资源简介

4.3 对数
【知识点1】对数 1
【知识点2】指数式与对数式的互化 3
【知识点3】对数运算 4
【知识点4】对数恒等式 6
【知识点5】换底公式 8
【知识点6】综合运算 9
1.理解对数的概念、熟记常见对数(重点)。
2.掌握指数式与对数式的互化、对数运算(重难点)。
3.掌握对数恒等式、换底公式(重点)。
【知识点1】对数
对数
(1)如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．
(2)对数式中各字母的取值范围是：且，，．
(3)1的对数为0，即．
(4)底的对数等于1，即
【例1】（2024秋 大兴区期末）方程的解集为（　　）
A．{1} B．{﹣1，1}
C． D．
【答案】D
【分析】由已知结合对数的运算即可求解．
【解答】解：由可得x2＝2，所以x．
故选：D．
【例2】（2025 长春校级模拟）已知log2[log3（log4x）]＝0，那么x等于（　　）
A．1 B．16 C．64 D．81
【答案】C
【分析】根据对数的基本运算法则进行计算即可．
【解答】解：∵log2[log3（log4x）]＝0，∴log3（log4x）＝1，∴log4x＝3，
即x＝43＝64，
故选：C．
【例3】（2024秋 浦东新区校级期中）使对数loga（﹣2a+1）有意义的a的取值范围是　　　　．
【答案】（0，）．
【分析】根据已知条件，结合对数的定义，即可求解．
【解答】解：由题意可知，，解得0＜a，
故a的取值范围为（0，）．
故答案为：（0，）．
【例4】（2024秋 衢州期末）若ln（log2m）＝0，则m＝　　　　．
【答案】2．
【分析】结合对数的运算即可求解．
【解答】解：若ln（log2m）＝0，则log2m＝1，所以m＝2．
故答案为：2．
【知识点2】指数式与对数式的互化
指数式与对数式
例1：
【例5】（2024秋 海口期中）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（　　）
A．e0＝1与ln1＝0
B．与
C．log39＝2与3
D．log77＝1与71＝7
【答案】C
【分析】e0＝1 ln1＝0； ；log39＝2 32＝9，3 ；log77＝1 71＝7．
【解答】解：e0＝1 ln1＝0，故A正确；
，故B正确；
log39＝2 32＝9，3 ，故C不正确；
log77＝1 71＝7，故D正确．
故选：C．
【例6】（多选）（2024秋 河池月考）若2x＝3，则x等于（　　）
A．log32 B．log23 C． D．
【答案】BD
【分析】利用指数式与对数式的互化，结合换底公式求解即得．
【解答】解：由2x＝3，得．
故选：BD．
【例7】（2024秋 红桥区期末）若log2x＝3，则x＝　　　　．
【答案】8．
【分析】把对数式化为指数式即可得出．
【解答】解：∵log2x＝3，则x＝23＝8．
故答案为：8．
【例8】（2024秋 金山区校级期中）指数式2a＝b化成对数式为　　　　．
【答案】a＝log2b．
【分析】根据指数式与对数式互化关系即可求解．
【解答】解：因为2a＝b，所以a＝log2b．
故答案为：a＝log2b．
【知识点3】对数运算
对数运算
(1)．
(2)．
(3)．
(4)
例1：
【例9】（2025 临汾模拟）已知，，则a﹣b＝（　　）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
【答案】B
【分析】根据指数，对数的运算性质即可求解．
【解答】解：由，，则a﹣b＝1．
故选：B．
【例10】（多选）（2025 封丘县校级开学）下列运算正确的是（　　）
A．lg5+lg2＝1 B．elnπ＝π
C．log43＝2log23 D．lg5÷lg2＝log25
【答案】ABD
【分析】结合对数运算性质检验选项AB，结合换底公式检验选项CD．
【解答】解：lg5+lg2＝lg10＝1，A正确；
elnπ＝π，B正确；
log43，C错误；
log25，D正确．
故选：ABD．
【例11】（2025春 汉中期末）已知lg2＝a，lg5＝b，则a+b＝　　　　．
【答案】1．
【分析】利用对数的运算即可求解．
【解答】解：由题意可知，a+b＝lg2+lg5＝lg10＝1．
故答案为：1．
【例12】（2024秋 柳州期末）计算与解不等式．
（1）计算：；
（2）计算：lg4+lg25+lg50﹣lg5．
（3）解不等式：x2﹣5x+6＜0．
【答案】（1）；
（2）3；
（3）{x|2＜x＜3}．
【分析】（1）根据指数幂运算公式，即可求解；
（2）根据对数运算公式，即可求解；
（3）分解因式后，即可求解．
【解答】解：（1）20+2﹣11；
（2）lg4+lg25+lg50﹣lg5＝lglg103＝3；
