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15.1.2线段的垂直平分线
一．选择题（共7小题）
1．（2025春 长宁区校级期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，若∠BAC＝74°，则∠NAE的度数为（　　）
A．30° B．32° C．36° D．37°
2．（2025 三原县二模）如图，在△ABC中，DE垂直平分AB．若BD＝6，CD＝3，则AC的长是（　　）
A．12 B．10 C．9 D．8
3．（2025春 灌云县期中）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线DE交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A＝46°，则∠B的度数为（　　）
A．25° B．30° C．42° D．44°
4．（2024秋 福山区期末）如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（　　）
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三个角的角平分线的交点
C．三角形三条高的交点
D．三角形三条中线的交点
5．（2025 罗山县一模）如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A＝30°，∠ACB＝80°，则∠BCE等于（　　）
A．40° B．70° C．60° D．50°
6．（2025春 龙凤区期中）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC＝6cm，且△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（　　）
A．13cm B．19cm C．10cm D．16cm
7．（2025 子洲县二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内一点，连接OB、OC，连接AO并延长交BC于点D，若OB＝OC，BC＝8，则CD的长为（　　）
A．4 B．5 C．2 D．6
二．填空题（共6小题）
8．（2025春 惠来县期末）如图，在△ABC中，DE垂直平分AB．若△AEC的周长为9cm，AC＝3cm，则BC＝　 　 cm．
9．（2025春 城步县期中）如图，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于D，连接AD，若∠B＝35°，则∠CAD的度数为　 　 ．
10．（2025 中山市校级二模）如图，在△ABC中，CD垂直平分AB，延长BC至点E，∠B＝33°，则∠ACE＝ 　 　 ．
11．（2025春 礼泉县期中）如图，点D在△ABC的边BC上，连接AD，BC＝BD+AD，则点D 　 　 线段AC的垂直平分线上的点．（选填“是”或“不是”）
12．（2024秋 四会市期末）如图，DE是△ABC边AC的垂直平分线，若BC＝9，AD＝4，则BD＝　 　
13．（2025春 丰县期中）如图，直线EF是线段AB的垂直平分线，垂足为O，若AO＝5，则AB＝ 　 　 ．
三．解答题（共2小题）
14．（2025 汝阳县模拟）如图，在△ABC中，BA＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D
（1）请用无刻度的直尺和圆规作∠ADE，使得∠ADE＝∠BAD，且射线DE在线段AD左侧，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（1）的条件下判断AE与CD的数量关系，并证明．
15．（2025春 徐汇区校级月考）如图，在△ABC中，OM、ON分别是AB、AC的垂直平分线，OM与ON相交于点O．求证：点O在BC的垂直平分线上．
15.1.2线段的垂直平分线
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．（2025春 长宁区校级期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，若∠BAC＝74°，则∠NAE的度数为（　　）
A．30° B．32° C．36° D．37°
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理可求∠B+∠C，根据垂直平分线性质，EA＝EB，NA＝NC，则∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，从而可得∠BAC＝∠BAE+∠NAC﹣∠EAN＝∠B+∠C﹣∠EAN，即可得到∠EAN＝∠B+∠C﹣∠BAC，即可得解．
【解答】解：∵∠BAC＝74°，
∴∠B+∠C＝180°﹣74°＝106°，
∵AB的垂直平分线交BC边于点E，AC的垂直平分线交BC边于点N，
∴EA＝EB，NA＝NC，
∴∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，
∴∠BAC＝∠BAE+∠NAC﹣∠NAE＝∠B+∠C﹣∠NAE，
∴∠NAE＝∠B+∠C﹣∠BAC＝106°﹣74°＝32°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，角的和差关系，能得到求∠EAN的关系式是关键．
2．（2025 三原县二模）如图，在△ABC中，DE垂直平分AB．若BD＝6，CD＝3，则AC的长是（　　）
A．12 B．10 C．9 D．8
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】由线段垂直平分线的性质推出AD＝BD＝6，即可求出AC的长．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD＝6，
∴AC＝AD+CD＝6+3＝9．
故选：C．
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等．
3．（2025春 灌云县期中）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线DE交AB于点D，垂足为点E，CD平分∠ACB，若∠A＝46°，则∠B的度数为（　　）
A．25° B．30° C．42° D．44°
【考点】线段垂直平分线的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DC＝DA，得到∠DCA＝∠A＝46°，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DC＝DA，
∴∠DCA＝∠A＝46°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠DCA＝92°，
∴∠B＝180°﹣46°﹣92°＝42°，
故选：C．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
4．（2024秋 福山区期末）如图，兔子的三个洞口A、B、C构成△ABC，猎狗想捕捉兔子，必须到三个洞口的距离都相等，则猎狗应蹲守在（　　）
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三个角的角平分线的交点
C．三角形三条高的交点
D．三角形三条中线的交点
【考点】线段垂直平分线的性质；三角形的角平分线、中线和高．
【答案】A
【分析】用线段垂直平分线性质判断即可．
【解答】解：猎狗到△ABC三个顶点的距离相等，则猎狗应蹲守在△ABC的三条（边垂直平分线）的交点．
故选：A．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握性质是解本题的关键．
5．（2025 罗山县一模）如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A＝30°，∠ACB＝80°，则∠BCE等于（　　）
A．40° B．70° C．60° D．50°
【考点】线段垂直平分线的性质．
【答案】D
【分析】根据线段垂直平分线性质得出AE＝CE，推出∠A＝∠ACE＝30°，代入∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE求出即可．
【解答】解：∵DE垂直平分AC交AB于E，
∴AE＝CE，
∴∠A＝∠ACE，
∵∠A＝30°，
∴∠ACE＝30°，
∵∠ACB＝80°，
∴∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE＝50°，
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
