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5　实验:用单摆测量重力加速度
[实验思路] 1.摆长l　周期T　2.(1)小　大　(2)竖直面　(4)
[实验器材] 游标卡尺
[物理量的测量] 2.平衡位置　3.l'+　4.全振动
例1　(1)①AD　②丙　(2)2.125　(3)B　(4)B　
(5)
[解析] (1)①为了减小误差,摆线的长度不能变化,摆长也不能太短,A正确,B、C错误;为了减小空气阻力的影响,小球选择体积小、密度大的小球,D正确,E错误.
②为了减小误差,要保证实验过程中摆线长不能改变,且在需要改变摆长进行实验时,要更容易操作,故丙的悬挂方式更好.
(2)根据游标卡尺的示数可得小球的直径d=21 mm+5×0.05 mm=21.25 mm=2.125 cm.
(3)本实验通过单摆的周期来测量重力加速度,不需要测出摆球的质量,A错误;实验时须使摆球在同一竖直面内摆动,不能做成圆锥摆,B正确;计时时,从平衡位置开始计时,速度最大,特征比较明显,C错误;当摆球摆角较小时,可以把单摆的振动看成简谐运动,故摆长一定时,摆角不能太大,即振幅不易太大,D错误;测量一次全振动的时间误差太大,一般采用测量30~50次全振动的时间来计算周期,从而减小计时的误差,E错误.
(4)测量摆长时忘了加上摆球的半径,则摆长变成摆线的长度l,则有T2===+,与实线比较可知该同学作出的图像T2 L为应为虚线②,平行于OM.故选B.
(5)第一次挡光后每半个周期挡光一次,故双线摆的周期T=2Δt,根据几何知识可得,摆长L=+,根据单摆的周期公式T=2π,解得g=.
例2　(1)乙　19.0　(2)9.66　(3)C
[解析] (1)乙图中小球的位置正确,乙图中游标卡尺的读数为19.0 mm.
(2)根据拉力随时间变化的图像可得单摆的周期为2.00 s,由单摆周期公式T=2π得,g=≈9.66 m/s2.
(3)取摆球经过最低点时为计时零点,选项A错误;使摆球在同一竖直平面内摆动,摆角控制在5°以内,选项B错误;所用的摆线的长度不能太短,测量摆长时,必须使摆球处于悬挂状态,选项C正确;本实验须选用密度较大且直径较小的摆球,选项D错误.
例3　(1)A　C　最低点　(2)C　(3)开始计时时,停表过早按下(合理即可)
[解析] (1)为减小实验误差,应选择轻质不可伸长的细线作为摆线,摆线选择A;为减小阻力对实验的影响,选择质量大而体积小的摆球,摆球应选C;应从摆球经过最低点时开始计时,光电门应摆放在最低点.
(2)一个周期内单摆两次经过最低点,由图示图线可知,单摆周期T=t3-t1,故C正确.
(3)如果开始计时时,停表过早按下,测量时间偏长,周期就会偏大.
随堂巩固
1.A　[解析] 由公式g=l可知,若测得的g偏小,可能是由于测得的l偏小,A正确,C错误;也可能是测得的T偏大,选项B只能使测得的T偏小,B错误;单摆振动周期与振幅无关,D错误.
2.(1)1.84　l+　(2)最低点　67.5　2.25　(3)　AC
[解析] (1)由题图甲所示游标卡尺可知,游标尺是10分度的,游标尺的精度是0.1 mm,摆球直径d=18 mm+4×0.1 mm=18.4 mm=1.84 cm;摆线长度与摆球半径之和是单摆摆长,即单摆摆长L=l+.
(2)为减小实验误差,摆球摆动稳定后,当它到达最低点时启动秒表开始计时;由题图乙所示秒表可知,其示数为60 s+7.5 s=67.5 s,单摆周期T== s=2.25 s.
(3)由单摆周期公式T=2π,可得g=;测周期时,将摆球经过最低点的次数n计少了,所测周期T偏大,所测g偏小,故A正确;计时开始时,秒表启动稍晚,则总时间偏小,周期偏小,所测g值偏大,故B错误;将摆线长当成了摆长,所测摆长偏小,所测g偏小,故C正确;将摆线长加小球直径作为摆长,所测摆长L偏大,所测g偏大,故D错误.5　实验:用单摆测量重力加速度
1.AC　[解析] 适当加长摆线有利于测量摆长,使相对误差减小,另外有利于控制摆角不易过大,选项A正确;质量相同、体积不同的摆球中,应选用体积较小的,以减小摆动过程中空气阻力的影响,选项B错误;摆线偏离竖直方向的角度不能太大,若偏角太大,则不是简谐运动,选项C正确;经过一次全振动后停止计时,所测时间偶然误差过大,应测量多次全振动所用的时间再求平均值,以减小偶然误差,选项D错误.
2.(1)乙　(2)2t0　变大
[解析] (2)一个周期内小球两次经过最低点,使光敏电阻的阻值发生变化,故振动周期为7t1+2t0-t1=2t0;小球的直径变大后,摆长变长,根据T=2π 可知,周期变大.
3.(1)低　2.05 s　(2)0.997 5　(3)　(4)A
[解析] (1)摆球经过最低点时速度最大,容易观察和计时;图甲中停表的示数为1.5 min+12.5 s=102.5 s,则周期T= s=2.05 s.
(2)从悬点到球心的距离即为摆长,可得L=0.997 5 m.
(3)由单摆周期公式T=2π可得g=.
(4)由于受到空气浮力的影响,相当于摆球的质量没变而所受重力减小,即等效重力加速度减小,因而振动周期变大,A正确.
4.(1)2.26　(2)如图所示　9.86　(3)B
[解析] (1)小球的直径d=22 mm+0.1 mm×6=22.6 mm=2.26 cm.
(2)L T2图像如图所示.由T=2π 可得L=T2,则k=,对应图像可得k= m/s2=0.25 m/s2,解得g=4π2k≈9.86 m/s2.
(3)在实验中,若摆长没有加小球的半径,其他操作无误,可得L=T2-,故B正确,A、C、D错误.
