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第1章《一元二次方程》单元检测卷
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．疫情得到有效控制后，各大中小型企业复工复产在有序展开，经济开始复苏．阳光超市三月份的营业额为36万元，五月份的营业额为49万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
4．已知关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是（ ）
A． B． C． D．
5．若是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
6．若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
7．如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把 ABC沿着方向平移，得到，当两个三角形重叠部分为菱形时，则为（　　）
A．3 B．4 C． D．
8．关于的方程的两个根，满足，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．若关于的方程满足，称此方程为“贺岁”方程．已知方程是“贺岁”方程，则的值为（ ）
A． B．2024 C．-2025 D．2025
10．关于x的方程，给出下列四个题：
①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根 ②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根
③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根 ④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根
其中假命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（8小题，每小题3分，共24分）
11．直接写出方程的解：，则 ．
12．若是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值为 ．
13．低空经济是苏州近年来重点发展的战略性新兴产业之一．据统计，今年第季度低空飞机航线安全运行了架次，预计第季度低空飞机航线安全运行将达到架次．设第，第两个季度安全运行架次的平均增长率为，则可列方程为 ．
14．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值为 ．
15．关于的一元二次方程的两根记为，．若，则 ．
16．已知关于的一元二次方程有实数根，则符合条件的最大整数值a为 ．
17．如图，已知四边形是一个矩形，它由正方形、正方形和矩形拼合而成，若两个正方形的面积之和为34，矩形是面积为15的长方形，则矩形的面积为 ．

18．已知是关于的方（是有理数，）的一个根，则该方程的另外两个根分别是 ， ．
三、解答题（10小题，共66分）
19．解方程：
(1)； (2)．
20．已知，
(1)求的值；
(2)求的值．
21．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：不论为何值，该方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根都是正数，求的取值范围．
22．某公司向厂家订购两款洗手液共箱．已知购买款洗手液1箱进价为元，在此基础上，所购买的款洗手液数量每增加1箱，每箱进价降低2元．厂家为保障盈利，每次最多可订购箱款洗手液．款洗手液的进价为每箱元，设该公司购买款洗手液箱，若订购这批洗手液的总进价为元，则该公司订购了多少箱款洗手液？
23．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，它们分别为．
(1)求m的取值范围；
(2)若，求m的值．
24．）泰州蟹黄汤包享誉全国，某饭店销售旺季平均每天卖300份蟹黄汤包礼盒，卖出1份礼盒的利润是23元．如果每份礼盒的售价下降1元，那么平均每天多卖出20份．
(1)如果每份礼盒的售价下降元，那么每份的利润为_____元，平均每天可卖出礼盒____份（结果用含的代数式表示）；
(2)每份礼盒售价下降多少元时，该饭店每天获得的利润是6720元？
25．如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为米．
(1)________米（用含的代数式表示）；
(2)若矩形围栏面积为210平方米，求栅栏的长；
(3)矩形围栏面积是否有可能达到270平方米？若有可能，求出相应的值；若不可能，则说明理由．
26．定义：如果一个矩形的周长和面积都是矩形的周长和面积的倍，那么我们就称矩形是矩形的“倍矩形”．
【概念辨析】
（1）一个矩形的周长是12，面积是8，它的“2倍矩形”的周长为________，面积为________；
【深入探究】
（2）问题：长为3，宽为2的矩形是否存在“2倍矩形”，若存在，它的长和宽分别为多少？
我们可以从函数的观点来研究“2倍矩形”，设“2倍矩形”的长和宽分别为，，由题意，，则，，在图中的平面直角坐标系中作出一次函数和反比例函数的图像来研究，有交点就意味着存在“2倍矩形”，交点的横坐标与纵坐标分别对应“2倍矩形”的长和宽．
