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10.1 随机事件与概率
10.1.2 事件的关系和运算
探究点一 事件关系的表示与判断
探究点二 互斥事件与对立事件
【学习目标】
1.结合具体实例,了解随机事件的并、交与互斥的含义.
2.能结合实例用事件的并、交运算表达随机事件.
知识点 事件的关系和运算
1.包含关系
（1）定义：一般地，若事件发生，则事件一定发生，就称事件
______事件（或事件包含于事件 ）.
（2）表示：_______（或_______）．如图①所示.
包含
（3）相等事件的含义与表示：如果事件包含事件，事件 也包含
事件，即且，则称事件与事件 相等，记作_______．
2.并事件
（1）含义：一般地，事件与事件 ____________发生，这样的一
个事件中的样本点______在事件中，______在事件 中，称这个事
件为事件与事件 的并事件（或和事件）.
至少有一个
或者
或者
（2）表示：______（或_______）．如图②所示.
3.交事件
（1）含义：一般地，事件与事件 ______发生，这样的一个事件
中的样本点既在事件中，也在事件 中，称这样的一个事件为事件
与事件 的交事件（或积事件）.
同时
（2）表示：______（或____）．如图③所示.
4.事件互斥
一般地，如果事件与事件__________发生，也就是说 是一
个不可能事件，即__________，则称事件与事件 ______
（或互不相容）.如图④所示.
不能同时
互斥
5.事件对立
（1）含义：一般地，如果事件和事件 在任何一次试验中有且仅
有一个发生，即 ，且__________，那么称事件与事件
互为______．
对立
（2）表示：事件 的对立事件记为___．如图⑤所示.
6.多个事件的和事件及积事件
对于三个事件，，，（或 ）发生当且仅当
，，中至少一个发生，（或）发生当且仅当 ，
， 同时发生.对于多个事件的和事件及积事件以此类推．
【诊断分析】
1.判断下列说法的正误.（正确的打“√”,错误的打“×”）
（1）若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件．( )
×
（2）若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件．( )
√
（3）若事件是必然事件，则事件和 是对立事件.( )
×
（4）在掷骰子试验中,“出现5点”和“出现6点”的和事件是“出现大于
或等于5点”.( )
√
2.掷一枚骰子一次，记事件“出现的点数为2”，事件 “出现的
点数为偶数”，事件“出现的点数小于3”，则事件,, 三者之间
有什么关系
解：, 等.
探究点一 事件关系的表示与判断
例1 在分别标有号码的10张光盘中任取一张，设事件 “抽
得一张号码不小于5的光盘”，事件 “抽得一张号码为偶数的光盘”，
事件 “抽得一张号码能被3整除的光盘”．
（1）写出试验的样本空间及事件，， （用集合形式表示）.
解:试验的样本空间，2，3，4，5，6，7，8，9， ，事件
，6，7，8，9，，，4，6，8，，，6， .
（2）试将下列事件表示为样本点的集合，并分别说明下列事件的含义．
；；； .
解:①，8， ，表示“抽得一张号码为不小于6的偶数的光盘”.
②，4，5，6，7，8，9， ，表示“抽得一张号码为偶数
或不小于5的光盘”.
③，3，5，7， ，表示“抽得一张号码为奇数的光盘”.
④，3，4，6，8，9， ，
，5， ，表示“抽得一张号码为不能被3整除的奇数的
光盘”．
变式 从某大学数学系图书室中任选一本书，设事件数学书 ，
中文版的书，年以后出版的书 .问：
（1） 表示什么事件？
解： 年或2022年以前出版的中文版的数学书}.
（2）在什么条件下，有 ？
解：在“图书室中所有数学书都是2022年以后出版的且为中文版”的
条件下，才有 ．
（3） 表示什么意思？
解： 表示2022年或2022年以前出版的书全是中文版的．
（4）如果 ，那么是否意味着图书室中的所有的数学书都不是
中文版的？
解：是， 意味着图书室中的非数学书都是中文版的，而且所有
的中文版的书都不是数学书，
同时又可化成 ，因而也可解释为图书室中所有数学书都
不是中文版的，而且所有不是中文版的书都是数学书．
［素养小结］
事件间的运算方法：
（1）利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现
的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．
（2）利用 图．借鉴集合间运算的思想，分析同一条件下的试验
所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．
探究点二 互斥事件与对立事件
例2 从装有2个红球和2个白球（球除颜色外其他均相同）的口袋中
任取2个球，用集合的形式分别写出下列事件，并判断每对事件是否
互斥或对立.
解:给2个红球编号为1，2，给2个白球编号为3，4，从口袋中任取2
个球，用表示取出的2个球，则试验的样本空间 ，
，，，，.设事件 “至少有1个白球”，则
,,,, .
