资源简介

4.2 指数函数
【知识点1】指数函数的概念 1
【知识点2】定义域与值域 2
【知识点3】定点问题 3
【知识点4】指数函数的图象 4
【知识点5】指数函数的单调性 6
【知识点6】比较大小 7
1.理解指数函数的概念、定义域、值域(重点)。
2.掌握指数函数的图象与性质(重难点)。
3.掌握指数幂的大小比较(重点)。
【知识点1】指数函数的概念
指数函数
(1)函数（且）叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为．
(2)只有形如（且）的函数才是指数函数．
(3)系数为1
【例1】（2024秋 邢台月考）下列判断正确的是（　　）
A．y＝2x4是幂函数，且y＝42x是指数函数
B．y＝2x4是幂函数，且y＝42x不是指数函数
C．y＝2x4不是幂函数，且y＝42x是指数函数
D．y＝2x4不是幂函数，且y＝42x不是指数函数
【例2】（2025 蓟州区校级开学）若函数y＝（m2﹣m﹣1） mx是指数函数，则m等于（　　）
A．﹣1或2 B．﹣1 C．2 D．
【例3】（2024秋 齐齐哈尔校级期中）若指数函数f（x）的图象过点（3，8），则f（x）的解析式为（　　）
A．f（x）＝x3 B．f（x）＝2x
C．f（x）＝（）x D．f（x）
【例4】（2024秋 天河区校级期末）已知函数y＝b ax是指数函数．
（1）该指数函数的图象经过点（3，8），求函数的表达式；
（2）解关于x的不等式：；
【知识点2】定义域与值域
指数函数的定义域与值域
(1)指数函数的定义域为．
(2)指数函数的值域为
例1：
【例5】（2024秋 潮州校级期中）函数y的定义域为（　　）
A．（﹣∞，﹣1] B．[﹣1，+∞） C．[﹣1，0] D．[0，1]
【例6】（2024秋 惠州校级期中）函数的值域是（　　）
A．[2，+∞） B． C． D．
【例7】（2024 河南模拟）已知集合A＝{y|y＝2x﹣1}，，则A∪B＝（　　）
A．（﹣1，+∞） B．[﹣1，+∞） C．（﹣1，1] D．[﹣1，1]
【例8】（多选）（2025 西乡塘区校级开学）已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A．函数f（x）的定义域为R
B．函数f（x）的值域为（﹣1，1）
C．函数f（x）的图象关于y轴对称
D．函数f（x）在R上为减函数
【知识点3】定点问题
指数函数过定点
(1)函数图象都经过点．
(2)令指数为0求解
例1：
【例9】（2025 海淀区一模）函数f（x）＝a2x﹣1+1（a＞0）的图象一定经过点（　　）
A． B． C．（0，2） D．（0，1）
【例10】（多选）（2024秋 沙依巴克区校级期末）下列结论中，正确的是（　　）
A．函数y＝2x﹣1是指数函数
B．函数的单调增区间是（1，+∞）
C．若am＞an（a＞0，a≠1）则m＞n
D．函数f（x）＝ax﹣2﹣3（a＞0，a≠1）的图像必过定点（2，﹣2）
【例11】（2025 张家口开学）函数y＝ax﹣3﹣1（a＞0，且a≠1）的图象过定点A，则点A的坐标是　　　　．
【例12】（2025 松江区校级开学）已知常数a∈R，函数经过一个定点，则该定点坐标为　　　　．
【知识点4】指数函数的图象
指数函数的图象
(1)①，②，③，④，则：．
(2)在轴的右边“底大图高”，在轴的左边“底大图低”．
例1：
【例13】（2024秋 阜阳校级期末）四个指数函数y＝2x，y＝3x，，的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，y＝2x和y＝3x
B．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，y＝2x和y＝3x
C．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，y＝3x和y＝2x
D．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，y＝3x和y＝2x
【例14】（2025春 六盘水期末）下列图象中，有可能表示指数函数的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【例15】（2024秋 西宁校级月考）f（x）＝ax+b（a＞0，a≠1）的图象如图所示，a，b为常数，则（　　）
A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0 C．0＜a＜1，b＜0 D．0＜a＜1，b＞0