（3）不等式x2﹣5x+6＜0可化为（x﹣2）（x﹣3）＜0，解得2＜x＜3，
所以不等式的解集为{x|2＜x＜3}．
【知识点4】对数恒等式
对数恒等式
．
例1：
【例13】（2024秋 如皋市期末）（　　）
A． B．3 C． D．
【答案】C
【分析】根据指数幂以及对数的运算法则，即可求得答案．
【解答】解：因为1＝log22，
所以．
故选：C．
【例14】（2024秋 沙依巴克区校级期末）（　　）
A．10 B．11 C．12 D．3
【答案】B
【分析】利用对数的运算和性质，指数幂的运算化简求值即可．
【解答】解：∵lg4+2lg5＝lg4+lg52＝lg4+lg25＝lg100＝2，
log28＝3，22＝4，，
∴2+3+4+2＝11．
故选：B．
【例15】（2025 独山子区校级开学）计算：1.10+eln2﹣0.5﹣2+lg25+2lg2＝　　　　．
【答案】1．
【分析】进行指数和对数的运算即可．
【解答】解：原式＝1+2﹣4+lg100＝﹣1+2＝1．
【例16】（2024秋 邢台期末）计算：（1）；
（2）lg25+lg2 lg50+（lg2）2﹣e3ln2．
【答案】（1）9；（2）﹣6．
【分析】（1）利用指数幂的运算法则即可得出；
（2）利用对数的运算法则和lg2+lg5＝1．
【解答】解：（1）原式3+27﹣21＝9．
（2）原式＝lg52+lg2 lg50+（lg2）2﹣eln8
＝2lg5+lg2（1+lg5）+（lg2）2﹣8
＝2lg5+lg2+lg2 lg5+（lg2）2﹣8
＝2lg5+lg2+lg2（lg5+lg2）﹣8
＝2（lg5+lg2）﹣8
＝﹣6．
【知识点5】换底公式
换底公式
(1)．
(2)．
例1：
【例17】（2025春 日照期末）若logam＝2，b3＝m，则logm（ab）＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据指数式和对数式互换得出logbm＝3；再根据对数的运算法则及换底公式可求解．
【解答】解：由b3＝m可得：logbm＝3，
则logm（ab）＝logma+logmb．
故选：C．
【例18】（2025春 长沙期末）已知，则log215＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用对数的换底公式得，b＝log23，最后利用对数的运算法则即可求解．
【解答】解：，
∴a＝log52，
∴，b＝log23，
∴．
故选：A．
【例19】（2024秋 松江区期中）若logab log3a＝4，则b的值为　　　　．
【答案】81．
【分析】由logab log3a＝4，利用换底公式推导出4，由此能求出b的值．
【解答】解：∵logab log3a＝4，
∴4，
∴lgb＝4lg3＝lg34＝lg81，
∴b＝81．
故答案为：81．
【例20】（2024 海州区校级开学）（1）设3a＝4b＝36，求的值；
（2）已知3a＝5b＝c，且，求c的值．
【答案】（1）1；（2）．
【分析】（1）根据题意将指数式化为对数式，利用换底公式可得，代入运算求解即可．
（2）根据题意将指数式化为对数式，利用换底公式可得，代入运算求解即可．
【解答】解：（1）因为3a＝4b＝36，则a＝log336，b＝log436，
则
，
所以；
（2）因为3a＝5b＝c，则a＝log3c，b＝log5c，
可得，，则．
由题意可得logc15＝2，则c2＝15，且c＞0，
所以．
【知识点6】综合运算
对数常用公式
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
(5)．
(6)．
例1：
【例21】（2024秋 滨州期末）计算的值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】根据对数运算法则、换底公式、对数恒等式运算即可．
【解答】解：
＝6+lg5+lg2＝6+1＝7．
故选：C．
【例22】（2024秋 静安区校级月考）已知lg2＝a，lg3＝b，则log29＝　　　　．（结果用a，b表示）
【答案】．
【分析】根据换底公式和对数的运算性质即可得解．
【解答】解：∵lg2＝a，lg3＝b，
∴．
故答案为：．
【例23】（2024秋 温州月考）已知log189＝a，18b＝5，用a、b表示log645．
【答案】
【分析】根据换底公式，化简计算即可得到答案．
【解答】解：log189＝a，18b＝5，
∴b＝log185，
∴log645
【例24】（2024秋 斗门区校级期末）计算：
（1）
（2）lg5（lg8+lg1000）+（lg）2+lglg0.06．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用logaM+logaN＝logaMN，logaM﹣logaN＝loga，以及对数运算性质log（an）NmlogaN，我们易将式子进行化简，进而得到结果．