5.(1)B　(2)2.00　(3)2.2　(4)4π2　(5)相等
[解析] (1)为了尽可能减小空气阻力对实验的影响,摆球尽量选择质量较大、体积较小的,故A错误;摆线要选择较细(尽可能减小空气阻力对实验的影响)、伸缩性较小(确保摆球摆动时摆长几乎不变)、且尽可能长一些(减小摆长测量的相对误差)的,故B正确;安装单摆时,不可将摆线一端直接缠绕在铁架台横杆上,否则摆球运动过程中摆长发生变化,故C错误;只有摆线相对平衡位置的偏角在很小的情况下(通常小于5°),单摆才做简谐运动,进而才能根据周期公式测量重力加速度,故D错误.
(2)游标卡尺的分度值为0.1 mm,则小球直径为D=20 mm+0×0.1 mm=20.0 mm=2.00 cm.
(3)摆球一个周期内两次经过最低点,根据丙图可知单摆周期为T=2.2 s.
(4)根据单摆周期公式T=2π,变形可得L=T2,可知L T2图像斜率为=,计算得g=4π2.
(5)假设小球与小磁铁整体重心的位置在小球的球心下方r处,根据单摆周期公式可得T=2π,整理得L=T2-r,根据表达式可知不影响所作图线的斜率,所以由斜率计算出的重力加速度值与实际值相比大小相等.
6.(1)2　(2)9.77　(3)偏小　(4)4π2kv2　(5)摆线有弹性,接近最低点时被拉长,周期变大,接近最高点时周期变小
[解析] (1)根据题意,由题图乙可知,单摆摆动一个周期,木板移动的距离为5 cm,可得单摆周期为T==2 s.
(2)根据题意,由单摆周期公式T=2π可得,当地的重力加速度为g=,代入数据解得g≈9.77 m/s2.
(3)由于计算时摆长用的摆线长,小于实际摆长,则重力加速度的测量值与真实值相比偏小.
(4)由题意可知,单摆的周期为T=,单摆周期公式为T=2π,联立可得l=d2,故k=,则重力加速度为g=4π2kv2.
(5)在实际操作中,该同学发现,即便保持了小角度摆动,每一组测量时摆动的周期都会不同程度的出现先变大再变小的情况,产生这个现象的原因可能是摆线有弹性,接近最低点时被拉长,周期变大,接近最高点时周期变小.5　实验:用单摆测量重力加速度
【实验思路】
1.实验原理
由T=2π,得g=,则测出单摆的　　　　和　　　　,即可求出当地的重力加速度.
2.实验需要考虑的问题
(1)构成单摆的条件:细线的质量要小、弹性要小,选用体积　　　　、密度　　　　的小球,摆角不超过5°.
(2)要使摆球在同一　　　　内摆动,不能形成圆锥摆,方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放.
(3)测周期的方法
①要从摆球过平衡位置时开始计时,因为此处对应的速度大、计时误差小,而最高点对应的速度小、计时误差大.
②要测多次全振动的时间来计算周期.如在摆球过平衡位置时开始计时,且在数“零”的同时按下停表,以后每当摆球从同一方向通过平衡位置时计数1次.
(4)本实验可以采用图像法来处理数据.即用纵轴表示摆长l,用横轴表示T2,将实验所得数据在坐标平面上标出,应该得到一条倾斜直线,直线的斜率k=　　　　.这是在众多的实验中经常采用的科学处理数据的重要方法.
【实验器材】
铁架台及铁夹,金属小球(有孔)、停表、细线(1 m左右)、刻度尺、　　　　　　.
【物理量的测量】
1.让细线穿过小球上的小孔,在细线的穿出端打一个稍大一些的线结,制成一个单摆.
2.将铁夹固定在铁架台上端,铁架台放在实验桌边上,把单摆上端固定在铁夹上,使摆球自由下垂.在单摆　　　　处做上标记.
3.用刻度尺量出悬线长l'(准确到mm),用游标卡尺测出摆球的直径d(准确到mm),则摆长为l=　　　　.
4.把单摆拉开一个角度,角度不大于5°,释放摆球.摆球经过平衡位置时,用停表开始计时,测出单摆全振动30次(或50次)的时间,求出一次　　　　的时间,即为单摆的振动周期.
5.改变摆长,反复测量几次,将数据填入表格.
【数据处理】
1.平均值法:每改变一次摆长,将相应的l和T代入公式中求出g值,最后求出g的平均值.
设计实验表格如下:
实验 次数 摆长 l/m 周期 T/s 重力加速度 g/(m·s-2) 重力加速度g的 平均值/(m·s-2)
1 g=
2
3
2.图像法:由T=2π得T2=l,作出T2 l图像,即以T2为纵轴,以l为横轴,其斜率k=,由图像的斜率即可求出重力加速度g.
【误差分析】
1.本实验系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求,即悬点是否固定;球、线是否符合要求;振动是否在同一竖直平面内以及测量哪段长度作为摆长等等.
2.本实验偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量.要从摆球通过平衡位置时开始计时,并采用倒数计时计数的方法,不能多计或漏计振动次数.为了减小偶数误差,要进行多次测量后取平均值.
3.本实验中在长度(摆线长、摆球的直径)的测量时,读数读到毫米即可(即使用游标卡尺测摆球直径也只需读到毫米);在时间的测量中,停表读数的有效数字的末位在秒的十分位即可.
例1 [2024·天津一中月考] 用如图甲所示的实验装置进行“用单摆测定重力加速度”的实验.
(1)器材和装置
①实验时除用到秒表、刻度尺、铁架台外,还应该选用下面列出的器材中的　　　　,以备完成装置搭建(填选项前的字母).
A.长约1 m的细线
B.长约1 m的橡皮绳
C.长约5 cm的细线
D.直径约2 cm的匀质铁球
E.直径约10 cm的匀质木球
②选择好器材,将符合实验要求的摆球用细线悬挂在铁架台横梁上,图乙、丙分别画出了细线上端的两种不同的悬挂方式,你认为图　　　　(选填“乙”或“丙”)的悬挂方式较好.
