∪[2，+∞），
所以实数t的取值范围是（﹣∞，0]∪[2，+∞）．
【例24】（2024秋 昭通期末）已知函数经过（1，2），（﹣1，﹣2）两点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性并用定义进行证明；
（3）当时，m≥f（x），求实数m的最小值．
【答案】（1）；
（2）f（x）在（1，+∞）上单调递增，证明见解析；
（3）．
【分析】（1）将两点代入求出a，b即可；
（2）利用作差法求解即可；
（3）先判断出函数的单调性，再求出函数f（x）的最大值，即可得解．
【解答】解：（1）根据题意，函数经过（1，2），（﹣1，﹣2）两点，
则f（1）＝2，f（﹣1）＝﹣2，
则有，解得，
故；
（2）f（x）在（1，+∞）上单调递增，
证明如下：
设1＜x1＜x2，
则，
又由1＜x1＜x2，则x1﹣x2＜0，x1x2＞1，则f（x1）﹣f（x2）＜0，
所以函数f（x）在（1，+∞）上单调递增；
（3）任取x1，x2∈（0，1），且x1＜x2，
则，
∵x1，x2∈（0，1），且x1＜x2，
∴x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜1，∴x1x2﹣1＜0，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以函数f（x）在（0，1）上单调递减，
∴函数f（x）在上的最大值为，
由m≥f（x）知m≥f（x）max，∴，
所以m的最小值为．
【知识点7】函数的最值
函数的最值
(1)最大值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最大值，即当时，是函数的最大值，记作．
(2)最小值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最小值，即当时，是函数的最小值，记作．
(3)几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个．
例1：
【例25】（多选）（2025春 镇雄县月考）若函数的最小值为，则实数a的取值可能为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【答案】BC
【分析】由基本不等式求得当x＞0，x＜0时的范围，进而可求解．
【解答】解：由题意可得，a≠0，
当x＝0时，f（x）＝0；
当x＞0时：，当且仅当，即时等号，此时∈（0，]，
当x＜0时，，当且仅当，即时等号，
此时，
综上，．
若a＞0，由题，所以a＝1；
若a＜0，由题，所以a＝﹣1．
故选：BC．
【例26】（2024秋 吉林期末）已知函数，且f（1）＝10．
（1）求a；
（2）判断函数f（x）在[3，+∞）上的单调性，并用定义法证明；
（3）求函数f（x）在区间[3，6]上的最大值和最小值．
【答案】（1）9；
（2）函数f（x）在[3，+∞）上单调递增，证明见解析；
（3）最大值为，最小值为6．
【分析】（1）直接由f（1）＝10代入，即可求得a；
（2）利用定义法作差计算，即可证明函数的单调性；
（3）利用函数的单调性计算最值即可．
【解答】解：（1）根据题意，函数，且f（1）＝10，
则有，解可得a＝9．
（2）根据题意，函数f（x）在[3，+∞）上单调递增，
证明如下：
由（1）知，，
设3≤x1＜x2，则，
由3≤x1＜x2，则x1x2﹣9＞0，x1﹣x2＜0，x1x2＞0，
所以，即f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在[3，+∞）上单调递增．
（3）由（2）可知f（x）在[3，6]上单调递增，
所以，
则函数f（x）在[3，6]上的最大值为，最小值为6．
【例27】（2024秋 喀什市期末）已知函数．
（1）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义法证明你的结论；
（2）若x∈[2，7]，求函数的最大值和最小值．
【答案】（1）减函数，证明见解析；
（2），．
【分析】（1）利用函数单调性定义即可证明得出结论；
（2）由单调性代入即可得出其最值．
【解答】解：（1）函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，证明如下：
任取x1，x2，且0＜x1＜x2，所以x2﹣x1＞0，x1x2＞0，
则）0，
所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
所以在区间（0，+∞）上是减函数．
（2）因为函数在区间[2，7]上是减函数，
所以，．
【例28】（2024秋 鄂尔多斯期末）已知函数．
（1）若，求的值；
（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性并利用定义法证明；
（3）求f（x）在[1，t]上的最大值．
【答案】（1）；
（2）f（x）在区间（0，2）上单调递减，在区间（2，+∞）上单调递增，证明见解析；
（3）．
【分析】（1）利用和平方后关系求解；
（2）根据单调性定义证明；
（3）利用（2）中的单调性求最大值．
【解答】解：．
（1）由题意可得，，
所以，即，
因为，
所以．
（2）f（x）在区间（0，2）上单调递减，在区间（2，+∞）上单调递增，证明如下：
任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，所以x1x2＞0，x1﹣x2＜0，
则，
当0＜x1＜x2＜2时，x1x2﹣4＜0，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），