【解答】解：（1）
0
（2）lg5（3lg 2+3）+3（lg 2）2﹣lg 6+lg 6﹣2
＝3 lg 5 lg 2+3lg 5+3lg22﹣2
＝3lg 2（lg 5+lg 2）+3lg 5﹣2
＝3lg 2+3lg 5﹣2
＝3（lg 2+lg 5）﹣2＝3﹣2＝1．4.3 对数
【知识点1】对数 1
【知识点2】指数式与对数式的互化 2
【知识点3】对数运算 3
【知识点4】对数恒等式 4
【知识点5】换底公式 4
【知识点6】综合运算 5
1.理解对数的概念、熟记常见对数(重点)。
2.掌握指数式与对数式的互化、对数运算(重难点)。
3.掌握对数恒等式、换底公式(重点)。
【知识点1】对数
对数
(1)如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．
(2)对数式中各字母的取值范围是：且，，．
(3)1的对数为0，即．
(4)底的对数等于1，即
【例1】（2024秋 大兴区期末）方程的解集为（　　）
A．{1} B．{﹣1，1}
C． D．
【例2】（2025 长春校级模拟）已知log2[log3（log4x）]＝0，那么x等于（　　）
A．1 B．16 C．64 D．81
【例3】（2024秋 浦东新区校级期中）使对数loga（﹣2a+1）有意义的a的取值范围是　　　　．
【例4】（2024秋 衢州期末）若ln（log2m）＝0，则m＝　　　　．
【知识点2】指数式与对数式的互化
指数式与对数式
例1：
【例5】（2024秋 海口期中）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（　　）
A．e0＝1与ln1＝0
B．与
C．log39＝2与3
D．log77＝1与71＝7
【例6】（多选）（2024秋 河池月考）若2x＝3，则x等于（　　）
A．log32 B．log23 C． D．
【例7】（2024秋 红桥区期末）若log2x＝3，则x＝　　　　．
【例8】（2024秋 金山区校级期中）指数式2a＝b化成对数式为　　　　．
【知识点3】对数运算
对数运算
(1)．
(2)．
(3)．
(4)
例1：
【例9】（2025 临汾模拟）已知，，则a﹣b＝（　　）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
【例10】（多选）（2025 封丘县校级开学）下列运算正确的是（　　）
A．lg5+lg2＝1 B．elnπ＝π
C．log43＝2log23 D．lg5÷lg2＝log25
【例11】（2025春 汉中期末）已知lg2＝a，lg5＝b，则a+b＝　　　　．
【例12】（2024秋 柳州期末）计算与解不等式．
（1）计算：；
（2）计算：lg4+lg25+lg50﹣lg5．
（3）解不等式：x2﹣5x+6＜0．
【知识点4】对数恒等式
对数恒等式
．
例1：
【例13】（2024秋 如皋市期末）（　　）
A． B．3 C． D．
【例14】（2024秋 沙依巴克区校级期末）（　　）
A．10 B．11 C．12 D．3
【例15】（2025 独山子区校级开学）计算：1.10+eln2﹣0.5﹣2+lg25+2lg2＝　　　　．
【例16】（2024秋 邢台期末）计算：（1）；
（2）lg25+lg2 lg50+（lg2）2﹣e3ln2．
【知识点5】换底公式
换底公式
(1)．
(2)．
例1：
【例17】（2025春 日照期末）若logam＝2，b3＝m，则logm（ab）＝（　　）
A． B． C． D．
【例18】（2025春 长沙期末）已知，则log215＝（　　）
A． B． C． D．
【例19】（2024秋 松江区期中）若logab log3a＝4，则b的值为　　　　．
【例20】（2024 海州区校级开学）（1）设3a＝4b＝36，求的值；
（2）已知3a＝5b＝c，且，求c的值．
【知识点6】综合运算
对数常用公式
(1)．
(2)．
(3)．
(4)．
(5)．
(6)．
例1：
【例21】（2024秋 滨州期末）计算的值为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【例22】（2024秋 静安区校级月考）已知lg2＝a，lg3＝b，则log29＝　　　　．（结果用a，b表示）
【例23】（2024秋 温州月考）已知log189＝a，18b＝5，用a、b表示log645．
【例24】（2024秋 斗门区校级期末）计算：
（1）
（2）lg5（lg8+lg1000）+（lg）2+lglg0.06．

展开更多......

收起↑