(2)为完成实验,他们用刻度尺测量摆线长度L,并用游标卡尺测小球直径,如图丁所示,摆球直径为d=　　　　 cm;
(3)关于本实验下列说法正确的是　　　　.
A.需要用天平称出小球的质量
B.实验时须使摆球在同一竖直面内摆动
C.测量周期时,应从摆球到达最高点时开始计时
D.为了方便测量,摆长一定的情况下,摆的振幅越大越好
E.为节约时间,经过一次全振动后停止计时,用此时间间隔作为单摆振动的周期
(4)如图戊所示,小欣同学用标准的实验器材和正确的实验方法测量出几组不同摆长L和周期T的数值,根据实验数据作出T2 L图像,发现图像是过坐标原点的倾斜直线OM;小程同学也进行了与小欣同学同样的实验,但实验后他发现测量摆长时忘了加上摆球的半径,则他作出的T2 L图像可能为　　　　.
A.虚线①(不平行于实线OM)
B.虚线②(平行于实线OM)
C.虚线③(平行于实线OM)
D.虚线④(不平行于实线OM)
(5)小艺同学利用双线摆和光传感器测量当地的重力加速度,如图己所示,A为激光笔,B为光传感器.
实验过程如下:
a.用游标卡尺测量小球的直径d;
b.测出位于同一水平高度的两悬点间的距离s和两根等长悬线的长度l;
c.拉动摆球使两根悬线所在平面偏离竖直方向一个较小角度,将摆球由静止释放,同时启动光传感器,得到光照强度随时间变化的图像如图庚所示,图中t0和Δt为已知参量.根据上述数据可得当地重力加速度g=　　　　(用Δt、d、l、s和常量表示).
例2 如图甲所示,某学习小组利用力传感器做“用单摆测量重力加速度”实验.
(1)实验中,某同学用游标卡尺两次测量小球的直径如图乙和丙所示,则操作正确的是　　　(选填“乙”或“丙”),若操作正确,则所得小球的直径为　　　　　　　mm.
(2)某次实验用的是摆长为0.98 m的单摆,通过拉力传感器记录拉力随时间变化的关系如图丁所示,则当地的重力加速度g=　　　　　　m/s2(结果保留三位有效数字).
(3)为了尽可能地减小实验误差,下列说法正确的是　　　　　.
A.摆球经过最高点时取为计时零点
B.使摆球在同一竖直平面内摆动,摆角控制在30°以内
C.所用的摆线的长度不能太短,测量摆长时,必须使摆球处于悬挂状态
D.本实验须选用密度和直径都较小的摆球
【实验拓展与创新】
人工计数时,需要在摆球经过最低点时按下停表,但是在实际操作中,经常会过早或过晚按下停表,导致误差较大,因此可以用自动计数代替人工计数.
如图甲所示,在摆球运动的最低点位置的左右两侧分别放置一激光光源与光敏电阻,光敏电阻与某一自动记录仪相连,该仪器可以显示光敏电阻的阻值R随时间t变化的曲线,如图乙所示.摆球摆动到最低点时,挡住激光使得光敏电阻的阻值增大,从t1时刻开始,再经过两次挡光完成一个周期,故该单摆的振动周期为2t0.
例3 在“用单摆测量重力加速度”实验中,使用下列实验器材.
A.1.2 m的细线
B.2 m的弹性绳
C.带孔的小铁球
D.带孔的软木球
E.光电门传感器
(1)应选用哪种绳　　　　,应选用哪种球　　　　,光电门的摆放位置为　　　　(选填“最高点”或“最低点”).
(2)如图为光电门传感器电流I与t的图像,则周期为　　　　.
A.t1
B.t2-t1
C.t3-t1
D.t4-t1
(3)甲同学用停表做该实验,但所得周期比该实验得到的大,则可能的原因是 　.
[反思感悟] 　

1.(误差分析)利用单摆测重力加速度的实验中,若测得的g偏小,可能是由于 (　)
A.计算摆长时,只考虑悬线长而未加小球半径
B.测量周期时,将n次全振动误记成n+1次全振动
C.计算摆长时,用悬线长加小球直径
D.单摆振动时,振幅较小
2.(数据处理和误差分析)[2024·陕西宝鸡期末] 在“用单摆测量重力加速度大小”的实验中.
甲
乙
(1)安装好实验装置后,先用游标卡尺测量摆球直径d,测量的示数如图甲所示,则摆球直径d=　　　　cm,再测量摆线长l,则单摆摆长L=　　　　(用d、l表示);
(2)摆球摆动稳定后,当它到达　　　　(选填“最低点”或“最高点”)时启动停表开始计时,并记录此后摆球再次经过最低点的次数n(n=1,2,3,…),当n=60时刚好停表.停止计时的停表如图乙所示,其读数为　　　　s,该单摆的周期为T=　　　　s(周期要求保留三位有效数字);
(3)计算重力加速度测量值的表达式为g=　　　　(用T、L表示),如果测量值小于真实值,可能原因是　　　　.
A.将摆球经过最低点的次数n记少了
B.计时开始时,停表启动稍晚
C.将摆线长当成了摆长
D.将摆线长和球的直径之和当成了摆长5　实验:用单摆测量重力加速度 (时间:40分钟　总分:42分)
1.(4分)(多选)在做“用单摆测量重力加速度”的实验中,有人提出以下几点建议,其中对提高测量结果精确度有利的是 (　)
A.适当加长摆线
B.质量相同、体积不同的摆球中,应选用体积较大的
C.摆线偏离竖直方向的角度不能太大
D.当摆球经过平衡位置时开始计时,经过一次全振动后停止计时,用此时间间隔作为单摆振动的周期
2.(6分)[2025·山西太原五中高二月考] (1)(2分)在“用单摆测量重力加速度”实验中,两位同学用游标卡尺测量小球的直径的操作如图甲、乙所示.测量方法正确的是　　　　(选填“甲”或“乙”).
