资源简介

4.1 指数
【知识点1】根式化简求值 1
【知识点2】限制条件的根式化简求值 3
【知识点3】根式与指数的互化 5
【知识点4】分数指数幂 7
【知识点5】整体代换法求值 9
1.知道根式的意义与化简求值(重点)。
2.掌握根式与指数幂的互化(重难点)。
【知识点1】根式化简求值
根式化简
(1)当且时，．
(2)．
(3)此类问题应熟练应用．
(4)当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简
【例1】（2024秋 长寿区期末）式子的值为（　　）
A．7﹣2π B．2π﹣7 C．﹣1 D．1
【答案】A
【分析】利用指数幂的运算性质即可得出．
【解答】解：∵4﹣π+3﹣π＝7﹣2π，
故选：A．
【例2】（2024秋 河南月考）（　　）
A．16﹣π B．π C．﹣π D．﹣π﹣8
【答案】C
【分析】根据根式的性质及幂的运算法则计算可得．
【解答】解：原式．
故选：C．
【例3】（2024秋 娄底期末）化　　　　．
【答案】π﹣3．
【分析】利用，n为偶数，求解即可．
【解答】解：∵，n为偶数，
∴π﹣3，
故答案为：π﹣3．
【例4】（2024秋 桃源县校级期中）求值：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）；
（2）﹣8；
（3）3．
【分析】利用根式与分数指数幂的运算性质即可对（1）（2）（3）进行求解．
【解答】解：（1）；
（2）；
（3）．
【知识点2】限制条件的根式化简求值
1．根式化简求值
(1)计算根式的结果关键取决于根指数的取值．
(2)尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误．
2．多重根式的化简求值
(1)一般是设法将被开方数化成完全次方，再解答，或者用整体思想来解题．
(2)化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可
例1：
【例5】（2024秋 南京期中）已知a＜1，则（　　）
A．﹣1 B．1 C．2a﹣1 D．1﹣2a
【答案】B
【分析】根据根式的性质化简求值即可．
【解答】解：∵a＜1，
∴原式＝|a﹣1|+a＝1﹣a+a＝1．
故选：B．
【例6】（2024秋 沈阳期末）若1＜a＜2，则的化简结果是（　　）
A．1 B．﹣1 C．3﹣2a D．2a﹣3
【答案】B
【分析】由已知结合根式的意义即可进行化简．
【解答】解：若1＜a＜2，
则1﹣a﹣（2﹣a）＝1﹣a﹣2+a＝﹣1．
故选：B．
【例7】（多选）（2024秋 汉寿县校级期末）下列各式成立的是（　　）
A．
B．
C．（其中a＞0，b＞0）
D．
【答案】BD
【分析】根据指数幂的运算法则逐一判断即可．
【解答】解：对于A，，故错误；
对于B，，故正确；
对于C，，故错误；
对于D，，故正确．
故选：BD．
【例8】（2024秋 凉州区期末）当x＜0时，求|x|2的值．
【答案】0．
【分析】结合指数幂的运算性质，即可求解．
【解答】解：当x＜0时，
则|x|2x+|x|+2x＝﹣x﹣x+2x＝0．
【知识点3】根式与指数的互化
1．根式与指数的互化
(1)．
(2)．
2．根式与指数互化规律
(1)指数为负先化正．
(2)根式化为分数指数幂
例1：
【例9】（2024秋 赣州期中）若a＜﹣1，则（　　）
A．﹣（a+1）5 B．（a+1）5 C．﹣（a+1）6 D．（a+1）6
【答案】C
【分析】先判断a+1的正负，再利用根式运算化简原式即可求．
【解答】解：因为a＜﹣1，所以a+1＜0，
则
＝﹣（a+1）3 （a+1）3
＝﹣（a+1）6．
故选：C．
【例10】（2025 湖北模拟）已知x＜0，y＞0，化简得（　　）
A． B． C．﹣3x2y D．3x2y
【答案】B
【分析】根据分数指数幂和根指数幂的关系化简即可．
【解答】解：x＜0，y＞0，化简xyx2y，
故选：B．
【例11】（2025 广西开学）下列根式与分数指数幂互化中正确的是（　　）
A．（﹣x）（x≠0）
B．x（x≠0）
C．（）（xy＞0）
D．y（y＜0）
【答案】C
【分析】利用指数幂的运算法则即可得出．
【解答】解：A.（x≥0），因此不正确；
B.（x≠0），因此不正确；
C.（xy＞0），因此正确；
D.，因此不正确．
故选：C．
【例12】（多选）（2025春 随州月考）设a＞0，m，n是正整数，且n＞1，则下列各式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】利用分数指数幂和根式的互化以及运算律即可逐项判断．
