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15.3.2等边三角形
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 增城区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，若AB＝10，则CD的长为（　　）
A．5 B．4.8 C．2.4 D．无法确定
2．（2025春 碑林区校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝15°，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，若BE＝6cm，则AC的长是（　　）
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
3．（2025春 象州县期中）在一个直角三角形中，一个锐角是40°，另一个锐角是（　　）
A．70° B．50° C．30° D．10°
4．（2025 广东模拟）如图，在△ADE与△BFC中，点B在AE上，点A在FC上，且∠F＝30°，∠E＝45°，∠D＝90°，则∠ABF的度数为（　　）
A．30° B．15° C．60° D．25°
5．（2025 昭通模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，则AB的长是（　　）
A．8 B．1 C．2 D．4
6．（2025春 三水区校级期中）如图是一个跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直（OC⊥AC于点C），跷跷板的一头A着地时∠OAC＝30°，点A、C、B′在同一水平线上，若OC＝1m时，则OA的长度为（　　）
A．0.5m B．1m C．1.5m D．2m
7．（2025 莲池区一模）小亮为宣传2010年上海世博会，设计了形状如图所示的彩旗，图中∠ACB＝90°，∠D＝15°，点A在CD上，AD＝AB＝4cm，则AC的长为（　　）
A．2cm B． C．4cm D．8cm
8．（2025春 于都县期中）将两把相同的直尺如图放置．若∠1＝164°，则∠2的度数等于（　　）
A．103° B．104° C．105° D．106°
二．填空题（共5小题）
9．（2025春 高州市期中）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A＝30°，BD＝4cm，则AB的长是　 　 ．
10．（2025春 道里区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，D为AB的中点，连接CD，则∠BCD＝ 　 　 度．
11．（2025 杭州模拟）在等边△ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC，若△ABC的边长为6，AE＝12，则△BED的面积为　 　 ．
12．（2025 长沙模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8．若D是AB的中点，则CD的长为 　 　 ．
13．（2024秋 江都区期末）如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝　 　 cm．
三．解答题（共2小题）
14．（2024秋 纳雍县期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知∠B＝48°，∠BAC＝72°，求∠CAD与∠DHE的度数．
15．（2025 秦淮区校级模拟）已知：如图，在△ABC中，∠A＝60°，．求证：△ABC是直角三角形．
15.3.2等边三角形
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 增城区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，若AB＝10，则CD的长为（　　）
A．5 B．4.8 C．2.4 D．无法确定
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由此即可计算．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CDAB10＝5．
故选：A．
【点评】本题考查直角三角形斜边的中线，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
2．（2025春 碑林区校级月考）如图，在△ABC中，∠B＝15°，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，若BE＝6cm，则AC的长是（　　）
A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm
【考点】含30度角的直角三角形；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】三角形．
【答案】D
【分析】先根据垂直平分线的性质得到BE＝AE＝6cm，推出∠BAE＝∠B＝15°，由三角形外角的性质得到∠AEC＝30°，然后利用含30°角的直角三角形的性质求解即可．
【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴BE＝AE＝6cm，
∴∠BAE＝∠B＝15°，
∴∠AEC＝∠BAE+∠B＝30°．
∵∠C＝90°，
∴．
故选：D．
【点评】此题考查了垂直平分线的性质，三角形外角的性质，含30°角直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
3．（2025春 象州县期中）在一个直角三角形中，一个锐角是40°，另一个锐角是（　　）
A．70° B．50° C．30° D．10°
【考点】直角三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】B
【分析】由直角三角形的两个锐角互余，即可得到答案．