(2)(4分)实验时,若小球在垂直纸面的平面内摆动,为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数,在摆球运动的最低点的左、右两侧分别放置一激光光源与光敏电阻,如图丙所示.光敏电阻与某一自动记录仪相连,该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t的变化图线如图丁所示,则该单摆的振动周期为　　　　.若保持悬点到小球顶点的绳长不变,改用直径是原小球直径2倍的另一小球进行实验,则该单摆的周期将　　　　(选填“变大”“不变”或“变小”).
3.(6分)[2024·浙江丽水中学月考] 在“用单摆测量重力加速度”的实验中:
(1)(2分)摆动时偏角满足的条件是小于5°,为了减小测量周期的误差,计时开始时,摆球应是经过最　　　　(选填“高”或“低”)点的位置,且用停表测量单摆完成多次全振动所用的时间,求出周期.图甲中停表示数为一单摆全振动50次所用的时间,则单摆振动周期为　　　　.
(2)(1分)用最小刻度为1 mm的刻度尺测摆长,测量情况如图乙所示.O为悬挂点,从图乙中可知单摆的摆长为　　　　 m.
(3)(1分)若用L表示摆长,T表示周期,那么重力加速度的表达式为g=　　　　.
(4)(2分)考虑到单摆振动时空气浮力的影响后,学生甲说:“因为空气浮力与摆球重力方向相反,它对球的作用相当于重力加速度变小,因此振动周期变大.”学生乙说:“浮力对摆球的影响好像用一个轻一些的摆球做实验,因此振动周期不变”,这两个学生中　　　　.
A.甲的说法正确
B.乙的说法正确
C.两学生的说法都是错误的
4.(6分)利用单摆测当地重力加速度的实验中:
(1)(2分)利用游标卡尺测得金属小球直径如图所示,小球直径d=　　　　cm.
(2)(2分)某同学测量数据如下表,请在图中画出L T2图像.
L/m 0.400 0.500 0.600 0.800 1.200
T2/s2 1.60 2.10 2.40 3.20 4.80
由图像可得重力加速度g=　　　　m/s2(结果保留三位有效数字).
(3)(2分)某同学在实验过程中,摆长没有加小球的半径,其他操作无误,那么他得到的实验图像可能是图中的　　　　(填选项字母).
5.(10分)[2025·湖南岳阳期末] 某学习小组利用单摆测量当地的重力加速度.实验装置如图甲所示,将小磁铁吸附在钢质小球的正下方,当小球静止时,将传感器固定于小球正下方的水平桌面上;传感器与电脑连接,可以将实时测量到的磁感应强度数据传输进电脑进行分析.
(1)(2分)下列说法正确的是 　　　　;
A.小球应选择体积大的
B.摆线应选择弹性小、细些的
C.安装单摆时,可将摆线一端直接缠绕在铁架台横杆上
D.摆动过程中的最大摆角越大越好
(2)(2分)学习小组利用刻度尺测量了悬挂点与小球上端的距离l=118.00 cm;用游标卡尺测量小球的直径如图乙所示,小球直径D=　　　　 cm;不吸附小磁铁时,摆长L=l+D.
(3)(2分)小球摆动稳定后,使传感器开始工作,利用电脑得出磁感应强度大小B随时间t变化的图像如图丙所示.此单摆的周期T=　　　　s.
(4)(2分)实验时改变摆长,测出几组摆长L和对应的周期T的数据,作出L T2图像,如图丁所示.利用A、B两点的坐标可求得重力加速度g=　　　　;
(5)(2分)小组中有同学提出,小球与小磁铁整体重心的位置不在小球的球心,这可能会影响到对重力加速度的测量.若仅考虑这一因素,第(4)问得到的g值与实际值相比将 　　　　(选填“偏大”“偏小”或“相等”).
6.(10分)[2025·江苏南京期末] 某同学利用如图甲所示的实验装置测量当地的重力加速度.实验主要步骤如下:
A.按图甲将沙漏悬挂在支架上,在沙漏正下方放置一块长木板,木板与电动机的牵引绳相连,在木板上固定一张白纸;
B.测得悬挂沙漏的摆线长度为99.00 cm;
C.使沙漏在支架所在的竖直面内小幅度摆动,同时让细沙不断地流出;
D.启动电动机,使木板以2.5 cm/s的速度水平匀速运动,运动方向与沙漏摆动平面垂直,细沙在白纸上形成一条曲线,并建立如图乙所示的坐标系,用该图线研究沙漏的振动规律;
E.将摆线长度视为该单摆的摆长,结合其他所得的数据和图线,可求出当地的重力加速度.
(1)(2分)该单摆的周期为　　　　s;
(2)(2分)取π2=9.87,可求得当地的重力加速度大小为　　　　 m/s2(结果保留三位有效数字):
(3)(2分)该同学的重力加速度测量值与真实值相比　　　　(选填“偏大”或“偏小”).
(4)(2分)为了降低实验的偶然误差带来的影响,该同学多次改变摆线长度进行实验,木板的移动速度v不变,得到了多组实验数据,每组数据包含摆线长度l,木板上每个周期内正弦曲线在横轴上投影的长度d,并在坐标纸上作出了l d2图像,图像的斜率为k,可得重力加速度为　　　　(用v和k表示).
(5)(2分)在实际操作中,该同学发现,即便保持了小角度摆动,每一组测量时摆动的周期都会不同程度的出现先变大再变小的情况,你觉得产生这个现象的原因可能是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. (共74张PPT)
5 实验:用单摆测量重力加速度
备用习题
随堂巩固
练习册
◆
实验探究
答案核查【导】
答案核查【练】
【实验思路】
1.实验原理
由，得 ，则测出单摆的______和_______，即可求出当地的重
力加速度.
摆长
周期
2.实验需要考虑的问题
(1) 构成单摆的条件：细线的质量要小、弹性要小，选用体积____、密度____
的小球，摆角不超过 .
(2) 要使摆球在同一________内摆动，不能形成圆锥摆，方法是将摆球拉到一
定位置后由静止释放.