【解答】解：，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
故D正确．
故选：BCD．
【知识点4】分数指数幂
分数指数幂的运算
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
(5)．
例1：
【例13】（2024秋 阜阳校级期末）设a＞0，下列计算中正确的是（　　）
A． B．
C．a﹣4 a4＝0 D．
【答案】B
【分析】利用指数幂的运算法则，对各个选项逐一计算判断即可得解．
【解答】解：对于A，，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，a﹣4 a4＝a﹣4+4＝a0＝1，故C错误；
对于D，，故D错误．
故选：B．
【例14】（2024秋 谷城县校级期中）化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用根式与分数指数幂的互化化简求值．
【解答】解：．
故选：B．
【例15】（多选）（2024秋 江门校级期中）下列等式中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．a3 a4＝a7
【答案】ACD
【分析】根据根式与指数幂的运算，可得答案．
【解答】解：对于A，由根式与指数幂的运算法则得：，故A正确；
对于B，根式与指数幂的运算法则得：，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，a3 a4＝a3+4＝a7，故D正确．
故选：ACD．
【例16】（2024秋 金山区期末）将化为有理数指数幂的形式为　　　　．
【答案】．
【分析】根据已知条件，结合指数幂的运算法则，即可求解．
【解答】解：．
故答案为：．
【知识点5】整体代换法求值
1．常用公式
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
(5)．
2．整体代换法
(1)对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系．
(2)然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值．
(3)对幂值的计算，一般应尽可能把幂化为底数是质数的指数幂，再考虑同底幂的运算法则以及乘法公式．
例1：
【例17】（2024秋 上城区校级月考）已知a2x＝3，则ax+a﹣x＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件可求出a﹣2x的值，然后对ax+a﹣x求平方即可得解．
【解答】解：∵a2x＝3，∴，
∴，
∴．
故选：A．
【例18】（2025 文山市校级开学）若x2﹣3x+1＝0，则　　　　．
【答案】．
【分析】利用幂指数运算，及平方运算和开方运算，即可求出结果．
【解答】解：∵x2﹣3x+1＝0，∴，∴x+x﹣1＝3，
两边平方得：，∴x2+x﹣2＝7，
∵，
∴，则，
∴若x2﹣3x+1＝0，则．
故答案为：．
【例19】（2024秋 海南校级期末）已知，求下列各式的值：
（1）a+a﹣1；
（2）a2+a﹣2．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由，知a+a﹣1+2＝9，由此能求出a+a﹣1．
（2）由a+a﹣1＝7，知（a+a﹣1）2＝a2+a﹣2+2＝49，由此能求出a2+a﹣2．
【解答】解：（1）∵，
∴a+a﹣1+2＝9，
∴a+a﹣1＝7；
（2）∵a+a﹣1＝7，
∴（a+a﹣1）2＝a2+a﹣2+2＝49，
∴a2+a﹣2＝47．
【例20】（2024秋 吉林校级期末）计算下列各式
（1）；
（2）已知x+x﹣1＝3，求下列各式的值：
①；
②．
【答案】（1）89；
（2）①；②．
【分析】（1）根据指数幂的运算性质和指数幂与根式的互化，化简计算即可求解；
（2）①根据完全平方和公式化简计算可得，结合开平方即可；
②根据公式，结合①计算即可求解．
【解答】解：（1）原式；
（2）①∵，
∴，
又由x+x﹣1＝3得x＞0，
∴，
所以；
②（法一），
（法二），
而x3+x﹣3＝（x+x﹣1）（x2+x﹣2﹣1）＝（x+x﹣1）[（x+x﹣1）2﹣3]＝3×（32﹣3）＝18，
∴，
又由x+x﹣1＝3＞0得x＞0，
∴，
所以．4.1 指数
【知识点1】根式化简求值 1
【知识点2】限制条件的根式化简求值 2