【解答】解：直角三角形的一个锐角是40°，另一个锐角是90°﹣40°＝50°．
故选：B．
【点评】本题考查直角三角形的性质，关键是掌握直角三角形的两个锐角互余．
4．（2025 广东模拟）如图，在△ADE与△BFC中，点B在AE上，点A在FC上，且∠F＝30°，∠E＝45°，∠D＝90°，则∠ABF的度数为（　　）
A．30° B．15° C．60° D．25°
【考点】直角三角形的性质；三角形的外角性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理求出∠DAE＝45°，再根据三角形外角性质求解即可．
【解答】解：∵∠E＝45°，∠D＝90°，∠DAE+∠D+∠E＝180°，
∴∠DAE＝45°，
∵∠DAE＝∠F+∠ABF，∠F＝30°，
∴∠ABF＝15°，
故选：B．
【点评】此题考查了三角形内角和定理、三角形外角性质，熟记三角形内角和定理、三角形外角性质是解题的关键．
5．（2025 昭通模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，则AB的长是（　　）
A．8 B．1 C．2 D．4
【考点】含30度角的直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AB＝2AC．
【解答】解：Rt△ABC中，
∵∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，
∴AB＝2AC＝8．
故选：A．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．比较简单．
6．（2025春 三水区校级期中）如图是一个跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直（OC⊥AC于点C），跷跷板的一头A着地时∠OAC＝30°，点A、C、B′在同一水平线上，若OC＝1m时，则OA的长度为（　　）
A．0.5m B．1m C．1.5m D．2m
【考点】含30度角的直角三角形．
【专题】三角形．
【答案】D
【分析】根据在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，求解即可．
【解答】解：∵OC⊥AC，点A，C，B′在同一水平线上，
∴△OAC是直角三角形，
∵∠OAC＝30°，∠OCA＝90°，
∴，
∵OC＝1m，
∴OA＝2m，
故选：D．
【点评】本题主要考查了含30度角的直角三角形，熟练掌握其性质是解题的关键．
7．（2025 莲池区一模）小亮为宣传2010年上海世博会，设计了形状如图所示的彩旗，图中∠ACB＝90°，∠D＝15°，点A在CD上，AD＝AB＝4cm，则AC的长为（　　）
A．2cm B． C．4cm D．8cm
【考点】含30度角的直角三角形．
【专题】常规题型．
【答案】B
【分析】先求出∠ABD＝∠D，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BAC＝30°，然后根据30°所对的直角边等于斜边的一半求出BC的长度是2cm，再利用勾股定理解答．
【解答】解：如图，∵AD＝AB＝4cm，∠D＝15°，
∴∠ABD＝∠D＝15°，
∴∠BAC＝∠ABD+∠D＝30°，
∵∠ACB＝90°，AB＝4cm，
∴BCAB＝2cm，
在Rt△ABC中，AC2cm．
故选：B．
【点评】本题主要考查了含30度角的直角三角形的边的关系，等腰三角形的等边对等角的性质，三角形的外角性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
8．（2025春 于都县期中）将两把相同的直尺如图放置．若∠1＝164°，则∠2的度数等于（　　）
A．103° B．104° C．105° D．106°
【考点】直角三角形的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】互补关系求出∠3，互余关系求出∠4，再用互补关系即可得出结果．
【解答】解：如图，
∵∠3＝180°﹣∠1＝16°，
∴∠4＝90°﹣∠3＝74°，
∴∠2＝180°﹣∠4＝106°；
故选：D．
【点评】本题考查余角和补角的计算．正确的识图，确定角度之间的和差关系，是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
9．（2025春 高州市期中）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A＝30°，BD＝4cm，则AB的长是　16cm　 ．
【考点】含30度角的直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】16cm．
【分析】要求AB的长度，需要先求得边BC的长度；根据“30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得结论．
【解答】解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A＝30°，
∴∠A＝∠BCD＝30°，
∴BC＝2BD＝8cm，
∴AB＝2BC＝16cm，
故选：16cm．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．由已知条件求得边BC的长度是解题的关键．
10．（2025春 道里区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，D为AB的中点，连接CD，则∠BCD＝ 　50　 度．
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】50．
【分析】根据三角形内角和定理求出∠B＝50°，根据直角三角形斜边上中线的性质求出CDAB＝BD，再根据等腰三角形的性质求解即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝40°，
∴∠B＝180°﹣∠ACB﹣∠A＝50°，
∵D为AB的中点，
∴CDAB＝BD，
∴∠BCD＝∠B＝50°，
故答案为：50．