当2＜x1＜x2时，x1x2﹣4＞0，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
所以f（x）在区间（0，2）上单调递减，在区间（2，+∞）上单调递增．
（3）当1＜t≤2时，由（2）知f（x）在[1，t]上单调递减，所以f（x）max＝f（1）＝5；
当t＞2时，由（2）知f（x）在[1，2]上单调递减，在[2，t]上单调递增，
因为f（4）＝5，所以若2＜t＜4，则f（x）max＝f（1）＝5，
若t≥4，则．
综上，．3.2 函数的单调性与最值
【知识点1】单调性的概念 1
【知识点2】函数的单调区间 3
【知识点3】由单调性求参数 4
【知识点4】由单调性求解不等式 5
【知识点5】复合函数的单调性 6
【知识点6】单调性的证明 7
【知识点7】函数的最值 8
1.知道函数单调性的概念(重点)。
2.掌握函数单调的求解与证明(重难点)。
3.掌握复合函数的单调性(重点)。
【知识点1】单调性的概念
函数的单调性
(1)在上是增函数任取，，．
(2)在上是增函数任取，．
(3)在上是增函数任取，．
(4)在上是减函数任取，，．
(5)在上是减函数任取，．
(6)在上是减函数任取，．
【例1】（2025春 青山湖区校级期中）下列函数中，在（0，1）为减函数的是（　　）
A．y＝x﹣1 B． C．y＝x2 D．y＝x3
【例2】（2024秋 海淀区校级期末）设函数y＝f（x）的定义域为D，开区间I D，则“ x1∈I， x2∈I且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）”是“y＝f（x）在I上是增函数”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【例3】（多选）（2024秋 牡丹江期末）函数y＝f（x）在（0，+∞）是减函数，且0＜x1＜x2，则下列选项正确的是（　　）
A．f（x1）＞f（x2）
B．f（x1）﹣f（x2）＞0
C．（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0
D．
【例4】（多选）（2024秋 吉林校级期末）下列说法中，正确的有（　　）
A．若任意x1、x2∈I，当x1＜x2时，，则y＝f（x）在I上是增函数
B．函数y＝x2在R上是增函数
C．函数在定义域上是减函数
D．函数的单调区间是（﹣∞，0）∪（0，+∞）
【知识点2】函数的单调区间
1．函数单调性的判断方法
(1)定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
(2)图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
(3)图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
2．函数单调性的常用结论
(1)若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数．
(2)若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数．
(3)若且为增函数，则函数为增函数，为减函数．
(4)若且为减函数，则函数为减函数，为增函数
例1：
【例5】（2025 深圳校级开学）下列函数中在区间（1，+∞）单调递增的是（　　）
A．y＝（x﹣2）2 B． C． D．y＝|x+4|
【例6】（2025春 淇滨区校级月考）给出下列命题，其中是正确命题的是（　　）
A．两个函数，表示的是同一函数
B．函数的单调递减区间是（﹣∞，0）∪（0，+∞）
C．若函数f（x）的定义域为[0，2]，则函数f（2x）的定义域为[0，1]
D．命题“ x∈[0，+∞），x2+1＞0”的否定是“ x∈（﹣∞，0），x2+1≤0”
【例7】（多选）（2024秋 重庆期中）下列说法正确的是（　　）
A．若a＞b，则
B．函数与函数是相同函数
C．函数的单调减区间是（﹣∞，0）∪（0，+∞）
D．若x+y＝4，则x2+y2的最小值是8
【例8】（2024秋 忻城县校级期中）函数y＝|x﹣1|的单调递减区间是　　　　．
【知识点3】由单调性求参数
由单调性求参数
(1)解答分类问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及讨论对象的范围；其次要确定分类标准，即标准统一、不重不漏；再对所分类逐步进行讨论，分级进行；最后进行归纳小结，综合得出结论．
(2)分离参数法，即把分离出来放到不等式的左边，不等式的右边是关于的函数，然后转化成求函数的最值问题
例1：
【例9】（多选）（2024秋 银海区校级月考）下列判断不正确的是（　　）
A．若f（﹣2）＞f（2），则函数f（x）是R上的减函数
B．函数在定义域内是减函数
C．函数f（x），对任意x1，x2∈R，都有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]≥0成立
D．已知在（﹣∞，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（﹣∞，2]
【例10】（2025 深圳校级开学）若二次函数f（x）＝x2﹣（a﹣1）x+5在区间上递减，则f（a）的取值范围是　　　　．
【例11】（2025 岳阳校级开学）已知函数在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是　　　　．
【例12】（2025春 黑龙江月考）已知函数f（x）＝﹣2x2+ax+1，设p：f（x）在（﹣∞，1]上单调递增，在[2，+∞）上单调递减；q：m﹣3≤a≤2m．
