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16.3.2完全平方公式
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 开鲁县期中）有5个边长为1的小正方形，排列形式如图1，把它们分割后拼接成如图2的大正方形，则下列判断错误的是（　　）
A．ab＝2 B．a2+b2＝5
C．b﹣a＝1 D．大正方形的边长是
2．（2025春 宜兴市期末）下列运算正确的是（　　）
A．（﹣x﹣y）2＝x2+2xy+y2 B．（﹣a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2
C．（m﹣3）（m+2）＝m2﹣6 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
3．（2025 二七区模拟）下列计算正确的是（　　）
A．3mn﹣mn＝2 B．（m+2n）2＝m2+2mn+2n2
C．（m﹣n）2＝m2﹣n2 D．（﹣m）3 m＝﹣m4
4．（2025春 扬州期中）小吉是一个爱好数学的好学生，一天他将三个正方形如图所示相连，然后将数字0～8填入图中的9个顶点处，使得每个正方形顶点上的四个数字的和都等于16，每个正方形顶点上的四个数字的平方和分别记为A、B、C，且A+B+C＝260．如果将交点处的三个填入的数字分别记作为x、y、x+y，则xy的值为（　　）
A．0 B．6 C．7 D．8
5．（2025 龙沙区三模）下列运算正确的是（　　）
A．a2 a4＝a8 B．（a﹣3）2＝a2﹣9
C．a3+a3＝a6 D．（2ab2）2＝4a2b4
6．（2025春 宿城区校级期中）已知（x﹣2024）2+（x﹣2026）2＝18，则（x﹣2025）2的值是（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
7．（2025春 宿城区校级期中）如图，两个正方形的泳池，面积分别是S1和S2，两个泳池的面积之和S1+S2＝20，点B是线段CG上一点，设CG＝6，在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为（　　）
A．5 B．4 C．8 D．10
8．（2025 武汉模拟）下列计算正确的是（　　）
A．a2 a3＝a6 B．（a2）4＝a8
C．（3a）2＝3a2 D．（1﹣a）2＝1﹣a2
二．填空题（共5小题）
9．（2025春 沛县期中）若a+b＝6，ab＝﹣1，则（a﹣b）2等于　 　 ．
10．（2025春 西安期末）若a+b＝﹣1，则a2+2ab+b2＝　 　 ．
11．（2025春 万山区期中）已知m2+n2＝15，（m﹣n）2＝1，则（m+n）2＝　 　 ．
12．（2025春 滦南县月考）已知（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4，且a＝20000，则b的值用科学记数法表示为　 　 ．
13．（2025春 绍兴期中）若n满足（n﹣2023）2+（2024﹣n）2＝1，则（2024﹣n）（n﹣2023）等于 　 　 ．
三．解答题（共2小题）
14．（2025春 涟源市期中）已知a﹣b＝10，ab＝20，求下列式子的值．
（1）a2+b2；（2）（a+b）2．
15．（2025春 丹徒区校级月考）已知x+y＝3，（x+3）（y+3）＝20．
（1）求xy的值；
（2）求（x﹣y）2的值．
16.3.2完全平方公式
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025春 开鲁县期中）有5个边长为1的小正方形，排列形式如图1，把它们分割后拼接成如图2的大正方形，则下列判断错误的是（　　）
A．ab＝2 B．a2+b2＝5
C．b﹣a＝1 D．大正方形的边长是
【考点】完全平方公式的几何背景．
【专题】应用题．
【答案】D
【分析】根据图形分割拼接的过程，得出a与b之间的关系，对各选项进行分析判断即可．
【解答】解：∵5个小正方形的面积为1×1×5＝5，
∴大正方形的面积为5，
∴大正方形的边长是，
∴，ab＝2，
由图2可知，
∵a+1＝b，
∴b﹣a＝1，
∴只有选项D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理，正方形的性质，算术平方根，解题的关键是正确理解图形分割拼接的过程．
2．（2025春 宜兴市期末）下列运算正确的是（　　）
A．（﹣x﹣y）2＝x2+2xy+y2 B．（﹣a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2
C．（m﹣3）（m+2）＝m2﹣6 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
【考点】完全平方公式；平方差公式；多项式乘多项式．
【答案】A
【分析】根据平方差公式以及多项式的乘法和完全平方公式正确进行计算即可．
【解答】解：A、∵（﹣x﹣y）2＝x2+2xy+y2，∴故此选项正确；
B、∵（﹣a﹣b）（a+b）＝﹣a2﹣b2﹣2ab，∴故此选项错误；
C、∵（m﹣3）（m+2）＝m2﹣6﹣m，∴故此选项错误；
D、∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab，∴故此选项错误．
故选：A．
【点评】此题主要考查了平方差公式以及多项式的乘法和完全平方公式等知识，熟练地应用完全平方公式是解决问题的关键．
3．（2025 二七区模拟）下列计算正确的是（　　）
A．3mn﹣mn＝2 B．（m+2n）2＝m2+2mn+2n2
C．（m﹣n）2＝m2﹣n2 D．（﹣m）3 m＝﹣m4