（1）“至少有1个白球”与“都是白球”；
解:给2个红球编号为1，2，给2个白球编号为3，4，从口袋中任取2
个球，用表示取出的2个球，则试验的样本空间 ，
，，，，.
设事件 “至少有1个白球”，则,,,, .
设“都是白球”，则，所以，即和 不互斥.
（2）“至少有1个白球”与“至少有1个红球”；
解: 设“至少有1个红球”，则，，， ，
，因为，，，，所以和 不互斥.
（3）“至少有1个白球”与“都是红球”．
解: 设“都是红球”，则，因为 ，
，所以和 互为对立事件．
变式（1） 某小组有5名男生和4名女生，从中任选4名同学参加“教
师节”演讲比赛，则下列每对事件是对立事件的是( )
A.“恰有2名男生”与“恰有4名男生”
B.“至少有3名男生”与“全是男生”
C.“至少有1名男生”与“全是女生”
D.“至少有1名男生”与“至少有1名女生”
√
[解析] “恰有2名男生”与“恰有4名男生”是互斥事件，但不是对立事
件，排除A；
“至少有3名男生”与“全是男生”可以同时发生，不是互斥事件，排除B；
“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，且必有一个发生，
是对立事件，C正确；
“至少有1名男生”与“至少有1名女生”可以同时发生，不是互斥事件，
排除D.故选C.
（2）从1，2，3，4，5中有放回地依次取出两个数，则下列各组事
件是互斥事件而不是对立事件的是( )
A.“恰有一个是奇数”和“全是奇数”
B.“恰有一个是偶数”和“至少有一个是偶数”
C.“至少有一个是奇数”和“全是奇数”
D.“至少有一个是偶数”和“全是偶数”
√
[解析] 从1，2，3，4，5中有放回地依次取出两个数，在该试验中，
设“两个都是奇数”，“一个奇数一个偶数”， “两个都是偶
数”，则事件A,B，C两两互斥，且（ 为样本空间）.
对于A，“恰有一个是奇数”和“全是奇数”分别是事件B和A，因为事
件A和事件B不可能同时发生，所以是互斥事件，因为事件C发生时，
事件A与B都不发生，所以A和B不是对立事件；
对于B，“恰有一个是偶数”和“至少有一个是偶数”分别是事件B和事
件 ，显然不互斥；
对于C，“至少有一个是奇数”和“全是奇数”分别是事件 和事件A，
显然不互斥；
对于D，“至少有一个是偶数”和“全是偶数”分别是事件 和事件
C，显然不互斥．故选A．
（3）（多选题）一个不透明的袋中装有黑、白两种颜色的球
（除颜色外其余均相同）各三个，现从中任意取出两个球.设事件
表示“取出的球都是黑球”，事件表示“取出的球都是白球”，事件
表示“取出的球中至少有一个黑球”，则下列结论错误的是( )
A.和 是互斥事件
B.和 是对立事件
C.和 是对立事件
D.和 是互斥事件，但不是对立事件
√
√
√
[解析] 由题可知,样本空间（黑,黑），（黑,白），（白,白） ，
事件（黑,黑），事件（白,白），事件 （黑,黑），
（黑,白），
所以和不是互斥事件，和不是对立事件，和 是对立事件，
故A,B,D中结论错误,C中结论正确.故选 .
事件与集合之间的对应关系
符号 概率论 集合论
必然事件 全集
不可能事件 空集
试验的可能结果 中的元素
事件 的子集
事件包含事件 集合包含集合
事件与事件 相等 集合与集合 相等
或 事件与事件 的并事件 集合与集合 的并集
符号 概率论 集合论
事件与事件 的交事件 集合与集合 的交集
事件与事件 互斥 集合与集合 的交集为
空集
事件与事件 对立 集合与集合 互为补集
续表
判断事件间的关系时，一是要考虑试验的前提条件，无论事件间的
关系是包含、相等，还是互斥、对立，其发生的条件都是一样的；
二是考虑事件是否有交事件，可考虑利用 图分析，对于较难判
断关系的，也可列出事件包含的样本点，再进行分析．
例1 掷一枚骰子，观察它朝上的点数.设事件“点数为1”， “点数
为偶数”，“点数小于3”，“点数大于2”， “点数是3的倍数”.
（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间及上述各事件；
解：由题意知，样本空间，, ,
,, ，
（2）事件与，与，与 之间各有什么关系？
解：由（1）知，，则事件包含事件，，则事件 包
含事件， 且 ，即, 是对立事件.
（3）用集合形式表示事件，，， .
解：由（1）知，,,, ，
所以，，， .
例2 箱子里有3双不同的手套，从中随机拿出2只，记事件 拿出
的手套不能配对，事件拿出的都是同一只手上的手套 ，事件
拿出的手套一只是左手的，一只是右手的，但配不成对}.