【知识点3】根式与指数的互化 3
【知识点4】分数指数幂 4
【知识点5】整体代换法求值 5
1.知道根式的意义与化简求值(重点)。
2.掌握根式与指数幂的互化(重难点)。
【知识点1】根式化简求值
根式化简
(1)当且时，．
(2)．
(3)此类问题应熟练应用．
(4)当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简
【例1】（2024秋 长寿区期末）式子的值为（　　）
A．7﹣2π B．2π﹣7 C．﹣1 D．1
【例2】（2024秋 河南月考）（　　）
A．16﹣π B．π C．﹣π D．﹣π﹣8
【例3】（2024秋 娄底期末）化　　　　．
【例4】（2024秋 桃源县校级期中）求值：
（1）；
（2）；
（3）．
【知识点2】限制条件的根式化简求值
1．根式化简求值
(1)计算根式的结果关键取决于根指数的取值．
(2)尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成的形式，这样能避免出现错误．
2．多重根式的化简求值
(1)一般是设法将被开方数化成完全次方，再解答，或者用整体思想来解题．
(2)化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可
例1：
【例5】（2024秋 南京期中）已知a＜1，则（　　）
A．﹣1 B．1 C．2a﹣1 D．1﹣2a
【例6】（2024秋 沈阳期末）若1＜a＜2，则的化简结果是（　　）
A．1 B．﹣1 C．3﹣2a D．2a﹣3
【例7】（多选）（2024秋 汉寿县校级期末）下列各式成立的是（　　）
A．
B．
C．（其中a＞0，b＞0）
D．
【例8】（2024秋 凉州区期末）当x＜0时，求|x|2的值．
【知识点3】根式与指数的互化
1．根式与指数的互化
(1)．
(2)．
2．根式与指数互化规律
(1)指数为负先化正．
(2)根式化为分数指数幂
例1：
【例9】（2024秋 赣州期中）若a＜﹣1，则（　　）
A．﹣（a+1）5 B．（a+1）5 C．﹣（a+1）6 D．（a+1）6
【例10】（2025 湖北模拟）已知x＜0，y＞0，化简得（　　）
A． B． C．﹣3x2y D．3x2y
【例11】（2025 广西开学）下列根式与分数指数幂互化中正确的是（　　）
A．（﹣x）（x≠0）
B．x（x≠0）
C．（）（xy＞0）
D．y（y＜0）
【例12】（多选）（2025春 随州月考）设a＞0，m，n是正整数，且n＞1，则下列各式正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【知识点4】分数指数幂
分数指数幂的运算
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
(5)．
例1：
【例13】（2024秋 阜阳校级期末）设a＞0，下列计算中正确的是（　　）
A． B．
C．a﹣4 a4＝0 D．
【例14】（2024秋 谷城县校级期中）化简的结果是（　　）
A． B． C． D．
【例15】（多选）（2024秋 江门校级期中）下列等式中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．a3 a4＝a7
【例16】（2024秋 金山区期末）将化为有理数指数幂的形式为　　　　．
【知识点5】整体代换法求值
1．常用公式
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
(5)．
2．整体代换法
(1)对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系．
(2)然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值．
(3)对幂值的计算，一般应尽可能把幂化为底数是质数的指数幂，再考虑同底幂的运算法则以及乘法公式．
例1：
【例17】（2024秋 上城区校级月考）已知a2x＝3，则ax+a﹣x＝（　　）
A． B． C． D．
【例18】（2025 文山市校级开学）若x2﹣3x+1＝0，则　　　　．
【例19】（2024秋 海南校级期末）已知，求下列各式的值：
（1）a+a﹣1；
（2）a2+a﹣2．
【例20】（2024秋 吉林校级期末）计算下列各式
（1）；
（2）已知x+x﹣1＝3，求下列各式的值：
①；
②．

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