请观察图像，则长为3，宽为2的矩形________（填“存在”或“不存在”）“2倍矩形”，它的长和宽分别约为________和________（结果精确到0.1）
我们还可以从方程（组）的观点来研究“2倍矩形”，设“2倍矩形”的长和宽分别为，，由题意：，，则，，请完成以下解答过程．（结果保留根号）
27．如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且其中一个根为另一个根的3倍，则称这样的方程为“3倍根方程”，
(1)①方程_________“3倍根方程”（填“是”或“不是”）；
②若一元二次方程是“3倍根方程”，则_________；
(2)若是“3倍根方程”，求代数式的值；
(3)若点在反比例函数的图象上，则关于x的方程是“3倍根方程”吗？并说明理由．
28．（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）阅读材料：
阅读材料：材料：若一元二次方程的两个根为，则，
(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则 ， ．
(2)类比探究：已知实数m，n满足，． ．
(3)思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且，求的值．
参考答案
一、选择题
1．D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义．
根据一元二次方程的定义（整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为2）逐一分析选项．
【详解】解：选项A：，
当时，方程为一元二次方程，但题目未明确，因此不能确定，不符合题意；
选项B：，
方程中含项，属于分式方程，不符合整式方程的要求，不符合题意；
选项C：，
方程中含两个未知数和，不是关于的一元方程，不符合题意；
选项D：，
整理为标准形式，满足整式方程、只含且的最高次数为2，符合题意；
故选：D．
2．A
【分析】本题考查一元二次方程的配方法解方程，正确掌握方法是解题关键．使用配方法解方程时，先将常数项移到右边，二次项系数化为1后，再在两边加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式．
【详解】解：，
移常数项：，
配方： ，
左边化为完全平方：．
故选：A．
3．D
【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率），如果设每月的平均增长率为，根据“五月份的营业额为49万元”，即可得出方程．
【详解】解：设每月的平均增长率为x，则可列方程为，
故选：D．
4．D
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），熟悉韦达定理内容是解题关键．若一元二次方程有两个实数根、，则，，根据一元二次方程根与系数的关系代入数值即可求解．
【详解】解：设一元二次方程的两个根分别是，，
由韦达定理可知，，
∴．
故选：D．
5．C
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是其两个实数根，则．解题的关键是掌握一元二次方程的两根之和、两根之积与方程系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系，得到，然后代入计算，即可得到答案．
【详解】解：∵是一元二次方程的两个实数根
∴，
将，代入，则
故选C．
6．C
【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴二次项系数，即．
令，即，
解得．
∴且
故选：C．
7．D
【分析】此题主要考查了菱形的性质和正方形的性质、勾股定理等知识，得出是解题关键．利用菱形的性质结合正方形的性质得出，进而利用勾股定理得出答案．
【详解】解：如图所示：
∵四边形是菱形，
，
∵边长为6的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，
∴，
∴，则，
∵平行于，
∴，
∴，
∴设，则，
在中，，
解得：(不合题意舍去)，
∴，
∴，
故选：D．
8．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程．根据根与系数的关系得到，，进而根据已知条件式推出，，则可得方程，解方程后根据验证结果即可．
【详解】解：，是关于的方程的两个根，
，，
，
，
，
，
，
，
整理得：，
解得：或，
，
，
，
，
故选：C．
9．C
【分析】本题考查一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握整体代入的方法是解题的关键．
利用新定义得到“贺岁”方程的一个解为，则，即、，然后对原式变形后再整体代入计算即可．
【详解】解：根据题意得“贺岁”方程的一个解为，
∵方程是“贺岁”方程，
∴，即、，
∴
．
故选C．
10．A
【分析】首先将分类讨论得到两个方程，然后根据根的判别式得出根的个数即可．
【详解】解:时，或
方程化为：①
时，
方程化为：②
当，即时，
方程①的根为：
方程②的根为：
分析可得时，即：时，有5个不相等的实根
时，
则
中，不符合题意，故有2个实数根
中，，均不符合题意
故时，有2个实数根
共有8个不相等的实数根
当，即时，
方程①的根为：，
方程②的根为：，
故共有4个不相等的实数根
当，即时，
方程没有实数根
综上，方程可能有个、个、个、个实数根
故选A．
二、填空题
11．