（1）写出该试验的样本空间；
解：设3双手套为，，，其中，， 代表左手手
套，，， 代表右手手套.
样本空间为，，，， ，
，，，，，， ，
，， .
（2）用集合的形式表示事件、事件、事件 ；
解：，，，，， ，
，，，，， ，
，，，，， ，
，，，，， .
（3）说出事件、事件、事件 的关系.
解：，， .
练习册
一、选择题
1.事件与事件 的关系如图所示，则( )
A. B.
C.与互斥而不对立 D.与 互为对立事件
[解析] 由题图知，事件A与事件B不能同时发生，且 ，因
此A与B互斥而不对立，故选C．
√
2.从2，4，6，8，10中任取1个数，事件，4，，事件 ，
6，，则事件与事件 的交事件是( )
A.， B.， C.， D.，
[解析] ，4，，6，， ，故选C．
√
3.同时掷两枚质地均匀的硬币，事件 “向上的面都是正面”，事件
“向上的面至少有一枚是正面”，则有( )
A. B.
C. D.与 之间没有关系
[解析] 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，其样本空间 （正，正），
（正，反），（反，正），（反，反），其中事件 （正，正）
，事件（正，正），（正，反），（反，正），所以 .
故选C.
√
4.如图，甲、乙两个元件串联构成一段电路，设 “甲元件故障”，
“乙元件故障”，则表示该段电路没有故障的事件为( )
A. B. C. D.
[解析] 由题图可知，该段电路没有故障，即甲没有故障，乙也没有
故障，所以表示该段电路没有故障的事件为 ．故选C.
√
5.[2024·长沙雅礼中学高一月考]有一个人在打靶中，连续射击2次，
事件“至少有1次中靶”的对立事件是( )
A.至多有1次中靶 B.2次都中靶
C.2次都不中靶 D.只有1次中靶
[解析] 根据对立事件的概念，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”
的对立事件是“2次都不中靶”.故选C.
√
6.[2024·上海黄浦区高一期末]掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上的
点数，若表示事件“点数大于3”， 表示事件“点数为偶数”，则事件
“点数为5”可以表示为( )
A. B. C. D.
[解析] 表示“点数为2”，表示“点数为5”， 表示“点
数为1或2或3或4或6”， 表示“点数为1或3或4或5或6”，故选B.
√
7.[2024·河南创新发展联盟高一联考]抛掷一枚质地均匀的骰子1次，
事件表示“掷出的点数大于2”，则与 互斥且不对立的事件是( )
A.掷出的点数为偶数 B.掷出的点数为奇数
C.掷出的点数小于2 D.掷出的点数小于3
[解析] 由题意，样本空间，而事件 ，
“掷出的点数为偶数”包含的样本点为2,4,6，与A不互斥，
“掷出的点数为奇数”包含的样本点为1,3,5，与A不互斥，
“掷出的点数小于2”包含的样本点为1，与A互斥且不对立，“掷出的
点数小于3”包含的样本点为1,2，与A对立.故选C.
√
8.（多选题）[2024·重庆西南大学附中高一期中] 某家商场举行抽奖
活动，小聪、小明两人共同前去抽奖，设事件 “两人都中奖”；
“两人都没中奖”；“恰有一人中奖”； “至少一人没中奖”.
下列关系正确的是( )
A. B. C. D.
√
√
√
[解析] 对于A，事件 为“至多一人中奖”，即“至少一人没中奖”，
所以，故A正确；
对于B，事件 表示两人都中奖且恰有一人中奖，为不可能事件，
所以 ，故B错误；
对于C，至少一人没中奖包括恰有一人中奖和两人都没中奖两种情况，
所以，故C正确；
对于D，由C选项可知，所以 ，故D正确.故选 .
9.（多选题）从五个女生和四个男生中任选两个人参加某项活动，记
“选出的两个人中至少有一个是女生”， “选出的两个人中至少
有一个是男生”，“选出的两个人中恰有一个是男生”， “选出
的两个人都是女生”， “选出的两个人中恰有一个是女生”，样本
空间为 ，下列结论正确的有( )
A. B.
C. D. ，
√
√
[解析] 对于A，事件C， 均表示“选出的两个人是一个男生和一个女
生”，则成立，故A正确；
对于B，事件 “选出的两个人是一个男生和一个女生或者两个人都
是女生”，事件 “选出的两个人是一个男生和一个女生或者两个人
都是男生”，则 不成立，故B错误；
对于C，事件D，包含的样本点都不相同，则 ，故C错误；
对于D，事件B，D包含的样本点都不相同，则 ，事件
“选出的两个人是一个男生和一个女生或者两个人都是男生”，
事件“选出的两个人都是女生”，则 包含了样本空间中所有
的样本点， ，故D正确．故选 .