【例16】（2025春 临沂期末）函数y＝3x与的图象（　　）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
【知识点5】指数函数的单调性
1．指数不等式的求解
(1)形如的不等式，可借助的单调性求解．
(2)形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解．
(3)形如的不等式，可借助两函数，的图象求解．
2．指数型复合函数的单调性
(1)当时，的单调性与的单调性相同．
(2)当时，的单调与的单调性相反．
例1：
【例17】（2025春 宝坻区校级期末）设函数f（x）＝ex（x﹣a）在区间（0，1）单调递减，则a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，0） C．（0，2] D．[2，+∞）
【例18】（多选）（2024秋 上城区校级期末）若f（x）＝3x+1，则下列结论正确的是（　　）
A．f（x）在[﹣1，1]上单调递增
B．y＝3x+1与y的图象关于y轴对称
C．f（x）的图象过点（0，1）
D．f（x）的值域为[1，+∞）
【例19】（2025春 杭州月考）已知函数，则不等式f（2m﹣1）＜f（m+3）成立的实数m的取值范围为　　　　．
【例20】（2025春 静安区期末）已知是定义域为R的奇函数．
（1）求实数a的值，并判断函数y＝f（x）的单调性；
（2）写出函数y＝f（x）的值域．
【知识点6】比较大小
1．指数比较大小的方法
(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较．
(2)中间量法．
(3)比较法：作差法与作商法．
2．比较大小
(1)若底数相同，则可根据指数函数的性质得出结果．
(2)若底数不相同，则首先考虑能否化成同底数，然后根据指数函数的性质得出结果．
(3)不能化成同底数的，要考虑引进第三个数（如0，1等）分别与之比较，从而得出结果．
(4)比较时要尽量转化成底的形式，根据指数函数单调性进行判断．
例1：
【例21】（2025春 商丘期末）若a＝0.20.3，b＝0.30.2，c＝20.3，则（　　）
A．b＞c＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a
【例22】（2025春 南昌县校级月考）已知a＝1.72.5，b＝1.73，c＝8，那么a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜a＜c
【例23】（2025 扬州校级模拟）若，，，则有（　　）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b
【例24】（多选）（2024秋 五华区校级期末）若a＞b，则下列一定成立的是（　　）
A．2a＞2b B． C． D．a2＞b24.2 指数函数
【知识点1】指数函数的概念 1
【知识点2】定义域与值域 3
【知识点3】定点问题 5
【知识点4】指数函数的图象 7
【知识点5】指数函数的单调性 10
【知识点6】比较大小 13
1.理解指数函数的概念、定义域、值域(重点)。
2.掌握指数函数的图象与性质(重难点)。
3.掌握指数幂的大小比较(重点)。
【知识点1】指数函数的概念
指数函数
(1)函数（且）叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为．
(2)只有形如（且）的函数才是指数函数．
(3)系数为1
【例1】（2024秋 邢台月考）下列判断正确的是（　　）
A．y＝2x4是幂函数，且y＝42x是指数函数
B．y＝2x4是幂函数，且y＝42x不是指数函数
C．y＝2x4不是幂函数，且y＝42x是指数函数
D．y＝2x4不是幂函数，且y＝42x不是指数函数
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合幂函数、指数函数的定义，即可求解．
【解答】解：由幂函数的定义可知，y＝2x4不是幂函数，
因为42x＝（42）x＝16x，所以y＝42x是指数函数．
故选：C．
【例2】（2025 蓟州区校级开学）若函数y＝（m2﹣m﹣1） mx是指数函数，则m等于（　　）
A．﹣1或2 B．﹣1 C．2 D．
【答案】C
【分析】根据指数函数的定义可解．
【解答】解：根据题意可得，，得m＝2，
故选：C．
【例3】（2024秋 齐齐哈尔校级期中）若指数函数f（x）的图象过点（3，8），则f（x）的解析式为（　　）
A．f（x）＝x3 B．f（x）＝2x
C．f（x）＝（）x D．f（x）
【答案】B
【分析】利用待定系数法求解即可．
【解答】解：设f（x）＝ax（a＞0且a≠1），
