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第22章 二次函数 单元试卷 2025-2026学年人教版数学九年级上册
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线与轴的交点个数是( )
A. B. C. D. 无法判断
2.抛物线的对称轴是( )
A. 轴 B. 轴 C. 直线 D. 直线
3.对于二次函数，下列说法错误的是 ( )
A. 最小值为 B. 图象与轴没有公共点
C. 当时，随的增大而减小 D. 其图象的对称轴是轴
4.已知点，，在抛物线上，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
5.在平面直角坐标系中，二次函数的图象可能是 ( )
A. B. C. D.
6.将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为( )
A. B. C. D.
7.二次函数的图象与轴交于点，，则关于的方程的解为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
8.已知二次函数的最小值为，则 ( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
9.如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线另一侧于点，点，在线段上，且关于轴对称，分别过点，作轴的垂线交抛物线于，两点，则四边形周长的最大值为( )
A. B. C. D.
10.为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状如图所示，对应的两条抛物线关于轴对称，轴，，最低点在轴上，高，，则右轮廓所在抛物线的解析式为 ( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.已知函数，当 时，随的增大而增大．
12.抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如表：
由表可知，抛物线与轴的一个交点的坐标是，则抛物线与轴的另一个交点的坐标是______．
13.二次函数，当时，随的增大而 填“增大”或“减小”
14.若抛物线与的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标是，则该抛物线的函数解析式是 ．
15.矩形的周长为，则该矩形的面积与矩形的宽之间的函数关系式为 ．
16.对于二次函数，当时，的取值范围是 ．
17.如图，各抛物线所对应的函数解析式分别为：比较，，，的大小，用“”连接为 ．
18.已知抛物线上有三点，且，则的取值范围是 ．
三、解答题：本题共6小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
已知抛物线．
求抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标
取何值时，随的增大而增大取何值时，随的增大而减小
20.本小题分
如图，已知一次函数的图象与二次函数的图象交于点和．
求两个函数的解析式
求的面积．
21.本小题分
如图，抛物线与直线相交于点和点．
求和的值．
求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集．
是直线上的一个动点，将点向左平移个单位长度得到点若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围．
22.本小题分
某农户种植有如图所示的蔬菜大棚，其截面示意图如图所示，其横截面塑料顶棚可以近似看作是抛物线，其中是地面所在的水平线，点是塑料顶棚与地面的交点，是保温墙，并且塑料顶棚最高点到点的水平距离是米，到地面的高度是米．现以所在直线为轴，过点垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系．若保温墙到点的距离米，请你求出保温墙的高度．
23.本小题分
对某一个函数给出如下定义：如果存在实数，对于任意的函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，函数是有上界函数，其上确界是．
函数；；中，是有上界函数的为 填序号，请挑选其中的任意一个有上界函数并求出其上确界．
如果函数是以为上确界的有上界函数，求实数的值．
24.本小题分
如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于、两点，其中点的坐标为．
求点的坐标；
求二次函数的解析式；
已知为抛物线与轴的交点，设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
抛物线与轴交点的个数是，
故选：．
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二次函数的性质，根据二次函数的增减性即可解答关键是确定抛物线的对称轴，根据点到对称轴的距离的大小即可解答．
【解答】
解：抛物线开口向下，对称轴是直线，
抛物线上的点离对称轴越远，对应的函数值就越小，
取时所对应的点离对称轴最远，取时所对应的点离对称轴最近，
．
故选：．
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
【解析】解：二次函数的图象经过点，，
关于的方程的根为，．
故选：．
8.【答案】
9.【答案】
【解析】本题主要考查二次函数的性质、抛物线的对称性及四边形周长的计算，熟练掌握二次函数的表达式求解与最值分析是解题的关键．先求出抛物线表达式，设出点坐标，进而表示出其他点坐标，得出四边形周长的表达式，再利用二次函数性质求最大值．
【详解】解：把代入，得，
解得，
抛物线表达式为．
设，
点，关于轴对称，
，
过点作轴垂线交抛物线于，则，过点作轴垂线交抛物线于，则．
，，
，，
四边形周长，
，
二次项系数，开口向下，对称轴为直线。
当时，．
故选：．
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
【解析】解：由图表可知，横坐标和对应的纵坐标均为，
则抛物线的对称轴为直线，
抛物线与轴的一个交点的坐标是，
抛物线与轴的另一个交点的横坐标为，
则抛物线与轴的另一个交点的坐标是，
故答案为：．
根据表格找出抛物线对称轴，然后结合抛物线与轴的一个交点的坐标是，计算出抛物线与轴的另一个交点坐标．
本题考查了抛物线的对称性，根据表格判断出抛物线的对称轴是解题关键．
13.【答案】减小
【解析】解：在平面直角坐标系中画出二次函数的图象如下：
抛物线的对称轴为直线，由图象可以看出：
当时，即在对称轴的左侧，随的增大而减小，
故答案为：减小．
利用二次函数的解析式画出图象，根据图象解答即可．
本题主要考查了二次函数的性质，结合函数的图象利用数形结合的思想解答即可．
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】或
【解析】本题主要考查二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由，从而抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，又抛物线过，可得对称轴是直线又，且抛物线过，故，再分类讨论判断即可得解．
【详解】解：，
抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，
又抛物线过，
对称轴是直线，
又，且抛物线过，
，
，
当时，，
；
当时，，
；
当时，，
无解．
综上所述，或．
故答案为：或．
19.【答案】解：，所以抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为．
当时，随的增大而增大
当时，随的增大而减小．

【解析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，其对称轴为，顶点坐标为．
把抛物线解析式化为顶点式可求得其顶点坐标及对称轴；
依据开口方向及对称轴，结合抛物线增减性可求得答案．
20.【答案】【小题】
二次函数的解析式为
一次函数的解析式为
【小题】

21.【答案】【小题】
解：将点代入，得，
解得．
将点代入，得，
解得．
【小题】
由得，直线和抛物线的解析式分别为，，
联立
解得或
点的坐标为．
由图象可知，不等式的解集为或．
【小题】
或．
22.【答案】解：设塑料顶棚所在抛物线的解析式为．
将点代入抛物线解析式，得，解得．
抛物线的解析式为．
当时，．
答：保温墙的高度是米．
23.【答案】【小题】
解：选，在中，，随的增大而减小．当时，取最大值，为，即函数的上确界为选，，当时，取最大值，为，即函数的上确界为．
【小题】
函数是以为上确界的有上界函数，当时，函数的最大值为函数的对称轴为直线，若，则当时，函数取最大值，，解得不符合题意，舍去；若，则当时，函数取最大值，，解得不符合题意，舍去；若，且，即时，则当时，函数取最大值，，解得不符合题意，舍去；若，即时，则当时，函数取最大值，，解得综上所述，的值为．

24.【答案】解：对称轴为直线的抛物线与轴相交于、两点，
、两点关于直线对称，
点的坐标为，
点的坐标为；
抛物线的对称轴为直线，
，解得，
将代入，
得，解得，
则二次函数的解析式为；
设直线的解析式为，将，代入
得 ，
，
即直线的解析式为；
设点坐标为，
则点坐标为，
，
当 时，有最大值．
【解析】利用抛物线的对称性求出点的坐标；
利用待定系数法求出抛物线解析式；
先求出直线的解析式，进而设出点的坐标，进而表示出的坐标，得出，即可得出结论．
此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的性质，待定系数法，建立与点的横坐标之间的函数关系式是解本题的关键．

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