（1）若p成立，求a的取值范围；
（2）若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围．
【知识点4】由单调性求解不等式
由单调性求解不等式
(1)求字母取值范围的题目，最终一定要变形成的形式．
(2)再依据的单调性把符号脱掉得到关于字母的不等式再求解．
例1：
【例13】（2025 河南模拟）已知定义在R上的函数f（x）的图象是一条连续不断的曲线，且f（x）满足f（x）＝f（4﹣x），f（x）在区间（﹣∞，2）上单调递减，f（4）+f（0）＝0，则关于x的不等式的解集为（　　）
A．（0，2） B．（0，2）∪（2，4）
C．（2，4） D．（0，2）∪（4，+∞）
【例14】（2025 河南模拟）已知定义在R上的函数f（x）的图象是一条连续不断的曲线，且f（x）满足f（x）＝f（4﹣x），f（x）在区间（﹣∞，2）上单调递减，f（4）+f（0）＝0，则关于x的不等式的解集为（　　）
A．（0，2） B．（0，2）∪（2，4）
C．（2，4） D．（0，2）∪（4，+∞）
【例15】（多选）（2025 山西模拟）已知f（x）是定义在R上的非常值函数，当x＞2时，0＜f（x）＜1，对任意的x，y∈R，都有f（x）f（y）＝f（x+y﹣2），若f（0）＝2，则（　　）
A．f（2）＝0
B．
C．f（x）在R上单调递减
D．不等式的解集为（﹣∞，﹣5）∪（2，+∞）
【例16】（2024秋 北京校级期末）已知函数，若f（t2）﹣f（t+1）＜0，则实数t的取值范围　　　　．
【知识点5】复合函数的单调性
1．复合函数的单调性
(1)若在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数．
(2)若在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．
(3)复合函数单调性可简记为“同增异减”．
2．复合函数单调性的求解
(1)先求函数的定义域．
(2)再将复合函数分解为内、外层函数．
(3)利用已知函数的单调性解决．
(4)内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数．
例1：
【例17】（2024秋 苏州期末）函数的单调递减区间为（　　）
A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，0] C．[0，+∞） D．[1，+∞）
【例18】（2024秋 兴庆区校级期中）函数的单调增区间为（　　）
A． B．
C．和（4，+∞） D．
【例19】（2024秋 福建期中）函数的单调减区间为　　　　．
【例20】（2025春 上海校级期中）已知函数，若f（x）在区间（0，1]上是严格减函数，则实数a的取值范围是　　　　．
【知识点6】单调性的证明
函数单调性的证明步骤
(1)取值：设是定义域内一个区间上的任意两个量，且．
(2)变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形．
(3)定号：判断差的正负或商与1的大小关系．
(4)得出结论．
例1：
【例21】（2024秋 西宁期末）已知函数，满足f（﹣2）＝0．
（1）求实数a的值；
（2）试判断此函数f（x）在（0，+∞）上的单调性并利用定义给予证明．
【例22】（2024秋 绍兴期末）已知函数．
（1）求f（x）的定义域；
（2）证明：f（x）在（1，+∞）上单调递减．
【例23】（2024秋 龙岩期末）已知函数．
（1）用定义法证明函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递增；
（2）对任意的x∈[1，5]都有成立，求实数t的取值范围．
【例24】（2024秋 昭通期末）已知函数经过（1，2），（﹣1，﹣2）两点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性并用定义进行证明；
（3）当时，m≥f（x），求实数m的最小值．
【知识点7】函数的最值
函数的最值
(1)最大值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最大值，即当时，是函数的最大值，记作．
(2)最小值：对于函数，其定义域为，如果存在，，使得对于任意的，都有，那么，我们称是函数的最小值，即当时，是函数的最小值，记作．
(3)几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个．
例1：
【例25】（多选）（2025春 镇雄县月考）若函数的最小值为，则实数a的取值可能为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【例26】（2024秋 吉林期末）已知函数，且f（1）＝10．
（1）求a；
（2）判断函数f（x）在[3，+∞）上的单调性，并用定义法证明；
（3）求函数f（x）在区间[3，6]上的最大值和最小值．
【例27】（2024秋 喀什市期末）已知函数．
（1）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义法证明你的结论；
（2）若x∈[2，7]，求函数的最大值和最小值．
【例28】（2024秋 鄂尔多斯期末）已知函数．
（1）若，求的值；
（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性并利用定义法证明；
（3）求f（x）在[1，t]上的最大值．

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