二、填空题
10.在掷一枚骰子的试验中，可以得到以下事件： “出现1点”；
“出现2点”；“出现3点”；“出现4点”； “出现5点”；
“出现6点”；“出现的点数不大于1”； “出现的点数小于
5”；“出现奇数点”； “出现偶数点”.请根据这些事件，判断下
列事件的关系：
（1）___ ；
（2）___ ；
（3）___ ；
（4）___ ；
（5）_________ ___；
（6） __．
[解析] 因为事件，，，发生时，事件必然发生，故 ，
同理，，易知事件与事件相等，即.
因为 ，2，3，，，，， ，所以
，即，同理 .
11.设某人向一个目标连续射击3次，用表示随机事件“第 次射击命
中目标”，则事件 的含义是________________
______________________________________，事件 的含义是
__________________________________.
第一次和第二次射击都击中目标，第三次射击没有击中目标
第一次和第二次射击都没有击中目标
[解析] 表示第一次和第二次射击都击中目标，第三次射
击没有击中目标，
表示第一次和第二次射击都没有击中目标.
12.一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品
中任意抽取5件，现给出以下四个事件:事件 “恰有一件次品”；事
件“至少有两件次品”；事件“至少有一件次品”；事件 “至
多有一件次品”.给出以下结论:; 是必然事件;
; .其中正确结论的序号是______.
①②
[解析] 事件“至少有一件次品”，即事件 ，所以①正确;
事件 ，所以③不正确;
事件 表示至少有两件次品或至多有一件次品，包含了所有样本
点，所以②正确;
事件 表示恰有一件次品，即事件 ，所以④不正确.故填①②.
三、解答题
13.在试验“甲、乙、丙三人各射击1次，观察中靶的情况”中，事件
表示随机事件“甲中靶”，事件表示随机事件“乙中靶”，事件 表示
随机事件“丙中靶”.试用，， 的有关运算表示下列随机事件：
（1）甲未中靶；
解：甲未中靶： ．
（2）甲中靶而乙未中靶；
解：甲中靶而乙未中靶：，即 ．
（3）三人中只有丙未中靶；
解：三人中只有丙未中靶：，即 ．
（4）三人中至少有一人中靶；
解：三人中至少有一人中靶： ．
（5）三人中恰有两人中靶．
解：三人中恰有两人中靶： ．
14.[2023·天津河北区高一期末] 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，
其中有2个红球（标号为1和2），2个绿球（标号为3和4），从袋中不
放回地依次随机摸出2个球.设事件“两次都摸到红球”， “两次
都摸到绿球”，“两个球颜色相同”， “两个球颜色不同”.
（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
解：用数组表示可能的结果， 是第一次摸到的球的标号，
是第二次摸到的球的标号，所以试验的样本空间, ,
,,,,,,,,, ，
事件,，
事件,，
事件, ,,，
事件,,,,,,, .
（2）写出事件与，与 之间的关系；
解：由（1）知， ，而 ，所以事件, 互斥且
不对立； , ，所以事件, 互为对立事件.
（3）写出事件与事件的并事件与事件 的关系.
解：由（1）知，，所以事件是事件与事件 的并事件.
15.某班对学生订阅数学、语文、英语学习资料进行调查，其中 表
示订阅数学学习资料，表示订阅语文学习资料， 表示订阅英语学
习资料，试用，，表示下列事件： “至少订阅一种学习资
料”，则__________；“恰好订阅两种学习资料”,则
__________________．
[解析] ①至少订阅一种学习资料的事件即是事件或事件或事件
发生，故 .
②恰好订阅两种学习资料的事件包含订阅数学和语文学习资料的事
件 ，订阅语文和英语学习资料的事件，订阅数学和英语学
习资料的事件 ，它们彼此互斥，故
16.某班要进行一次辩论比赛，现有4名男生和2名女生随机分成甲、
乙两个辩论小组，每组3人.考虑甲组的人员组成情况，记事件
“甲组有 名女生”.
（1）事件 包含多少个样本点？
解：用1，2，3，4表示4名男生，用， 表示2名女生，
因为事件“甲组有1名女生”，所以，， ，
，，，，，， ，
， ，共包含12个样本点.
（2）若事件“甲组至少有一名女生”，则事件与事件 有怎样
的关系？
解：事件 “甲组至少有一名女生”，其含义是甲组有一名女生或甲
组有两名女生，所以 .
（3）判断事件与事件 是什么关系？
解：因为与是对立事件，所以 ，所以
，所以事件与事件 是对立事件.10.1.2　事件的关系和运算
【课前预习】
知识点
1.(1)包含　(2)B A　A B　(3)A=B
2.(1)至少有一个　或者　或者　(2)A∪B　A+B
3.(1)同时　(2)A∩B　AB
4.不能同时　A∩B= 　互斥
5.(1)A∩B= 　对立　(2)
诊断分析
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2.解:A=C∩D,(A∩C) D等.