小
大
竖直面
(3)测周期的方法
①要从摆球过平衡位置时开始计时,因为此处对应的速度大、计时误差小，而最
高点对应的速度小、计时误差大.
②要测多次全振动的时间来计算周期.如在摆球过平衡位置时开始计时，且在数
“零”的同时按下停表，以后每当摆球从同一方向通过平衡位置时计数1次.
(4) 本实验可以采用图像法来处理数据.即用纵轴表示摆长，用横轴表示 ，将
实验所得数据在坐标平面上标出，应该得到一条倾斜直线，直线的斜率 ____.
这是在众多的实验中经常采用的科学处理数据的重要方法.
【实验器材】
铁架台及铁夹，金属小球(有孔)、停表、细线左右 、刻度尺、__________.
游标卡尺
【物理量的测量】
1.让细线穿过小球上的小孔，在细线的穿出端打一个稍大一些的线结，制成一
个单摆.
2.将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边上，把单摆上端固定在铁夹
上，使摆球自由下垂.在单摆__________处做上标记.
3.用刻度尺量出悬线长(准确到)，用游标卡尺测出摆球的直径(准确到 )，
则摆长为 ______.
平衡位置
4.把单摆拉开一个角度，角度不大于 ，释放摆球.摆球经过平衡位置时，用停
表开始计时，测出单摆全振动30次(或50次)的时间，求出一次________的时间，
即为单摆的振动周期.
全振动
5.改变摆长，反复测量几次，将数据填入表格.
【数据处理】
1.平均值法：每改变一次摆长，将相应的和代入公式中求出值，最后求出
的平均值.
设计实验表格如下：
实验 次数
1
2 3 2.图像法：由得，作出图像，即以为纵轴，以 为横
轴，其斜率，由图像的斜率即可求出重力加速度 .
【误差分析】
1.本实验系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求，即悬点是否固定；球、
线是否符合要求；振动是否在同一竖直平面内以及测量哪段长度作为摆长等等.
2.本实验偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量.要从摆球通过平衡位置时
开始计时，并采用倒数计时计数的方法，不能多计或漏计振动次数.为了减小偶
数误差，要进行多次测量后取平均值.
3.本实验中在长度(摆线长、摆球的直径)的测量时，读数读到毫米即可
(即使用游标卡尺测摆球直径也只需读到毫米)；在时间的测量中，停表读数的
有效数字的末位在秒的十分位即可.
例1 ［2024·天津一中月考］ 用如图甲所示的实验装置进行“用单摆测定重力加
速度”的实验.
甲
(1) 器材和装置
① 实验时除用到秒表、刻度尺、铁架台外，还应该选用下面列出的器材中的
_____，以备完成装置搭建(填选项前的字母).
A.长约的细线 B.长约 的橡皮绳
C.长约的细线 D.直径约 的匀质铁球
E.直径约 的匀质木球
[解析] 为了减小误差，摆线的长度不能变化，摆长也不能太短，A正确，B、C错
误；为了减小空气阻力的影响，小球选择体积小、密度大的小球，D正确， 错误.
√
√
甲
② 选择好器材，将符合实验要求的摆球用细线悬挂在铁架台横梁上，图乙、丙
分别画出了细线上端的两种不同的悬挂方式，你认为图____(选填“乙”或“丙”)的
悬挂方式较好.
丙
[解析] 为了减小误差，要保证实验过程中摆线长不能改变，且在需要改变摆长
进行实验时，要更容易操作，故丙的悬挂方式更好.
(2) 为完成实验，他们用刻度尺测量摆线长度 ，并用游标卡尺测小球直径，如
图丁所示，摆球直径为______ ；
2.125
丁
[解析] 根据游标卡尺的示数可得小球的直径
.
甲
(3) 关于本实验下列说法正确的是___.
A.需要用天平称出小球的质量
B.实验时须使摆球在同一竖直面内摆动
C.测量周期时，应从摆球到达最高点时开始计时
D.为了方便测量，摆长一定的情况下，摆的振幅越大越好
E.为节约时间，经过一次全振动后停止计时，用此时间间隔作
为单摆振动的周期
√
甲
[解析] 本实验通过单摆的周期来测量重力加速度，不需要测出摆球的质量，A
错误；实验时须使摆球在同一竖直面内摆动，不能做成圆锥摆，B正确；计时
时，从平衡位置开始计时，速度最大，特征比较明显，C错误；当摆球摆角较
小时，可以把单摆的振动看成简谐运动，故摆长一定时，摆角不能太大，即振
幅不易太大，D错误；测量一次全振动的时间误差太大，一般采用测量
次全振动的时间来计算周期，从而减小计时的误差， 错误.
戊
(4) 如图戊所示，小欣同学用标准的实验器材和正确的实
验方法测量出几组不同摆长和周期 的数值，根据实验
数据作出 图像，发现图像是过坐标原点的倾斜直线
；小程同学也进行了与小欣同学同样的实验，但实验
后他发现测量摆长时忘了加上摆球的半径，则他作出的
图像可能为___.
A.虚线①(不平行于实线) B.虚线②(平行于实线 )
C.虚线③(平行于实线) D.虚线④(不平行于实线 )
√
戊
[解析] 测量摆长时忘了加上摆球的半径，则摆长变成摆线的长度 ，则有
，与实线比较可知该同学作出的图像 为
应为虚线②，平行于 .故选B.
己
(5) 小艺同学利用双线摆和光传感器测量当地的重力加速度，如图己所示， 为
激光笔， 为光传感器.
实验过程如下：
.用游标卡尺测量小球的直径 ；
.测出位于同一水平高度的两悬点间的距离和两根等长悬线的长度 ；
庚
.拉动摆球使两根悬线所在平面偏离竖直方向一个较小角度，将摆球由静止释
放，同时启动光传感器，得到光照强度随时间变化的图像如图庚所示，图中
和为已知参量.根据上述数据可得当地重力加速度 _ _________________
(用、、、 和常量表示).
[解析] 第一次挡光后每半个周期挡光一次，故双线摆的周期，根据几何知识可得，摆长，根据单摆的周期公式，解得 .