6．（2025春 龙凤区期中）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC＝6cm，且△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为（　　）
A．13cm B．19cm C．10cm D．16cm
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AC＝6cm，
∴DA＝DC，
∵△ABD的周长为13cm，
∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13cm，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝19cm，
故选：B．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
7．（2025 子洲县二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内一点，连接OB、OC，连接AO并延长交BC于点D，若OB＝OC，BC＝8，则CD的长为（　　）
A．4 B．5 C．2 D．6
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】A
【分析】根据线段垂直平分线的性质求解即可．
【解答】解：∵AB＝AC，OB＝OC，O在AD上，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴CDBC＝4，
故选：A．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
8．（2025春 惠来县期末）如图，在△ABC中，DE垂直平分AB．若△AEC的周长为9cm，AC＝3cm，则BC＝　6　 cm．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据线段垂直平分线性质得到BE＝AE，根据三角形周长定义推出CE+BE＝6cm，根据线段的和差即可得解．
【解答】解：∵DE垂直平分AB，
∴BE＝AE，
∵△AEC的周长为9cm，
∴AC+AE+CE＝AC+CE+BE＝9cm，
∵AC＝3cm，
∴CE+BE＝6cm，
∴BC＝6cm，
故答案为：6．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．
9．（2025春 城步县期中）如图，∠C＝90°，AB的垂直平分线交BC于D，连接AD，若∠B＝35°，则∠CAD的度数为　20°　 ．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】20°．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据等腰三角形的性质求出∠DAB，根据直角三角形的性质求出∠BAC＝55°，再根据角的和差计算即可．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝35°，
∵∠C＝90°，∠B＝35°，
∴∠BAC＝90°﹣35°＝55°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝20°，
故答案为：20°．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
10．（2025 中山市校级二模）如图，在△ABC中，CD垂直平分AB，延长BC至点E，∠B＝33°，则∠ACE＝ 　66°　 ．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．
【答案】66°．
【分析】由线段垂直平分线的性质推出BC＝AC，得到∠A＝∠B＝33°，由三角形的外角性质得到∠ACE＝∠A+∠B＝66°．
【解答】解：∵CD垂直平分AB，
∴BC＝AC，
∴∠A＝∠B＝33°，
∴∠ACE＝∠A+∠B＝66°．
故答案为：66°．
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出BC＝AC．
11．（2025春 礼泉县期中）如图，点D在△ABC的边BC上，连接AD，BC＝BD+AD，则点D 　是　 线段AC的垂直平分线上的点．（选填“是”或“不是”）
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】是．
【分析】到一条线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，由此即可得到答案．
【解答】解：∵BC＝DB+AD，BC＝BD+DC，
∴AD＝CD，
∴D是线段AC的垂直平分线上的点．
故答案为：是．
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线性质定理的逆定理．
12．（2024秋 四会市期末）如图，DE是△ABC边AC的垂直平分线，若BC＝9，AD＝4，则BD＝　5　
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据垂直平分线的性质可得AD＝CD，进而求出BD的长度．
【解答】解：∵DE是△ABC边AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，
∵BC＝9，AD＝4，
∴BD＝BC﹣CD＝BC﹣AD＝9﹣4＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
13．（2025春 丰县期中）如图，直线EF是线段AB的垂直平分线，垂足为O，若AO＝5，则AB＝ 　10　 ．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】10．
【分析】经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，由此即可得到答案．
【解答】解：∵直线EF是线段AB的垂直平分线，垂足为O，
∴OB＝AO＝5，
∴AB＝2AO＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线的定义．
三．解答题（共2小题）
14．（2025 汝阳县模拟）如图，在△ABC中，BA＝BC，AD平分∠BAC交BC于点D
（1）请用无刻度的直尺和圆规作∠ADE，使得∠ADE＝∠BAD，且射线DE在线段AD左侧，交AB于点E（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）在（1）的条件下判断AE与CD的数量关系，并证明．
【考点】作图—基本作图；等腰三角形的性质．
【专题】作图题；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）AE＝CD，见解析．
【分析】（1）根据尺规作一个角等于已知角的方法即可作图；
（2）证明出DE∥AC，再根据平行线分线段成比例定理即可求证．
【解答】解：（1）∠ADE即为所作：
（2）AE＝CD，理由如下：
证明：由条件可知∠1＝∠2，
∵∠3＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴DE∥AC，
∴，
由条件可知AE＝CD．
【点评】本题考查了尺规作图—作一个角等于已知角，平行线的判定，平行线分线段成比例定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
15．（2025春 徐汇区校级月考）如图，在△ABC中，OM、ON分别是AB、AC的垂直平分线，OM与ON相交于点O．求证：点O在BC的垂直平分线上．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】连接AO、BO、CO，根据线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得AO＝BO，AO＝CO，利用等量代换可得CO＝BO，再根据到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上可得结论．
【解答】证明：连接AO、BO、CO，
∵OM是AB的垂直平分线，
∴AO＝BO，
∵ON分别是AC的垂直平分线，
∴AO＝CO，
∴CO＝BO，
∴点O在BC的垂直平分线上．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等；到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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