【课中探究】
探究点一
例1　解:(1)试验的样本空间Ω={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},事件A={5,6,7,8,9,10},B={2,4,6,8,10},C={3,6,9}.
(2)①AB={6,8,10},表示“抽得一张号码为不小于6的偶数的光盘”.
②A∪B={2,4,5,6,7,8,9,10},表示“抽得一张号码为偶数或不小于5的光盘”.
③={1,3,5,7,9},表示“抽得一张号码为奇数的光盘”.
④∵B∪C={2,3,4,6,8,9,10},
∴={1,5,7},表示“抽得一张号码为不能被3整除的奇数的光盘”.
变式　解:(1)A∩B∩={2022年或2022年以前出版的中文版的数学书}.
(2)在“图书室中所有数学书都是2022年以后出版的且为中文版”的条件下,才有A∩B∩C=A.
(3) B表示2022年或2022年以前出版的书全是中文版的.
(4)是,=B意味着图书室中的非数学书都是中文版的,而且所有的中文版的书都不是数学书,同时=B又可化成=A,因而也可解释为图书室中所有数学书都不是中文版的,而且所有不是中文版的书都是数学书.
探究点二
例2　解:给2个红球编号为1,2,给2个白球编号为3,4,从口袋中任取2个球,用(x,y)表示取出的2个球,则试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}.设事件A=“至少有1个白球”,则A={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}.
(1)设B=“都是白球”,则B={(3,4)},所以B A,即A和B不互斥.
(2)设C=“至少有1个红球”,则C={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)},因为A∩C={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)},所以A和C不互斥.
(3)设D=“都是红球”,则D={(1,2)},因为A∪D=Ω,A∩D= ,所以A和D互为对立事件.
变式　(1)C　(2)A　(3)ABD　[解析] (1)“恰有2名男生”与“恰有4名男生”是互斥事件,但不是对立事件,排除A;“至少有3名男生”与“全是男生”可以同时发生,不是互斥事件,排除B;“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生,且必有一个发生,是对立事件,C正确;“至少有1名男生”与“至少有1名女生”可以同时发生,不是互斥事件,排除D.故选C.
(2)从1,2,3,4,5中有放回地依次取出两个数,在该试验中,设A=“两个都是奇数”,B=“一个奇数一个偶数”,C=“两个都是偶数”,则事件A,B,C两两互斥,且A∪B∪C=Ω(Ω为样本空间).对于A,“恰有一个是奇数”和“全是奇数”分别是事件B和A,因为事件A和事件B不可能同时发生,所以是互斥事件,因为事件C发生时,事件A与B都不发生,所以A和B不是对立事件;对于B,“恰有一个是偶数”和“至少有一个是偶数”分别是事件B和事件B∪C,显然不互斥;对于C,“至少有一个是奇数”和“全是奇数”分别是事件B∪A和事件A,显然不互斥;对于D,“至少有一个是偶数”和“全是偶数”分别是事件B∪C和事件C,显然不互斥.故选A.
(3)由题可知,样本空间Ω={(黑,黑),(黑,白),(白,白)},事件P={(黑,黑)},事件Q={(白,白)},事件R={(黑,黑),(黑,白)},所以P和R不是互斥事件,P和Q不是对立事件,Q和R是对立事件,故A,B,D中结论错误,C中结论正确.故选ABD.10.1.2　事件的关系和运算
1.C　[解析] 由题图知,事件A与事件B不能同时发生,且A∪B≠Ω,因此A与B互斥而不对立,故选C.
2.C　[解析] {2,4,8}∩{4,6,8}={4,8},故选C.
3.C　[解析] 同时抛掷两枚质地均匀的硬币,其样本空间Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)},其中事件A={(正,正)},事件B={(正,正),(正,反),(反,正)},所以A B.故选C.
4.C　[解析] 由题图可知,该段电路没有故障,即甲没有故障,乙也没有故障,所以表示该段电路没有故障的事件为∩.故选C.
5.C　[解析] 根据对立事件的概念,连续射击2次,事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”.故选C.
6.B　[解析] ∩B表示“点数为2”, A∩表示“点数为5”, ∪B表示“点数为1或2或3或4或6”, A∪表示“点数为1或3或4或5或6”,故选B.
7.C　[解析] 由题意,样本空间Ω={1,2,3,4,5,6},而事件A={3,4,5,6},“掷出的点数为偶数”包含的样本点为2,4,6,与A不互斥,“掷出的点数为奇数”包含的样本点为1,3,5,与A不互斥,“掷出的点数小于2”包含的样本点为1,与A互斥且不对立,“掷出的点数小于3”包含的样本点为1,2,与A对立.故选C.