庚
[解析] 乙图中小球的位置正
确，乙图中游标卡尺的读数
为 .
例2 如图甲所示，某学习小组利用力传感器做“用单摆测量重力加速度”实验.
(1) 实验中，某同学用游标卡尺两次测量小球的直径如图乙和丙所示，则操作
乙
19.0
正确的是____(选填“乙”或“丙”)，若操作正确，则
所得小球的直径为_____ .
丁
(2) 某次实验用的是摆长为 的单摆，通过拉力传感器记录拉力随时间变化
的关系如图丁所示，则当地的重力加速度_____ (结果保留三位有效数字).
9.66
[解析] 根据拉力随时间变化的图像可得单摆的周期为 ，由单摆周期公式
得， .
(3) 为了尽可能地减小实验误差，下列说法正确的是___.
C
A.摆球经过最高点时取为计时零点
B.使摆球在同一竖直平面内摆动，摆角控制在 以内
C.所用的摆线的长度不能太短，测量摆长时，必须使摆
球处于悬挂状态
D.本实验须选用密度和直径都较小的摆球
[解析] 取摆球经过最低点时为计时零点，选项A错误；使摆球在同一竖直平面
内摆动，摆角控制在 以内，选项B错误；所用的
摆线的长度不能太短，测量摆长时，必须使摆球处
于悬挂状态，选项C正确；本实验须选用密度较大
且直径较小的摆球，选项D错误.
【实验拓展与创新】
人工计数时，需要在摆球经过最低点时按下停表，但是在实际操作中，经常会
过早或过晚按下停表，导致误差较大，因此可以用自动计数代替人工计数.
如图甲所示，在摆球运动的最低点位置的左右两侧分别放置一激光光源与光敏
电阻，光敏电阻与某一自动记录仪相连，该仪器可以显示光敏电阻的阻值 随
时间 变化的曲线，如图乙所示.摆球摆
动到最低点时，挡住激光使得光敏电阻
的阻值增大，从 时刻开始，再经过两
次挡光完成一个周期，故该单摆的振动
周期为 .
例3 在“用单摆测量重力加速度”实验中，使用下列实验器材.
A.的细线 B. 的弹性绳 C.带孔的小铁球 D.带孔的软木球
E.光电门传感器
(1) 应选用哪种绳___，应选用哪种球___，光电门的摆放位置为________
(选填“最高点”或“最低点”).
A
C
最低点
[解析] 为减小实验误差，应选择轻质不可伸长的细线作为摆线，摆线选择A；
为减小阻力对实验的影响，选择质量大而体积小的摆球，摆球应选C；应从摆
球经过最低点时开始计时，光电门应摆放在最低点.
(2) 如图为光电门传感器电流与 的图像，则周期为___.
A. B. C. D.
[解析] 一个周期内单摆两次经过最低点，由图示图线可知，单摆周期
，故C正确.
√
(3) 甲同学用停表做该实验，但所得周期比该实验得到的大，则可能的原因是
___________________________________.
开始计时时，停表过早按下(合理即可)
[解析] 如果开始计时时，停表过早按下，测量时间偏长，周期就会偏大.
1.实验课中，同学们用单摆测量当地的重力加速度，实验装置如图甲所示.
(1) 实验过程有两组同学分别用了图乙、图丙的两种不同方式悬挂小钢球，你
认为______(选填“图乙”或“图丙”)悬挂方式较好.
图丙
[解析] 图乙所示的悬点在摆球摆动过程中
会发生松动，使摆长发生变化，造成比较
大的误差，图丙所示的悬点相对图乙牢固
许多，摆长在误差允许范围内可视为不变，
故选图丙.
(2) 在实验中，某同学用主尺最小刻度为 ，游标尺上有20个分度的游标卡
尺测量小钢球的直径，结果如图丁所示，读出小球直径为______ .
2.240
[解析] 小球直径为 .
(3) 实验中，某同学测量5种不同摆长与单摆的振动周期的对应情况，并将记录
的结果描绘在如图戊所示的坐标系中，图中各坐标点分别对应实验中5种不同摆
长的情况.画出该同学记录的图线.由图像可知重力加速度_____ .
(结果保留3位有效数字)
9.86
[答案] 如图所示
[解析] 剔除掉误差相对比较大的点4，将剩余的点用一条直线拟合，如图所示.
根据单摆周期公式,可得,则图像的斜率为 ,解得
.
(4) 实验中，三位同学作出的图线分别如图己中的、、所示，其中
和平行，和都过原点，图线对应的 值最接近当地重力加速度的值.则相对
于图线和 ，下列分析正确的是___(填选项前的字母).
A.出现图线 的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆
长
B.出现图线 的原因可能是误将49次全振动记为50次
C.图线对应的值小于图线对应的 值
√
[解析] 图线有纵截距，即为零时 不为零，说明所测摆长相对实际值偏小，
而误将悬点到小球下端的距离记为摆长 会造成所测摆长较实际值偏大，故A错
误；由前面分析可知图像斜率与成反比，所以图线的斜率小于图线 的斜率，
说明图线对应的值大于图线对应的 值，而误将49次全振动记为50次，会导
致所测周期较实际值偏小，则所测值应较实际值偏大，所以出现图线 的原因
可能是误将49次全振动记为50次，故B正确，C错误.
1.(误差分析)利用单摆测重力加速度的实验中，若测得的 偏小，可能是由于
( )
A.计算摆长时，只考虑悬线长而未加小球半径
B.测量周期时，将次全振动误记成 次全振动
C.计算摆长时，用悬线长加小球直径
D.单摆振动时，振幅较小
[解析] 由公式可知，若测得的偏小，可能是由于测得的 偏小，A正确，
C错误；也可能是测得的偏大，选项B只能使测得的 偏小，B错误；单摆振动
周期与振幅无关，D错误.
√
2.(数据处理和误差分析)［2024·陕西宝鸡期末］ 在“用单摆测量重力加速度大
小”的实验中.