【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线的性质，熟记“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键．
11．（2025 杭州模拟）在等边△ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC，若△ABC的边长为6，AE＝12，则△BED的面积为　或　 ．
【考点】等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】或．
【分析】分E在线段AB的延长线上和线段BA的延长线两种情况，过E点作EF⊥CD于F，根据等边三角形的性质求出BE长和∠ABC＝60°，求出BF、CF，即可求出答案．
【解答】解：点E在直线AB上，AE＝12，点E位置有两种情况：
①点E在线段AB的延长线上时，
过E点作EF⊥CD于F，
由条件可知BE＝AE﹣AB＝12﹣6＝6，∠ABC＝60°，
∴∠EBF＝60°，
∴∠BEF＝30°，
∴，
∴，
∴CF＝BC+BF＝6+3＝9，
∵ED＝EC，
∴CF＝DF＝9，
∴BD＝DF+BF＝9+3＝12，
∴△BED的面积为；
②如图2，当E在线段AB的延长线时，过E点作EF⊥CD于F，
由条件可知△ABC的边长为6，AE＝12，
∴BE＝AB+AE＝6+12＝18，∠ABC＝60°，
∴∠EBF＝60°，
∴∠BEF＝30°，
∴，
∴，
∴CF＝BF﹣BC＝9﹣6＝3，
∵ED＝EC，
∴DF＝CF＝3，
∴BD＝BF+DF＝9+3＝12，
∴△BED的面积为；
即△BED的面积为或，
故答案为：或．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，含30°的直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
12．（2025 长沙模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8．若D是AB的中点，则CD的长为 　4　 ．
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】4．
【分析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由此即可计算．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，AB＝8，
∴CDAB＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查直角三角形斜边的中线，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
13．（2024秋 江都区期末）如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝　3　 cm．
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据图形和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以计算出CD的长．
【解答】解：由图可得，
∠ACB＝90°，AB＝7﹣1＝6（cm），点D为线段AB的中点，
∴CDAB＝3cm，
故答案为：3．
【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
三．解答题（共2小题）
14．（2024秋 纳雍县期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知∠B＝48°，∠BAC＝72°，求∠CAD与∠DHE的度数．
【考点】直角三角形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD，再根据∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD代入数据计算即可得解；然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠DHE＝∠BAD+∠AEH计算即可得解．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣48°＝42°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝30°，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
由三角形的外角性质得，∠DHE＝∠BAD+∠AEH＝42°+90°＝132°．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．
15．（2025 秦淮区校级模拟）已知：如图，在△ABC中，∠A＝60°，．求证：△ABC是直角三角形．
【考点】等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】证明见解答过程．
【分析】在AB上截取AD＝AC，连接CD，根据等边三角形的判定与性质求出CD＝AD＝AC，∠ADC＝∠ACD＝60°，进而求出BD＝AD＝CD，根据等腰三角形的性质、三角形外角性质求出∠BCD＝30°，则∠ACB＝∠BCD+∠ACD＝90°，据此即可得证．
【解答】证明：如图，在AB上截取AD＝AC，连接CD，
∵∠A＝60°，
∴△ACD是等边是三角形，
∴CD＝AD＝AC，∠ADC＝∠ACD＝60°，
∵，
∴ADAB，
∴BD＝AD＝CD，
∴∠B＝∠BCD，
∵∠ADC＝∠B+∠BCD，
∴∠BCD＝30°，
∴∠ACB＝∠BCD+∠ACD＝90°，
∴△ABC为直角三角形．
【点评】本题主要考查等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，掌握等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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