8.ACD　[解析] 对于A,事件B∪C为“至多一人中奖”,即“至少一人没中奖”,所以B∪C=D,故A正确;对于B,事件A∩C表示两人都中奖且恰有一人中奖,为不可能事件,所以A∩C= ,故B错误;对于C,至少一人没中奖包括恰有一人中奖和两人都没中奖两种情况,所以C D,故C正确;对于D,由C选项可知B D,所以B∩D=B,故D正确.故选ACD.
9.AD　[解析] 对于A,事件C,E均表示“选出的两个人是一个男生和一个女生”,则C=E成立,故A正确;对于B,事件A=“选出的两个人是一个男生和一个女生或者两个人都是女生”,事件B=“选出的两个人是一个男生和一个女生或者两个人都是男生”,则A=B不成立,故B错误;对于C,事件D,E包含的样本点都不相同,则D∩E= ,故C错误;对于D,事件B,D包含的样本点都不相同,则B∩D= ,事件B=“选出的两个人是一个男生和一个女生或者两个人都是男生”,事件D=“选出的两个人都是女生”,则B∪D包含了样本空间中所有的样本点,∴B∪D=Ω,故D正确.故选AD.
10.(1) 　(2) 　(3) 　(4)=　(5)A　B　C　D　(6)I
[解析] 因为事件A,B,C,D发生时,事件H必然发生,故B H,同理D J,E I,易知事件A与事件G相等,即A=G.因为H={1,2,3,4},A={1},B={2},C={3},D={4},所以H=A∪B∪C∪D,即H=A+B+C+D,同理A+C+E=I.
11.第一次和第二次射击都击中目标,第三次射击没有击中目标
第一次和第二次射击都没有击中目标　[解析] A1∩A2∩表示第一次和第二次射击都击中目标,第三次射击没有击中目标,表示第一次和第二次射击都没有击中目标.
12.①②　[解析] 事件A∪B=“至少有一件次品”,即事件C,所以①正确;事件A∩B= ,所以③不正确;事件D∪B表示至少有两件次品或至多有一件次品,包含了所有样本点,所以②正确;事件A∩D表示恰有一件次品,即事件A,所以④不正确.故填①②.
13.解:(1)甲未中靶:.
(2)甲中靶而乙未中靶:A∩,即A.
(3)三人中只有丙未中靶:A∩B∩,即AB.
(4)三人中至少有一人中靶:.
(5)三人中恰有两人中靶:(AB)∪(AC)∪(BC).
14.解:(1)用数组(x1,x2)表示可能的结果,x1是第一次摸到的球的标号,x2是第二次摸到的球的标号,所以试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)},事件R={(1,2),(2,1)},事件G={(3,4),(4,3)},事件M={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)},事件N={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(4,1),(3,2),(4,2)}.
(2)由(1)知,R∩G= ,而R∪G Ω,所以事件R,G互斥且不对立;M∩N= ,M∪N=Ω,所以事件M,N互为对立事件.
(3)由(1)知,R∪G=M,所以事件M是事件R与事件G的并事件.
15.①A+B+C　②AB+BC+AC　[解析] ①至少订阅一种学习资料的事件即是事件A或事件B或事件C发生,故D=A+B+C.②恰好订阅两种学习资料的事件包含订阅数学和语文学习资料的事件AB,订阅语文和英语学习资料的事件BC,订阅数学和英语学习资料的事件AC,它们彼此互斥,故E= AB+BC+AC.
16.解:(1)用1,2,3,4表示4名男生,用a,b表示2名女生,因为事件A1=“甲组有1名女生”,所以A1={(1,2,a),(1,2,b),(1,3,a),(1,3,b),(1,4,a),(1,4,b),(2,3,a),(2,3,b),(2,4,a),(2,4,b),(3,4,a),(3,4,b)},共包含12个样本点.
(2)事件B=“甲组至少有一名女生”,其含义是甲组有一名女生或甲组有两名女生,所以B=A1∪A2.
(3)因为A2与A0∪A1是对立事件,所以=A0∪A1,所以∪A0=A0∪A1,所以事件A2与事件∪A0是对立事件.10.1.2　事件的关系和运算
【学习目标】
　　1.结合具体实例,了解随机事件的并、交与互斥的含义.
　　2.能结合实例用事件的并、交运算表达随机事件.
◆ 知识点　事件的关系和运算
1.包含关系
(1)定义:一般地,若事件A发生,则事件B一定发生,就称事件B　　　　事件A(或事件A包含于事件B).
(2)表示:　　　　(或　　　　).如图①所示.
(3)相等事件的含义与表示:如果事件B包含事件A,事件A也包含事件B,即B A且A B,则称事件A与事件B相等,记作　　　　.