甲
(1) 安装好实验装置后，先用游标卡尺测量摆球直径 ，测量的示数如图甲所示，
则摆球直径_____，再测量摆线长，则单摆摆长______(用、 表示)；
1.84
[解析] 由题图甲所示游标卡尺可知，游标尺是10分度的，游标尺的精度是，摆球直径 ；摆线长度
与摆球半径之和是单摆摆长，即单摆摆长 .
甲
(2) 摆球摆动稳定后，当它到达________(选填“最低点”或“最高点”)时启动停表
开始计时，并记录此后摆球再次经过最低点的次数，当
时刚好停表.停止计时的停表如图乙所示，其读数为_____ ，该单摆的周期为
_____ (周期要求保留三位有效数字)；
最低点
67.5
2.25
乙
[解析] 为减小实验误差，摆球摆动稳定后，
当它到达最低点时启动秒表开始计时；由
题图乙所示秒表可知，其示数为
，单摆周期
.
(3) 计算重力加速度测量值的表达式为_ ____(用、 表示)，如果测量值小
于真实值，可能原因是____.
A.将摆球经过最低点的次数 记少了
B.计时开始时，停表启动稍晚
C.将摆线长当成了摆长
D.将摆线长和球的直径之和当成了摆长
[解析] 由单摆周期公式，可得 ；测周期时，将摆球经过最低
点的次数计少了，所测周期偏大，所测 偏小，故A正确；计时开始时，秒表
启动稍晚，则总时间偏小，周期偏小，所测 值偏大，故B错误；将摆线长当成
了摆长，所测摆长偏小，所测 偏小，故C正确；将摆线长加小球直径作为摆长，
所测摆长偏大，所测 偏大，故D错误.
练习册
1.(4分)(多选)在做“用单摆测量重力加速度”的实验中，有人提出以下几点建议，
其中对提高测量结果精确度有利的是( )
A.适当加长摆线
B.质量相同、体积不同的摆球中，应选用体积较大的
C.摆线偏离竖直方向的角度不能太大
D.当摆球经过平衡位置时开始计时，经过一次全振动后停止计时，用此时间间
隔作为单摆振动的周期
√
√
[解析] 适当加长摆线有利于测量摆长，使相对误差减小，另外有利于控制摆角
不易过大，选项A正确；质量相同、体积不同的摆球中，应选用体积较小的，
以减小摆动过程中空气阻力的影响，选项B错误；摆线偏离竖直方向的角度不
能太大，若偏角太大，则不是简谐运动，选项C正确；经过一次全振动后停止
计时，所测时间偶然误差过大，应测量多次全振动所用的时间再求平均值，以
减小偶然误差，选项D错误.
2.(6分)［2025·山西太原五中高二月考］
(1) (2分)在“用单摆测量重力加速度”实验中，两位同学用游标卡尺测量小球的
直径的操作如图甲、乙所示.测量方法正确的是____(选填“甲”或“乙”).
乙
(2) (4分)实验时，若小球在垂直纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数
改为自动记录振动次数，在摆球运动的最低点的左、右两侧分别放置一激光光
源与光敏电阻，如图丙所示.光敏电阻与某一自动记录仪相连，该仪器显示的光
敏电阻阻值随时间 的变化图线如图丁所示，则该单摆的振动周期为____.若保
持悬点到小球顶点的绳长不变，改用直径是原小球直径2倍的另一小球进行实验，
则该单摆的周期将______(选填“变大”“不变”或“变小”).
变大
[解析] 一个周期内小球两次经过最低点，使光敏电阻的阻值发生变化，故振动
周期为；小球的直径变大后，摆长变长，根据 可
知，周期变大.
3.(6分)［2024·浙江丽水中学月考］ 在“用单摆测量重力加速度”的实验中：
(1) (2分)摆动时偏角满足的条件是小于 ，为了减小测量周期的误差，计时开
始时，摆球应是经过最____(选填“高”或“低”)点的位置，且用停表测量单摆完成
多次全振动所用的时间，求出周期.图甲中停表示数为一单摆全振动50次所用的
时间，则单摆振动周期为_______.
低
[解析] 摆球经过最低点时速度最大，容易观察和计时；图甲中停表的示数为
，则周期 .
(2) (1分)用最小刻度为的刻度尺测摆长，测量情况如图乙所示. 为悬挂点，
从图乙中可知单摆的摆长为________ .
[解析] 从悬点到球心的距离即为摆长，可得 .
(3) (1分)若用表示摆长，表示周期，那么重力加速度的表达式为 _ ____.
[解析] 由单摆周期公式可得 .
(4) (2分)考虑到单摆振动时空气浮力的影响后，学生甲说：“因为空气浮力与摆
球重力方向相反，它对球的作用相当于重力加速度变小，因此振动周期变大.”
学生乙说：“浮力对摆球的影响好像用一个轻一些的摆球做实验，因此振动周期
不变”，这两个学生中___.
A.甲的说法正确
B.乙的说法正确
C.两学生的说法都是错误的
[解析] 由于受到空气浮力的影响，相当于摆球的
质量没变而所受重力减小，即等效重力加速度减小，
因而振动周期变大，A正确.
√
4.(6分)利用单摆测当地重力加速度的实验中：
(1) (2分)利用游标卡尺测得金属小球直径如图所示，小球直径_____ .
2.26
[解析] 小球的直径 .
(2) (2分)某同学测量数据如下表，请在图中画出 图像.
0.400 0.500 0.600 0.800 1.200
1.60 2.10 2.40 3.20 4.80
由图像可得重力加速度_____ (结果保留三位有效数字).
9.86
[答案] 如图所示
[解析] 图像如图所示.由可得，则 ,对应图像
可得,解得 .
(3) (2分)某同学在实验过程中，摆长没有加小球的半径，其他操作无误，那么
他得到的实验图像可能是图中的___(填选项字母).
A. B. C. D.
[解析] 在实验中，若摆长没有加小球的半径 ，其他操作无误，可得
,故B正确，A、C、D错误.