∵指数函数f（x）的图象过点（3，8），∴a3＝8，∴a＝2，
∴f（x）＝2x．
故选：B．
【例4】（2024秋 天河区校级期末）已知函数y＝b ax是指数函数．
（1）该指数函数的图象经过点（3，8），求函数的表达式；
（2）解关于x的不等式：；
【答案】（1）y＝2x；
（2）当0＜a＜1时，；当a＞1时，．
【分析】（1）由指数函数定义和所过点列方程组求出表达式．
（2）分别讨论0＜a＜1和a＞1，结合指数函数的单调性求解．
【解答】解：（1）因为函数y＝b ax是指数函数，且图象经过点（3，8），
所以，即a＝2，b＝1，
函数的解析式为y＝2x；
（2）将b＝1代入不等式可得，
当0＜a＜1时，y＝ax为减函数，
则3x﹣4＜﹣3，解得，解集为，
当a＞1时，y＝ax为增函数，
则3x﹣4＞﹣3，解得，解集为．
【知识点2】定义域与值域
指数函数的定义域与值域
(1)指数函数的定义域为．
(2)指数函数的值域为
例1：
【例5】（2024秋 潮州校级期中）函数y的定义域为（　　）
A．（﹣∞，﹣1] B．[﹣1，+∞） C．[﹣1，0] D．[0，1]
【答案】B
【分析】由根式内部的代数式大于等于0，再求解指数不等式得答案．
【解答】解：由，得，即2﹣x≤2，
∴﹣x≤1，即x≥﹣1．
∴函数y的定义域为[﹣1，+∞）．
故选：B．
【例6】（2024秋 惠州校级期中）函数的值域是（　　）
A．[2，+∞） B． C． D．
【答案】D
【分析】对符合函数拆分，由二次函数的性质求出内函数的值域，再由指数函数求出外函数的值域，即可得到复合函数的值域．
【解答】解：函数，
令t＝f（x）＝x2﹣2x+3，对称轴，开口向上，
∴t＝f（x）≥f（1）＝2，∴，
∵，∴函数在[2，+∞）上单调递减，
∴．
故选：D．
【例7】（2024 河南模拟）已知集合A＝{y|y＝2x﹣1}，，则A∪B＝（　　）
A．（﹣1，+∞） B．[﹣1，+∞） C．（﹣1，1] D．[﹣1，1]
【答案】B
【分析】求出集合A，B，再结合并集的定义，即可求解．
【解答】解：A＝{y|y＝2x﹣1}＝{y|y＞﹣1}，
{x|﹣1≤x≤1}，
故A∪B＝[﹣1，∞）．
故选：B．
【例8】（多选）（2025 西乡塘区校级开学）已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A．函数f（x）的定义域为R
B．函数f（x）的值域为（﹣1，1）
C．函数f（x）的图象关于y轴对称
D．函数f（x）在R上为减函数
【答案】AB
【分析】根据指数函数的性质，结合函数奇偶性的定义、单调性的性质逐一判断即可．
【解答】解：A：因为2x＞0，所以函数f（x）的定义域为R，故A正确；
B：，由，所以函数f（x）的值域为（﹣1，1），故B正确；
C：因为，所以函数f（x）是奇函数，其图象关于原点对称，不关于y轴对称，故C错误；
D：因为y＝2x+1是增函数，因为y＝2x+1＞1，所以是减函数，
因此函数是增函数，故D错误．
故选：AB．
【知识点3】定点问题
指数函数过定点
(1)函数图象都经过点．
(2)令指数为0求解
例1：
【例9】（2025 海淀区一模）函数f（x）＝a2x﹣1+1（a＞0）的图象一定经过点（　　）
A． B． C．（0，2） D．（0，1）
【答案】A
【分析】根据指数函数的图象恒过定点（0，1），求解即可．
【解答】解：令2x﹣1＝0，得x，所以y＝f（）＝1+1＝2，
所以函数f（x）＝a2x﹣1+1的图象过点（，2）．
故选：A．
【例10】（多选）（2024秋 沙依巴克区校级期末）下列结论中，正确的是（　　）
A．函数y＝2x﹣1是指数函数
B．函数的单调增区间是（1，+∞）
C．若am＞an（a＞0，a≠1）则m＞n
D．函数f（x）＝ax﹣2﹣3（a＞0，a≠1）的图像必过定点（2，﹣2）
【答案】BD
【分析】结合指数函数的定义检验选项A；
结合复合函数的单调性检验选项B；
结合指数函数的单调性检验选项C；
结合指数函数恒过定点检验选项D．
【解答】解：根据指数函数的定义可知，y＝2x﹣1不是指数函数，A错误；
根据复合函数的单调性可知，的单调增区间是（1，+∞），B正确；
当0＜a＜1时，C显然错误；
根据指数函数的性质可知，f（x）＝ax﹣2﹣3（a＞0，a≠1）的图像必过定点（2，﹣2），D正确．
故选：BD．
【例11】（2025 张家口开学）函数y＝ax﹣3﹣1（a＞0，且a≠1）的图象过定点A，则点A的坐标是　　　　．
【答案】（3，0）．
【分析】根据指数函数过定点的性质，令指数幂等于0即可．
【解答】解：由x﹣3＝0得x＝3此时y＝a0﹣1＝0，
故图象y＝ax﹣3﹣1（a＞0，且a≠1）的图象过定点A（3，0）．