【考点】完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据合并同类项法则、完全平方公式、单项式乘单项式的运算法则分别计算判断即可．
【解答】解：A、3mn﹣mn＝2mn，故此选项不符合题意；
B、（m+2n）2＝m2+4mn+4n2，故此选项不符合题意；
C、（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2，故此选项不符合题意；
D、（﹣m）3 m＝﹣m3 m＝﹣m4，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了完全平方公式、合并同类项法则、单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4．（2025春 扬州期中）小吉是一个爱好数学的好学生，一天他将三个正方形如图所示相连，然后将数字0～8填入图中的9个顶点处，使得每个正方形顶点上的四个数字的和都等于16，每个正方形顶点上的四个数字的平方和分别记为A、B、C，且A+B+C＝260．如果将交点处的三个填入的数字分别记作为x、y、x+y，则xy的值为（　　）
A．0 B．6 C．7 D．8
【考点】完全平方公式；有理数的加法；有理数的乘方．
【专题】实数；运算能力．
【答案】D
【分析】由题意得x+y+（x+y）等于16×3﹣（0+1+2+3+4+5+6+7+8），x2+y2+（x+y）2等于260﹣（02+12+22+32+42+52+62+72+82），利用完全平方公式变形求得xy的值．
【解答】解：∵每个正方形顶点上的四个数字的和都等于16，
0+1+2+3+4+5+6+7+8＝36，
∴x+y+（x+y）＝16×3﹣36＝48﹣36＝12，
∴x+y＝6，
∵A+B+C＝260，
02+12+22+32+42+52+62+72+82＝204，
∴x2+y2+（x+y）2＝260﹣204＝56，
∵x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，
∴62﹣2xy+62＝56，
解得xy＝8，
∴xy的值为8．
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的加法，完全平方公式，有理数的乘方，熟练掌握相关性质是解题的关键．
5．（2025 龙沙区三模）下列运算正确的是（　　）
A．a2 a4＝a8 B．（a﹣3）2＝a2﹣9
C．a3+a3＝a6 D．（2ab2）2＝4a2b4
【考点】完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据同底数幂乘法计算并判定A；根据完全平方公式计算并判定B；根据合并同类项法则计算并判定C；根据积的乘方和幂的乘方计算并判定D．
【解答】解：A、a2 a4＝a6，故此选项不符合题意；
B、（a﹣3）2＝a2﹣6a+9，故此选项不符合题意；
C、a3+a3＝2a3，故此选项不符合题意；
D、（2ab2）2＝4a2b4，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查同底数幂乘法，完全平方公式，合并同类，积的乘方和幂的乘方，熟练掌握同底数幂乘法法则、完全平方公式，合并同类法则、积的乘方和幂的乘方法则是解题的关键．
6．（2025春 宿城区校级期中）已知（x﹣2024）2+（x﹣2026）2＝18，则（x﹣2025）2的值是（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
【考点】完全平方公式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】令r＝x﹣2025，则（r+1）2+（r﹣1）2＝18，整理得出r2＝8，即可作答．
【解答】解：设r＝x﹣2025，则（r+1）2+（r﹣1）2＝18，
∴r2＝8，
故选：B．
【点评】本题考查了换元法，完全平方公式．熟练掌握以上知识点是关键．
7．（2025春 宿城区校级期中）如图，两个正方形的泳池，面积分别是S1和S2，两个泳池的面积之和S1+S2＝20，点B是线段CG上一点，设CG＝6，在阴影部分铺上防滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为（　　）
A．5 B．4 C．8 D．10
【考点】完全平方公式的几何背景．
【专题】应用题．
【答案】B
【分析】设BC＝a，GB＝b，根据题意可得a+b＝6，a2+b2＝20，然后利用完全平方公式即可求出ab＝8，进而可得答案．
【解答】解：设BC＝a，GB＝b，
∵CG＝6，
∴a+b＝6，
∵S1+S2＝20，
∴a2+b2＝20，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，
∴36＝2ab+20，
解得ab＝8，
∴阴影部分的面积为；
故选：B．
【点评】本题考查了完全平方公式的应用，正确理解题意、灵活应用整体思想是解题的关键．
8．（2025 武汉模拟）下列计算正确的是（　　）
A．a2 a3＝a6 B．（a2）4＝a8
C．（3a）2＝3a2 D．（1﹣a）2＝1﹣a2
【考点】完全平方公式；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】利用相关性质逐一判断即可．
【解答】解：根据同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，完全平方公式逐项分析判断如下：
A、a2 a3＝a5，故该选项错误，不符合题意；
B、（a2）4＝a8，故该选项正确，符合题意；
C、（3a）2＝9a2，故该选项错误，不符合题意；
