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第21章 一元二次方程 单元试卷 2025-2026学年人教版数学九年级上册一、选择题
1.下列方程是关于的一元二次方程的是( )
A. B.
C. D.
2.将一元二次方程化为一般形式，其中一次项系数是( )
A. B. C. D.
3.方程可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是( )
A. B. C. D.
4.关于的方程的根是( )
A. B.
C. D.
5.若用配方法解方程，配方后的方程为，则的值为( )
A. B. C. D.
6.若一元二次方程的两个实数根中较小的一个根是，则的值为( )
A. B. C. D.
7.一元二次方程的解为( )
A. B. ，
C. ， D.
8.等腰三角形的一边长是，方程的两个根是三角形的两边长，则为( )
A. B. C. D. 或
9.有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了人，则的值为( )
A. B. C. D.
10.已知是关于的一元二次方程的一个实数根，且满足，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
二、填空题
11.若方程的二次项系数为，则一次项系数为 ，常数项为 ．
12.已知，是方程的两根，则的值为 ．
13.如果关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是 ．
14.已知，是方程的两根，则的值为 ．
15.在一次老同学聚会上，大家一见面就相互握手每两人只握一次手，若共握了次手，则参加聚会的人数为 人；在聚会上，每两人都互送礼物一份，若共送礼物份，则参加聚会的人数为 人
16.如图，要利用一面墙墙长建羊圈，用的围栏围成总面积为的三个大小相同的矩形羊圈，则羊圈的边长 ．
三、解答题
17.解下列方程：
； ；
； ．
18.某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动四月份投入资金万元，六月份投入资金万元，现假定每月投入资金的增长率相同．
求该商场投入资金的月增长率；
按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？
19.如图，在长为米、宽为米的矩形空地上修建同样宽的道路阴影部分，余下的部分为草坪，要使草坪的面积为平方米，求道路的宽为多少？
20.已知关于的方程有两个不相等的实数根．
求的取值范围；
判断关于的方程的根的情况．
21.如图，在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．
如果点，分别从点，同时出发，那么几秒后，的面积等于
在问题中，的面积能否等于？请说明理由．
22.某网店销售一种儿童玩具，每件进价元，规定单件销售利润不低于元，且不高于元试销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出件，销售单价每上涨元，每天销售量减少件，该网店决定提价销售设每天销售量为件，销售单价为元
请直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围；
当销售单价是多少元时，网店每天获利元？
23.已知实数，满足，，且，则，是方程的两个不相等的实数根，由根与系数的关系可知：，．
根据上述材料，解决以下问题：
直接应用：已知实数，满足，，且，则 ， ，
拓展应用：已知实数，满足，，且，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键依据一元二次方程的定义进行判断即可．
【解答】
A.该方程中含有分式，不符合一元二次方程的概念
B.当时，不是一元二次方程
C.将原方程整理，得，是一元二次方程
D.将原方程整理，得，是一元一次方程．
故选C．
2.【答案】
【解析】解：一元二次方程化为一般形式是，一次项系数为．
故选：．
一元二次方程的一般形式是：是常数且在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
本题考查了一元二次方程的一般形式，解答本题要通过移项，转化为一般形式，注意移项时符号的变化．
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
【解析】解：，
，
则，即，
，，
．
故选A．
6.【答案】
7.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程的关键是根据方程的特征选择恰当的方程．
利用因式分解法解一元二次方程即可．
【解答】
解： ，
，
， ，
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了一元二次方程的解的定义，三角形三边关系，等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质得到方程的解，把方程的解代入原方程即可求出待定字母的取值即可解决问题．
由于一个等腰三角形的一边长为，另两边长是关于的方程的两根，有两种情况：
当腰长为时，直接把代入原方程即可求出的值，然后求出方程的另一根，即可判断能否构成三角形；
当底边为时，那么的方程的两根是相等的，利用判别式为即可求出的值，然后就可以求出方程的解，即可判断能否构成三角形．
【解答】
解：一个等腰三角形的一边长为，另两边长是方程的两个根，
当腰长为时，把代入原方程得
，
，
原方程变为：，
设方程的另一个根为，
则，
，
能构成三角形；
当底边为时，那么的方程的两根是相等的，
，
，
方程变为，
方程的两根相等为，
能构成三角形．
综上，的值是或．
9.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了一元二次方程的应用，找出题中的等量关系是解决本题的关键．
根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】
解：根据题意得：，
解得：或舍去，
则的值为．
故选B．
10.【答案】
【解析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，由题意可求得，，从而可得出方程，解方程即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：是关于的一元二次方程的一个实数根，
，，
，，
，
，
整理，可得，
解得：或，
，
，
故选：．
11.【答案】

12.【答案】
13.【答案】且
14.【答案】
15.【答案】

16.【答案】
17.【答案】【小题】
解：，或，， ；
【小题】
，，， ；
【小题】
，，，，；
【小题】
，，或，，．

18.【答案】【小题】
设该商场投入资金的月增长率为依题意得，解得，不合题意，舍去．该商场投入资金的月增长率为
【小题】
由题意，得万元．预计该商场七月份投入资金将达到万元

19.【答案】解：设道路的宽为米，根据题意，得，
整理得，
解得舍去或
答：道路宽为米．
20.【答案】【小题】
解：由题意知，，
；
【小题】
当时，原方程为，故有一个实数根；
当时，，
且，
，
此时方程有两个不相等的实数根．

21.【答案】【小题】
解：设后，的面积等于．
根据题意，得．
解得，．
当时，不合题意，舍去，
．
答：后，的面积等于；
【小题】
设后，的面积等于．
根据题意，得，
，，
，
此方程无实数根，
的面积不能等于．

22.【答案】【小题】
解：由题意，得，
即与之间的函数关系式为：；
【小题】
根据题意，得，
解得，，
，
．
答：当销售单价是元时，网店每天获利元．

23.【答案】【小题】
【小题】
因为，
即
所以，和是方程的两个根
则，
则

【解析】 因为，
所以，，是的两个根
则

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