√
5.(10分)［2025·湖南岳阳期末］ 某学习小组利用单摆测量当地的重力加速度.实
验装置如图甲所示，将小磁铁吸附在钢质小球的正下方，当小球静止时，将传
感器固定于小球正下方的水平桌面上；传感器与电脑连接，可以将实时测量到
的磁感应强度数据传输进电脑进行分析.
(1) (2分)下列说法正确的是 ___；
A.小球应选择体积大的
B.摆线应选择弹性小、细些的
C.安装单摆时，可将摆线一端直接缠绕在铁架台横杆上
D.摆动过程中的最大摆角越大越好
√
[解析] 为了尽可能减小空气阻力对实验的影响，摆球尽量选择质量较大、体积
较小的，故A错误；摆线要选择较细(尽可能减小空气阻力对实验的影响)、伸缩
性较小(确保摆球摆动时摆长几乎不变)、且尽可能长一些(减小摆长测量的相对
误差)的，故B正确；安装单摆时，不可将摆线一端直接缠绕在铁架台横杆上，
否则摆球运动过程中摆长发生变化，故C错误；只有摆线相对平衡位置的偏角
在很小的情况下(通常小于 )，单摆才做简谐运动，进而才能根据周期公式测量
重力加速度，故D错误.
(2) (2分)学习小组利用刻度尺测量了悬挂点与小球上端的距离 ；
用游标卡尺测量小球的直径如图乙所示，小球直径_____ ；不吸附小磁铁
时，摆长 .
2.00
[解析] 游标卡尺的分度值为 ，则小球直径为
.
(3) (2分)小球摆动稳定后，使传感器开始工作，利用电脑得出磁感应强度大小
随时间变化的图像如图丙所示.此单摆的周期____ .
2.2
[解析] 摆球一个周期内两次经过最低点，
根据丙图可知单摆周期为 .
(4) (2分)实验时改变摆长，测出几组摆长和对应的周期的数据，作出
图像，如图丁所示.利用、两点的坐标可求得重力加速度 _ _________；
[解析] 根据单摆周期公式，变形
可得，可知 图像斜率为
，计算得 .
(5) (2分)小组中有同学提出，小球与小磁铁整体重心的位置不在小球的球心，
这可能会影响到对重力加速度的测量.若仅考虑这一因素，第(4)问得到的 值与
实际值相比将 ______(选填“偏大”“偏小”或“相等”).
相等
[解析] 假设小球与小磁铁整体重心的位置在小球的球心下方 处，根据单摆周
期公式可得，整理得 ，根据表达式可知不影响所作图
线的斜率，所以由斜率计算出的重力加速度值与实际值相比大小相等.
6.(10分)［2025·江苏南京期末］ 某同学利用如图甲所示的实验装置测量当地的
重力加速度.实验主要步骤如下：
A.按图甲将沙漏悬挂在支架上，在沙漏正下方放置一块长木
板，木板与电动机的牵引绳相连，在木板上固定一张白纸；
B.测得悬挂沙漏的摆线长度为 ；
C.使沙漏在支架所在的竖直面内小幅度摆动，同时让细沙不断地流出；
D.启动电动机，使木板以 的速度水平匀速运动，运动方向与沙漏摆动
平面垂直，细沙在白纸上形成一条曲线，并建立如图乙所示的坐标系，用该图
线研究沙漏的振动规律；
E.将摆线长度视为该单摆的摆长，结合其他所得的数据和
图线，可求出当地的重力加速度.
(1) (2分)该单摆的周期为___ ；
2
[解析] 根据题意，由题图乙可知，单摆摆动一个周期，木板移动的距离为 ，
可得单摆周期为 .
(2) (2分)取，可求得当地的重力加速度大小为_____ (结果保留三
位有效数字)：
9.77
[解析] 根据题意，由单摆周期公式 可得，当地的重力加速度为
，代入数据解得 .
(3) (2分)该同学的重力加速度测量值与真实值相比______(选填“偏大”或“偏小”).
偏小
[解析] 由于计算时摆长用的摆线长，小于实际摆长，则重力加速度的测量值与
真实值相比偏小.
(4) (2分)为了降低实验的偶然误差带来的影响，该同学多次改变摆线长度进行
实验，木板的移动速度不变，得到了多组实验数据，每组数据包含摆线长度 ，
木板上每个周期内正弦曲线在横轴上投影的长度，并在坐标纸上作出了
图像，图像的斜率为，可得重力加速度为________(用和 表示).
[解析] 由题意可知，单摆的周期为，单摆周期公式为 ，联立可
得，故，则重力加速度为 .
(5) (2分)在实际操作中，该同学发现，即便保持了小角度摆动，每一组测量时
摆动的周期都会不同程度的出现先变大再变小的情况，你觉得产生这个现象的
原因可能是___________________________________________________________
_____.
摆线有弹性，接近最低点时被拉长，周期变大，接近最高点时周期变小
[解析] 在实际操作中，该同学发现，即便保持了小角度摆动，每一组测量时摆
动的周期都会不同程度的出现先变大再变小的情况，产生这个现象的原因可能
是摆线有弹性，接近最低点时被拉长，周期变大，接近最高点时周期变小.
【实验思路】 1.摆长,周期 2.（1）小,大 （2）竖直面 （4）
【实验器材】 游标卡尺
【物理量的测量】 2.平衡位置 3. 4.全振动
例1.（1）①AD ②丙 （2）2.125 （3）B （4）B
（5） 例2.（1）乙,19.0 （2）9.66 （3）C
例3.（1）A,C,最低点 （2）C （3）开始计时时，停表过早按下
（合理即可）
随堂巩固
1.A 2.（1）1.84, （2）最低点,67.5,2.25 （3）,
1.AC 2.（1）乙 （2）,变大
3.（1）低, （2） （3） （4）A
4.（1）2.26 （2）9.86,如图所示 .（3）B
5.（1）B （2）2.00 （3）2.2 （4） （5）相等
6.（1）2 （2）9.77 （3）偏小 （4） （5）摆线有弹性，
接近最低点时被拉长，周期变大，接近最高点时周期变小

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