D、（1﹣a）2＝1+a2﹣2a，故该选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查了同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，完全平方公式，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
9．（2025春 沛县期中）若a+b＝6，ab＝﹣1，则（a﹣b）2等于　40　 ．
【考点】完全平方公式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】40．
【分析】根据完全平方公式对（a+b）2与（a﹣b）2关系的转化，结合已知条件求解．
【解答】解：根据完全平方公式对（a+b）2与（a﹣b）2关系的转化可得：
（a﹣b）2＝a2+b2+2ab﹣4ab
＝（a+b）2﹣4ab
＝62﹣4×（﹣1）
＝40，
故答案为：40．
【点评】本题考查了完全平方公式的变形应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
10．（2025春 西安期末）若a+b＝﹣1，则a2+2ab+b2＝　1　 ．
【考点】完全平方公式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】1．
【分析】根据完全平方公式直接计算即可．
【解答】解：∵a+b＝﹣1，
∴a2+2ab+b2
＝（a+b）2
＝（﹣1）2
＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的特征是解题关键．
11．（2025春 万山区期中）已知m2+n2＝15，（m﹣n）2＝1，则（m+n）2＝　29　 ．
【考点】完全平方公式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】29．
【分析】完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．据此计算即可．
【解答】解：因为m2+n2＝15，（m﹣n）2＝1，
所以m2+n2﹣（m﹣n）2＝2mn＝15﹣1＝14，
所以（m+n）2＝m2+n2+2mn＝15+14＝29．
故答案为：29．
【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟记公式是解答本题的关键．
12．（2025春 滦南县月考）已知（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4，且a＝20000，则b的值用科学记数法表示为　5×10﹣4　 ．
【考点】完全平方公式；科学记数法—表示较大的数．
【专题】实数；运算能力．
【答案】5×10﹣4．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab＝4，
∵a＝2000，则b＝0.0005＝5×10﹣4．
故答案为：5×10﹣4．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．（2025春 绍兴期中）若n满足（n﹣2023）2+（2024﹣n）2＝1，则（2024﹣n）（n﹣2023）等于 　0　 ．
【考点】完全平方公式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】0．
【分析】利用完全平方公式即可求得答案．
【解答】解：∵n满足（n﹣2023）2+（2024﹣n）2＝1，
∴（2024﹣n）（n﹣2023）
＝0，
故答案为：0．
【点评】本题考查完全平方公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
三．解答题（共2小题）
14．（2025春 涟源市期中）已知a﹣b＝10，ab＝20，求下列式子的值．
（1）a2+b2；（2）（a+b）2．
【考点】完全平方公式．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据完全平方公式，即可解答．
【解答】解：（1）a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝102+2×20＝100+40＝140；
（2）（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝102+4×20＝100+80＝180．
【点评】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．
15．（2025春 丹徒区校级月考）已知x+y＝3，（x+3）（y+3）＝20．
（1）求xy的值；
（2）求（x﹣y）2的值．
【考点】完全平方公式；多项式乘多项式．
【专题】二次根式．
【答案】（1）xy＝2；
（2）1．
【分析】（1）先根据（x+3）（y+3）＝20，得出xy+3（x+y）+9＝20，把x+y＝3代入求出结果即可；
（2）根据完全平方公式进行变形求值即可．
【解答】解：（1）因为x+y＝3，（x+3）（y+3）＝20，
所以xy+3（x+y）+9＝20，
所以xy+3×3+9＝20，
所以xy＝2；
（2）因为由（1）知xy＝2，
又因为（x+y）2＝x2+2xy+y2，x+y＝3，
所以（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2
＝x2+2xy+y2﹣4xy
＝（x+y）2﹣4xy
＝32﹣4×2
＝9﹣8
＝1．
【点评】本题主要考查了完全平方公式变形求出，多项式乘多项式，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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