2.并事件
(1)含义:一般地,事件A与事件B　　　　　　发生,这样的一个事件中的样本点　　　　在事件A中,　　　　在事件B中,称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件).
(2)表示:　　　　(或　　　　).如图②所示.
3.交事件
(1)含义:一般地,事件A与事件B　　　　发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中,称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件).
(2)表示:　　　　(或　　　　).如图③所示.
4.事件互斥
一般地,如果事件A与事件B　　　　发生,也就是说A∩B是一个不可能事件,即　　　　,则称事件A与事件B　　　　(或互不相容).如图④所示.
5.事件对立
(1)含义:一般地,如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,即A∪B=Ω,且　　　,那么称事件A与事件B互为　　　　.
(2)表示:事件A的对立事件记为　　　　.如图⑤所示.
6.多个事件的和事件及积事件
对于三个事件A,B,C,A∪B∪C(或A+B+C)发生当且仅当A,B,C中至少一个发生,A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A,B,C同时发生.对于多个事件的和事件及积事件以此类推.
【诊断分析】 1.判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若两个事件是互斥事件,则这两个事件是对立事件. (　 )
(2)若两个事件是对立事件,则这两个事件也是互斥事件. (　 )
(3)若事件A∪B是必然事件,则事件A和B是对立事件. (　 )
(4)在掷骰子试验中,“出现5点”和“出现6点”的和事件是“出现大于或等于5点”. (　 )
2.掷一枚骰子一次,记事件A=“出现的点数为2”,事件C=“出现的点数为偶数”,事件D=“出现的点数小于3”,则事件A,C,D三者之间有什么关系
◆ 探究点一　事件关系的表示与判断
例1 在分别标有号码1~10的10张光盘中任取一张,设事件A=“抽得一张号码不小于5的光盘”,事件B=“抽得一张号码为偶数的光盘”,事件C=“抽得一张号码能被3整除的光盘”.
(1)写出试验的样本空间及事件A,B,C(用集合形式表示).
(2)试将下列事件表示为样本点的集合,并分别说明下列事件的含义.
①AB;②A∪B;③;④.
变式 从某大学数学系图书室中任选一本书,设事件A={数学书},B={中文版的书},C={2022年以后出版的书}.问:
(1)A∩B∩表示什么事件
(2)在什么条件下,有A∩B∩C=A
(3) B表示什么意思
(4)如果=B,那么是否意味着图书室中的所有的数学书都不是中文版的
[素养小结]
事件间的运算方法:
(1)利用事件间运算的定义.列出同一条件下的试验所有可能出现的结果,分析并利用这些结果进行事件间的运算.
(2)利用Venn图.借鉴集合间运算的思想,分析同一条件下的试验所有可能出现的结果,把这些结果在图中列出,进行运算.
◆ 探究点二　互斥事件与对立事件
例2 从装有2个红球和2个白球(球除颜色外其他均相同)的口袋中任取2个球,用集合的形式分别写出下列事件,并判断每对事件是否互斥或对立.
(1)“至少有1个白球”与“都是白球”;
(2)“至少有1个白球”与“至少有1个红球”;
(3)“至少有1个白球”与“都是红球”.
变式 (1)某小组有5名男生和4名女生,从中任选4名同学参加“教师节”演讲比赛,则下列每对事件是对立事件的是 (　 )
A.“恰有2名男生”与“恰有4名男生”
B.“至少有3名男生”与“全是男生”
C.“至少有1名男生”与“全是女生”
D.“至少有1名男生”与“至少有1名女生”
(2)从1,2,3,4,5中有放回地依次取出两个数,则下列各组事件是互斥事件而不是对立事件的是 (　 )
A.“恰有一个是奇数”和“全是奇数”
B.“恰有一个是偶数”和“至少有一个是偶数”
C.“至少有一个是奇数”和“全是奇数”
D.“至少有一个是偶数”和“全是偶数”
(3)(多选题)一个不透明的袋中装有黑、白两种颜色的球(除颜色外其余均相同)各三个,现从中任意取出两个球.设事件P表示“取出的球都是黑球”,事件Q表示“取出的球都是白球”,事件R表示“取出的球中至少有一个黑球”,则下列结论错误的是 (　 )
A.P和R是互斥事件
B.P和Q是对立事件
C.Q和R是对立事件
D.Q和R是互斥事件,但不是对立事件10.1.2　事件的关系和运算
一、选择题
1.事件A与事件B的关系如图所示,则 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.A B
B.A B
C.A与B互斥而不对立
D.A与B互为对立事件
2.从2,4,6,8,10中任取1个数,事件A={2,4,8},事件B={4,6,8},则事件A与事件B的交事件是 (　 )