故答案为：（3，0）．
【例12】（2025 松江区校级开学）已知常数a∈R，函数经过一个定点，则该定点坐标为　　　　．
【答案】．
【分析】对函数解析式变形，得到，令，解题即可．
【解答】解：由，得到y，
令，解x＝﹣1．
代入y，得到，
故原函数经过一个定点．
故答案为：．
【知识点4】指数函数的图象
指数函数的图象
(1)①，②，③，④，则：．
(2)在轴的右边“底大图高”，在轴的左边“底大图低”．
例1：
【例13】（2024秋 阜阳校级期末）四个指数函数y＝2x，y＝3x，，的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，y＝2x和y＝3x
B．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，y＝2x和y＝3x
C．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，y＝3x和y＝2x
D．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，y＝3x和y＝2x
【答案】D
【分析】由已知结合指数函数的性质分别检验各函数即可判断
【解答】解：结合指数函数的性质可知，当a＞1时，y＝ax单调递增，且底数越大，函数图象越接近y轴，
当0＜a＜1时，y＝ax单调递减，且底数越小，函数图象越接近y轴，
故y＝2x，y＝3x，，的图象分别对应④③①②．
故选：D．
【例14】（2025春 六盘水期末）下列图象中，有可能表示指数函数的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】可根据指数函数的定义和性质来逐一分析选项．
【解答】解：指数函数的一般形式为y＝ax（a＞0且a≠1），其具有以下性质：
定义域为R，值域为（0，+∞）
当a＞1时，函数在R上单调递增；
当0＜a＜1时，函数在R上单调递减．
图象恒过点（0，1），
A，C的图象不过点（0，1），不可能是指数函数的图象；
B的图象表示一条直线，是一次函数，不可能是指数函数的图象；
观察图像可知，D有可能是指数函数图象．
故选：D．
【例15】（2024秋 西宁校级月考）f（x）＝ax+b（a＞0，a≠1）的图象如图所示，a，b为常数，则（　　）
A．a＞1，b＜0 B．a＞1，b＞0 C．0＜a＜1，b＜0 D．0＜a＜1，b＞0
【答案】D
【分析】先由函数图象的单调性与函数解析式特点推得0＜a＜1，排除A，B两项，再由曲线与y轴的交点在点（0，1）之下，建立幂的不等式，利用函数单调性即可推得．
【解答】解：因为f（x）＝ax+b＝ab ax，a＞0，a≠1，且图象在x轴上方，
所以ab＞0，
由图象可知，函数f（x）单调递减，
所以0＜a＜1，所以排除A，B选项，
由图象可知，当x＝0时，f（0）＝ab＜1＝a0，
因为0＜a＜1，所以函数y＝ax为减函数，
所以b＞0．
故选：D．
【例16】（2025春 临沂期末）函数y＝3x与的图象（　　）
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于原点对称 D．关于直线y＝x对称
【答案】B
【分析】利用指数幂的运算性质，将两个函数转化为同底的知识函数，然后判断图象关系即可．
【解答】解：由y＝（）x＝3﹣x，
所以函数y＝3x与y＝（）x的图象关于y轴对称．
故选：B．
【知识点5】指数函数的单调性
1．指数不等式的求解
(1)形如的不等式，可借助的单调性求解．
(2)形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解．
(3)形如的不等式，可借助两函数，的图象求解．
2．指数型复合函数的单调性
(1)当时，的单调性与的单调性相同．
(2)当时，的单调与的单调性相反．
例1：
【例17】（2025春 宝坻区校级期末）设函数f（x）＝ex（x﹣a）在区间（0，1）单调递减，则a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣2] B．[﹣2，0） C．（0，2] D．[2，+∞）
【答案】D
【分析】由已知结合复合函数的单调性即可求解．
【解答】解：函数f（x）＝ex（x﹣a）在区间（0，1）单调递减，
所以g（x）＝（x﹣a）x在（0，1）上单调递减，
所以1，即a≥2．
故选：D．
【例18】（多选）（2024秋 上城区校级期末）若f（x）＝3x+1，则下列结论正确的是（　　）
A．f（x）在[﹣1，1]上单调递增
B．y＝3x+1与y的图象关于y轴对称
C．f（x）的图象过点（0，1）
D．f（x）的值域为[1，+∞）