【分析】本题考查了解一元二次方程；利用直接开平方法解一元二次方程，进行计算即可求解．
【详解】解：
∴
解得：
12．4
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．根据题意，把代入方程中，并求得m的值即可．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个解，
∴把代入方程得：，
∴，
故答案为：4．
13．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设第、第两个季度安全运行架次的平均增长率为，则第二季度低空飞机航线安全运行了架次，第三季度低空飞机航线安全运行了架次，且第季度低空飞机航线安全运行将达到架次，据此列出方程即可．
【详解】解：设第，第两个季度安全运行架次的平均增长率为，
根据题意可得：，
故答案为：．
14．9
【分析】本题考查根的判别式，根据一元二次方程有两个相等的实数根，得到，列出方程进行求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：；
故答案为：9．
15．
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系．利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，代入式子中计算即可求出m值．
【详解】解：∵，是方程的两根，，
∴，
解得：，
当时，方程，
∴，
当时，方程，
，
∴方程无实数解，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查一元二次方程的定义与判别式，一元一次不等式，掌握知识点是解题的关键．
根据一元二次方程有实数根，得到且，求出a的取值范围，则a的最大整数值为，即可解答．
【详解】解：∵一元二次方程有实数根，
∴且，
解得且，
∴a的最大整数值为．
故答案为：．
17．40
【分析】本题考查了完全平方公式化简计算，一元二次方程的几何应用，正确建立方程是解题的关键．
设正方形、正方形的边长分别为，根据题意得到方程组，根据完全平方公式将其转化为，再由代入消元法得到一元二次方程，再求解即可．
【详解】解：设正方形、正方形的边长分别为，
由题意得：，
∴，
∴（舍负），
∴，
整理得：
解得：或（不合题意），
∴，
∴矩形的面积为，
故答案为：40．
18．
【分析】本题考查一元二次方程的解，根据中或，再根据是关于的方程的根，从而得出的另一个根，关键是掌握一元二次方程解的情况．
【详解】解：关于的方程（是有理数，）中，或，
即或，
，且 是有理数，
，中的一个为，
也是关于的方程（是有理数，）的一个根，
该方程的另外两根分别是2和．
故答案为：2，．
三、解答题
19．（1）解：，
，
∴，
∴，
∴，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴
∴，．
20．（1）解：，
∴，
解得：；
（2）解：∵，
∴，
∴
．
21．（1）证明：∵方程，
，
∴无论为何值，该方程总有两个实数根．
（2）解：∵
∴，
∴或，
，，
∵该方程的两个实数根都是正数，
．
22．解：设该公司订购了x箱款洗手液，
根据题意知，
解得，．
每次最多可订购箱款洗手液，
符合题意．
答：该公司订购了箱款洗手液．
23．（1）解：，
∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
，
的取值范围为；
（2）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根分别为，
，
，
，
，
解得：（不符合题意，舍去），
的值为1．
24．（1）解：每份礼盒的售价下降元，那么每份的利润为元，
平均每天可卖出礼盒份；
（2）解：设每份礼盒售价下降x元，
根据题意可得：，
解得：（负值舍去）
故每份礼盒售价下降9元时，该饭店每天获得的利润为6720元．
25．（1）解：设栅栏长为x米，
∵栅栏的全长为49米，且中间共留两个1米的小门，
∴米，
故答案为：；
（2）解：依题意，得：，
整理，得：，
解得：，．
当时，，不合题意，舍去，
当时，，符合题意，
答：栅栏的长为10米；
（3）解：不可能，理由如下：
依题意，得：，
整理得：，
∵，
∴方程没有实数根，
∴矩形围栏面积不可能达到270平方米．
26．解：（1）依题意，∵一个矩形的周长是12，面积是8，
则
∴它的“2倍矩形”的周长为24，面积为16；
故答案为：24，16；
（2）观察图像，两个函数有交点，
则长为3，宽为2的矩形存在“2倍矩形”，
∵，
∴结合图像，则它的长和宽分别约为和，
故答案为：存在，，；
依题意，
整理得
∴，
∴
解得或，
∵
∴（舍去），
∴宽为，
即．
27．（1）解：①，
∴，
解得：，
∴，
∴方程是“3倍根方程”，
故答案为：是；
②∵一元二次方程是“3倍根方程”，
∴设方程的两个根分别为，且，
∵，
∴，
∴
故答案为：12；
（2）解：∵
∴，
∵方程是3倍根方程
∴或
当时，即
∴
当时，即
∴
综上，的值为或.
（3）解：∵点在反比例函数的图象上
∴
∵
∴
∴
∴，
∴此方程是3倍根方程．
28．（1）解：根据根与系数的关系得，；
故答案为：；；
（2）解：当时，符合题意，则，
当时，
，，
、可看作方程的两个根，
，，
，
故答案为：2或；
（3）解：两边同时除以变形为，
则实数和可看作方程的两根，
，，

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