A.{2,4} B.{4,6}
C.{4,8} D.{2,8}
3.同时掷两枚质地均匀的硬币,事件A=“向上的面都是正面”,事件B=“向上的面至少有一枚是正面”,则有 (　 )
A.A=B
B.A B
C.A B
D.A与B之间没有关系
4.如图,甲、乙两个元件串联构成一段电路,设M=“甲元件故障”,N=“乙元件故障”,则表示该段电路没有故障的事件为 (　 )
A.M∪N B.M∩N
C.∩ D.∪
5.[2024·长沙雅礼中学高一月考] 有一个人在打靶中,连续射击2次,事件“至少有1次中靶”的对立事件是 (　 )
A.至多有1次中靶
B.2次都中靶
C.2次都不中靶
D.只有1次中靶
6.[2024·上海黄浦区高一期末] 掷一颗质地均匀的骰子,观察朝上的点数,若A表示事件“点数大于3”,B表示事件“点数为偶数”,则事件“点数为5”可以表示为 (　 )
A.∩B B.A∩
C.∪B D.A∪
7.[2024·河南创新发展联盟高一联考] 抛掷一枚质地均匀的骰子1次,事件A表示“掷出的点数大于2”,则与A互斥且不对立的事件是 (　 )
A.掷出的点数为偶数
B.掷出的点数为奇数
C.掷出的点数小于2
D.掷出的点数小于3
8.(多选题)[2024·重庆西南大学附中高一期中] 某家商场举行抽奖活动,小聪、小明两人共同前去抽奖,设事件A=“两人都中奖”;B=“两人都没中奖”;C=“恰有一人中奖”;D=“至少一人没中奖”.下列关系正确的是 (　 )
A.B∪C=D B.A∩C≠
C.C D D.B∩D=B
9.(多选题)从五个女生和四个男生中任选两个人参加某项活动,记A=“选出的两个人中至少有一个是女生”,B=“选出的两个人中至少有一个是男生”,C=“选出的两个人中恰有一个是男生”,D=“选出的两个人都是女生”,E=“选出的两个人中恰有一个是女生”,样本空间为Ω,下列结论正确的有 (　 )
A.C=E
B.A=B
C.D∩E≠
D.B∩D= ,B∪D=Ω
二、填空题
10.在掷一枚骰子的试验中,可以得到以下事件:A=“出现1点”;B=“出现2点”;C=“出现3点”;D=“出现4点”;E=“出现5点”;F=“出现6点”;G=“出现的点数不大于1”;H=“出现的点数小于5”;I=“出现奇数点”;J=“出现偶数点”.请根据这些事件,判断下列事件的关系:
(1)B　　　　H;
(2)D　　　　J;
(3)E　　　　I;
(4)A　　　　G;
(5)H=　　　+　　　+　　　+　　　;
(6)A+C+E=　　　　.
11.设某人向一个目标连续射击3次,用Ai表示随机事件“第i次射击命中目标”(i=1,2,3),则事件A1∩A2∩的含义是　　　　　　　　　　　　　　　　　　,事件的含义是　　　　　　　　　　　　.
12.一批产品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品.从这批产品中任意抽取5件,现给出以下四个事件:事件A=“恰有一件次品”;事件B=“至少有两件次品”;事件C=“至少有一件次品”;事件D=“至多有一件次品”.给出以下结论:①A∪B=C;②D∪B是必然事件;③A∩B=C;④A∩D=C.其中正确结论的序号是　　　　.
三、解答题
13.在试验“甲、乙、丙三人各射击1次,观察中靶的情况”中,事件A表示随机事件“甲中靶”,事件B表示随机事件“乙中靶”,事件C表示随机事件“丙中靶”.试用A,B,C的有关运算表示下列随机事件:
(1)甲未中靶;
(2)甲中靶而乙未中靶;
(3)三人中只有丙未中靶;
(4)三人中至少有一人中靶;
(5)三人中恰有两人中靶.
14.[2023·天津河北区高一期末] 一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红球(标号为1和2),2个绿球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”,M=“两个球颜色相同”,N=“两个球颜色不同”.
(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件;
(2)写出事件R与G,M与N之间的关系;
(3)写出事件R与事件G的并事件与事件M的关系.
15.某班对学生订阅数学、语文、英语学习资料进行调查,其中A表示订阅数学学习资料,B表示订阅语文学习资料,C表示订阅英语学习资料,试用A,B,C表示下列事件:①D=“至少订阅一种学习资料”,则D=　　　　　　　;②E=“恰好订阅两种学习资料”,则E=　　　　　　　　.
16.某班要进行一次辩论比赛,现有4名男生和2名女生随机分成甲、乙两个辩论小组,每组3人.考虑甲组的人员组成情况,记事件Ak=“甲组有k名女生”.
(1)事件A1包含多少个样本点
(2)若事件B=“甲组至少有一名女生”,则事件B与事件Ak有怎样的关系
(3)判断事件A2与事件∪A0是什么关系

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