【答案】AB
【分析】利用指数函数的性质进行判断求解即可
【解答】解：因为函数f（x）＝3x+1在R上单调递增，所以选项A正确；
函数y1＝3﹣x+1，所以函数y＝3x+1与y1的图象关于y轴对称，选项B正确；
由f（0）＝30+1＝2，得f（x）的图象过点（0，2），选项C错误；
由3x＞0，可得f（x）＞1，f（x）的值域是（1，+∞），选项D错误．
故选：AB．
【例19】（2025春 杭州月考）已知函数，则不等式f（2m﹣1）＜f（m+3）成立的实数m的取值范围为　　　　．
【答案】{m|}．
【分析】利用函数的单调性和奇偶性解抽象函数不等式可得．
【解答】解：因为，
所以，定义域为R关于原点对称，所以f（x）为偶函数，
又当x≥0时，为增函数；当x＜0时，f（x）为减函数，
所以f（2m﹣1）＜f（m+3）即|2m﹣1|＜|m+3|，
两边平方整理可得3m2﹣10m﹣8＜0，解得．
故答案为：{m|}．
【例20】（2025春 静安区期末）已知是定义域为R的奇函数．
（1）求实数a的值，并判断函数y＝f（x）的单调性；
（2）写出函数y＝f（x）的值域．
【答案】（1）a＝2，f（x）是增函数；
（2）（﹣1，1）．
【分析】（1）根据函数f（x）是定义域为R的奇函数得f（0）＝0，求出a，验证a＝2时f（x）是奇函数，判断f（x）是增函数；
（2）由指数函数的图象与性质，即可求出函数y＝f（x）的值域．
【解答】解：（1）因为函数f（x）＝1是定义域为R的奇函数，
所以f（0）＝0，即10，解得a＝2，
当a＝2时，f（x）＝1，
所以f（﹣x）+f（x）＝1120对任意实数x成立，
所以a＝2．
因为y＝2x是增函数，所以y＝2x+1是增函数，所以y是减函数，
所以y是增函数，
所以f（x）＝1是增函数．
（2）由y＝2x＞0，得y＝2x+1＞1，所以02，
所以﹣20，所以﹣1＜11，
所以函数y＝f（x）＝1的值域为（﹣1，1）．
【知识点6】比较大小
1．指数比较大小的方法
(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较．
(2)中间量法．
(3)比较法：作差法与作商法．
2．比较大小
(1)若底数相同，则可根据指数函数的性质得出结果．
(2)若底数不相同，则首先考虑能否化成同底数，然后根据指数函数的性质得出结果．
(3)不能化成同底数的，要考虑引进第三个数（如0，1等）分别与之比较，从而得出结果．
(4)比较时要尽量转化成底的形式，根据指数函数单调性进行判断．
例1：
【例21】（2025春 商丘期末）若a＝0.20.3，b＝0.30.2，c＝20.3，则（　　）
A．b＞c＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a
【答案】D
【分析】根据幂函数与指数函数的性质，比较大小即可．
【解答】解：根据幂函数y＝x0.3在（0，+∞）上单调递增，得0.20.3＜0.30.3，
根据指数函数y＝0.3x在R上单调递减，得0.30.3＜0.30.2＜0.30，
所以a＜b＜1，
又因为y＝2x在R上单调递增，得20.3＞20，所以c＞1，
所以c＞b＞a．
故选：D．
【例22】（2025春 南昌县校级月考）已知a＝1.72.5，b＝1.73，c＝8，那么a，b，c的大小关系是（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜a＜c
【答案】A
【分析】根据题意结合指数函数、幂函数单调性分析判断．
【解答】解：1.72.5＜1.73，即a＜b；
1.73＜23＝8，即b＜c；
综上所述：a＜b＜c．
故选：A．
【例23】（2025 扬州校级模拟）若，，，则有（　　）
A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a＞c＞b
【答案】D
【分析】由题意利用指数函数的单调性，判断a、b、c的大小关系．
【解答】解：若3，，3，
∴c＞b，且 a＞c，即 a＞c＞b，
故选：D．
【例24】（多选）（2024秋 五华区校级期末）若a＞b，则下列一定成立的是（　　）
A．2a＞2b B． C． D．a2＞b2
【答案】AC
【分析】根据指数函数和幂函数的单调性即可判断AC；举例说明即可判断BD．
【解答】解：因为a＞b，且y＝2x在R上是增函数，所以2a＞2b，故A正确；
当a＝1，b＝﹣1时，满足a＞b，但，故B错误；
因为a＞b，且在R上是增函数，所以，故C正确；
当a＝0，b＝﹣1时，a2＜b2，故D错误．
故选：AC．

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